L-матрицы и их применения в небесной механике

Содержание
Введение 5
Глава 1. Г-матрицы второго порядка 16
§1.1. Уравнения движения плоской задачи двух тел в комплексных координатах. Первые интегралы........................ 16
§ 1.2. Преобразование уравнения движения на плоскости ... 19
§ 1.3. Регуляризация уравнения движения задачи двух тел на
плоскости............................................... 22
§ 1.4. Матричная форма регуляризующего преобразования . . 24
§ 1.5. Регуляризация с применением произвольной обобщенной матрицы Леви-Чивита....................................... 29
§ 1.6. Классификация Г-матриц второго порядка................. 34
Глава 2. Ь-матрицы четвертого порядка 38
§ 2.1. Замечание о размерности пространства................... 38
§ 2.2. /^5-матрица и регуляризация уравнения движения ... 41
§ 2.3. Группа базисных единиц в М4(И)......................... 48
§ 2.4. Представления Г-матриц четвертого порядка.............. 54
§ 2.5. Ранг Г-преобразования.................................. 57
§ 2.6. Исследование второго представления Г-матрицы........... 62
§ 2.7. Структура Г-матриц и их параметризация................. 69
§ 2.8. Подобие Г-матриц....................................... 73
§ 2.9. Классификация Г-матриц................................. 76
§ 2.10. Собственные и несобственные Г-матрицы.................. 89
§ 2.11. Обращение произвольного Г-преобразования третьего
ранга................................................... 94
§ 2.12. Кватернионные матрицы и Г-матрицы...................... 97
§ 2.13. Необходимые условия регуляризующего преобразования 100
Глава 3. Регуляризация основных уравнений движения 106
§ 3.1. Регуляризация канонических уравнений возмущенной
задачи двух тел.........................................106
2
§ 3.2. Регуляризация Аарсета-Заре уравнений движения задачи трех тел..................................................122
§ 3.3. Глобальная регуляризация Хегги канонических уравнений задачи трех тел............................................130
§ 3.4. Глобальная регуляризация в задаче N тел................136
§ 3.5. Возмущенная ограниченная задача N тел..................146
§ 3.6. Доказательство теоремы о билинейном соотношении в
основных случаях........................................153
Глава 4. Г-матрицы восьмого порядка 158
§ 4.1. Представления Г-матриц восьмого порядка................158
§ 4.2. Совместность определяющих соотношений .................166
§ 4.3. Образующие Г-матрицы и их свойства.....................172
§ 4.4. Базис в М$(И), построенный с помощью образующих . . 174
§ 4.5. Второе доказательство теоремы о ранге Г-преобразования восьмого порядка...........................................179
§ 4.6. Групповые свойства элементов множества £ 184
§ 4.7. Типы и подобие Г-матриц восьмого порядка...............187
§ 4.8. Графическое представление базиса £к, порожденного Г-
матрицей................................................190
§ 4.9. Построение Г-матрицы восьмого порядка..................193
§ 4.10. Тождества для Г-матриц восьмого порядка................199
Глава 5. Г-матрицы восьмого порядка и некоторые динамические системы 204
§ 5.1. Регуляризация уравнения движения пятимерной кепле-
ровой задачи............................................204
§ 5.2. Регулярные элементы....................................210
§ 5.3. Регуляризация канонических уравнений ..................214
§ 5.4. Параметрический изоморфизм лиевых алгебр осцилляторов и кеплеровых задач размерностей 2, 3, 5..................220
Глава 6. Применение Г-матриц при численном интегрировании 236
§ 6.1. Численное интегрирование на плоскости и задача на ми-
нимакс..................................................236
§ 6.2. Нахождение минимакса...................................241
§ 6.3. Примеры численного интегрирования с коррекцией на
плоскости...............................................218
3
§ 6.4. Пространственный случай. Интегрирование с различными матрицами четвертого порядка.................253
§ 6.5. Задача об оптимальном положении пары векторов в И'1 . 256
§ 6.6. Ортогональное преобразование, приводящее к оптимальному положению ...........................................259
§ 6.7. Численные результаты...............................264
Заключение 272
Приложение А 275
Приложение Б. Программы 287
Литература 328
4
Введение
Уравнения движения в гравитационном иоле принимают сингулярность всякий раз, когда расстояния между двумя и более телами обращаются в нуль [7, 44]. При соударении по крайней мере двух точек некоторые слагаемые в этих уравнениях принимают бесконечные значения. В этой связи возникают трудности численного и аналитического характера. Задачей регуляризации является преобразование сингулярных уравнений движения в уравнения, не содержащие особенностей. Сама процедура устранения особенностей называется регуляризацией.
Регуляризация уравнений важна во многих отношениях. Но этому поводу процитируем В. Себехея [42] (стр. 84): ’’После того как проведена регуляризация, можно выполнить следующие действия:
1) доказать существование решений при произвольном выборе начальных условий;
2) построить аналитически решения, проходящие через особые точки;
3) получить решения численно до столкновения, в момент столкновения и после столкновения;
4) рассмотреть сближение с повышенной численной точностью.”
Проведение численных экспериментов в звездной динамике и расчеты орбит перелета в космической динамике стимулировали развитие методов регуляризации в небесной механике. Регуляризация имеет большое значение при высокоточных численных исследованиях систем, состоящих из большого числа материальных точек, между которыми возможны частые сближения. Каждое сближение точек приводит к увеличению значения сингулярных слагаемых в уравнениях движения. Для сохранения точности вычисления в этих случаях приходится уменьшать шаг интегрирования, что ведет к большим затратам времени счета.
Заметим, что в реальности соударений материальных точек не бывает, поскольку до этого момента происходит соприкосновение поверхностей взаимогравигирующих тел. Но так как в уравнения движения заложено понятие материальной точки, то возникают теоретические особенности. Эти особенности таковы, что в соответствующих переменных они могут быть устранены.
Истинной регуляризацией мы считаем ту, при которой из уравнений движения устранены особенности, обусловленные притягивающими точками, и результирующие уравнения допускают соударения точек в конечный момент времени.
