Спутниковые методы планетной гравиметрии

Оглавление
Введение 4
1 Интегративные принципы планетных исследований 11
1.1 Интегративные алгоритмы геодезии и
гравиметрии........................................ 11
1.2 Задачи планетной гравиметрии и особенности их
решения........................................... 20
1.3 Общий вид уравнений наблюдений и уравнений поправок в небесной системе координат.............. 35
1.4 Уравнения наблюдений и уравнения поправок в
планетной системе координат....................... 39
1.5 Задача навигационной привязки КА.................. 43
1.6 Интегративный подход к построению лунной (планетной) системы координат . . . ..................... 50
1.7 Вычисление весов при совместной обработке разнородных наблюдений..................................... 59
1.8 Оценивание параметров гравитационного ноля по разнородным наблюдательным
данным............................................ 63
1.9 Итоги и вывода.................................... 70
2 Определение параметров гравитационного поля методом спутниковой градиентомегрии 77
2.1 Спутниковая градиентометрия: бортовые
измерения вторых производных гравитационного потенциала ....................................... 77
2.2 Уравнения наблюдений и уравнения
поправок спутниковой градиентометрии.............. 81
1
2.3 Поля вторых производных гравитационных потенциалов Луны и Марса на спутниковых высотах . . 89
2.4 Постановка численного эксперимента
по спутниковой градиентометрии Луны и Марса . . 95
2.5 Выбор спутниковых орбит и состава измерений для определения параметров гравитационных полей Луны и Марса.....................................102
2.6 Влияние ошибок различной природы на точность оценивания параметров гравитационного потенциала 114
2.7 Итоги и выводы................................126
Межспутниковое слежение в системе коорбиталь-ных искусственных спутников 133
3.1 Задача определения гравитационного поля по данным об относительном движении искусственных спутников ..........................................133
3.2 Межспутниковое слежение: уравнение наблюдений
и уравнение поправок для лучевых скоростей ... 137
3.3 Численный эксперимент по межспутниковому слежению в системе коорбитальных искусственных спутников Луны и Марса...............................141
3.4 Влияние ошибок различной природы па точность оценивания параметров гравитационного потенциала 151
3.5 Комплексный эксперимент по межспутниковому слежению и спутниковой градиентометрии в окрестности Луны и Марса.................................161
3.6 Кинематика относительного движения и устойчивость системы почти коорбитальных спутников ...........................................176
3.7 Итоги и выводы................................185
Определение параметров гравитационного поля по лучевым ускорениям искусственных спутников 190
4.1 Лучевые ускорения и их использование
в планетной гравиметрии ..........................190
4.2 Уравнение наблюдений для лучевых
ускорений искусственного спутника..............195
2
4.3 Межспутниковое слежение в системе разновысоких спутников: уравнение наблюдений и уравнение поправок . ........................................... 198
4.4 Задача трансформации дискретных измерений путем повышения порядка
производной.......................................207
4.5 Выбор орбитальной конфигурации для проведения межспутниковых измерений ............................213
4.6 Численный эксперимент в системе разновысоких искусственных спутников
Луны и Марса......................................220
4.7 Итоги и выводы....................................230
Заключение * 234
Литература 241
3
Введение
Детальная и достоверная информация о гравитационных полях тел Солнечной системы необходима для решения различных научных и прикладных задач. В их числе прежде всего следует назвать фундаментальную проблему изучения внутреннего строения небесных тел, а также геологической истории их формирования и эволюции. Весьма важными представляются астрометрические и геодезические вопросы установления основных направлений и отсчетных поверхностей, используемых для координатно-временной привязки космических экспериментов. Наконец, движение космических аппаратов (КА) в сфере гравитационного действия исследуемого небесного тела не может быть удовлетворительным образом предсказано и описано в отсутствии сведений о действующих на них силах, в ряду которых сила притяжения играет доминирующую роль. Задача установления параметров модели гравитационного поля приобретает в указанном контексте небесномеханический смысл, поскольку решение ее обеспечивает баллистические и навигационные потребности определения движения КА. < .
