Флуктуационно-электромагнитное взаимодействие движущихся частиц с поверхностями

2
ф
СОДЕРЖАНИЕ С.
ВВЕДЕНИЕ...........................................................5
1 ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ОПИСАНИЮ ДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
1.1 Теория электромагнитных флуктуаций и флуктуационно-
диссипационные соотношения.................................. 15
1.2 Применение флуктуационно-диссипационных соотношений в статических задачах...............................................19
1.3 Применение флуктуационно-диссипационных соотношений в динамических задачах. Критический обзор литературы................24
Заключение........................................................42
ГЛАВА 2
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСТИЦ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
2.1 Физические процессы в системе движущаяся частица-поверхность в режиме малых скоростей и функция диэлектрического отклика
^ поверхности....................................................44
2.2 Заряженная частица............................................50
ч 2.3 Дипольная молекула............................................55
2.4 Квадрупольная молекула........................................59
2.5 Нейтральная сферическая частица. Дипольное приближение........65
2.5.1 Связь между скоростью диссипации энергии флуктуационного электромагнитного поля, тангенциальной силой и скоростью нагрева движущейся частицы................................................65
2.5.2 Вычисление силы.............................................67
2.5.3 Скорость нагрева частицы....................................74
2.5.4 Нейтральная сферическая частица. Квадрупольное приближение 75
2.5.5 Бездиссипативное взаимодействие движущейся частицы с поверхностью. Резонансный эффект..................................80
2.5.6 Эффекты пространственной дисперсии..........................84
Заключение........................................................90
ГЛАВА 3
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСТИЦ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КАНАЛОМ
3.1 Заряженная частица............................................93
3.2 Дипольная молекула............................................96
3.3 Нейтральная сферическая частица. Дипольное приближение........98
* 3.3.1 Связь между скоростью диссипации энергии флуктуационного
электромагнитного поля, тангенциальной силой и скоростью нагрева г движущейся частицы..........................................98
3
3.3.2 Вычисление силы...............................................99
3.4 Взаимодействие нейтральной сферической частицы с тонкой нитью...106
3.5 Скорость нагрева движущейся частицы........................... 108
3.6 Движение частицы в цилиндрическом канале...................... 109
♦ Заключение.........................................................111
ГЛАВА 4
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИОННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВИЖУЩИХСЯ НЕЙТРАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
4.1 Электрический и магнитный дипольные моменты движущейся частицы в лабораторной системе отсчета. Общий вид силы, действующей на частицу,
обладающую в лабораторной системе электрическим и магнитным моментами...........................................................112
4.2 Решение граничной задачи для системы уравнений Максвелла. Определение индуцированного движущимся атомом электромагнитного поля поверхности...................................................1 16
4.3 Определение запаздывающей гриновской функции....................122
4.4 Вычисление сил................................................. 124
4.5 Вычисление скорости нагрева частицы.............................132
V 4.6 Частица с постоянным дипольным и магнитным моментами............136
• Заключение..........................................................141
ГЛАВА 5
ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НАНОЗОНДОВ С
ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
5.1 Приближение аддитивности......................................143
5.2 Флуктуационно -диссипативные силы для низкочастотных механизмов поглощения нанозонда и поверхности................................146
5.3 Высокочастотные механизмы поглощения..........................147
5.4 Трение плоских поверхностей...................................149
Заключение........................................................153
ГЛАВА 6
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ И СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАМИ
6.1 Тангенциальные силы и тепловой нагрев зонда...................155
6.1.1 Нерелятивистский предел для тангенциальной силы.............155
6.1.2 Эффекты запаздывания........................................160
6.2 Эксперименты с кварцевым микробалансом. Скользящее трение адсорбатов........................................................169
6.3 Диссипативные силы в модуляционном режиме атомно -силовых микроскопов.......................................................173
6.4 Нормальное и латеральное взаимодействие нейтральных
пучков с плоской поверхностью.................................177
4