Исторически первым (1765 г.) регуляризацию выполнил Л. Эйлер [74], который применил временное преобразование для исключения особенности в уравнении движения двух точек, движущихся по одной и той же прямой. В случае движения на плоскости применение комплексного преобразования совместно с временным преобразованием позволило осуществить регуляризацию Т. Леви-Чивита (1903 г.) [84, 85]. Трехмерное уравнение задачи двух тел регуляризовал П. Кустаанхеймо (1964 г.) [82]. При этом он использовал пару комплексных переменных. Вещественная реализация соответствующего преобразования выполнена П. Кустаанхеймо и Е. Штифелем (1965 г.) [83]. В результате появилась так называемая А'5-матрица. В переменных Кустаанхеймо-Штифеля уравнения движения возмущенной задачи двух тел близки к линейному виду и при численном интегрировании ведут себя лучше, чем классические: повышается точность и уменьшается машинное время вычисления при использовании одного и того же численного метода.
А. Фольком [91] было показано, что А-5-преобразование вытекает естественным образом из общего решения задачи двух тел, если используется ’’вспомогательная” независимая переменная.
Отметим, что регуляризованные уравнения пространственной задачи двух тел без применения координатного преобразования получены также М.С. Яров-Яровым [57] и Сперлингом [90]. В работе [58] М.С. Яров-Яровым выведены формулы для определения малых возмущений в регулярных координатах. Им же опубликована идея гамильтонова анализа регуляризованных уравнений в 1966 году [59].
И.М. Беленький в [4] получил регулярное уравнение задачи двух тел в полярных координатах и вывел соотношение, определяющее регуляри-зующую функцию при заданном потенциале поля.
С помощью К 5-матрицы С. Аарсету и К. Заре [63] удалось выполнить локапьную регуляризацию в задаче трех тел и Д. Хегги [76] — глобальную регуляризацию в задаче N тел и в ограниченной задаче трех тел, то есть такую регуляризацию, при которой устраняются одновременно особенности при любых парных соударениях материальных точек. До этих работ Вальдфогель [93] достиг глобальной регуляризации в плоской задаче трех тел с использованием преобразования Леви-Чивита. Работа К. Заре [94] развивает метод работы [63] на случай задачи ДГ-тел и целью
6
является регуляризация парных соударений между выделенной частицей и любой частицей выделенной подсистемы частиц.
Метод работы [63] оправдал себя в численных экспериментах С. Аар-сета и Д. Хегги в задаче трех тел [62]. М. Александером [64] проведено сравнение методов регуляризации работ [63], [94], [76]. В работах С. Миккола и С. Аарсета [86], [87] развивается метод многократной регуляризации, названный методом цепной регуляризации. В этом методе, как частный случай, содержится метод работы К. Заре [94]. В последних двух работах предлагается также численный способ нахождения начальных условий орбит соударения посредством интегрирования регулярных уравнений задачи N тел. Бискончини [70] рассматривал нахождение начальных условий, приводящих к соударению в задаче трех тел, при помощи степенных рядов.
Вопросам регуляризации уравнений задачи двух тел с применением кватернионов и кватернионных матриц посвящены работы К).II. Челнокова [48] - [52]. Кроме того, в статье 10.Н. Челнокова и Я.Г. Саиункова [53] регулярные уравнения используются для построения оптимальных траекторий управляемого космического аппарата.
Использование К5-процедуры приводит к увеличению размерности динамической системы. В связи с этим М.Л. Лидов, отвлекаясь от задачи регуляризации, рассматривает в [15] преобразования, при которых происходит увеличение размерности системы и сохраняется гамильтонова форма уравнений. А'5-переменные применялись М.Л. Лидовым и В.А. Ляховой в ограниченной задаче трех тел для определения пространственных периодических орбит, близких к орбите, проходящей через особую точку [16], [17]. Применение регулярных переменных позволило избежать вычислительных трудностей.
У. Кирхграбером [79] изучено движение ракеты с постоянной тягой в К5-переменных. В этой задаче им получены замкнутые формулы в эллиптических функциях. В работе [80] он вводит новое множество канонических элементов в А"5-теорию посредством предварительного перехода от регулярных координат к полярным. В. Бонд [71] предложил универсальную систему регулярных элементов, хорошо приспособленную для орбит, близких к параболическим. Улучшение стабилизации интегрирования достигается посредством введения двух дополнительных элементов для времени. В результате возмущенное движение описывается системой двенадцатого порядка. В работах [65, 68] обсуждаются примеры преобразований, улучшающих численную точность интегрирования дифференциальных уравнений. А именно, рассматриваются
7
различные виды временных преобразований, использование интеграла энергии в уравнениях, описывающих кеплерово движение, и координатное преобразование, осуществляемое с помощью К в- матрицы.
Работы В.А. Шефера [54], [55] обобщают метод Себехея [89] посредством введения преобразования позиционных переменных. Эти работы посвящены совместному применению /^5-переменных и интегралов движения. Однако, как показано в [24], уже в плоском случае этот подход дает неудовлетворительные результаты в смысле увеличения объема вычислений вектора возмущающих ускорений. Отметим также работу
В. Бонда [72], в которой рассматривается регуляризация уравнений задачи двух тел в сферических координатах с использованием интеграпов энергии и площадей.
В работе В.А. Кузьминых [14] находятся разложения в степенные ряды решений уравнений движения возмущенной задачи двух тел, записанных в А'5-переменных. В качестве возмущений взяты притяжения (М -2)-х материальных точек, движущихся по окружностям с центрами в начале координат.
С помощью преобразований Леви-чивита и Кустаанхеймо-Штифеля Ваумгарте [66] устанавливает абстрактный изоморфизм лиевых алгебр в динамических системах двумерный осциллятор-плоская задача двух тел и четырехмерный осциллятор-трехмерная задача двух тел. В работе [67] им построена группа канонических преобразований, оставляющих инвариантным гамильтониан ксплеровой задачи с эксцентрической аномалией в качестве независимой переменной. При построении этой группы возникает алгебра б'о(4,2). Путем конкретизации абстрактного изоморфизма этой алгебры получается /^-преобразование, отображающее трехмерное кеплерово движение на четырехмернос движение осциллятора.
Отметим также работу Ю. Мозера [88], в которой была введена естественная регуляризация уравнений ксплсрова движения в Кп. В этой статье показано, что поверхность энергии Н = Е для отрицательных значений Е < 0 взаимно однозначно топологически отображается на касательное расслоение единичных векторов к выколотой сфере 5П. В качестве отображения взята стереографическая проекция и выколотая точка соответствует северному полюсу. Фазовый поток кеплеровой задачи отображается в геодезический поток на 5'1 без выколотой точки. При этом сингулярные орбиты соответствуют окружностям, проходящим через выколотую точку.