Таким образом, составляющая основу планетной гравиметрии проблема исследования гравитационных полей небесных тел носит комплексный характер и представляет собой сферу приложения интересов различных областей науки и техники.
Наиболее эффективными экспериментальными методами решения этой проблемы являются методы, основанные на анализе динамики движения искусственных спутников в зоне притяжения исследуемых гравитирующих масс.
Классическая схема оцепивания параметров модели гравитационного поля опирается на интегрирование дифференциальных
4
уравнений возмущенного движения искусственного спутника этого тела, связывающих изменения элементов спутниковой орбиты с характеристиками возмущающих сил. Однако, следуя этой методике, не удается построить достаточно подробные многопараметрические модели потенциала, что вынуждает обратиться к иным методам, не связанным со сглаживающей процедурой интегрирования на значительных временных интервалах.
Для Земли решение задачи достигается привлечением данных иных видов измерений, получаемых методами наземной гравиметрической съемки и спутниковой альтиметрии. Применительно к другим небесным телам аналогичная потребность в детализации моделей поля также ведет к поиску альтернативных традиционным дополнительных источников наблюдательной информации. Речь идет о перспективах применения дифференциальных методов спутниковой гравиметрии, использующих искусственный спутник в качестве пробного тела, слежение за поведением которого доставляет детальные сведения о структуре внешнего гравитационного поля.
Это измерения относительных дальностей и скоростей КА в системе близких низкорбитальных спутников, измерения относительных лучевых скоростей и ускорений в системе спутников, обращающихся по разновысоким орбитам, а также бортовые градиентометрические измерения вторых производных потенциала силы притяжения. Предварительные оценки позволяют надеяться, что именно перечисленные виды измерений в самом недалеком будущем станут источником ценнейшей информации о подробностях структуры гравитационных полей ближайших к Земле тел Солнечной системы. Основанием к тому служит высокая ожидаемая точность и чувствительность измерений такого рода к региональным особенностям поля и его локальным аномалиям, открывающая возможности определения параметров потенциала в широком диапазоне частот.
Прообразом этих методов можно назвать многократно и весьма успешно реализованное в рамках различных планетных программ наземное допплеровское радиослежение за искусственными спутниками Луны, а также Марса и Венеры, с целью опреде-
5
ления лучевой компоненты вектора спутниковых ускорений.
Все перечисленные методы, следуя [179], возможно объединить под общим названием методов дифференциальных измерений в системах с изменяемой геометрией расположения элементов. Указанные системы могут быть реализованы как в виде пробных масс, находящихся внутри искусственного спутника, так и в виде группы спутников (в том числе субсателлитов-мишеней), образующих ту или иную орбитальную конфигурацию.
С учетом сказанного выше, основные цели диссертации сформулируем следующим образом:
• установление теоретических принципов и построение унифицированных алгоритмов обработки разнородных- наблюдательных данных, доставляемых спутниковыми методами диффепенциальных измерений в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс;
• поиск наивыгоднейших орбит и условий проведения спутниковых измерений, обеспечивающих максимальную точность оценивания параметров модели гравитационного поля исследуемого небесного тела (на примере Луны и Марса);
• исследование зависимости качества решения задач планетной гравиметрии от вида и состава привлекаемых наблюдений, а также влияния случайных и систематических ошибок различной природы.
Актуальность работы обусловлена двумя важными обстоятельствами: •
- разработкой новых спутниковых методов получения гравиметрической информации по измерениям в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс;
- долгожданным возрождением интереса к осуществлению новых космических программ исследований Луны, Марса и других тел Солнечной системы.
