СОДЕРЖАНИЕ
1 ВВЕДЕНИЕ 4
2 О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ N ТЕЛ И НЕКОТОРЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ 14
3 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ N ТЕЛ В СЛУЧАЕ БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ БЕЗ СБЛИЖЕНИЙ 32
3.1 ОДИНОЧНЫЕ ТЕЛА.................... 32
3.2 ОГРАНИЧЕННАЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ.............................. 41
3.3 ДВОЙНЫЕ ПОДСИСТЕМЫ................ 46
3.4 ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ .................................. 47
3.5 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАНЕТНЫХ СИСТЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО СОСЕДНИХ ЗВЕЗД............. 49
4 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В СЛУЧАЕ БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ С ОДНИМ СБЛИЖЕНИЕМ 53
4.1 ПОРОЖДАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ............... 53
4.2 ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ И СХОДИМОСТЬ ПИКАРОВСКИХ ИТЕРАЦИЙ.................. 58
5 СВОЙСТВА ПОРОЖДАЮЩИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ 64
5.1 МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ СФЕР 64
2
5.2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОРБИТЫ ПРИ ГРАВИТАЦИОННОМ МАНЕВРЕ......................... 72
5.3 О МАКСИМАЛЬНОЙ СКОРОСТИ, СОВМЕСТИМОЙ С ЗАХВАТОМ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ ОРБИТУ ................................. 79
5.4 КЕПЛЕРОВЫ ОРБИТЫ СОУДАРЕНИЯ....... 85
5.5 МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОРОЖДАЮЩИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.................. 91
5.6 О СТРУКТУРЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ..... 94
5.7 ДОСТИЖИМЫЕ КЕПЛЕРОВЫ ОРБИТЫ В СЛУЧАЕ ПЛАНЕТ С НУЛЕВЫМИ НАКЛОНАМИ И ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАМИ.................... 102
5.8 ДОСТИЖИМЫЕ КЕПЛЕРОВЫ ОРБИТЫ В СЛУЧАЕ ОДНОЙ ПЛАНЕТЫ С НЕНУЛЕВЫМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ ОРБИТЫ ................ 108
5.9 ВОЗМОЖНОСТИ ПЕРЕХОДА МЕЖДУ КЕПЛЕ-РОВЫМИ ОРБИТАМИ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ............... 113
5.10 ПРИМЕРЫ ПОРОЖДАЮЩИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА.......... 117
6 О ТРАЕКТОРИЯХ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ПОРОЖДАЮЩИМ СТОХАСТИЧЕСКИМ ДВИЖЕНИЯМ 123
6.1 МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПО ПОРОЖДАЮЩИМ РЕШЕНИЯМ..................... 123
6.2 ПРИМЕРЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ . 128
6.3 О ВОЗМОЖНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ, БЛИЗКИХ К ПОРОЖДАЮЩИМ РЕШЕНИЯМ 134
7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 141
ЛИТЕРАТУРА 144
3
ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ
Задача N тел, т.е. описание возможных движений N материальных точек, притягивающихся по закону Ньютона, является одной из основных фундаментальных проблем небесной механики и динамики. Роль ее в развитии математики и естествознания невозможно переоценить. За триста лет в этой проблеме получено немало результатов первостепенной важности; еще больше идей и результатов в смежных областях науки обязаны своим происхождением небесно-механической задаче N тел. Увлекательная история развития и вза-имообогащения небесной механики и других наук — тема отдельного исследования. Во всяком случае ясно, что актуальность задачи N тел отнюдь не исчерпывается астрономией и механикой космического полета.
Основные цели настоящей работы — развитие методов решения нсбссномеханической задачи N тел, получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых типов траекторий. в том числе представляющих интерес для астрономии и механики космического полета.
В настоящей работе мы сможем коснуться лишь некоторых аспектов необъятной проблемы, именуемой “задача N тел”. Обозначим эти аспекты.
