Исследование влияния легирования и имитаторов продуктов деления на теплофизические свойства UO2 для обоснования работоспособности твэлов при глубоких выгораниях

2
Оглавление
Введение...........................................
1. Теплофизические свойства диоксида урана......................................8
1.1. Теплоемкость диоксида урана.................................................8
1.2. Теплопроводность диоксида урана............................................13
1.2.1. Фононная, фотонная и электронная составляющие теплопроводности.........13
1.2.2. Температурная зависимость теплопроводности.............................17
1.2.3. Влияние пористости.....................................................19
1.2.4. Влияние нестехиометрии.................................................21
1.2.5. Влияние легирования....................................................25
1.2.6. Влияние облучения......................................................31
1.3. Теплофизические свойства модельного ядерного топлива.......................32
1.3.1. Состав, структура и технология изготовления образцов МЯТ...............33
1.3.2. Зависимость теплопроводности от выгорания..............................36
1.3.3. Влияние нестехиометрии на теплопроводность модельного топлива..........40
1.3.4. Влияние газовой пористости и радиационных повреждений на теплопроводность модельного топлива ..........................................................43
2. Измерение теплофизических свойств топливных материалов......................46
2.1. Методы измерения теплофизических свойств топливных материалов..............46
2.2. Метод Паркера..............................................................48
2.2.1. Основные соотношения метода.......................................... 48
2.2.2. Ограничения метода Паркера и способы их устранения.....................51
2.3. Обзор установок реализующих метод Паркера..................................55
3. Разработка и создание установки “Квант” для исследования температурной зависимости теплофизических свойств топливных материалов................................................................... 58
3.1. Конструкция установки......................................................58
3.2. Система управления установкой..............................................61
3.3. Программное обеспечение установки..........................................62
4. Применение методов регрессионного анализа для исключения влияния утечек тепла на результаты измерения теплофизических свойств топливных материалов...........................................................64
5. Исследование теплофизических свойств диоксида урана и ядерного топлива на его основе..........................................................68
5.1. Теплофизические свойства диоксида урана....................................68
5.1.1. Влияние температуры....................................................68
5.1.2. Влияние нестехиометрии.................................................73
5.1.3. Зависимость теплопроводности от пористости........................... 80
5.2. Влияние легирующих добавок на теплофизические свойства ІЮг.................83
5.2.1. Топливо с пластифицирующими добавками..................................84
5.2.2. Топливо с выгорающими поглотителями нейтронов........................ 93
5.3. Рекомендуемые соотношения................................................ 99
6. Модельное ядерное топливо..................................................101
6.1. Состав, структура, содержание имитаторов продуктов деления в зависимости от выгорания...................................................................101
6.2. Технология изготовления...................................................108
6.3. Аттестация образцов МЯТ...................................................109
6.4. Температурная зависимость теплопроводности при глубоких выгораниях (60, 80, 120 МВтсут/кг и)................................................................116
з
6.5. Влияние различных видов имитаторов продуктов деления (растворимые, нерастворимые, металлические) на теплопроводность МОХ топлива с имитацией выгорания 80 МВтсуг/кгТМ......................................................126
6.6. Рекомендуемые соотношения .................................................130
6.7. Модельное ядерное топливо, облученное тяжелыми ионами. Имитация пт-зоны....131
6.7.1. Характеристики образцов и условия облучения............................132
6.7.2. Исследования структуры и свойств, образцов МЯТ после ионного облучения.... 134
6.7.3. Влияние ионного облучения на теплопроводность модельного ядерного топлива ..........................................................................138
7. Оценка температурных режимов работы твэлов при сверхглубоких
выгораниях.....................................................146
7.1. Температурные поля в твэлах при выгорании 0, 60, 80 и 120 МВт сут/кг и.148
Выводы....................................................... 151
Список литературы..............................................153
ПРИЛОЖЕНИЯ.....................................................159
4
Введение
Актуальность проблемы
Основным видом топлива для реакторов типа ВВЭР является диоксид урана, поэтому широкое использование 1Ю2 в реакторах требует как можно более точного знания его свойств.