6
Отметим в этой связи, что проблемы планирования, обеспечения и управления космическими экспериментами в рамках программ планетных исследований вследствие их сложности, неоднозначности и наличия взаимоисключающих ограничений на функционирование используемых КА, как правило, не могут быть разрешены в общем виде. Реальные измерения перечисленными выше методами в настоящее время еще невозможны, поскольку соответствующая аппаратура находится в стадии разработки. В такой ситуации наиболее естественным и экономичным способом исследования эффективности применения рассматриваемых методов спутниковой гравиметрии становится анализ различных альтернативных сценариев решения задачи путем проведения серии численных имитационных экспериментов на ЭВМ. Заметим в этой связи, что, благодаря развитию возможностей современных средств вычислительной техники и эффективных методов прикладной математики, численные эксперименты получили широкое распространение в различных областях знаний, предваряя, дополняя, а в ряде случаев и вытесняя привычные натурные эксперименты.
Научная новизна и практическое значение исследований состоят в достижении следующих результатов:
• Исходя из анализа особенностей современного этапа изучения тел Солнечной системы, сформулирована основная задача планетной гравиметрии и показана целесообразность поиска путей ее решения на основе привлечения интегративных методов геодезии и гравиметрии.
• Разработаны универсальные методы и алгоритмы определения параметров моделей гравитационных полей небесных тел по данным разнородных спутниковых измерений.
• На основе развития теории обработки спутниковых измерений в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс получены уравнения наблюдений для вторых производных гравитационного потенциала, относительных лучевых скоростей в системе близких коорбитальных спутников
7
и относительных лучевых ускорений в системе искусственных спутников, обращающихся но разновысоким орбитам.
• Разработана методика проведения численных имитационных экспериментов с целью поиска условий, обеспечивающих достижение максимальной точности оценивания параметров гравитационных полей небесных тел. Для каждого из перечисленных выше спутниковых методов выполнена серия численных экспериментов, имитирующих процедуру определения искомых параметров потенциала силы притяжения Луны и Марса. Проведены эксперименты по совместной обработке разнородных наблюдательных данных спутниковой градиеитометрии и межепутникового слежения. По результатам вычислений высказан ряд рекомендаций по выбору оптимальных орбитальных характеристик и условий натурных измерений.
• Разработана методика оценки влияния случайных и систематических ошибок различной природы на величины гармонических коэффициентов, получаемых по материалам разнородных бортовых измерений. Проведен комплек численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность применения этой методики при вычислении параметров селено-и ареопотеициалов.
• Созданы рабочие алгоритмы и вычислительные программы, предназначенные для априорного анализа эффективности использования различных орбитальных построений КА, про-водяющих измерения с целью уточнения параметров внешних гравитационных нолей тел Солнечной системы.
Достоверность научных результатов и обоснованность выводов подтверждается их непротиворечивостью в сравнении с представлениями, сложившимися в данной области знаний, а также результатами исследований других авторов.
Апробация работы. Основные результаты, опубликованные в 28 статьях и тезисах выступлений [88 - 112] и [255 - 257], неоднократно докладывались на различных Международных, Все-
8
союзных и Всероссийских симпозиумах, конференциях и совещаниях. В их числе: астрометрические конференции СССР и РФ (Москва, 1981; С.-Петербург, 1993); конференция '’Селенодезия и динамика Луны” (Киёв, 1987); совещания Рабочей группы ’’Луна” АС АН СССР (Москва, 1982; Львов, 1989; Зеленчак, 1991); конференции ’’Современные методы физической геодезии и спутниковой геодинамики” (С.-Петербург, 1992), ’’Общепланетарные проблемы исследования Земли” (Казань, 1994), ’‘Физика и динамика Луны” (Харьков, 1994), ’’Стохастические методы и эксперименты в небесной механике” (Архангельск, 1995); симпозиумы по классической и небесной механике (Великие Луки, 1996 и 1998); конференция ’’Результаты и перспективы исследования планет” (Ульяновск, 1997) и др. Доклады автора также были представлены на съезде JENAM-95 (Италия, 1995); XX и XXI11 Генеральных Ассамблеях EGS (Германия, 1995 и Франция, 1998), 3-ей Международной конференции по освоению Луны (Россия, 1998) и ЯР-
На защиту выносятся:
• Формулировка основной задачи планетной гравиметрии и обоснование целесообразности применения интегративного подхода к поиску ее решения.