Одним из основных способов решения задач динамики является интегрирование в смысле нахоэ/сдения полного набора интегралов уравнений двиэ/сения. В случае успеха этот способ обычно ведет к цели, т.е. дает практически полное количественное и качественное
4
описание возможных движений с умеренной вычислительной трудоемкостью. Общеизвестно утверждение о неинтегрируемости задачи N тел. Оно, несомненно, справедливо. Тем более интересно, что, как оказалось, в некоторых областях фазового пространства точные решения задачи N тел на всей оси времени устроены сравнительно просто. В частности, для таких движений имеет место интегрируемость в классическом смысле слова. Глава 3 посвящена обсуждению этого вопроса. Актуальность его обусловлена также интересом к интегрируемым динамическим системам в последнее время.
Разработанный в главе 3 инструментарий допускает обобщения на более сложные варианты задачи N тел. Одно из таких обобщений представлено в главе 4, где рассмотрены случаи обмена, захвата и распада в задаче трех тел. В результате для этих нетривиальных движений оказалось возможным получить столь же полное описание на всей оси времени, что и в интегрируемых случаях, рассмотренных в главе 3.
Траектории задачи N тел демонстрируют поразительное богатство свойств. Наряду со сравнительно просто устроенными семействами движений, соответствующими интегрируемым и примыкающим к ним случаям, существуют и весьма сложно устроенные множества траекторий. Для них часто используют термин "хаос” в разных вариантах. Не всегда авторы придают "хаотической" терминологии точный смысл. Мы стремились по возможности точно описать свойства сложных траекторий, для чего использовали в главах 5. б элементы формализма "квазислучайных движений", разработанного еще в 60-х годах московским математиком В. М. Алексее вы м. В последнее время хаос — модная тема исследований в различных динамических системах. Поэтому рассмотрение сложно устроенных семейств траекторий задачи N тел представляется актуальным с теоретической точки зрения.
Рассматривая математическую задачу N тел, мы старались выбирать ее актуальные варианты и модификации с учетом возможных приложений в астрономии и механике космического полета. Так. мы исследуем сложные (хаотические стохастические) траектории в специальным образом ограниченной задаче N тел, описывающей
движение космического аппарата со многими сближениями с планетами. Сближения соответствуют гравитационным маневрам — одному из перспективных способов осуществления космических экспедиций. Разработанные приемы позволяют получать и исследовать свойства и характеристики соответствующих траекторий. Рассмотрение индивидуальных движений в "стохастических" случаях сталкивается с определенными сложностями, но их удается преодолеть.
Мы стремились получить и исследовать точные решения различных вариантов задачи N тел. Иногда это удавалось в полной мере. Поясним используемый нами термин "точное решение". Прежде всего, предполагается наличие конструктивного алгоритма, позволяющего вычислять положения и скорости тел. При этом трудоемкость вычислений должна быть умеренной равномерно по времени на рассматриваемом интервале для всех достаточно высоких значений точности, которые могут представлять интерес. Естественно разделяются случаи, когда нас интересует лишь ограниченный интервал времени и когда — все его значения. Точное решение на ограниченном интервале времени обычно может быть получено с помощью численного интегрирования уравнений движения. Более интересно, однако, непродолжаемое точное решение — для всех значений времени. В этом случае одно численное интегрирование вопроса не решает. Далее, понятие "точное решение" подразумевает средства (алгоритмы) для качественного описания всего исследуемого множества движений, также с умеренной трудоемкостью.
Близкое к полному описание траекторий и их свойств оказывается возможным только после разделения задачи N тел на части, выделения из всего множества движений семейств однотипных движений при "индивидуальном подходе" к каждому семейству. В настоящей работе рассмотрены лишь некоторые типы движений, составляющие малую часть всего их многообразия в задаче V тел. Рассмотренные типы представляют в определенном смысле противоположные случаи — простые, интегрируемые движения и сложные, стохастические, причем стохастичность проявляется явно и сравнительно быстро. Интересно, что во всех рассмотренных случаях (а также и в других, не вошедших в настоящую диссертацию [105], |54])
б
методику решения задачи удается свести к одной схеме, традиционной для классической небесной механики:
1. Построение порождающих (промежуточных) движений.
2. Исследование свойств порождающих движений.