Температура, а, следовательно, и многие свойства топлива в твэле определяются коэффициентом теплопроводности Я, величина которого зависит от температуры, пористости, состава, глубины выгорания и степени нестехиометрии UO2+X. В связи с этим исследованию теплофизических свойств UO2 уделяется большое внимание.
Одним из основных показателей энергетических ядерных реакторов является себестоимость 1 кВт-ч. Затраты на изготовление и эксплуатацию оксидного ядерного топлива достигают минимума при глубине выгорания 40 МВт-сут/кг U, но если учесть затраты на обращение с отработавшим ядерным топливом и радиоактивными отходами, то минимум топливной составляющей для водо-водяных реакторов АЭС смещается в сторону сверхглубоких выгораний, достигающих 80-100 МВт сут/кг U.
Для достижения таких сверхглубоких выгораний важным является добавление в топливо интегрированных с ним выгорающих поглотителей нейтронов, таких как Gd203, что улучшает безопасность ВВЭР, увеличивает загрузку в реактор топлива и повышает глубину его выгорания. При этом одним из наиболее перспективных путей повышения эксплуатационных характеристик водо-водяных энергетических реакторов является повышение ресурсных характеристик твэлов путем снижения повреждаемости их оболочек, которая проявляется и накапливается при возникновении в них растягивающих напряжений. Для решения этой проблемы в настоящее время разработано топливо на основе диоксида урана с легирующими добавками из оксидов алюминия, железа, кремния и ниобия. Однако, несмотря на важную роль легирующих добавок в улучшении характеристик топливных таблеток, теплофизические свойства легированного топлива изучены недостаточно.
При облучении в реакторе теплопроводность топлива снижается из-за накопления продуктов деления, изменения его стехиометрического состава и пористости в процессе выгорания. Кроме того, в результате исследований облученных топливных таблеток U02 до выгораний выше 40 МВт.сут/кг U было обнаружено существование на периферии таблеток rim-зоны (radial irradiation microstructure), которая отличается очень мелким зерном, повышенной пористостью и, вероятно, значительно меньшей теплопроводностью по сравнению с внутренней областью таблетки. Исследование свойств облученного топлива является достаточно сложной задачей, поэтому данные по влиянию различных факторов на теплофизические свойства выгоревшего топлива немногочисленны.
#
5
В последние время для оценки свойств ядерного топлива при глубоких выгораниях во многих странах (Германия, Канада, Япония, Россия и др.) используют модельное ядерное топливо (МЯТ). Использование МЯТ позволяет получить за короткое время данные по многим свойствам облученного до глубоких выгораний ядерного топлива с использованием апробированных стандартных методик и оборудования. Это дает возможность повысить точность измерений, сократить сроки получения результатов, а также снизить затраты на проведение исследований.
Важным достоинством применения МЯТ является также возможность исследовать влияние различных факторов (глубины выгорания, степени отклонения от стехиометрии, отдельных групп ПД, выгорающего поглотителя нейтронов, выделений вторых фаз и т.п.) на изучаемые свойства облученного топлива.
В этой связи изучение теплофизических свойств легированного и модельного ядерного топлива является актуальным направлением исследований.
Цель работы
Целью данной работы являлось создание комплекса автоматизированных измерительных средств для определения теплофизических свойств реакторных материалов, в том числе облученных, и получение данных по влиянию температуры, легирования, нестехиометрии и продуктов деления на теплофизические свойства оксидного ядерного топлива для прогнозирования его поведения при глубоких выгораниях.
Научная новизна и практическая значимость работы
Разработана и создана установка “Квант” для определения теплофизических свойств оксидного ядерного топлива методом лазерной вспышки, в которой обеспечивается контроль степени нестехиометрии образца в процессе проведения эксперимента.