• Методы и алгоритмы реализации интегративных принципов определения параметров гравитационных полей небесных тел по разнородным измерениям в системах с изменяемой геометрией расположения элементов.
• Теоретические основы получения уравнений спутниковых наблюдений для вторых производных гравитационного потенциала, относительных лучевых скоростей в системе близких коорбитаяьных искусственных спутников и относительных лучевых ускорений в системе спутников, обращающихся по разновысоким орбитам.
• Постановка и результаты численных имитационных экспериментов, ориентированных на поиск орбитальных характеристик движения искусственных спутников и условий изме-
I
9
рений, обеспечивающих максимальную точность оценивания параметров моделей селе но- и ареопотенциалов.
• Постановка и результаты численных имитационных экспериментов по исследованию в рамках каждого из рассматриваемых спутниковых методов влияния ошибок различной природы на точность оценивания параметров гравитационных полей тел Солнечной системы на примере Луны и Марса.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе очерчен круг проблем и сформулирована главная задача планетной гравиметрии, а также подробно описана последовательность этапов определения параметров фигур, и внешних гравитационных полей небесных тел на основе интегративного подхода, обладающего максимальной универсальностью как с точки зрения объединения массивов разнородных наблюдательных данных, так и с точки зрения применения к различным телам Солнечной системы.
Вторая глава посвящена спутниковой градиентометрии - методу определения параметров гравитационного поля исследуемого тела по бортовым измерениям вторых производных потенциала силы притяжения.
Содержание третьей главы составляет исследование методов и путей решения основной задачи планетной гравиметрии по данным межепутникового слежения в системе двух коорбитальных искусственных спутников небесного тела.
В четвертой главе методика и условия решения этой задачи рассматриваются применительно к наблюдениям в системах искусственных спутников, обращающихся по орбитам, существенно различающимся по высоте.
Для удобства читателя каждая глава диссертации завершается параграфом ’’Итоги и выводы”, в котором конспективно излагаются полученные результаты и формулируются основные выводы исследований, описываемых в соответствующей главе.
Объем диссертации без библиографии составляет ‘240 страниц. В работе содержатся 45 рисунков и 5 таблиц. Список литературы включает 319 наименований.
10
Глава 1
Интегративные принципы планетных исследований
1.1 Интегративные алгоритмы геодезии и гравиметрии
Классические науки о Земле на всем протяжении своей истории развивались как науки о единственном и потому уникальном объекте исследований. Ситуация кардинальным образом изменилась в последние десятилетия, когда, благодаря достижениям практической космонавтики, появились возможности детального изучения различных тел Солнечной системы. Успешная реализация космических программ стимулировала интерес к переосмыслению методологии традиционно земных дисциплин, оценке эффективности и универсальности их методов, а также возможностей и перспектив их адаптации применительно к исследованию других небесных тел.
Не вызывает сомнений, что накопленный геодезией и гравиметрией богатейший арсенал методов решения разнообразных задач определения фигуры Земли, топографии ее поверхности и внешнего гравитационного поля должен быть с максимальной продуктивностью использован в процессе исследования планет и их спутников. Один из важнейших выводов, вытекающих из рассмотрения классических дисциплин в этой связи, состоит в том, что качественно новые результаты в указанных областях знаний, как правило, достигаются при комплексной обработке разнородных
11
наблюдений. Ограничимся здесь упоминанием лишь двух методов, особенно наглядно иллюстрирующих полезность объединения различных видов наблюдательных данных.