Заключение....................................................... 181
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ...................................................183
< ПРИЛОЖЕНИЯ
A. Решение уравнения Пуассона.....................................186
1) Плоская поверхность............................................186
и) Цилиндрическая поверхность.....................................190
B. Соотношение между скоростью диссипации энергии флуктуационного электромагнитного поля в различных системах отсчета...............194
C. Флуктуационно-диссипационная теорема и корреляторы
• физических величин............................................... 196
0.Математические детали вычисления корреляторов физических
величин.......................................................... 201
Е. Интегралы перекрытия частотных спектров........................203
Р. Релятивистская теория
1.Фурье -компоненты векторов электрической и магнитной поляризации, векторы Герца.....................................................206
2.Вычисление запаздывающих гриновских функций излучения в среде... 208 и ЛИТЕРАТУРА.........................................................210
г
*
*
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность
Теоретическое описание флуктуационного электромагнитного взаимодействия (ФЭВ) движущихся атомно-молекулярных частиц и макроскопических тел с поверхностью представляет значительный интерес с точки зрения обобщения теории электромагнитных флуктуаций на случай относительного движения взаимодействующих подсистем и является необходимым для обширного круга практических задач. К ним, в частности, относятся : взаимодействие и рассеяние атомно -молекулярных и
кластерных пучков на гладких поверхностях и в микроканалах, задачи . адсорбции и десорбции, трибологии и нанотрибологии, исследование динамики адсорбатов, структуры поверхностей и т.д. В последние годы особую актуальность получили исследования, связанные с применением сканирующей зондовой микроскопии (СЗМ) для диагностики и модификации поверхностей. Так, например, решение задачи о флуктуационном взаимодействии движущихся микро - и наноскопических тел произвольной формы необходимо для корректной интерпретации взаимодействий зонда СЗМ с поверхностью образца в различных режимах работы, а решение задачи о движении нейтральных частиц в цилиндрическом канале . необходимо для разработки и создания микроманипуляторов пучков частиц на основе микрокапилляров и нанотрубок.
Первые работы, посвященные флуктуационному электромагнитному взаимодействию движущихся нейтральных частиц с плоской поверхностью, появились в конце 70-х -начале 80-х годов прошлого века (подробнее см. гл. 1). Начиная с этого времени, в течение последующих 20 лет данная задача рассматривалась, как правило, в линейном по скорости приближении и при равенстве температур частицы и поверхности. При этом превалирующим методом ее решения являлось, в том или ином виде, использование теории • линейной реакции с привлечением дополнительных модельных приближений. В некоторых работах теория линейной реакции
использовалась вместе с нестационарной теорией возмущений и флуктуационно -диссипационными соотношениями, причем нормальная и тангенциальная составляющая силы, действующие на движущуюся частицу со стороны флуктуационного электромагнитного поля поверхности, вычислялись совершенно различными методами. Между тем, наиболее логичным и естественным методом вычисления всех физических величин, характеризующих взаимодействие движущейся частицы с поверхностью, (включая тангенциальную и нормальную компоненты силы) было бы непосредственное усреднение операторов соответствующих величин с помощью флуктуационно -диссипационных соотношений, что сделало бы излишним введение дополнительных упрощающих предположений. Однако именно этот подход и отсутствовал в литературе, несмотря на то, что все необходимые предпосылки для его развития имелись еще в 50—х годах прошлого столетия в виде теории электромагнитных флуктуаций и теории Лифшица -Дзялошинского -Питаевского.
Цель работы
Целью данной работы является развитие последовательного теоретического описания флуктуационного электромагнитного взаимодействия движущихся частиц с поверхностью, применимого для различных типов атомномолекулярных частиц (и наночастиц) и поверхностей различной кривизны с произвольными диэлектрическими и магнитными свойствами.
Основные задачи
1.Разработка методов расчета тангенциальной и нормальной составляющих силы для частиц с постоянными мультипольными моментами, движущихся параллельно плоской поверхности с произвольной нерелятивистской скоростью. Развитие нерелятивистской теории флуктуационного электромагнитного взаимодействия (ФЭВ) движущейся нейтральной сферической частицы с плоской поверхностью, вычисление тангенциальных
7
и нормальных компонент силы взаимодействия, и скорости нагрева (охлаждения) частицы при любых конечных (нерелятивистских) скоростях. Исследование возможности бездиссипативного взаимодействия движущейся сферической частицы с поверхностными модами. Выяснение условий торможения (ускорения) и охлаждения (нагрева) движущейся частицы при ее бездиссипативном взаимодействии с поверхностной волной.