К работе К). Мозера близко примыкают работа Е. Бельбруно [69] и
8
заметка Ю.С. Осипова [19]. В работе [69] рассматриваются случаи положительного и нулевого значений энергии, которые приводят к геодезическим потокам на гиперболоиде и в евклидовом пространстве.
В работах М. Куммера [81] и Т. Иван [78] рассмотрено соотношение между методами регуляризации работ [83] и [88] для трехмерной задачи двух тел.
Достаточно подробный обзор работ по регуляризации уравнений движения ограниченной задачи трех тел, не связанной с /^-преобразованием, приводится в монографии В. Себехея [42]. В ней рассматриваются глобальные регуляризации этой задачи такие, как регуляризация Биркгофа. Обобщение регуляризации Виркгофа на пространственный случай выполнено Вальдфогелем [92]. О важности ограниченной задачи трех тел для космодинамики говорится в работах М.С. Яров-Ярового [60], [61] и В.А. Егорова [8, 9], в которых рассматриваются вопросы уточнения методов численного интегрирования и качественный анализ в задаче движения космического аппарата в системе Земля-Луна.
В монографии [56] на примерах показывается повышение точности интегрирования регулярных уравнений за счет автоматического регулирования шага (в сравнении с постоянным шагом). Численное интегрирование методом Рунге-Кутты-Фельберга с матрицей Леви-Чивита и К5-матрицей показало, что при нахождении орбит одинаковых по форме, но расположенных различно относительно системы координат, производятся различные вычислительные затраты. Это обстоятельство привело нас к развитию теории /-матриц и математическому обоснованию применимости их в регуляризационных задачах небесной механики.
Дадим краткое описание наших работ, в которых рассматриваются методы регуляризации уравнений движения, связанные только с /-матрицами. Преобразования, порождаемые /-матрицами 2-го, 4-го и 8-го порядков, названы /-преобразованиями соответствующих порядков. При этом для второго и четвертого порядков применяется нами также терминология ’’обобщенные преобразования Леви-Чивита” и "обобщенные /^-преобразования”.
В работах С.М. Полещикова [21, 22, 25] поставлена и решена задача аксиоматического построения полного семейства преобразований, допускающих регуляризацию уравнений задачи двух тел и приводящих их к линейному виду, то есть обладающих свойствами преобразования Леви-Чивита и КЭ-преобразования. При этом среди определяющих соотношений одно взято в дифференциальной форме. В отличии от этого подхода в работах [30] - [32] при определении /-матриц второго и четвертого по-
9
рядков используются только алгебраические соотношения.
Исходя из свойств, характерных для матрицы Леви-Чивита, в [31] было построено полное двухпараметрическое семейство Ь-матриц второго порядка, содержащее в себе как частный случай матрицу Леви-Чивита и позволяющих также привести уравнения задачи двух тел к линейному виду. Доказано, что эти характерные свойства появляются естественным образом из задачи приведения уравнения движения к уравнению, имеющему вид гармонического осщшлятора. За определяющие соотношения взяты свойство ортогональности матрицы преобразования и свойство перестановочности двух векторов относительно операции произведения матрицы на один из этих векторов. Указан способ параметризации семейства £-матриц второго порядка.
Работы [30], [32] отличаются представлениями //-матриц четвертого порядка. В первой вводится представление //-матрицы по столбцам, во второй — по строкам. Наши исследования показали, что более удачным, как в методическом, так и в конструктивном плане, является сторочное представление //-матриц. В этих работах выделены следующие свойства классического КЭ-преобразования, взятые за определяющие соотношения: ортогональность преобразования и симметричность соответствующего билинейного преобразования по трем (физическим) координатам и антисимметричность по четвертой вспомогательной координате. В [25] доказана достаточность этих определяющих соотношений для проведения регуляризации уравнения задачи двух тел.
В статье [32] показывается, что соответствующая обобщенному /15-преобразованию /-матрица четвертого порядка определяет четверку кососимметрических ортогональных матриц четвертого порядка. В этой четверке первые три матрицы являются антикоммутативными между собой, а четвертая коммутативна с ними. Наоборот, произвольная четверка кососимметрических матриц с указанными свойствами однозначно определяет 5-матрицу' четвертого порядка.
Для описания структуры обобщенных /-матриц четвертого порядка вводится и используется специальный базис из 16-ти ортогональных целочисленных матриц, среди которых шесть кососимметрических и десять симметрических, в пространстве всех матриц четвертого порядка. Установлены групповые свойства элементов базиса. Показано, что первые три матрицы в четверке вполне однозначно задают ортонормиро-ванный репер в одном из двух различных трехмерных векторных пространств. Эти пространства являются линейными оболочками двух различных троек кососимметрических матриц из указанного специального
10
базиса.
Две матрицы, взятые из различных пространств, коммутируют между собой. Четвертая кососимметрическая матрица из набора, определяющего Ь-матрицу, соответствует произвольному единичному вектору в альтернативном трехмерном пространстве. Репер, соответствующий первым трем матрицам и единичный вектор, соответствующий четвертой матрице, лежат в различных пространствах. Тем самым с помощью указанного базиса дано вполне конструктивное описание структуры всех Т-матриц четвертого порядка.
При построении Т-преобразования четвертого порядка исследована совместность определяющих соотношений и доказана теорема о возможных размерностях образа этих преобразований, так называемая теорема о ранге //-преобразования. Показано, что симметричность билинейного преобразования по первым трем координатам и антисимметричность по четвертой координате является характерным свойством //-преобразования. Аналогичных преобразований с симметрией по координатам и антисимметрией по другим двум координатам, а также преобразований с симметрией по всем координатам не существует. Возможно //-преобразование с симметрией по одной координате и антисимметрией но остальным трем координатам, но оно в задаче регуляризации сводится к случаю прямолинейного движения тела, что не представляет интереса в силу тривиальности.
Элементы Ь-матриц являются линейными функциями нескольких переменных. В работе [23] в качестве элементов матриц взяты однородные многочлены второй степени. В этом случае регуляризоваиные уравнения невозмущенной задачи двух тел не сводятся к линейным.
В [24] показана нецелесообразность совместного использования интеграла энергии и интеграла Лапласа в плоском случае для задачи регуляризации.
Статьи [26], [39] посвящены выводу одного тождества для усеченной //-матрицы четвертого порядка и проверке достаточных условий каноничности обобщенного КБ-преобразования, регуляризующего уравнения движения задачи двух тел в гамильтоновой форме.
