2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................6
1. ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ В БОЛЬШИХ СИСТЕМАХ И ДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ............................................12
1.0. Введение.....................................................12
1.1. Дробные производные Римана-Лиувилля..........................13
1.2. Фрактальные множества и дробные производные Римана-Лиувилля.... 15
1.3. Обобщенные дробные производные и интегралы для функциональных фрактальных размерностей.......................................16
1.4. Обобщенные дробные производные для случая малых отличий функциональных фрактальных размерностей от целочисленных (обобщенные Дробные Производные ДЛЯ ^(г(Г),/) “» У ).............. 18
1.5. Связь с ковариантными производными...........................21
1.6. Заключение...................................................22
2.ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ И БОЛЬШИХ СИСТЕМАХ...........................................................23
2.0. Введение.....................................................23
2.0.1.Диффузия к фрактальным поверхностям для случая разных ФР электролита и электрода...................................24
2.0.2. Заключение...............................................28
2.1. Элемент постоянной фазы (ЭПФ). Эксперимент. Температурная зависимость ЭПФ................................................28
2.1.0. Введение.................................................28
2.1.1. Экспериментальные данные по ЭПФ и температурной зависимости ЭПФ.......................................................29
2.2. Эффективные адмиттанс, емкость и сопротивление поверхности твердого электролита электрод/образец и их скейлинговые свойства. Фрактальные теории ЭПФ.........................................29
2.2.0. Введение.................................................29
2.2.1. Модель эффективных емкостей и сопротивлений..............31
3
2.2.2. Фрактальные теории ЭПФ........................................35
2.2.3 Выводы.........................................................36
2.3. Фрактальная теория температурной зависимости ЭПФ..................37
2.3.0.Введени е......................................................37
2.3.1 Фрактальная модель для описания электрических свойств поверхности твердого электролита................................40
2.3.2. Статистический метод вычисления полного адмиттанса образца....43
2.3.3. Выбор пределов интегрирования и зависимость параметра распределения |3 от характеристик образца.......................47
2.3.4. Модель а, = d,. Зависимость элемента постоянной фазы от температуры в модели а, = d,....................................49
2.4. Температурная зависимость ЭПФ для разных фрактальных моделей поверхности контакта электролит/образец..............................52
2.4.0. Введение......................................................52
2.4.1 Фрактальные теории элемента постоянной фазы работ [47-55] как частный случай результатов работы [56]..........................52
2.4.2. Сравнение с экспериментом.....................................55
2.5. Температурные зависимости ЭПФ для разных моделей [47-55] поверхности контакта образец/электролит..............................60
2.5.1. Зависимость ЭПФ от характеристического параметра р в различных фрактальных моделях.............................................60
2.5.1.1. Фрактальная теория ЭПФ Никоши-Пайкоши...................60
2.5.1.2. Фрактальная модель ЭПФ Лиу..............................62
2.5.1.3. Фрактальная модель ЭПФ Jle Мео и Крепи..................62
2.5.1.4. Фрактальная модель ЭПФ Халсея, Болла и Бланта...........64
2.5.2. Сравнение зависимостей ЭПФ от Р в разных фрактальных теориях64
2.5.3.Температурные зависимости ЭПФ в различных фрактальных теориях68
2.5.4. ВЫВОДЫ........................................................68
2.6. Модели диффузии в нелинейных средах...............................69
4
2.6.0. Введение.....................................................69
2.6.1. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии..70
2.6.2. Нелинейное уравнение диффузии в фрактальной среде............71
2.6.3. Автоколебательные процессы...................................72
2.6.4. Заключение...................................................74
2.7. Модели диффузии в фрактальных средах. Кинетическое уравнение Климонтовича в фрактальной среде...................................74
2.7.0. Введение.......................................................74
2.7.1. Начальные условия и точное решение уравнения (2.7.1).........75
2.7.2. Асимптотическая оценка решения при больших временах..........76
2.7.3. Выводы.......................................................77
2.8. Броуновское движение в системах с дробной размерностью...........78
2.8.0. Введение.....................................................78
2.8.1 Броуновское движение в фрактальных средах и уравнение
Смолуховского....................................................78
2.8.2. Управляющее уравнение........................................79
2.8.3. Уравнение Фоккера-Планка.....................................81
2.8.4. Выводы.......................................................84
2.9. Броуновское движение в системах с памятью........................85
2.9.0. Введение.....................................................85
2.9.1. Броуновское движение с учетом памяти.........................86
2.9.2. Управляющее уравнение........................................87
2.9.3. Уравнение Фоккера-Планка.....................................88
2.9.4. Выводы.......................................................91
2.10. Заключение......................................................91
3. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ КАК ПАРАМЕТР
ПОРЯДКА...............................................................94
3.0. Введение.........................................................94
3.1 .Фрактальная размерность как параметр порядка.....................95
3.2. .Принцип минимума фрактальной размерности. Уравнения для
5
фрактальной размерности.........................................96
3.3. Выводы.......................................................101
4. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ СИСТЕМ С ФРАКТАЛЬНЫМИ СТРУКТУРАМИ..........................................103
4.0. Введение....................................................103
4.1. Появление фрактальной размерности в больших системах........106
4.2. Фрактальная размерность и дробные производные...............109
4.3. Кинетические уравнения в системах с фрактальными структурами.... 110
4.4. Кинетические уравнения плазмы с фрактальными структурами 111
4.5. Результаты и выводы.........................................114
5. ОПИСАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ МЕТОДАМИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ.............................116
5.0. Введение....................................................116
5.1. Пространство экономических функций и пространство экономических переменных....................................................116
5.2. Формулировка реакционно-диффузионных уравнений в экономическом пространстве с топологическими размерностями..................118
5.3. Формулировка уравнений реакционно-диффузионного типа в фрактальных экономических пространствах.......................124
5.3.0. Введение................................................124
5.3.1. Уравнения реакционно-диффузионного типа в дробных производных..............................................124
5.3.2. Уравнения типа Фоккера-Планка для описания экономических систем...................................................128
5.3.3. Некоторые заключения....................................129
5.4. О зависимости валютного курса от времени и величин национального дивиденда, инвестиций, разности спроса и предложений..........129
5.5. Выводы.......................................................136
ВЫВОДЫ.............................................................138
ЛИТЕРАТУРА........................................................140
6
ВВЕДЕНИЕ
1. Актуальность темы исследования
В последние годы теоретическим и экспериментальным исследованиям линейных и фрактальных характеристик больших систем (физика твердого тела, физика магнитных материалов, плазма, биологические объекты, твердые электролиты, диффузия в нелинейных и фрактальных средах, экономика и т.д.) посвящено большое число работ. Это обусловлено существенным (часто определяющим) влиянием нелинейных возбуждений, типа солитонов, и фрактальной размерности системы (зависящей от внешних параметров) на поведение многих физических характеристик системы. В связи с этим исследование различных моделей описания физических свойств больших систем для выяснения вклада в их поведение, при различных условиях, нелинейных и фрактальных структур является важной и актуальной задачей современной физики твердого тела и молекулярной физики. Диссертационная работа посвящена исследованию нескольких моделей описания влияния фрактальных характеристик поверхности контакта твердый электролит/электрод на процессы диффузии, недебаевский импеданс, исследованию нелинейной диффузии в фрактальных средах, влиянию фрактальных структур на кинетику больших систем, описанию поведения экономических структур на основе методов и уравнений статистической физики открытых структур и, в связи с этим, является актуальной.
2. Цель и задачи работы.
Диссертационная работа посвящена теоретическому описанию некоторых физических явлений, происходящих на поверхности контакта твердый электролит/электрод (в частности, скейлинговых процессов, некоторых видов диффузии в фрактальной среде, описанию температурной
7
зависимости ЭПФ в ряде фрактальных теорий), описанию влияния фрактальных структур на поведение больших систем, исследованию автоволно-вых решений уравнения диффузии с нелинейным коэффициентом диффузии в фрактальной среде, описанию методами статистической физики открытых систем ряда проблем математической экономики.
Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие основные задачи:
1. На основе разработанных (при участии Л.Я.Кобелева, В.Л.Кобелева и
О.Л.Кобелевой) феноменологических моделей недебаевского импеданса в твердых электролитах, модельного описания поверхностного слоя контакта электролит/образец в рамках представлений фрактальной геометрии о температурной зависимости элемента постоянной фазы проверить применимость разработанных моделей для фрактальных теорий элемента постоянной фазы в теориях ЭПФ Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсея, Болла и Бланта, не содержащих температурной зависимости ЭПФ;
2. Построить модель диффузии ионов к двум поверхностям с разной ФР;
3. Исследовать существование решений автоволнового типа для диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;
4. Найти точное решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде с постоянным коэффициентом диффузии;
5. Разработать модель описания фрактальной размерности поверхности твердого тела как параметра порядка;
6. Сформулировать метод учета влияния фрактальных структур на поведение больших систем, допускающих описание их динамики с помощью кинетических уравнений;
7. Рассмотреть в качестве примера учет влияния фрактальных структур на поведение электронно-ионной плазмы в рамках уравнений Власова;
8
8. Рассмотреть в качестве примера учет влияния фрактальных структур в
уравнениях математической экономики.
