Содержание
ВВЕДЕНИЕ 3
1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ 9
1.1 Формулировка задачи построения вероятностной модели
движения малых тел Солнечной системы................. 9
1.2 Уравнения движения малых тел....................... 11
1.3 Сопоставление классических методов определения МНК-
оценок.............................................. 13
1.4 Оценка эффективности алгоритмов численного интегрирования ................................................. 16
2 АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ ВОЗМОЖНЫХ ДВИЖЕНИЙ МАЛЫХ ТЕЛ 18
2.1 Классический алгоритм задапия начальной вероятностной области.............................................. 18
2.2 Использование точечных аппроксимаций эллипсоида ошибок ..................................................... 20
2.2.1 Задание области с помощью произвольного числа точек ............................................ 21
2.2.2 Задание области с помощью 12 точек............ 22
2.2.3 Аппроксимация эллипсоида ошибок способом сечений .............................................. 22
2.3 Задание начальной области с помощью уровенной поверхности ............................................... 25
2.3.1 Вычисление точек уровенной поверхности обобщенным методом Ньютона.............................. 26
2.3.2 Вычисление точек уровенной поверхности методом одномерного поиска.............................. 27
2.3.3 Сопоставление обобщенного метода Ньютона и метода одномерного поиска............................. 27
2.4 Исследование размеров и формы областей возможных движений ................................................... 30
1
3 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ОБЛАСТЕЙ ВОЗМОЖНЫХ ДВИЖЕНИЙ МАЛЫХ ТЕЛ 33
3.1 Линейный способ.................................... 33
3.2 Нелинейный способ.................................. 34
3.3 Применение линейного и нелинейного способов отображения областей возможных движений..................... 35
3.3.1 Сравнение линейного и нелинейного способов отображения ........................................ 35
3.3.2 Применение способов точечных аппроксимаций эллипсоида ошибок.................................. 49
4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНЫХ ДВИЖЕНИЙ КОМЕТЫ ГЕРШЕЛЬ-РИГОЛЛЕ 60
4.1 Вводные замечания.................................. 60
4.2 Моделирование задачи определения элементов орбиты кометы Г ершель-Риголле................................. 61
4.3 Объединение появлений кометы с помощью отбраковки
наблюдений...........................................63
4.3.1 Обработка наблюдений кометы Гершель-Риголле 63
4.3.2 Анализ наблюдений 1939-1940 гг ............... 64
4.3.3 Определение единой системы элементов орбиты кометы Гершель-Риголле........................... 66
4.4 Анализ точности эфемерид кометы Гершель-Риголле . . 68
4.5 Объединение появлений кометы методом покоординатного спуска............................................. 72
4.6 Объединение появлений кометы методом улучшения по
элементам........................................... 74
4.7 Построение области возможных движений кометы ... 75
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 78
ЛИТЕРАТУРА 80
ПРИЛОЖЕНИЯ 85
Приложение 1 86
Приложение 2 ........................................... 93
Приложение 3 ........................................... 98
Приложение 4 .......................................... 101
2
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы, решаемой в работе, определяется возросшим в последнее время интересом к исследованию движения малых тел Солнечной системы, что нашло свое отражение в многочисленных публикациях на эту тему. Связано это с рядом причин. Одной из них является осознание того, что астероиды и кометы играют немаловажную роль в эволюции Солнечной системы и, в частности, эволюции Земли. Другой, не менее важной причиной, является значительный прогресс в развитии средств наблюдения и обработки измерительной информации. Способствует повышению интереса к изучению эволюции орбит малых тел также развитие вычислительных методов и средств их реализации.
Целью работы является сравнение и анализ существующих способов определения областей возможных движений малых тел Солнечной системы, а также разработка новых способов, их исследование и практическое применение. Под областью возможных движений космического объекта в данной работе понимается некоторая область фазового пространства, содержащая внутри себя действительное положение рассматриваемого объекта. Для реализации поставленной цели выполнен анализ нелинейных и линейных методов определения текущих областей возможных движений, построены и исследованы алгоритмы определения начальных областей движения, осуществлено применение разработанных алгоритмов к решению ряда практических задач.
Научная новизна.