В ходе численного интегрирования регулярных уравнений движения при одних и тех же начальных условиях и различных параметрах семейства Ь-матриц оказалось, что системы регулярных координат неравноценны между собой [27], [41]. В некоторых системах интегрирование происходит быстрее, чем в остальных. Это обстоятельство привело к задаче исправления системы регулярных координат на определенных ша-
11
гах численного интегрирования.
Переход от одних регулярных переменных к другим осуществляется посредством ортогонального преобразования. Вид регулярных уравнений при этом не меняется. Эта инвариантность использована при численном интегрировании уравнений движения. При численном интегрировании использовался метод Рунге-Кутта-Фельберга пятого порядка точности, в котором для нахождения величины шага интегрирования находится покоординатный максимум модуля разности двух приращений решения. Линейность регулярного уравнения движения позволила провести некоторый анализ при варьировании длины шага численного интегрирования и указать оптимальное решение.
В работах [27], [31] изучается зависимость правой части регулярных уравнений на плоскости от углового параметра и дано применение этому параметру при численном интегрировании: разработан метод исправления системы регулярных переменных на каждом шаге интегрирования для плоского случая. Задача увеличения шага интегрирования приведена к задаче нахождения минимакса некоторого числа функций, определяемых векторным полем нормальной системы невозмущенных уравнений движения. Это приводит к сокращению числа вычислений правых частей дифференциальных уравнений и уменьшению машинного времени, особенно при интегрировании орбит низких ИСЗ, когда учитываются все гармоники геопотенциала. Даны результаты численного интегрирования уравнений движения в невозмущенном и возмущенном случаях.
Практическое применение L-матриц четвертого порядка в задаче регуляризации подробно рассмотрено в работе [41]. Как и в плоском случае, решена задача об оптимальном положении радиус-вектора и скорости для регулярных уравнений при численном интегрировании. Построено ортогональное преобразование, приводящее к этому оптимальному положению. Указанное ортогональное преобразование состоит из четырех поворотов. Один из них совпадает с ^-преобразованием ранга единица. В отличии от плоского случая во всех этих преобразованиях параметры семейства L-матриц в явном виде не используются. Найденное решение минимаксной задачи позволяет сократить объем вычислений вектора возмущающих ускорений.
В работе [28] построено преобразование в восьмимерном пространстве, имеющее свойства, аналогичные свойствам L-преобразований в четырехмерном пространстве. Доказана теорема о числе симметричных и антисимметричных компонент векторов, порождающих L-матрицы
12
восьмого порядка, //-матрица, представляется по столбцам. Поэтому при построении /-матриц используется координатный подход. Доказано, что слои, образованные //-преобразованиями трехмерны. В работе [35] используется строчное представление ./-матрицы восьмого порядка и по аналогии с четырехмерным случаем вводится понятие образующих.
Найденные /-преобразования восьмого порядка были применены при регуляризации уравнений пятимерного кеплерова движения [29, 38].
Вопрос о подобии /-матриц и тесно связанный с ним вопрос о классификации множества /-матриц рассмотрены в серии работ [32, 34, 41]. Впервые понятие /-подобия введено в [32], а уточнено в [34] и [41]. /-подобие задается произвольной ортогональной матрицей четвертого порядка. В [32] показано, что множество всех /-матриц делится на два несвязных множества, /-подобных между собой матриц. Как показано в [32], /-матрицы подобны между собой тогда и тогда, когда соответствующие реперы из первых трех образующих, рассматриваемых как единичные векторы трехмерных оболочек, одинаково ориентированы. В работе [41] приведены конструктивные формулы для построения ортогональной матрицы /-подобия и показано, что собственные матрицы /-подобия связывают /-матрицы, у которых первые три образующие лежат в одном и том же трехмерном пространстве, а несобственные — в различных трехмерных пространствах. Там же приведено разложение классической /^-матрицы в специальном базисе кососимметрических матриц. Кроме того, приводятся результаты сравнительного численного интегрирования регулярных уравнений движения спутника с использованием Ь-матриц из каждого класса.
Полученные результаты позволяют полностью выявить алгебраическую структуру множества всех /-матриц, разбивающихся на четыре несвязных между собой класса. В работе [34] показана связь между определителем /-матрицы и принадлежностью /-матрицы одному из четырех классов.
В заметке С.М. Полещикова [33] устанавливается формула, связывающая знак определителя /-матрицы с ее типом и ориентируемостью. В частности, из этой формулы вытекает независимость определителя /-матрицы от четвертой образующей.
В тезисах [40] анонсированы центральные результаты теории /-матриц. И, наконец, в монографии [41] излагается полная теория /-матриц и ее приложения в регуляризационных задачах небесной механики. При этом для /-матриц рассматривается только строчное представление. Эта монография является сокращенным вариантом настоящей
13
диссертации.
Немного о содержании диссертации. Первая глава посвящена построению 1-матриц второго порядка и изучению их свойств. В этой главе выделяются необходимые и достаточные соотношения, накладываемые на матрицы второго порядка, исходя из задачи соответствия решений уравнений кеплерова движения и двумерного гармонического осциллятора.
Вторая глава начинается с анализа реализации //-матриц возможных порядков. Оказывается, что требование совместного выполнения свойств ортогональности и линейности у матриц приводит только к порядкам 1,2,4,8. Это результат, известный еще Гурвицу [77]. На матрицы накладывается дополнительное свойство перестановочности векторов относительно операции умножения матрицы на вектор. Это свойство — частный случай свойства линейности и оно возникает необходимо из задачи установления соответствия между решениями уравнений кеплерова движения в трехмерном пространстве и четырехмерного гармонического осциллятора. В этой главе дается обоснование определяющих свойств для нахождения всего семейства Т-матриц четвертого порядка. Доказанная теорема о структуре Т-матриц четвертого порядка позволяет параметризовать их естественным образом. После построения семейства //-матриц вводится понятие //-подобия рассматриваемых матриц и решается естественная задача их классификации. На основе этой классификации приводится алгоритм обращения произвольного Ь-преобразования, порождаемого ./-матрицей.
В третьей главе рассматривается применение //-матриц к регуляризации уравнений движения некоторых наиболее важных небесномеханических задач. Отличием от предыдущего изложения является гамильтонова форма уравнений движения. Излагаются результаты локальной регуляризации Аарсета, Заре и глобальной регуляризации Хсгги в задаче трех тел с более общих позиций разработанной теории Т-матриц. Независимая и конфигурационные переменные могут быть выбраны так, что дифференциальные уравнения задачи N тел будут регулярными относительно парных соударений. Таким образом, получается вещественное продолжение решения за момент таких соударений. Интересной особенностью регулярных уравнений задачи N тел при глобальной регуляризации является их полиномиальная структура. Здесь же рассматривается регуляризация уравнений возмущенной ограниченной задачи N тел.