Разработана и создана модификация установки “Квант” для работы в условиях защитного перчаточного бокса, что позволяет работать с высокоактивными и плутонийсодержащими материалами.
Установка “Квант”, а также ее модификации “Квант-Б” для работы с плутоний содержащими топливными материалами и “Квант-U” для работы с облученным топливными материалами используются в МИФИ (ГУ), ФГУП ВНИИНМ им. академика A.A. Бочвара и РНЦ “Курчатовский институт” соответственно, на что имеются акты о внедрении..
Предложен метод учета влияния тепловых потерь с образца на результаты определения теплофизических свойств материалов методом лазерной вспышки.
Разработана система управления установкой и программное обеспечение, позволяющие проводить измерения в автоматическом режиме.
6
Исследовано влияние температуры, нестехиометрии, пористости, пластифицирующих добавок и выгорающего поглотителя нейтронов на теплопроводность диоксида урана. На основании полученных данных предложены аналитические выражения, описывающие эти зависимости. Полученные результаты внедрены и используются в базе данных для расчета работоспособности твэлов ВВЭР на предприятии ФГУП ВНИИНМ им. академика A.A. Бочвара.
Проведены исследования влияния различных групп имитаторов продуктов деления на теплопроводность модельного ядерного топлива с имитацией выгорания 60 МВтсут/кг U, которые показали, что наибольшее снижение теплопроводности вызывают ИПД, растворимые в матрице топлива.
Впервые получены температурные зависимости теплопроводности образцов МЯТ содержащих пластифицирующие добавки, выгорающий поглотитель нейтронов и имитирующих выгорания 80 и 120 МВт сут/кг U.
Предложено аналитическое выражение, описывающие влияние температуры, стехиометрии, пористости, а так же концентрации ниобия, гадолиния и имитаторов продуктов деления на теплопроводность МЯТ.
Впервые проведены исследования влияния различных групп имитаторов продуктов деления на теплопроводность плутонийсодержащих образцов МЯТ с имитацией выгорания 80 МВт сут/кг U.
Проведено облучение образцов МЯТ ионами криптона и показана возможность использования ионного облучения для моделирования процесса рекристаллизации, происходящего при образовании rim-зоны.
Исследовано влияние ионного облучения на теплопроводность образцов МЯТ и предложено выражение для оценки влияния рекристаллизованной зоны и радиационных дефектов на теплопроводность модельного ядерного топлива.
Проведены оценки температурных полей в твэлах с глубоким и сверхглубоким выгоранием топлива, которые показали, что при таких выгораниях необходимо снижать линейную мощность твэла.
Защищаемые положения
Конструкция установки для исследования теплофизических свойств оксидного ядерного топлива, как вне, так и внутри перчаточного бокса с регулированием кислородного потенциала и состава образца, с погрешностью измерения теплопроводности, не превышающей ± 10 %
Система управления установкой и программное обеспечение, позволяющее проводить измерения в автоматическом режиме.
Методика учета влияния тепловых потерь с образца на результаты определения теплофизических свойств материалов методом лазерной вспышки, с целью уменьшения погрешности измерений при высоких температурах.
Результаты измерений теплофизических характеристик
модифицированного, легированного и модельного оксидного ядерного топлива.
Аналитические выражения, описывающие влияние температуры, стехиометрии, пористости, концентрации ниобия, гадолиния, имитаторов
7
продуктов деления, рекристаллизованной зоны и радиационных дефектов на теплопроводность диоксида урана.