3. Построение траекторий (точных решений), соответствующих порождающим движениям, в рамках теории возмущений.
4. Обоснование применимости порождающих движений (переносимость свойств порождающих движений на точные решения, в т.ч. на бесконечном интервале времени, оценка точности порождающих решений и т.д.).
Реализация этой схемы для траекторий разных типов происходит по-разному. Различны роль каждого пункта схемы, возникающие задачи, их сложность и важность, результаты, которых удается достигнуть. На первый взгляд может показаться удивительным, что порождающие решения играют такую существенную роль. Как известно, это понятие широко использовалось в докомпьютерную эпоху в самых разных модификациях для получения аналитических решений уравнений возмущенного движения. Сегодня такие уравнения, как правило, решаются численно без проблем. Роль порождающих движений несколько меняется. Во-первых, они по-прежнему играют роль аппроксимации траекторий исследуемой динамической системы, позволяя решать многие вопросы, где не требуется высокая точность, с малой вычислительной трудоемкостью. В частности, речь может идти о качественном описании траекторий. Во-вторых, в теоретических исследованиях, связанных с поведением решений на всей оси времени, численное интегрирование не эффективно. Применяемые итеративные методы требуют адекватных начальных приближений. В третьих, при исследовании индивидуальных стохастических траекторий численными методами возникают трудности их идентификации, связанные с сильной неустойчивостью движения. Здесь также помогают порождающие движения. Наконец, изобилие стохастических траекторий и многообразие их свойств настоятельно требует использования аппроксимации для получения обозримой общей картины возможных движений.
Рассмотрим содержание более подробно.
7
Глава 2 посвящена истории вопроса. В ней приведен обзор литературы, никоим образом не претендующий на полноту хотя бы по причине необъятности темы.
Ключевым моментом в доказательстве интегрируемости задачи N тел является возможность построения точных решений на всей оси времени с использованием итеративных алгоритмов пикаров-ского типа. В настоящей работе мы часто для краткости системы, для которых такое построение возможно, называем интегрируемыми. Сходимость итераций обусловлена достаточно быстрым убыванием возмущающих сил в окрестности порождающего движения. В качестве порождающих движений рассмотрены прямолинейные равномерные (возможно в комбинации с кеплеровыми). В параграфе 3.1 исследуется случай одиночных тел с большими относительными скоростями без тесных сближений. В параграфе 3.2 рассмотрена ограниченная гиперболическая задача трех тел Солчцс-планета-звезда. Наконец, параграф 3.3 посвящен системе, состоящей из тесных двойных подсистем с большими относительными скоростями. причем расстояние между центрами масс подсистем всегда много больше расстояния между двойными. В п. 3.4 обсуждаются вопросы интегрируемости систем рассматриваемого вида, то есть возможность построения полного набора не зависящих явно от времени интегралов — функций, постоянных на траекториях. В п. 3.5 обсуждаются результаты п. 3.2 применительно к Солнечной системе и се соседям. Показано, в частности, что условия интегрируемости выполняются для всех известных в настоящее время звезд и планет. Можно сделать некоторые общие выводы о достаточных условиях устойчивости планетных систем относительно ближайших звезд. Кроме того, несложно получить аналитические оценки возмущений орбит планет ближайшими звездами.
В случае одного тройного сближения обобщение метода построения точных решений может быть получено, если разбить всю ось времени на три отрезка. На каждом из отрезков точное решение получается с помощью пикаровских итераций. иСшивка" этих точных решений позволяет получить обмен (а также захват и распад) в ограниченной задаче трех тел. В результате мы получаем столь
8
же полное описание траекторий, как и в интегрируемом случае, для существенно более сложных вариантов задачи трех тел. В п. 4.1 рассматриваются порождающие решения. По-прежнему они составлены из кеплеровых орбит и прямолинейных равномерных движений. В отличие от главы 3 э’ти порождающие решения заданы не сразу для всех значений времени, а на соответствующих отрезках. В п. 4.2 исследуется сходимость итераций к .очному решению на всей оси времени.