В четвертой главе определяются //-матрицы восьмого порядка. Дается описание этих матриц посредством кососимметрических ортого-
14
нальных матриц восьмого порядка, названных по аналогии с четырехмерным случаем образующими. В отличие от четырехмерного случая с помощью этих образующих удается построить базис всего пространства матриц восьмого порядка над нолем вещественных чисел. Для этого базиса введено графическое представление посредством полного неориентированного графа с восемью вершинами. Исследованы некоторые свойства этого представления. Приведены наборы образующих Ь-матрицы в конкретном базисе. Для 1-матриц восьмого порядка получены некоторые тождества и равенства, используемые далее в задаче регуляризации.
В пятой главе найденные ^-матрицы восьмого порядка используются для регуляризации уравнений движения пятимерной кеплеровой задачи. Тем самым дается решение задачи из монографии Е. Штифеля и Г. Шейфеля [56] о применении непрерывного веторного поля на семимерной сфере. В этой же главе выводятся уравнения движения в элементах по аналогии с четырехмерным случаем. Завершается глава рассмотрением лиевых алгебр динамических систем и установлением изоморфизмов между алгебрами кеплеровых задач размерностей 2,3,5 с одной стороны и алгебрами гармонических осцилляторов размерностей 2,4,8 с другой стороны соответственно. Первые два соответствия обобщают результаты Баумгарте [66]. Последнее соответствие является новым результатом.
Последняя, шестая глава носит прикладной характер. В ней изучается влияние параметров ^-матриц на процесс численного интегрирования методом Рунге-Кутты-Фельберга. Благодаря линейной структуре регулярного уравнения движения задачи двух тел и его инвариантности относительно ортогонального преобразования регулярных координат удается найти решение оптимизационной задачи при численном интегрировании. Полученный алгоритм решения этой задачи назван методом коррекции или исправления системы регулярных координат. Этот метод протестирован при интегрировании уравнений для нахождения орбит около пятидесяти спутников.
Отмстим одну особенность регуляризации уравнений пространственного движения, основанную на ^-преобразованиях. Эта регуляризация достигается всегда за счет увеличения числа переменных.
15
Глава 1
Ь-матрицы второго порядка
§ 1.1. Уравнения движения плоской задачи двух тел в комплексных координатах. Первые интегралы
Движение точек М\ и М2 с массами соответственно т\ и т2 в невозмущенной задаче двух тел происходит в плоскости. Поэтому в этом случае достаточно ограничиться двумерной прямоугольной системой координат М\Х\Х2 с. началом в точке М\. Уравнения движения в этой системе примут вид
х1 •• х'2 /1 1\ XI = -/^3, Х2 = , (1.1)
где д = 7(7711 Н- т2), 7 — гравитационная постоянная, хьх2 — координаты точки с массой Ш2 относительно точки с массой т\ и г2 = х2 + х\.
Введем комплексную переменную 2 = Х\ + 2Х2. Тогда 2 = #1 + 1X2 И уравнения (1.1) запишутся в виде одного уравнения
* = —
где |Д = г = у/х{ + х\.
ЛТт ПГГ
Положим grad2/У(z) = Тогда уравнение (1.2) перепишется
так
z = gы<^zV, (1.3)
где V = — силовая функция невозмущенной задачи двух тел.
Отметим, что уравнением типа (1.3) описывается также движение пассивно гравитирующей точки в плоской задаче двух неподвижных центров МДс, 0), М2(—с, 0) с массами соответственно Ш] и т2. В этом случае функция II имеет вид
Г = т(—+ —),
\ ?’1 Г 2 /
16
где г\ = у/[х\ - с)2 4- х\, г-2 = \/{х\ + с)2 4- х\ — расстояния от Мь М2 до пассивно гравитирующей точки.
Получим первые интегралы путем выделения интегрируемых комбинаций.
Интеграл энергии. Уравнение (1.3) умножим на 2, где черта над символом означает комплексное сопряжение.
... иди .ди\
Возьмем сопряжение от обеих частей этого уравнения
.(ди ,ди\
22~г\дх] гдх2)'
Сложим эти уравнения
(1(г1) .. ,.,/ди ди\ .. . ../ди .д £/\
~тг = <*■ - 'Чйг+'яр++’-На? - 'эг,)'
то есть
#!)_„ ^ . ЭСГ 6{2У)
сН ' 1 дх\ 2 дх2 йЬ Таким образом, приходим к интегралу энергии
\г\* = у* = 21/ + Л, (1.4)
где к — постоянная интегрирования.
При выводе интеграла энергии (1.4) конкретный вид функции II не использовался. Предполагалось, что и — вещественнозначная и зависит только от г. Поэтому аналогичный интеграл имеет место и в задаче двух неподвижных центров.
Интеграл площадей. Умножим уравнение (1.2) на 2. Получим
И - Д 22: = = —.
щ6 г
Прибавим к обеим частям 22
= -2+1*
(И г г
Правая часть последнего равенства — вещественное число. Следовательно,
= ^(М^)) = о \ <И ) (И
17
Таким образом, приходим к интегралу площадей в комплексной форме
где с € И — постоянная интегрирования. В вещественных переменных #1, Хч этот интеграл будет 1т[(а?1 - 1x2) (»1 + №2)] = с, то есть
Замечание. Интеграл площадей можно получить в более общей постановке, когда правая часть уравнения (1.2) имеет вид /(г)г, где /(г) вещественнозначная функция. То есть рассматривается движение точки в центральном поле. Дсйсвителыю, пусть уравнение движения имеет вид
Проводя последовательно операции в точности такие же, как и выше, получим
В силу вещественности правой части снова приходим к равенству (1.5).
Интеграл Лапласа. Имеем уравнение движения и интеграл площадей
Im (zz) = с,
(1.5)
Х\Х'2 — Х2Х\ = С.
Запишем ^ в показательной форме г = гегв. Тогда имеем г = ге~гв и г = (г+1гв)ег$. Поэтому 1т(г(г+г>0)) = г2в и, применяя (1.5), приходим к интегралу площадей в полярной форме г20 = с.
і = f(z)z.