Апробация работы
Результаты работы были представлены на следующих конференциях: научная сессия МИФИ-2000 (Москва, 2000 г.), МИФИ-2001 (Москва, 2001 г.), МИФИ-2002 (Москва, 2002 г.), МИФИ-2003 (Москва, 2003 г.), МИФИ-2004 (Москва, 2004 г.); международная научно-практическая конференция
“Автоматизированный печной агрегат - основа энергосберегающих технологий металлургии XXI века” (Москва, 2000 г.); конгресс “Энергетика - 3000” (г. Обнинск, 2002); 7-ая Российская конференция по реакторному материаловедению (г. Димитровград, 2003 г.); Российская научная
конференция “Материалы ядерной техники. Радиационная повреждаемость и свойства - теория, моделирование, эксперимент” (МАЯТ-ТЕМЭК) (Агой, 2003 г.).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 14 работ (из них 3 в журналах, 11 в трудах и тезисах конференций) и выпущено 6 научно-технических отчетов.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, 7 глав и выводов. Диссертационная работа изложена на 158 страницах и содержит 96 рисунков, 36 таблиц, 121 библиографическое название.
8
1. Теплофизические свойства диоксида урана
Главные преимущества 1Ю2 как ядерного топлива - высокая температура плавления, химическая стабильность, совместимость с материалами оболочки, радиационная стойкость и термодинамическая устойчивость. Широкое использование и<Э2 в реакторах требует как можно более точного знания его свойств.
Температура в центре твэла определяется коэффициентом теплопроводности Я, величина которого зависит от температуры, пористости, глубины выгорания и степени нестехиометрии 1Ю2+*. Важность знания теплопроводности для расчета значений температуры топлива лежит в основе многих экспериментальных исследований. Характер зависимости Я образцов иОг теоретической плотности хорошо известен - его величина снижается с увеличением температуры с 7 Вт-м^-К'1 при 500 К до 2,5 Вт м‘,-К'1 при 2000 К, а затем повышается до 3,5 Вт-м^-К’1 при температуре плавления [1]. Сложный характер зависимости А(Т, х, р, Ь), где Г - температура, х - отклонение от стехиометрии, р - пористость, Ь - выгорание, позволяет получить ее в виде полиномов третьей или более высокой степени лишь в ограниченной области температур [1].
При облучении в реакторе теплопроводность топлива снижается из-за накопления продуктов деления, изменения его стехиометрического состава и пористости в процессе выгорания.
1.1. Теплоемкость диоксида урана
Теплоемкость диоксида урана достаточно хорошо изучена. Выражение, описывающее зависимость теплоемкости 1Ю2 от температуры включает в себя три слагаемых, которые имеют под собой физическое обоснование. Первое учитывает вклад фононов, второе - вклад теплового расширения, а третье -вклад от образования дефектов. По данным МАТР1ХО [2] эта зависимость может быть записана следующим образом:
где С, = 15,496 моль/кг; С2 = 19,145 Джмоль'-К’1; С3 = 7,8473-Ю'4 Дж-моль*1-К'2; С* = 5,6437-106 Дж-моль*1; 0 - температура Эйнштейна, равная 535,285 К; ED - энергия образования дефектов Френкеля, равная 1,577-105 Дж-моль’1; R - газовая постоянная, равная 8,314 Дж-моль^-КГ1.
В работе [3] Fink предложил похожую температурную зависимость теплоемкости диоксида урана от температуры, также состоящую из трех слагаемых. При этом последнее слагаемое учитывает электронный вклад в теплоемкость, а само выражение может быть записано в следующем виде:
9
где С/ = 302,27 Дж-кг'1-К'1; С2 = 8,463-10‘3 Дж-кг'-Ю2; С3 = 8,74МО7 Дж-кг'1; <9-548,68К\Еа- 18531,7 К.
В той же работе [3] предложена температурная зависимость теплоемкости U02, которая может быть записана в виде полинома:
Ср(Т)=с, + 2-с21 + З с3 Г + 4 С4-13 + 5-csf-ccf2, (1.2 б)
где с, = 193,23В Дж-кг'-Г1; с2 = 162,8647 Дж-кг '-К 2; с3 = -104,0014 Дж-кг'-К-3; с4 = 29,2056 Дж-кг '-К-4; с5 = -1,9507 Дж-кг-|-1С5; с6 = 2,6441 Дж-К-кг1; t=T/1000; Т-температура, К.