2. Разработка нерелятивистской теории электромагнитного и флуктуационно -электромагнитного взаимодействия различных типов движущихся атомномолекулярных частиц с цилиндрической поверхностью и цилиндрическим каналом.
3. Разработка общей (в рамках линейной флуктуационной электродинамики) релятивистской теории ФЭВ движущейся сферической нейтральной частицы с плоской поверхностью, применимой при любых скоростях частицы и произвольных расстояниях (сколь угодно больших) между частицей и поверхностью.
4. Разработка методов расчета диссипативных сил и нагрева (охлаждения) движущихся малых частиц и протяженных тел флуктуационным электромагнитным полем поверхности. Использование полученных результатов для параболического и сферического нанозонда. Анализ роли ФЭВ в экспериментах с кварцевым микробалансом, в динамическом режиме СЗМ и при прохождении нейтральных пучков вблизи гладкой поверхности.
Научная новизна
Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней впервые в рамках линейной электродинамики осуществлено последовательное описание электромагнитного взаимодействия движущихся частиц с поверхностью, позволяющее единым образом вычислять все характеристики этого взаимодействия как для частиц с постоянными мультипольными моментами, так и для частиц с флуктуирующими мультипольными моментами
г
(электрическими и магнитными). В рамках развитого в работе формализма впервые получены следующие результаты.
1.Получены общие нерелятивистские выражения для диссипативной и консервативной составляющих силы, действующих на дипольную и квадрупольную молекулы со стороны индуцированного электрического поля плоской поверхности как для параллельного, так и для перпендикулярного к поверхности движения молекул. Установлено общее соотношение между интегралом джоулевых потерь, тангенциальной силой и скоростью нагрева (охлаждения) движущейся сферической частицы.
2. Получены общие нерелятивистские выражения для тангенциальной и нормальной составляющих силы, и скорости нагрева нейтральной сферической частицы, движущейся параллельно плоской поверхности с произвольными локальными диэлектрическими свойствами. В рамках модели зеркального отражения проведено обобщение полученных формул на случай поверхности с нелокальными диэлектрическими свойствами. Предсказана возможность без диссипативного резонансного взаимодействия движущейся сферической частицы с поверхностью. Установлены условия резонанса между движущейся частицей и поверхностной волной, а также условия торможения и ускорения частицы в режиме резонанса.
3.В рамках развитого подхода исследовано взаимодействие с поверхностью движущейся заряженной частицы и полярной молекулы с произвольной ориентацией дипольного момента. Получены формулы для нормальной и тангенциальной компонент силы взаимодействия с поверхностью. Вычислен вклад квадруполь-квадрупольных флуктуаций во взаимодействие движущейся сферической частицы с поверхностью.
4. Получены общие выражения для тангенциальной и нормальной компонент силы для заряженной частицы, дипольной молекулы и сферической частицы, движущихся параллельно цилиндрической поверхности и внутри цилиндрического канала. Для сферической частицы, помимо этого, получено общее выражение для скорости нагрева. Решена также более общая задача о
движении частицы в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами с различными диэлектрическими проницаемостями.
5. Впервые получены общие релятивистские выражения для диссипативной и консервативной составляющих силы и скорости нагрева нейтральной сферической частицы, движущейся параллельно плоской поверхности с произвольными локальными диэлектрическими и магнитными свойствами. Полученные выражения содержат как вклад поверхностных, так и вклад радиационных мод, и применимы при любых скоростях частицы (вообще говоря, сколь угодно близких к скорости света) и при произвольно больших расстояниях между частицей и поверхностью. В рамках релятивистской теории решена задача о взаимодействии движущейся частицы, обладающей собственными дипольным и магнитным моментами, с плоской поверхностью. Исследованы различные частные случаи и нерелятивистский предел.