где г, г, 0 связаны соотношением 2 = гегв. Перемножая эти равенства, получим
CZ = -ц.е'°в
или
Следовательно, приходим к искомому интегралу Лапласа
ici -{- f.ie'° = —А,
(1.6)
где А = Ai + ІЛ2 — постоянная Лапласа.
18
§ 1.2. Преобразование уравнения движения на плоскости
Основной задачей этого параграфа является преобразование уравнения движения (1.3) на плоскости с произвольной вещественнозначной и дифференцируемой по Х\,Х2 функцией и (г). Следуя работе [42], вместо переменных t, г введем новые г, гг, которые связаны между собой формулами
г = <р(ги), <Й = |х(и;)|2<*т, (1.7)
где ю = щ + 1щу т — новая независимая переменная, <р(ю), хМ аналитические функции. Вид функций <р(ю) и у(ш) пока не конкретизируется. Указаны только классы, которым они принадлежат.
Обозначим
гр(ю) = |х(»)|2 = х(«')х(®)' (1-8)
Продифференцируем первую формулу (1.7) дважды. Имеем
(1г(1и:(1т , ,.
2 = -—-—— = <рги т, (1.9)
z = (р'го'т + (<p"v/2 + <р,гип)т2. (1.10)
Предполагая, что U выражена через гг, найдем gvddwU(го). Имеем
_ dU .dU__æ_dx_I ди дх2 .(dUdxj OU дх2\
^1а ш дщ + 1 ди2 дхі дщ дх'2 дщ % Vftri да? дх2 дщ)’
Используя условия Коши-Римана
дх\ _ дх2 дх\ _ дх2
дщ дщ’ дщ дщ’
получаем
дЦ_дх_2 ./ дЦдх2 dû dxv\ _
w дх\ дщ дх2 дщ + % \ дх\ дщ + дх2 дщ )
_ dU /дх\ .дх2\ dU гдх2 _
дх\ дщ ) дх2 дщ )
/дхг .дх2\(dU dU\
= \ьт, - w + W =
Таким образом,
grad gU(z) = ^^gradwl7(iw). (1.11)
19
Подставим (1.10), (1.11) в уравнение (1.3) и поделим его на <р'т2. Получим
н. г? /2</ _ gтadц,Lг
ш +ги^ + и1 0 т*И8'
В этом уравнении исключим производные по времени Из второго равенства (1.7) находим
Следовательно,
. 1 .. 1 : .2 ; т = ф’ т = =
Г2 ' dt {ХХ) dt
= _тИГГ+^ГТ =-г[хх» +ХхИ =
I aw ат ахи ат J
XX 4 X X
Подставляя это выражение в последнее уравнение, получим
Х\ /12 , ,2/У' х'\ |хГ
— H +w ( —----------= Т-77
х V х> И
Для дальнейших преобразований потребуется* интеграл энергии в переменных т, w. С этой целью подставим в интеграл (1.4) формулы (1.8). (1.9). Тогда найдем
ИЫ.2Г + Х,
Ixxl2
то есть
M2 = M_(2<7 + Â). (1.13)
И, значит, уравнение (1.12) перепишется следующим образом
+(7 ' ?) • w И-1'+1 Ц ) ■
Поскольку ^ и f - (, то
20
Уравнение (1.14) можно записать в другой форме. Покажем предварительно, что справедлива формула
df
gradj/(w)|2 = 2f—,
(1.15)
где / = Д + г'Д — аналитическая функция. Здесь Д, Д — вещественная и мнимая части функции /.
Действительно, из условий Коши-Римана имеем
= Ёй + |*М = К = 2к - =
(1и> дщ дщ дщ диг дщ
(дЬ..д/2\_ .д/ г\Зг/2 * дщ) 1 диъ
то есть Следовательно,
df_ = (_2L\ =
diti V г$г*2^ г$г*2
ли
а/ = .$/
9^1 $г*2
Поэтому grad,/ = ^L + i^L = о и grad J =^L + i^L = 2$l. Таким образом, grad(t,|/(w)|2 = grad,„(//) =
= /grad./ + /grad J = 2/= 2/£,
что и требовалось показать.
Далее произведем вычисления
ad"(ly Г(cr+=+(с/+^)grad^
grad,
(1.15)
;\^.и+(и+1)41ф-
2^2
V'
Ixl4
в,»1-г+(2У+»}4(522|22х-
)-
= р>^+(2С,+г)&(^-^-) =
21
-І -І -II.
=1^н^+^+^(і+і-і)]і:=!і
= {%™(]"и + (2и+^>|) + И2(| -1т) =
м
И:
X
^1п X
Здесь номер формулы над знаком равенства означает ее применение в данном месте. Таким образом, приходим к соотношению
-И
ы
І9І
/12
С учетом этого соотношения уравнение (1.14) можно записать в виде
<2 |-2
+|ад,|2£(1п т) -^О” у)-
/.2 (1 Л_ ^
X
Заметим наконец, что для любых двух комплексных чисел а, Ь выполняется равенство
\а\‘2Ь — а2Ь = ааЬ — а2Ь — а(аЬ — аЬ) — —2ш1т(а6).
Поэтому, полагая а = и/, Ь = ^1п приходим к следующему урав-
нению движения
= ега^[М^ (с/ + |)] -2гы/ы(и/±(Ъ1^)). (1.16)
Подытожим проделанные выкладки. Уравнение (1.3) для любой вещественнозначной непрерывно дифференцируемой функции 17 = и (г) посредством преобразований (1.7) зависимых и независимых переменных преобразуется в уравнение (1.16).
§ 1.3. Регуляризация уравнения движения задачи двух тел на плоскости
Рассмотрим уравнение (1.16). В нашем распоряжении имеется произвол в выборе функций Ц>(ы), Ф(ги) = \Х преобразования (1.7). Заметим, что при выборе функции у вида у(щ) = сцр'(ш), где С\ — комплексная
22
постоянная, уравнение движения (1.16) не будет содержать производную а/ и оно немного упростится
w" = |ci|4gradu,(|¥?'|2(i7 + (1.17)
Предположим, что изучается движение задачи двух тел. Тогда в уравнении (1.3) силовая функция имеет вид U = Особая точка этого
уравнения находится в начале координат. При переходе к новому уравнению (1.17) остается еще произвол в выборе функции p(w). Подберем эту функцию так, чтобы в новых переменных т, w уравнение движения не имело особой точки.