Представленные выражения (1.1), (1.2 а) (1.2 б) справедливы в интервале температуры от 300 до 3120 К.
Зависимости теплоемкости диоксида урана от температуры, рассчитанные по выражениям (1.1), (1.2 а), (1.2 б) изображены на рис. 1.1, где также представлены экспериментальные данные, полученные другими исследователями [4, 5].
т. к
Рис. 1.1. Температурная зависимость теплоемкости иСЬ:
1 - расчет по выражению (1.1); 2 - расчет по выражению (1.2 а); 3 расчет по выражению (1.2 6); 4, 5 экспериментальные <кшные работ /4/ и /5/ аютветственно
Видно, что при температурах ниже 2000 К значения теплоемкости, рассчитанные по представленным выражениям, хорошо совпадают между собой, а также с экспериментальными данными, полученными в [4], однако значения, рассчитанные по (1.1), лежат чуть выше, чем значения, полученные по (1.2 а) и (1.2 б). При температурах выше 2000 К наблюдается небольшое расхождение данных, величина которого не превышает ±5 %. При этом выражения, (1.2 а) и (1.2 б) [3], лучше описывают высокотемпературные данные, полученные в работе [5].
Влияние нестехиометрии на теплоемкость иОг+х изучено не так широко. В качестве аналитической зависимости, учитывающей влияние
10
(1.3)
ПТ2 Л П-Т)
нестехиометрии, в МАТР1Ю [2] предложена зависимость типа (1.1), в которой последнее слагаемое умножено на величину отношения кислород/уран О/и:
с (п-с- т.еШ'
С'(Г)-С' '2 где С/ = 296,7 Дж-кг'1‘-К1; С2 = 2,43 102 Дж-кг1*'2; С3 = 8,745-107 Дж-кг'1; в -
535,3 К; Ер - 157,7-103 Дж/моль; 0/и=2+х, х - степень отклонения от стехиометрии.
В 1рафической форме температурные зависимости теплоемкости иОг+х, рассчитанные по выражению (1.3) для значений х =0; 0,1 и 0,2, представлены на рис. 1.2.
т. к
Рис. 1.2. Температурные зависимости теплоемкости для 1Ю2+* с разными отклонениями от стехиометрии (л=0/и-2)
Видно, что при температуре < 2000 К отклонение от стехиомегрии практически не влияет на теплоемкость застсхиомстрического диоксида урана, а при более высокой температуре теплоемкость иСЬ+х повышается с увеличением значения х. Однако необходимо отметить, что при температуре 3120 К и отклонении от стехиометрии 0,2 это повышение не превышает 5 %.
На рис. 1.3 приведены значения теплоемкости, рассчитанные по выражению (1.3), а также наиболее современные экспериментальные данные, полученные в работе [6] для интервала температуры 373 -5- 1673 К и значений* = 0, 0,035 и 0,084.
11
350
340
330
320
310
300
200
260
250
240
230
220
,
I 4 А
'4 4 ♦
• 4 4 ♦ • и
♦ к ■
• ■
■ ip
1 1 " Данные из работы [б • х*0 . хзО.035 л х *0.094
1
/
г Расчет по (1.3)
/ х»0 - X-0.035 • • Х=0.084
/ . _
- I
_ _ ■ ■ — _L
200 300 400 500 600 700 800 ООО 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700
т. К
Рис. 1.3. Значения теплоемкости UCh+x, полученные в работе [6] и рассчитанные по выражению (1.3)
Из представленного рисунка видно, что для данного температурного интервала выражение (1.3) дает близкие значения теплоемкости для рассмотренных значений х, в то время как экспериментальные данные [6] лежат систематически выше, и с ростом отклонения от стехиометрии значения теплоемкости 1Ю2+* слегка увеличиваются. Кроме того, на экспериментальных зависимостях теплоемкости 1Ю2,оз5 и и02,оя4, в интервале температуры 673 -*■ 873 К наблюдаются пики, которые по мнению авторов |6], связаны с растворением фазы 11409 в 1Ю2+*. Однако нельзя не отметить тот факт, что для однофазного 1Ю2+Х расхождение между расчетными и экспериментальными данными не превышает 5 %, что сопоставимо с погрешностью измерений.