Работа выполнена по темам исследований, проводимых на кафедре физики низких температур Уральского государственного университета в Проблемной лаборатории "Физика экстремальных воздействий на вещество", совместной учебно-научной лаборатории ИВТЭХ УрО РАН и Уральского университета, в рамках федеральной целевой программы "Интеграция" и исследований, проводимых по теме "Синтез многокомпонентных кристаллов и пленок, теоретическое и экспериментальное исследование твердых тел с целью создания материалов с новыми физическими свойствами", при поддержке РФФИ (грант № 97-02-16212 "Разработка физических принципов и экспериментальных методов получения твердых электролитов для работы при криогенных температурах", грант № 00-02-16285 "Теоретические и экспериментальные исследования сложных полупроводниковых халькогенидов для синтеза и конструирования на их основе низкотемпературных твердых электролитов, сегнетоэлектриков и составов с большим магнетосоиротивлением, пригодных для научных и прикладных целей"), при поддержке НОЦ "Перспективные материалы" и гранта СКОБ 2000г.
3. Научная новизна
1 .Впервые проведено применение фрактальной теории температурной зависимости ЭПФ для моделей ЭПФ разработанных Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсеем, Боллом и Блантом;
2.Найдены формулы для диффузии к двум фрактальным поверхностям с различной ФР;
3.Найдено автоволновое решение для диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;
9
4. Впервые найдено решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде;
5. Разработана, на основе идеи работы Гинзбурга-Ландау, модель описания фрактальной размерности поверхности твердого тела как параметра порядка;
6. Впервые разработан метод учета в больших системах, описываемых кинетическими уравнениями, влияния фрактальных структур на поведение системы;
7. Получены поправки к спектру элементарных возбуждений электронно-ионной плазмы от фрактальных структур;
8. Впервые сформулирован общий метод описания кинетическими уравнениями статистической физики открытых систем экономических моделей.
4. Практическая ценность работы
1. Работа выполнена по темам исследований, проводимых на кафедре физики низких температур Уральского государственного университета в Проблемной лаборатории ''Физика экстремальных воздействий на вещество", совместной учебно-научной лаборатории ИВТЭХ УрО РАН и Уральского университета, в рамках федеральной целевой программы "Интеграция" и исследований, проводимых по теме "Синтез многокомпонентных кристаллов и пленок, теоретическое и экспериментальное исследование твердых тел с целью создания материалов с новыми физическими свойствами", а также в рамках тематики грантов РФФИ: грант № 97-02-16212 "Разработка физических принципов и экспериментальных методов получения твердых электролитов для работы при криогенных температурах", грант № 00-02-16285 "Теоретические и экспериментальные исследования сложных полупроводниковых халькогенидов для синтеза и конструирования на их основе низкотемпературных твердых электролитов,
10
сегнетоэлектриков и составов с большим магнетосопротивленисм, пригодных для научных и прикладных целей"), при поддержке НОЦ "Перспективные материалы" и гранта СКОБ 2000г.
2. Проведенные теоретические исследования влияния фрактальных структур на температурную зависимость недебаевского импеданса, поведения больших систем способствует более глубокому пониманию физических процессов происходящих в сложных системах.
3. Методика учета влияния фрактальных структур на поведение больших систем позволяет находить вклад от фрактальных структур в ряде важных задач физики твердого тела и физики плазмы.
4. Предложенная методика описания экономических явлений методами статистической физики открытых систем является полезной для решения конкретных экономических задач.