Разработаны новые методы определения начальных областей движения малых тел, позволяющие получать более точную аппроксимацию области возможных движений по сравнению с другими известными методами, а также способ аппроксимации эллипсоидальной начальной области, удобный для построения видимой границы текущей области возможных движений. Кроме того, предложено несколько вспомогательных методик, повышающих эффективность решения задачи улучшения орбит. Применение этих методик позволило получить ряд интересных практических результатов. В частности, впервые была определена система элементов орбиты кометы Гертель-Риголле, объединяющая два наблюдаемых появления кометы (1788-1789 гг. и 1939-1940 гг.), даны оценки точности ее эфемерид и построена область возможных движений.
3
Практическая значимость работы.
1. Разработаны методы, которые позволяют определять области возможных движений малых тел Солнечной системы и вычислять опенки точности параметров движения. Разработанные методы могут быть использованы в задачах исследования эволюции движения малых тел, построения эфемерид движения исследуемых объектов и оценке их точности, а также в задачах идентификации наблюдаемых объектов.
2. Построены алгоритмы определения граничных точек начальной области возможных движений произвольной (неэллипсоидальной) формы.
3. Построен алгоритм, позволяющий с достаточной точностью получать границу текущей области возможных движений в пространстве видимых параметров (а, 6) при условии, что начальная область имеет эллипсоидальную форму.
4. Получена более точпая система начальных элементов орбиты кометы Гершель-Риголле, па ее основе построена более точная эфемерида кометы, а также область возможных движений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на:
- 24-ой студенческой научной конференции ’’Физика космоса” (Екатеринбург, 1995);
Научной конференции ’’Стохастические методы и эксперименты в небесной механике” (Архангельск, 1995);
- Международной конференции ’’Сопряженные задачи механики и экологии” (Томск, 1996);
- IV Международном семинаре ” Позиционная астрономия и небесная механика” (Пепискола, Испания. 1996);
- 26-ой Международной студенческой научной конференции ”Физика космоса” (Екатеринбург, 1997);
- Международной конференции ”Всесибирские чтения по математике и механике” (Томск, 1997),
Научной конференции ’’Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики” (Москва, 1997);
- Всероссийской конференции ’’Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики” (Томск, 1998);
- 28-ой Международной студенческой научной конференции ” Физика космоса” (Екатеринбург, 1999);
- Научной конференции ’’Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы” (Обнинск, 1999);
4
- Всероссийской конференции ’’Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики” (Томск, 1999);
Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики” (Томск, 2000);
Международной конференции ’’Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века” (С.-Петербург, 2000).
На защиту выносятся следующие результаты
1. Новые способы построения начальных областей возможных движений неэллипсоидальной формы, основанные на использовании уро-венных поверхностей минимизируемой функции метода наименьших квадратов.
2. Способ аппроксимации эллипсоидальной начальной области, позволяющий строить границу области возможных движений в пространстве видимых параметров (а, 5).
3. Теоретическая разработка и практическая реализация нелинейных методов отображения областей возможных движений малых тел.
4. Решение задачи определения единой системы элементов орбиты кометы Гершсль-Риголлс и построение для нее области возможных движений.
Но результатам исследования, приведенным в диссертации, оиуб-ликовано 11 научных работ. Диссертация изложена на 101 странице машинописного текста, состоит из введения. 4 разделов, заключения, списка использованных литературных источников (52 наименования),
4 приложений, содержит 22 рисунка и 10 таблиц.
Содержание работы. Раздел 1 диссертации посвящен постановке задачи определения областей возможных движений малых тел Солнечной системы. Рассмотрена математическая модель в виде системы дифференциальных уравнений движения с начальными условиями, которые определяются МНК-оценками первого и второго статистических моментов вектора начальных параметров и оценкой параметра, корректирующего размеры начальной области возможных движений.
В разделе 1 диссертации рассмотрены также классические методы определения МНК-оценок (Эльясберг, 1976; Мулров, Кушко, 1983) и даны численные оценки точности определения вторых статистических моментов методом дифференциальных поправок. Показано, что для малых тел получаемые методом дифференциальных поправок оценки вторых статистических моментов отличаются не существенно от оценок. определяемых непосредственно методом наименьших квадратов с
5
использованием вторых частных производных от измеряемых параметров по начальным оцениваемым параметрам.