Порождающие стохастические движения, рассмотренные в настоящей работе, устроены существенно сложнее, чем в интегрируемых и примыкающих к ним случаях, рассмотренных в главах 3 и 4. Их рассмотрению посвящена глава 5. Параграф 5.1 содержит описание рассматриваемой динамической системы, метода точечных гравитационных сфер (далее — ТГС), используемого для приближенного описания гравитационных маневров, а также некоторые характеристики гравитационных маневров у различных планет Солнечной системы. В п. 5.2. обсуждается возможное преобразование ксплсро-вой орбиты при одном маневре. В п. 5.3 приведен пример решения одной астрономической задачи с помощью формализма ТГС. Речь идет о максимальной скорости межзвездной частицы, которая может быть захвачена на эллиптическую гелиоцентрическую орбиту после тесного сближения с планетой. В п. 5.4 приводятся методы построения орбит соударения, из которых составляются порождающие стохастические движения. Эти методы опираются на классический инструментарий задачи двух тел. Следующий п. 5.5 посвящен непосредственно алгоритмам построения порождающих стохастических движений, основным свойством которых является недетерминированность. В п. 5.6 в качестве примера более подробно рассмотрены некоторые семейства стохастических порождающих движений в ограниченной круговой задаче трех тел. Для их описания естественно использовать формализм, который можно рассматривать как обобщение "маршрутных схем", введенных В.М.Алексеевым |6|. Следующие параграфы 5.7 и 5.8 посвящены областям достижимости рассматриваемых порождающих движений. Общий итог можно кратко сформулировать так: с помощью последовательности пас-
9
сивных гравитационных маневров как правило возможен переход между произвольными кеплеровыми эллиптическими орбитами, пересекающими орбиты планет. Именно, пусть заданы две эллиптические орбиты, пересекающие орбиты каких-либо планет. Тогда существует последовательность эллиптических орбит (также пересекающих орбиты планет), такая что первая и последняя орбиты совпадают с заданными, а переходы между последовательными орбитами могут быть совершены с помощью пассивных гравитационных маневров. В п. 5.9 приведены также некоторые априорные оценки (полученные до построения семейств порождающих траекторий) и результаты, характеризующие потребное время и число маневров в разных ситуациях. Примеры порождающих движений приведены в п. 5.10. Эти примеры построены с помощью программного комплекса “Странник”, в основе которого — алгоритмы и методы, описанные в пп. 5.4, 5.5. Проиллюстрированы широкие возможности, которые предоставляют гравитационные маневры. В частности, мы искали быстрые экономичные перелеты к Юпитеру и другим планетам-гигантам, однако конкретные оптимизационные задачи не решались.
Глава б посвящена теории возмущений для стохастических траекторий и обоснованию применимости для них полученных в главе 5 результатов, относящихся к порождающим решениям. Описание алгоритма построения точных решений, соответствующих выбранным порождающим движениям, с использованием численного интегрирования уравнений движения, приводится в п. 6.1. Алгоритм позволяет с помощью итераций построить точное решение исходных дифференциальных уравнений движения, близкое к выбранной “стохастической” порождающей траектории. Сходимость итераций к точному решению как правило имеет место (по крайней мерс на ограниченном интервале времени) и обусловлена сжатием в соответствующем функциональном пространстве. Результаты вычисления стохастических траекторий в плоской ограниченной круговой задаче трех тел, иллюстрирующие “практическую” сходимость итераций на ограниченном интервале времени, приведены в п. 6.2. В последнем п. 6.3 обсуждается возможность построения точных решений,
10
вечно близких к выбранным стохастическим порождающим решениям. Такая возможность означает квазислучайность движений по Алексееву. Объясняется хорошая сходимость итераций, наблюдаемая в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.
В Заключении сформулированы и обсуждаются основные результаты, выносимые на защиту. В концентрированном виде они выглядят следующим образом.
1. Метод получения точных решений задачи N тел для всех значений времени в случае больших энергий вне тесных сближений, оценки области применимости этого метода, интегрируемость задачи N тел в рассматриваемом случае.
2. Метод получения точных решений ограниченной задачи трех тел для всех значений времени в случае больших энергий с одним сближением.