6. На основе полученных общерелятивистских выражений рассмотрен эффект теплообмена между пробной наночастицей и поверхностью, обусловленный флуктуационным электромагнитным полем. Путем численного анализа исследован вклад в теплообмен поверхностных и радиационных мод флуктуационного электромагнитного поля и влияние эффекта запаздывания в различных диапазонах расстояний между частицей и поверхностью. Проведены расчеты диссипативных тангенциальных сил с учетом эффекта запаздывания. Исследован вклад нерадиационных и радиационных мод электромагнитного поля с различной поляризацией в диссипативные силы на различных расстояниях частицы от поверхности, нагретой до различной температуры. В аддитивном нерелятивистском приближении исследованы диссипативные силы и теплообмен движущегося параболического зонда с плоской поверхностью. Получены общие выражения и выполнены численные расчеты фрикционного напряжения при скользящем трении плоских поверхностей с локальными и нелокальными диэлектрическими свойствами. Проведено сопоставление результатов
теоретического расчета с экспериментальными данными для диссипативных сил, характеризующих затухание адсорбатов в экспериментах с кварцевым микробалансом и в динамическом режиме СЗМ. Сформулированы условия проведения экспериментов по измерению флуктуационно -диссипативных сил.
. Научная н практическая значимость работы
Теоретические результаты, полученные в работе, представляют значительный интерес для практических приложений к весьма широкому кругу задач. К наиболее многообещающим сферам возможного применения относятся: сканирующая зондовая микроскопия, движение нейтральных атомно -молекулярных пучков в нанокапиллярах и микрощелях, рассеяние частиц на различных поверхностях, адсорбция и десорбция, диагностика поверхности, физика скользящего трения и нанотрибология.
Разработанная в диссертации теория позволяет с единых позиций . получать все известные результаты для электромагнитных и флуктуационно -электромагнитных сил взаимодействия малых и протяженных тел, а также служит теоретической базой для дальнейших обобщений, в частности, на поверхности с другой геометрией, слоистые структуры, и т. д.
Основные положения, выносимые на защиту
1 .Нерелятивистская теория флуктуационного электромагнитного взаимодействия движущейся сферической частицы с плоской поверхностью, позволяющая вычислять в рамках единого формализма все физические . величины, характеризующие взаимодействие, для любых нерелятивистских скоростей частицы при произвольных локальных диэлектрических свойствах поверхности и произвольных (в том числе не равных друг другу) температурах частицы и поверхности. Метод вычисления диссипативной и консервативной составляющих силы, действующих на движущуюся частицу с постоянным мультипольным моментом со стороны индуцированного
электрического поля поверхности при ее параллельном и перпендикулярном относительно поверхности движении. Обобщение теории на случай плоской поверхности с нелокальными диэлектрическими свойствами в рамках модели зеркального отражения, позволяющее рассматривать взаимодействие движущихся частиц с поверхностными модами при наличии пространственно-временной дисперсии.
2.В линейном приближении по скорости тангенциальная составляющая силы (так называемая сила трения), действующая на параллельно движущуюся сферическую частицу со стороны флуктуационного электромагнитного поля поверхности, имеет вид суммы знакопостоянной и знакопеременной частей. При равенстве температур частицы и поверхности знакопеременная часть обращается в нуль, и тангенциальная сила является тормозящей. При нулевой температуре частицы и поверхности сила трения равна нулю из-за взаимной компенсации вкладов спонтанных флуктуаций дипольного момента частицы и электрического поля поверхности. Для «холодной» частицы, движущейся параллельно «горячей» поверхности, знак тангенциальной силы определяется производной по частоте мнимой части поляризуемости частицы в области частот спектра поглощения поверхности. В противоположном случае «горячей» частицы и «холодной» поверхности знак тангенциальной силы определяется производной по частоте мнимой части диэлектрической функции поверхности в области частот спектра поглощения частицы. В общем случае произвольной скорости частицы и произвольных температур частицы и поверхности знак тангенциальной силы определяется относительным положением на оси частот спектров поглощения частицы и поверхности с учетом доплеровского сдвига частоты. При условии динамического и теплового резонанса между движущейся частицей и поверхностной волной возможно бездиссипативное взаимодействие, сопровождающееся нагревом «горячей» (по сравнению с поверхностью) и охлаждением «холодной» частицы, а также ее ускорением электрическим полем поверхностной волны.
3.Обобщение теории на случай цилиндрической поверхности и цилиндрического канала, позволяющее рассматривать нерелятивистское движение различных типов атомно -молекулярных частиц в микрокапиллярах и нанотрубках. Аналитические результаты для вычисления электродинамических флуктуационных сил и тепловых эффектов. •^Последовательная релятивистская теория ФЭВ движущейся сферической частицы с плоской поверхностью, позволяющая вычислять в рамках единого формализма тангенциальную и нормальную компоненту силы, и скорость нагрева при любых скоростях частицы (вообще говоря, сравнимых со скоростью света), произвольных расстояниях между частицей и поверхностью, характеризующейся локальными диэлектрическими и магнитными свойствами, заданными в общем виде.