Приведем наводящие соображения по выбору функции <р. Предположим, что движение одномерное. Тогда, принимая за вещественную ось прямую, по которой происходит движение, можно считать, ЧТО W вещественная переменная. Найдем при этом предположении функцию p(w) такую, чтобы выражение I^Tj"j принимало постоянное значение.
Решая уравнение
YJ= = cdw,
находим р = (cw + а)2, где a — постоянная интегрирования. В качестве частного решения возьмем функцию р = Aw2. Очевидно, что при выборе функции р такого вида правая часть одномерного уравнения движения не будет содержать особенности.
Возвращаясь к движению на плоскости, положим
р — Лщ2, А = А] -Ь гА2.
Тогда <р' = 2Xw, И2 (^| +1) =
= 4|A|2|tt,|2(|Aife + l) = 4|Л|А< + 2^|2Н2'
Значит, grad^ ^|<р'|2(£/ -f = 2h\\\22{u\ + ш2) = 4Л|А|2«/.
Таким образом, уравнение движения в новых переменных примет вид
и" = 4|ci|4/i|A|2ur.
23
Примем для постоянных сі, Л следующие значения
С. = |, |А| = 1.
Тогда х — ^2Лгс = Ли1, ф = |%|2 = |гс|2 и, следовательно,
2 = Лш2, dtt = |w|2dr. (1.18)
a h л го" - -W = 0.
4
Вместо постоянной энергии h введем новую постоянную /г, связанную с h соотношением h = —2h. Тогда последнее уравнение будет
vj" + = 0. (1*19)
Очевидно, что это уравнение не имеет особенности.
Так как
. _ ip'w’ _ 0 х WV)’
z ” NVP ■ W
то интеграл энергии в новых переменных имеет вид
2 M2-/z
W
12
= -h.
§ 1.4. Матричная форма регуляризующего преобразования
Запишем преобразование (1.18) в матричной форме. Для этого отделим вещественную и мнимую части в этом равенстве. Имеем
Х\ + іх2 = (Аі -Ь гА2)(«і “ ^2 + 2іщи2) =
= Аі(д2 - гг2) - 2А2ггігг2 + «'[А2(г/2 - и\) + 2А1г/1гх2].
Значит,
( х{ = Ах(гг2 - гг|) - 2А2ггіи2,
\ *2 = А2(гг2 - и\) 4- 2\хили2.
Введем векторы х = (а?і, х2)т, и = (щу гг2)т, А = (Аь А2) и матрицу
Ци) = ^
til -U2 U2 Щ
(1.20)
24
Тогда преобразование (2, х) —> (г, и) запишется в виде
х = ^+(А, и)и. <Н = |и|2с?г, (1-21)
где
*+(А, и) = ЦХ)Ци) = ( Ххт 7 ^ ~А,иг 7 ^ ) .
У Л2^1 + А 1^2 —Л2И2 + Лху
Матрица <£+(А. и) обладает свойствами :
££(А,и)£+(А,11) =^+(А,и)^(Л,и) = |и|2£7, (1.22)
<£+(А,и)у = <£+(А, у)и, V и. V 6 И2. (1.23)
Действительно,
(ЦХ)Ь(и))Т ЦХ)Цп) = Ьг(и)Ьт(Х)ЦХ)Ци) = |А|2|и|2£ = |и|2£, ЦХ)Ци)у = ЦХ) (ЩЩ 7 М2*2) = £(А) (Щ “М и = ЦХ)Ь{у)и.
\и2Ь\ 4- ЩХ^) * \У2 У\)
Кроме того, (1е1 #+(А,и) = |А|21и|2 = |и|2.
Заметим, что свойствами (1.22), (1.23) обладают матрицы вида
£.(\,и) =ЦХ) Л (и),
где
•'■О-?)-уг=е-
Очевидно, что с!е1;<£-(А,и) = |А|2(—1)|и|2 = — |и|2.
Покажем, что этими двумя классами матриц исчерпываются все матрицы, удовлетворяющие свойствам (1.22), (1.23). Нижний знак или при £ в тех местах, где это не приводит к неоднозначности, писать
не будем.
Из соотношения (1.23) следует, что матрица £{А, и) линейно зависит от вектора п. Поэтому ^(А,и) можно записать в виде
г(л-">=(й)- <124>
где Ль Л2 — квадратные матрицы второго порядка, зависящие от параметра А. Из условия (1.23) вытекает так же, что Ль Л2- симметрические матрицы. Действительно,
(й;)=(й»)уи> у е кл
25
то есть и 1АIV = утАг-и, г = 1,2. Но
иТА{\ = (и"~Аг-у) 1 =у ' А]и.
Поэтому утА]и = V Л,и для всех векторов и, V 6 И2. И, следовательно, А] = Д-, г = 1,2.
Рассмотрим следствия условия (1.22). Подставим (1.24) в (1.22)
/итЛ.Л / .т ,т ч /итЛ1ЛГи 1ГЛ1Л.Т1Л , ,2п
(.-’А,) №^) = ит^« «т44») “|ц| Е
Отсюда находим
итЛ-4ти = |и|2 = ит.Еи, итЛ,^и = 0, г ф V и £ К2.
Так как А{А- , Е — симметрические матрицы, то из первого равенства получаем [см. приложение — лемма П.2]
А{А] = Е, г = 1,2.
Из второго равенства вытекает кососимметричность произведений Ах А7, А2А; [см. приложение — лемма П.1]
(А\А1) =—А\А^, (Л2Л7) =—А2А1.
Эти равенства в силу симметричности матриц А\,А2 можно записать в виде
А1А2 + А2А1 = 0. (1.25)
Так как произведение AгAJ является ортогональной кососимметрической матрицей второго порядка, то [см. приложение — лемма П.З]
а1а1 = ±1 = ±(°1 ~10у л2л[ = т/-
Значит,
Ах=±1А2, А2 = Т/А,. (1.26)
Ортогональными симметрическими матрицами второго порядка являются (с точностью до знака) единичная матрица Е и матрица вида
^1 ^2 \ \2 | \2 Л2 -Аг
, Л2 + Л2 = 1.
26
Случай А\ = ±Е невозможен, так как тогда из (1.26) следует, что А-2 = ±/, и А\2 не является симметрической матрицей. По той же причине невозможен случай А2 — ±Е, так как тогда матрица А\ = ±1 не будет симметрической.