Так как значения теплоемкости, рассчитанные по выражению (1.3), заметно повышаются с увеличением отклонения от стехиометрии только при температуре > 2000 К, было проведено сравнение полученных значений с высокотемпературными данными, представленными в [7]. Результаты, рассчитанные по (1.3) и приведенные в [7] для отклонений от стехиометрии 0; 0,03 и 0,1 показаны на рис. 1.4. Видно, что данные работы [7] имеют более сильную зависимость от нестехиометрии, при этом при температуре 1600 К они удовлетворительно совпадают со значениями, рассчитанными но (1.3) в пределах ±10 %. При повышении температуры расхождение возрастает (^ 20 % при 3000 К), но, учитывая результаты работы [5], высокотемпературные значения теплоемкости, представленные в [7], кажутся сильно заниженными.
Приведенные результаты показывают, что зависимости теплоемкости застехиометрического диоксида урана от температуры и нестехиометрии требуют дальнейшего уточнения.
12
т. к
Рис. 1.4. Сравнение высокотемпературных значений теплоемкости ІЮ2+* рассчитанных по выражению (1.3) и представленных в [7]
Теплоемкость легированного диоксида урана по данным различных исследователей |2, 4, 6] можно рассчитать но закону аддитивности (закону Коппа - Ньюманна), который на примере композиции (ІД.^РиДСЬ может быть записан в следующем виде:
Ср(Ту (иі.„Ри,)02) = (\-у)С*Т, иОг)+уСг(Т9 Ри02), (1.4)
где Ср(Т, и02) - теплоемкость 1Ю2 при температуре Т’ а СДГ, Ри02) -теплоемкость Ри02 при этой же температуре.
Данные по влиянию выгорания на теплоемкость диоксида урана в литературе крайне ограничены. В единственной работе [6] сделана попытка оценить влияние выгорания на теплоемкость диоксида урана по данным, полученным на модельном ядерном топливе (МЯТ). Это топливо содержит твердые имитаторы продуктов деления (ИІІД), концентрация которых соответствует заданному уровню выгорания, но не содержит газообразные и легколетучие ИПД. Было показано, что с увеличением концентрации вводимых И1ІД (что эквивалентно увеличению выгорания) теплоемкость диоксида урана слегка повышается. Авторы [6] отмечают, что измеренные ими значения теплоемкости МЯТ хорошо совпадают с результатами, рассчитанными по закону аддитивности. В этой работе гак же было исследовано влияние нестехиометрии на теплопроводность МЯТ. На основании полученных данных было предложено выражение для расчета теплоемкости 1Ю2 с учетом влияния нестехиометрии и выгорания. Это выражение основано на уравнении (1.3), в котором для учета влияния выгорания эмпирический коэффициент С2 заменен на С2:
с;=С2<1+0,011А), (1.5)
где С2 - эмпирический коэффициент, равный 2,43* 10'2 Дж-кг '-К'2 [2], а Ь -величина выгорания топлива в ат. %. Результаты, рассчитанные но выражению
(1.3) с учетом (1.5) для МЯТ стехиометрического состава с имитацией выгорания 0, 3 и 8 ат. %, представлены на рис. 1.5, где также приведены экспериментальные данные, полученные в [6].
13
т.к
Рис. 1.5. Температурные зависимости теплоемкости 1102 с имитацией выгорания О, 3 и 8 ат.%
Видно, что экспериментальные значения лежат систематически выше расчетных, но при этом расхождение не превышает 5%, что сопоставимо с погрешностью измерений теплоемкости в работе [6].