5.Результаты расчета (в рамках аддитивного приближения) диссипативных сил и тепловых эффектов в системах нанозонд -поверхность и между плоскими поверхностями (толстыми пластинами) при их относительном движении. При различии температур пластин возможно ускорение движущейся пластины. Характер температурной зависимости сдвигового напряжения (F/S) существенно зависит от типа контактирующих материалов и характеризуется линейной или квадратичной зависимостью, если не учитывается температурная зависимость диэлектрических свойств. Более высокие значения сдвигового напряжения (в диапазоне нанометровых расстояний) характерны для контакта диэлектриков и (или) полупроводников. Для нормальных металлов принципиально необходим учет нелокальности диэлектрической функции поверхности. Установлено, что область расстояний (между проводящими частицей и поверхностью), в которой применимо нерелятивистское приближение, обратно пропорциональна проводимостям. Для нормальных металлов (crû 10'V ) учет запаздывания принципиально необходим при расстояниях z0O1hm. Относительный вклад электромагнитных волн с S-поляризацией в теплообмен не превышает соответствующего вклада волн с Р-поляризацией в
широком практически важном диапазоне расстояний. При равенстве температур частицы и поверхности тепловой поток направлен к частице и пропорционален релятивистскому фактору (V/с)2.
Научное направление
Положения, выносимые на защиту, и полученные результаты соответствуют сформулированным в диссертации целям, являются решением актуальных задач, связанных с особенностями флуктуационного электромагнитного взаимодействия движущихся малых частиц (и протяженных тел) с поверхностями твердых тел, имеют важное прикладное значение для сканирующей зондовой микроскопии, при рассеянии частиц на поверхностях, прохождении в микрощелях и нанокапиллярах, и открывают новое научное направление -«флуктуационная электродинамика движущихся тел».
Личный вклад автора
Диссертация является итогом самостоятельной работы автора, обобщающей полученные лично им результаты, а также в соавторстве с научным консультантом. В цитируемых автором работах лично ему принадлежит выбор направлений и методов решения задач, анализ и обобщение полученных результатов. Изложенные в диссертации выводы принадлежат автору.
. Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: Scanning Probe Microscopy 2000 -2004 (г.Нижний Новгород), SMMIB-2001 (г.Марбург, Германия, 2001), а также на научных семинарах им. С.Н.Задумкина КБГУ и кафедры микроэлектроники КБГУ в 1999-2004 гг.
Публикации
Основное содержание диссертации отражено в 27 опубликованных журнальных статьях, а также в 6 тезисах докладов, представленных на 5 международных конференциях.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, основных выводов, приложений А-И, списка литературы из 152 источников, и изложена на 222 страницах машинописного текста, включающих 8 рисунков и 2 таблицы.
15
ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ОПИСАНИЮ ДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
1.! Теория электромагнитных флуктуаций и флуктуационно-диссипационные соотношения
Хорошо известно, что причиной возникновения флуктуационного электромагнитного взаимодействия между нейтральными телами, как микро - , так и макроскопическими, является наличие на достаточно больших расстояниях пространственных корреляций между плотностями флуктуирующих зарядов и токов взаимодействующих подсистем [9-11]. Возникновение этих корреляций обусловлено появлением индуцированных плотностей зарядов и токов в одном теле вследствие спонтанных флуктуаций этих величин в другом теле. В свою очередь флуктуирующие плотности зарядов и токов каждой из взаимодействующих подсистем можно выразить через ее собственные спонтанно флуктуирующие мультипольные моменты и флуктуационное электромагнитное поле другой подсистемы, создающее в данной подсистеме индуцированные флуктуационные мультипольные моменты. Из чего следует, что нахождение каких-либо количественных характеристик флуктуационного электромагнитного взаимодействия между телами, в конечном счете, сводится к определению соответствующих корреляторов различных компонент векторов Е и В равновесного флуктуационного электромагнитного поля и флуктуационных мультипольных моментов этих тел. Флуктуационно-диссипационная теорема (ФДТ) и основанная на ней теория электромагнитных флуктуаций дают общий метод вычисления таких корреляторов [1,4, 7, 8].