Поэтому остается случай: А\, А2 — матрицы второго вида. Проверим, что матрица #+(А, и) соответствует выбору
-а:; и
Имеем
/птАЛ = / А1М1 - Л2«2 -Ааи, - Аги, \ = £
у 11 А2 ) \ Л2Ч\ 4- А1 /7.2 А17^1 — А2Н2 )
А] гм + А 2Щ ХъЩ — А]гг2
А2г/1 — АIг/2 ~ А2г/2
Аналогично проверяется, что матрица #_(А, и) = соответствует выбору
А,= ( Х' и А2 = -1А1 =
Матрица. (1.20) называется матрицей Леви-Чивита. Она получается из #+(А,и) при А] = 1, А2 = 0. Поэтому матрицы #±(А,и), обозначаемые для краткости #(и), в дальнейшем будем называть обобщенными матрицами Леви- Чивита или Ь-матрицами второго порядка. Преобразование
х = #(11)11, (1-27)
порождаемое /,-матрицей #+, или #.., называется Ь-преобразовапием второго порядка.
Замечание. Из обобщенной ортогональности (1.22) и линейности матрицы #(и) не следует свойство перестановочности (1.23).
Действительно, пусть матрица#(и) имеет вид (1.24). Условие ортогональности снова приводит к ортогональности матриц Ах, А2 и к соотношению
А2 = I А\ или А2 — —I А\.
Условие перестановочности (1.23) заменим условиями
(#(и)у)1 = (#(у)и^, (^(и)у)2 = -(#(у)и)2. (1.28)
27
Тогда из первого равенства следует = А\у а из второго — = —А2.
Так как А\ — симметрическая и ортогональная матрица, то она может
быть двух видов
Если А\ второго вида, то
то есть А2 симметрическая матрица. Это противоречит второму условию (1.28).
Если А]_ = ±Е, то получаем четыре возможные матрицы ^(и), обладающие свойствами (1.22) и (1.28). А именно,
1. А\ = Е, А2 = I. Тогда
£\(ъ) = ( 42 ^ , с!е! «£1(11) = — |и|2.
4 V и2 -щ )
2. А) — Е, А2 = — I. Тогда
= ( -и, «О ’ ** = |и|2'
3. А\ = — Е, А2 = I. Тогда
= ( «2 -2 ) ’ аб* = ^2'
4. А\ = -Е, А2 = —/• Тогда
<^4(и) = ( ПУ 42 ^ , сЫ ^4(и) = — |Ч|2■
V ~и% и1)
Найденные четыре матрицы также будем называть Т-матрицами второго порядка. Легко видеть, что эти матрицы порождают преобразование х = <£*(и)и, отображающее плоскость И2 на прямую II1.
£-матрица вида (1.24) имеет строчное представление. По аналогии можно рассмотреть столбцовое представление Ь-матрицы
«£(и) = (В\П В-2Х1),
28
где ВI, В% — квадратные матрицы, зависящие от параметра Л.
Получим условия, которым должны удовлетворять матрицы В\> В-}, исходя из определяющих соотношений (1.22), (1.23). Распишем условие (1.22)
Следовательно,
итБ^Ди = |и|2 = и; Ей, итВ]В]\1 = 0, 1 V и € И2.
Применение лемм П.1 и П.2 приводит к соотношениям
BJBІ = E, г = 1,2,
(В1В})Т = -в; В3,
По лемме П.З кососимметрическал ортогональная матрица второго порядка равна ±1. Поэтому В2 = ±В\1.
Используя явный вид матриц «£±(А, и) молено выписать матрицы В\у В-2 в двух случаях:
1. Для матрицы с£+(А,и)
2. Для матрицы <£_(А,и)
В обоих случаях видно, что матрицы В\, В-2 связаны равенством
В-2 = В}1.
§ 1.5. Регуляризация с применением произвольной обобщенной матрицы Леви-Чивита
Выше было установлено, что при регуляризации уравнений движения плоской задачи двух тел естественным образом возникают //-матрицы
29
«£+(и), обладающие свойствами (1.22), (1.23). В это же семейство попадают и матрицы ^_(и). //-преобразование в комплексной форме для этих матриц имеет вид г = Л«;2. Теперь остается показать, что с помощью произвольной Т-матрицы из семейства, обобщенных матриц Леви-Чивита преобразование (1.27) приводит уравнения (1.1) к регулярному и линейному виду.
Предварительно установим тождество для произвольной Т-матрицы второго “порядка £ (и).
Рассмотрим произведение
Здесь (и, у) обозначает скалярное произведение векторов и, V. Точно так же находим
Умножим это тождество справа на <£(и)у и применим определяющие соотношения (1.22), (1.23). Получим требуемое тождество
На основании (1.25) имеем
ит4- утЛг-А;и = итА;А,у + (у 1 ДЛ,и)Т = = \хт-I- итАр4,-у = \1Т (А^А] + AjAi) у = 0, г ф
Поэтому
£(и)£т(\) + £(\)£ 1 (и) = 2(и, у)Е, Уи,у<ЕН2.
|и|2/(у)у + |у|2^(и)и = 2(и, у)«^(и)у, Vи,V € К2. (1.29)
К уравнению (1.1), записанному в векторной форме
г
где х = (а:1, л;2)1, применим преобразование
х = £ (и)и, сИ = |и|2с/т.
х + = °,
(1.30)
(1.31)
30
Имеем r2 = (х.х) = хтх = uT«£T(u)#(u)u = |u|4. Следовательно,
Г = |и|2 = (и, и), г = 2(и, и').
Найдем первую производную вектора х
dxdr .. 1 ,
х = — — = х т = -х ,
dr dt г ’
х = (^(u));u 4- #(u)u' = c£(u )u 4- £(u)u' = 2*£(u)u'.
Значит,
x = -i?(u)u,
r
|x|* = 4u'T^T(u)^(u)u' = -|uf. (1.32)
rL r
Вычислим вторую производную вектора x
dxdr 2 (#(uf)u'+#(u)u")r — #(u)uV
dr dt r r2
= ^(и')и' +У(и)и") ^-£{п)хз!.
Найденное значение х подставим в уравнение (1.30)
^(«£(и')и' 4-3£(и)и") — ^ ^(и)ц + ~$£(и)и = 0.
Для векторов и, и' выполняется тождество (1.29)
2(и, и')^(и)и/ = |и'|2*£(и)и 4- г«^(и/)и/.
Поэтому
-^г?(и')и 4- ~2°^ (и)и^ - ^(|и;|2^(и)и 4- г^(и')и') 4- ^£{и)и = 0.
2
Приводя подобные члены и умножая это уравнение слева на £ (и)-^-, приходим к уравнению
и» + = О.
2г
31