Приведенные результаты показывают, что зависимость теплоемкости стехиометрического диоксида урана от температуры достаточно хорошо изучена и может быть описана выражением (1.2 а) с погрешностью, не превышающей 5%. Выражение (1.3), учитывающее влияние нестехиометрии (х) на теплоемкость и02+х, неудовлетворительно согласуется с экспериментальными данными и требует дальнейшего уточнения. Влияние выгорания на теплоемкость МЯТ удовлетворительно описывается выражением
(1.3) с учетом (1.5), однако необходимо уточнить влияние газообразных и легколетучих продуктов деления, образующихся при выгорании топлива.
1.2. Теплопроводность диоксида урана
1.2.1. Фононная, фотонная и электронная составляющие теплопроводности
Знание механизмов переноса тепла существенно для понимания роли различных составляющих теплопроводности, особенно при высоких температурах. Теплопроводность кристаллического образца может рассматриваться, по крайней мере, как сумма трех составляющих: (1) фононной (решеточной); (2) фотонной (радиационной) и (3) электронной 11 ]:
Я = Лф + Лр + Ас. (Тб)
При температурах 300-1600 К теплоперенос в диэлектриках осуществляется в основном за счет фононов. При более высоких температурах важнее становятся другие механизмы.
14
Теория теплопроводности диэлектрических кристаллов была предложена Дебаем и основана на модели распространения упругих волн в непрерывной среде. Применяя эту теорию к прерывистой среде, Пайерлс ввел квант энергии упругой волны, который назвал фононом по аналогии с фотоном - квантом энергии электромагнитной волны. Исходя из фононной теории теплопроводности:
Хф~Хок + Хопт, 0*7)
где Хок - вклад акустических фононов, а Хопт - вклад оптических фононов. При этом акустическая составляющая может быть записана следующим образом [8]:
1~=\су»1, (1.8)
где Су - теплоемкость единицы объема, V- скорость волны, / - средняя длина свободного пробега между столкновениями.
Выражение (1.8) пригодно только для совершенного кристалла. В твердых телах имеется рассеяние волн на дефектах структуры и примесях, которые можно выразить через разные длины свободного пробега (АД).
Значение Су, которое при высоких температурах ограничено величиной Ък приходящейся на объем молекулы (здесь к = 1,3807 ДжК'1 - константа
Больцмана) может быть получено из фононного вклада в молярную
теплоемкость и констант теплового расширения 1Ю2 [8]. Величина и может быть записана в виде (о/+2о,)/3 , где У/, V, - продольные и поперечные скорости волн, которые могут быть вычислены из констант упругости.
Оптическая составляющая может быть записана в следующем виде [9]:
4-(1.9)
где 5 - средний объем, занимаемый одним атомом. Суммирование идет по шести оптическим осям с частотами соы. Строго говоря, должно быть умножено на коэффициент х*ех' 1(е*‘ -\)7, где хг=(Н./кТ) соы, а И - постоянная Планка. Однако это уточнение незначительно, поскольку величина этого коэффициента находится в пределах 0,99 - 1,00 [8]. Значения соы полученые Доллингом и др. [10] для 1Ю2, дают Лопт= (0,41+0,47) Вт-м'-К'1. Если даже предположить Лопт= 1 Вт-м^-К'1, то средняя длина свободного пробега фононов в выражении (1.8) получается 0,7 нм, что больше межионного расстояния, величина которого составляет около 0,4 нм [8], т.е. длина свободного пробега фононов всегда больше межионного расстояния. Это позволяет сделать предположение, что выражение (1.7) может описывать вклад фононной составляющей вплоть до температуры плавления 1Ю2 [8].
Исходя из теоретической модели фононной теплопроводности, разработанной Клеменсом [11], термическое сопротивление К(Т)=1/Хф за счет фононной составляющей теплопроводности можно представить следующим выражением:
Л(Г) = у- = ^ + В-Г, (1.10)