г
ФДТ была доказана Калленом и Вельтоном в 1951 году [1, 4]. Она обобщила формулу Найквиста на произвольные диссипативные системы, описываемые любым количеством флуктуирующих дискретных величин, а также на квантовую область частот и температур hco > къТ [4, 7], что имело фундаментальное значение для создания теории электромагнитных флуктуаций.
Для векторной флуктуирующей величины, описываемой оператором в гейзенберговском представлении *,(/), ФДТ имеет вид [1,11]
(*,*.). = у^^К,(«)-«.<®>) (1.1)
связывая спектральную плотность симметризованной корреляционной функции (левая часть (1)) с антиэрмитовой частью тензора обобщенной восприимчивостиа1к(со). Дтя флуктуирующего дипольного момента d, сферически симметричной частицы (атом в основном состоянии и т. п.) тензор восприимчивости имеет вид а1к(со) = а(со)61к , где а (со) -
динамическая поляризуемость частицы. В этом случае ФДТ (1.1) принимает вид
=hcolh^jlm «(")*«* С1*2)
Флуктуационно-диссипационное соотношение (ФДС) вида (1.1) можно сформулировать также и для флуктуирующих мультипольных моментов высшего порядка Qlk, Llki и т. д., вводя соответствующие тензоры мультипольных поляризуемостей [11, 56].
Теория электромагнитных флуктуаций была развита С.М. Рытовым в 1953-м году [3], причем первоначально выражения для корреляторов равновесного флуктуационного электромагнитного поля были установлены на основе ряда физических соображений и формулы Найквиста, и лишь спустя некоторое время справедливость этих выражений была строго доказана на основе ФДТ [4, 7]. Тем самым ФДТ была обобщена на непрерывные диссипативные системы, каковой является равновесное
17
флуктуационное электромагнитное поле в среде. В своей первоначальной формулировке теории электромагнитных флуктуаций С.М. Рытов, используя ланжевеновский подход, рассматривал флуктуационное электромагнитное поле как поле, генерируемое случайными сторонними источниками, которые вводятся определенным образом в уравнения макроскопической электродинамики. В качестве таких ланжевеновских источников им были выбраны случайные электрические и магнитные токи с объемными плотностями \е, }т, с учетом которых уравнения Максвелла, описывающие флуктуационное электромагнитное поле, имеют вид
Основной результат теории равновесных электромагнитных флуктуаций, впервые полученный С.М. Рытовым, состоит в том, что корреляторы сторонних источников взятых в разных точках пространства г,г',
имеют следующий вид [4, 7]:
Для сред, не обладающих пространственной дисперсией, тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей имеют вид [4, 7] еА (й>, г,г') = Ел (О), г)6(г - г') ,
(0>,гУ) = (а>,г)£(г - г'), а общие выражения для корреляторов (1.5)-(1.7) упрощаются следующим образом
(1.3)
с с
(1.4)
с с
(1.5)
(1.6)
(1.7)
г
18
(I,(®>г)и (®.г')) = ~1а>^>’:Г)[^(®>г)-еЛ®>г’)]^(г-О
(1.8)
(А., (®. г) и (“>, г')} = - Ш@^’Т) [л* (®> г-г')_ Л<’ (®> г', г)] <У(г - г') {|„(®,г)Ь‘(®,г')) = 0
(1.10)
(19)
Из (1.8), (1.9) следует, что при отсутствии пространственной дисперсии среды источники флуктуационного электромагнитного поля, взятые в различных точках пространства, не коррелированы между собой или, иначе говоря, дельта-коррелированы [4, 7].
Решение неоднородной краевой задачи для системы электродинамических уравнений (1.4) позволяет линейным образом выразить векторы напряженностей электрического и магнитного полей через ланжевеновские источники , 1т, а затем, усредняя с помощью общих формул (1.8), (1.9), (1.10) соответствующие квадратичные выражения от компонент поля Е,Н, вычислить всевозможные корреляторы этих компонент. Именно таким образом Е.М. Лифшицем [5] была впервые решена задача о ван -дер -ваальсовом взаимодействии двух толстых пластин, разделенных плоской вакуумной щелью.