3. Свойства и методы построения порождающих стохастических движений в гравитационном поле Солнечной системы. Характеристики порождающих траекторий с гравитационными маневрами в Солнечной системе.
4. Методы построения траекторий, соответствующих порождающим стохастическим движениям, и обоснование применимости порождающих движений.
Сформулированы представляющиеся наиболее актуальными нерешенные задачи и направления исследований, вытекающие из полученных результатов.
Научное и практическое значение работы состоит в разработке новых методов решения небесномеханической задачи N тел к получении на этой основе новых результатов, качественных свойств и количественных характеристик траекторий небесных тел. Так. новыми являются: установление региональной интегрируемости задачи N тел; возможность построения точного аналитического решения для некоторых траекторий обмена, распада и захвата в задаче трех тел; приближенное описание семейств траекторий со многими
11
сближениями, позволяющее сравнительно простыми, а иногда элементарными средствами устанавливать свойства и характеристики движений; метод учета возмущений для сложных движений со сближениями и обоснование применимости приближенного решения задачи N тел в этих случаях.
Публикации. Основные идеи и результаты настоящей диссертации изложены в работах [71|, [74|, [75|, [76| (77]. Кроме того, результаты опубликованы в [70|, [72], [73], [78],• [34], [113], [79], [80], [114], (1151.
Апробация. Результаты работ по теме диссертации регулярно докладывались на Чтениях по космонавтике, посвященных памяти пионеров исследования космического пространства на секции небесной механики (Москва), на конференциях в Институте Теоретической Астрономии РАН и Институте Прикладной Астрономии РАН (Санкт-Петербург), на Симпозиумах по теоретической и небесной механике (Великие Луки), на семинарах кафедры небесной механики СПбГУ. Кроме того, доклады делались на двух международных конференциях в Петрозаводске (1993 г. и 1995 г.), Симпозиуме МАС N 172 в Париже (1995 г.), на конференции в Архангельске (1995 г.), на конференции в ГАИШ МГУ (1997 г.), совещании в Казани (1989 г.). совещании в Центре Управления Полетами (Калининград-Королев Московской области, 1989 г.), совещании в Киеве (1990 г.), на семинаре кафедры теоретической механики МГУ (рук. В.В.Козлов), на городском семинаре по механике космического полета (рук. В.А.Егоров, В.В.Белецкий, МГУ), на международной конференции, посвященной памяти проф. К.Ф.Огородникова (Санкт-Петербург, 2000 г.), на семинаре обсерватории университета Турку (Финляндия, 2001 г.). Опубликованы резюме многих докладов.
В работах, выполненных в соавторстве с К.В.Холшевниковым и посвященных интегрируемости задачи N тел, автору принадлежит идея применения пикаровских итераций для построения точного решения задачи N тел на всей оси времени, использования этого решения для доказательства интегрируемости, а также обоснование сходимости итераций в этой задаче в случае больших энергий. К.В.
12
Холшевникову принадлежит обобщение метода построения точного решения с использованием метода Пикара на общий случай систем с быстрыми и медленными переменными и математическое обоснование в этом случае, а также математическое доказательство существования интегралов дифференциальных уравнений в случаях сходимости пикаровских итераций к точному решению для всех значений времени. В работах, выполненных в соавторстве с В.Б.Титовым и А.В.Елькиным и посвященных построению стохастических решений задачи N тел, автору принадлежат основные идеи и методы решения задач. В.Б.Титов и А.В.Елькин составляли компьютерные программы по алгоритмам, разработанным автором. Отладка программ и вычисления производились совместно.
Работа по теме настоящей диссертации проходила при финансовой поддержке грантов Госкомвуза, а также Государственной Научно-Технической Программы “Астрономия” и Федеральной Целевой Программы с тем же названием.
Автор благодарен научному консультанту проф. К.В.Холшевникову, под руководством которого работал со студенческих лет; коллегам-астрономам СПбГУ, а также коллегам из НПО им. Лавочкина, с которыми ему посчастливилось сотрудничать.
13
- Київ+380960830922