В конце раздела 1 приводится сравнение эффективности используемых в работе алгоритмов численного интегрирования: метода Эверхарта (Бордовицыпа,1984) и экстраполяционного метода Грэгга (Хайрер и др., 1990).
В разделе 2 рассматриваются два подхода к проблеме задания начальной области возможных движений. В разделе ‘2.1 рассмотрен классический подход. В его рамках начальная область задается как эллипсоид, определяемый МНК-оценками вектора начальных параметров и ковариационной матрицы его ошибок (так называемый "эллипсоид ошибок”). Кроме того, рассматривается неклассическая модификация эллипсоида ошибок, заключающаяся в задании значения коэффициента усиления МНК-оценки ковариационной матрицы, большего трех, и впервые примененная А.Милапи (МПаш, 1999а).
В разделе 2.2 приводится ряд способов точечной аппроксимации эллипсоида ошибок для целей отображения области во времени нелинейным методом. Рассматриваются 4 способа такой аппроксимации:
1) с помощью произвольного числа точек, подчиненных закону многомерного нормального распределения (Чернипов и др.. 1998а, 1998г);
2) с помощью 12 точек, полученных путем прибавления и вычитания среднсквалратических ошибок вектора МНК-оценки к его компонентам (метод среднсквалратических ошибок) (Чсрницов и др., 1997);
3) с помощью 12 точек, расположенных на концах осей эллипсоида ошибок;
4) с помощью точек, расположенных на концах осей эллипсоидов-сечений, полученных в результате сечения эллипсоида ошибок гиперплоскостями, перпендикулярными его наибольшей оси (способ сечений).
В разделе 2.3 рассмотрен другой подход к заданию начальной области возможных движений, упоминание о котором впервые встречается в работе (МПаш, 1999Ь). Он заключается в использовании в качестве границы области возможных движений некоторой у ревенной поверхности минимизируемой функции метода наименьших квадратов. В рамках этого подхода разработаны методы определения точек уровенной поверхности: обобщенный метод Ньютона и метод одномерного поиска. Здесь же приводится сравнение эффективности этих методов при решении задачи определения точек уровенной поверхности по наблюдениям
6
одной оппозиции «астероида Икар (выборка наблюдений 1987 г.). Результаты этого сравнения позволяют сделать вывод о более высокой эффективности метода одномерного поиска.
В последнем разделе (2.4) приведены результаты исследования размеров и формы областей возможных движений на примере астероидов Икар и Тоутатис. Области строились по данным наблюдений астероидов в одной оппозиции, при этом использовано несколько оппозиций объектов.
В разделе 3 приводятся результаты применения ряда способов, рассмотренных в разделе 2, для решения задачи исследования эволюции областей возможных движений.
В начале раздела 3 (разделы 3.1 и 3.2) описываются два способа отображения областей возможных движений на другую эпоху: линейный и нелинейный (Черницов и др., 1997, 1998а, 19986). В следующем разделе (3.3) рассматриваются вопросы применения линейного и нелинейного способов. При этом рассмотрены также упрощенные модификации нелинейного способа: метод однократного варьирования и метод среднеквадратических ошибок. В разделе приводится сравнение всех перечисленных методов при решении ряда задач прогнозирования областей возможных движений для астероида Тоутатис.
В последнем разделе 3.3.2 приводятся результаты применения способов точечной аппроксимации эллипсоидальной области возможных движений, рассмотренных в разделе 2.3, для целей отображения области нелинейным методом. Показано, что применение точечной аппроксимации начального эллипсоида ошибок способом сечений дает достаточно точную видимую границу области в пространстве (а, <5), что позволяет применять его в задачах идентификации космических объектов. Пода верждается также несостоятельность способа среднеквадратических ошибок на примере построения видимой области возможных движений астероида Икар. Полученные результаты подтверждают вывод, сделанный в разделе 3.3.1, что для аппроксимации начальной области необходимо использовать полную ковариационную матрицу ошибок начальных параметров.
Раздел 4 посвящен задаче определения единой системы элементов орбиты кометы 35Р/ Гершель-Риголле, объединяющей два наблюдаемых появления кометы в 1788-1789 гг. и 1939 1940 гг., и нахождению оценок точности эфемерид ее движения.
В разделе 4.1 дается краткий обзор работ, связанных с наблюдения-
7
- Київ+380960830922