На защиту выносятся:
1.Анализ скейлинговых свойств электрических параметров поверхности электрод/образец;
2. Диффузия к фрактальным поверхностям для случая разных ФР электролита и электрода;
3. Применение фрактальной теории температурной зависимости ЭПФ в моделях ЭПФ Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсея, Болла и Бланта;
4. Формулирование уравнения и получение автоколебательного решения уравнения диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;
5. Формулирование и решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде;
6. Модель описания фрактальной размерности поверхности как параметра порядка;
11
7. Метод учета влияния фрактальных структур на динамику поведения больших систем допускающих описание с помощью кинетических уравнений.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались и представлялись на семинарах КФНТ УрГУ, института электрохимии УрО РАН, на Всероссийских и Международных конференциях: “Проблемы фундаментальной физики”, 7-12 октября 1996 г., Саратов; 9th International Meeting on Ferroelectricity, 24-29 August, 1997, Seoul, Korea; Joint International Meeting of ECS and 1SE, 31Aug.-5 Sept. 1997, Paris, France; “Физика конденсированного состояния”, Стерлитамак, 22-25 сентября 1997 г.; lllh International Conference on Solid State Ionics, Honolulu, USA, 16-21 Nov 1997; 8 Международной конференции по физике полупроводников при высоких давлениях, 8th HPSP, Салоники, 1998; "Оксиды. Физико-химические свойства и технология”, Екатеринбург, 27-31 января, 1998; январь 2000; "Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах", Махачкала, 7-11 сентября, 1998г; "Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах" Махачкала, 6-9 сентября 2000.и опубликованы в 23 статьях и тезисах конференций.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 23 публикации в виде статей и тезисов докладов на конференциях .
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка цитированной литературы, изложена на 156 страницах текста, содержит И рисунков. Список цитированной литературы содержит 129 наименований.
12
I. ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ В БОЛЬШИХ СИСТЕМАХ И ДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
1.0. Введение
1.Широкое распространение в природе фрактальных структур [1-6], а также экспериментальные свидетельства о наличии и большой роли фрактальных структур в физике твердого тела [7-21], физике высоких энергий [22], процессах происходящих в плазме [23] и т.д. приводит к необходимости использования математического аппарата пригодного для описания динамики функций заданных как на монофрактальных структурах (структурах с дробной размерностью и постоянной фрактальной размерностью), так и на мультифрактальных структурах, на которых фрактальная размерность является не только дробной, но и зависит как от координат, так и от времени. В случаях когда фрактальная размерность множества, на котором определены функции, описывающие физические величины, является постоянной величиной (монофрактальное множество), в качестве математического аппарата описывающего изменения этих функций могут быть использованы дробные производные и интегралы Ри-мана-Лиувилля [24-25] или подобные им (Марше[26] и т.д. см. [27]). Однако для случаев (широко распространенных) когда множество, на котором определены физические величины, является мультифрактальным (т.е. в каждой точке этого множества фрактальная размерность сі = сі (г,ї) зависит
как от координат, так и от времени) математический аппарат дробных интегралов и производных Римана-Лиувилля [24-25] уже не пригоден и должен быть обобщен. Простейшее обобщение этого аппарата было проведено в работах [28-33] в которых, на примерах рассмотрения широкого круга физических задач, была показана полезность этого аппарата. В этой главе для описания функций, заданных на фрактальных (типа Канто-ровского) или мультифрактальных множествах, приведен математический
13
аппарат дробных интегралов и производных введенный Риманом [24], Лиувиллем [25] и другими математиками для описания дробных дифференциальных операторов, а также математический аппарат обобщенных дробных производных предложенный в работах Л.Я.Кобелева [28-33]. В связи с этим, эта глава является обзорной и содержит как определения дробных производных и интефалов, так и результаты работ по дробным интефалам и дробным производным которые будут использоваться в последующих главах диссертации.
1.1. Дробные производные Римана-Лиувилля
Дробные производные и интегралы (левосторонние и правосторонние) Римана-Лиувилля (см.[27]-[34]) от функций /(Г)(заданных на классе обобщенных функций) имеют вид
<«/(') = Ь^)(' - тГ('+1)Л (1.2.1)
Г(п-<1)д1п а
= ?Г^^7*/(Т)(Т - 0”"(£/+1) А (1.2.2)
Г(п-й) д1п ,
В (1.2.1)-(1.2.2) с! -постоянная величина (показатель дробности), Г-гамма функция, а < Ь,а и Ь постоянные выбираемые на бесконечной оси (от -оо до со), п — 1 <с1( <п, п = } + 19{с1,}- целая часть с/, >0, п = 0 для
с1,<0. Дробные производные и интефалы (1.2.1 )-(1.2.2) позволяют использовать, вместо целочисленных производных и интефалов, интефаль-ные функционалы, заданные на широком классе обобщенных функций (по Шварцу [35-36]) и, как свидетельствуют многочисленные работы последних десятилетий, находят применение для решения ряда проблем при описании стохастических процессов, хаоса, аномальной диффузии, квантовой теории поля и т.д. [37-42]. Появление интефала в правой части (1.2.1)-(1.2.2), с точки зрения физики, можно фактовать как учет влияния на
- Київ+380960830922