Теории электромагнитных флуктуаций можно придать несколько иную форму, при которой ее связь с общей ФДТ Каллена-Вельтона (1.1) становится более наглядной, если ввести в рассмотрение так называемую запаздывающую функцию Грина фотона в среде 0,*(<у,г,г'),
удовлетворяющую в произвольной неоднородной среде без пространственной дисперсии уравнению [8]
если в качестве флуктуирующих величин х, взять компоненты векторного потенциала — Д(г) в калибровке, в которой скалярный потенциал р(г) равен
где тог1к =е1як-^~, ешк- единичный антисимметричный тензор. При этом,
с
нулю, то запаздывающая функция Грина —“0|Л(в»,г,г') выступает в роли
Ьс
тензора обобщенной восприимчивости [8, 11]. В этом случае обобщение дискретной ФДТ Каллена-Вельтона (1.1) на непрерывную систему, каковой является равновесное флуктуационное электромагнитное поле в среде, приводит к ФДС вида [8, 11]
(Д(г)^(г'))<>=^соЛ^:[о„(а),г,г')-0,;(<в,г’,г)] (1.12)
Из (1.12) непосредственно вытекают выражения для спектральных плотностей флуктуаций электрического и магнитного полей [8, 11]
(£;(г)£,(г’>). =1соЛ^г4[0,»(«>,г,г')-0,;(а>.г»] (1.13)
н
(Д(г)5,(г'))„ = ^соЛ^гго1„гоС[0,„(е.,г,г’)-0„,‘(й),г',г)] (1.14)
(Е,(г)в,(0). =^со'Ь^7“го,‘'[°'”(<у'Г’Г')-0,,'(«,г',г)] (1.15)
го,"=е,р,&р * го1*-=е*'’-Д •
ФДС (1.13), (1.14), (1.15) позволяют, в принципе, вычислять средние значения любых физических величин, являющихся квадратичными функциями компонент векторов Е,Н равновесного флуктуационного электромагнитного поля, таких как максвелловский тензор натяжений, вектор Пойнтинга, и т. д.
1.2 Применение флуктуационно-диссипационных соотношений в статических задачах
Одним из первых приложений теории электромагнитных флуктуаций явилось решение задачи о ван -дер -ваальсовом взаимодействии двух толстых пластин с произвольными диэлектрическими проницаемостями, разделенных плоской вакуумной щелью, Е.М. Лифшицем в 1955 году [5, 8].
В классической работе [5] Е.М. Лифшиц вычислил среднее значение компоненты ст„ максвелловского тензора натяжений (ось х
перпендикулярна поверхностям пластин) равновесного флуктуационного электромагнитного поля на поверхности одной из пластин, определив, тем самым, силу притяжения между этими пластинами. Компоненты векторов Е,Н электромагнитного поля, входящие в тензор натяжений, были найдены из решения неоднородной краевой задачи электродинамических уравнений с ланжевеновскими источниками (1.4), после чего усреднение ахх было
осуществлено с помощью ФДС (1.8), (1.9), (1.10).
Обобщение результата Е.М. Лифшица на случай, когда щель между пластинами заполнена жидкостью, было осуществлено И.Е. Дзялошинским и Л.П. Питаевским [6] с использованием квантово-полевых методов теории многих тел. Таким образом, была создана теория флуктуационного электромагнитного взаимодействия неподвижных макроскопических тел, так называемая общая теория ван-дер-ваальсовых сил Лифшица-Дзялошинского -Питаевского .
В 1968 году Ван Кампен, Нийбоср и Шрам показали, что результат Е.М. Лифшица при нулевой температуре, в пренебрежении запаздыванием и при отсутствии диссипации можно получить, вычисляя энергию нулевых колебаний для спектра собственных волн данной системы, частоты которой зависят от расстояния между пластинами [12]. Интересно отметить, что для системы двух взаимодействующих дипольных осцилляторов, являющейся хорошей моделью ван -дер -ваальсова взаимодействия двух атомов в основном состоянии, вычисление энергии нулевых колебаний было проделано Ф.Лондоном еще в 1930 -м году [13].
После выхода в свет работы [12] вычисление энергии нулевых колебаний стало использоваться для определения энергии ван -дер -ваальсова взаимодействия макроскопических тел с различной геометрией, в том числе и для тонких цилиндрических нитей [14 - 17]. Дальнейшее развитие данного подхода к описанию флуктуационного взаимодействия протяженных тел,