Это разработанный М.С.Молоденским метод астрономо-грави-метрического нивелирования, в согласии с которым совместное проведение астрономических, геодезических и гравиметрических измерений на некоторой территории обеспечивает достижение качественно нового результата - определения фигуры физической поверхности Земли [58].
Столь же принципиально повой оказывается возникшая в последние годы возможность оперативного определения фигуры локального геоида (квазигеоида) и ее изменений во времени, реализуемая в результате объединения данных высокоточного геометрического нивелирования и геодезических высот, получаемых путем пространственного позиционирования нивелирных станций с помощью спутниковых навигационных систем (GNSS) [283].
Оба этих метода служат убедительными примерами эффективности объединения разнородных данных, но, к сожалению, не обладают универсальностью ни с точки зрения видов привлекаемых наблюдений, ни с точки зрения применения к другим небесным телам.
Принцип универсальности в максимальной, на наш взгляд, степени реализуется в интегративной (единой) геодезии, с 1973 года развиваемой применительно к Земле Т.Крарупом, Г. Мор идем; Г.Гайном и др. [244], [245], [246], [247], [248], [249], [262], [276] и т.д.
Согласно Морицу [276], ’’Интегративная геодезия (INTEGRATED GEODESY) - это оптимальная комбинация данных различной природы, как геометрических, так и гравитационных, с целью определения фигуры и внешнего гравитационного поля Земли”. Сформулируем основные принципы интегративной геодезии: ■
• совместная обработка всех имеющихся наблюдений в рамках общей системы уравнений поправок;
• непосредственное вычисление пространственного положения искомых точек и значений необходимых трансформант гравитационного потенциала в них;
12
• отказ от каких-либо референтных поверхностей относимости, на которые введением различных (часто, кстати, малообоснованных) поправок редуцируются данные наблюдений в классической геодезии;
• использование пространственных (прямоугольных или сферических) систем координат.
Интегративный подход, таким образом, в первую очередь предполагает совместное уравиивапие всех имеющихся результатов разнородных наблюдений в рамках единой вычислительной модели. При этом результат уравнительных вычислений, выполняемых с учетом реального гравитационного поля совпадает с решением основной задачи геодезии об определении координат пунктов и внешнего гравитационного поля в одной и той же системе координат [146].
Основанием для совместного уравнивания является известный факт, что результат Ь любого геодезического измерения в общем случае представляет собой нелинейный функционал на потенциале силы тяжести IV, параметрами которого служат координаты X одной или нескольких точек пространства:
Ь = Е(Х,\У) (1.1)
где X - вектор положения точки (или нескольких точек), участвующих в наблюдении Ь, то есть X Є Еп, где Еп - евклидовое пространство размерности п,
\У = V-Ь у (Х2-Ь У2) - потенциал силы тяжести, V « потенциал силы притяжения во внешнем пространстве, и) - угловая скорость вращения Земли. Потенциал V Є Н, где Н - гильбертово пространство гармонических функций. В этом случае функционал Е отображает произведение пространств Еп и Н в пространство Е\ действительных чисел (на числовую ось):
Е : Еп х Н —> І Є Е\
Линеаризация функционала F осуществляется в окрестности априорно приближенно известного референцного значения X*
13
вектора координат X и нормального потенциала С/, в первом приближении моделирующего потенциал ТУ. Таким образом
Х = Х* + ЛХ, ТУ = 17 +Г,
где Т - возмущающий потенциал. Обозначим прямое произведение пространств X = Епх Н. Определяя надлежащим образом на элементах его
гх = {хъ Тг), г2 = (х2,т2)сг
операцию скалярного произведения [73], [196], можно утверждать, что множество X является гильбертовым пространством, а значения Е Е\ измеренных величин будут значениями функционалов Е{ Е X [18], [42].
Рассмотрим процедуру линеаризации функционала (1.1) несколько подробнее.
Пусть Епроизвольный дифференцируемый в точке X* функционал на X и и = V* + у(Х2 + У2). Тогда из дифференцируемости в точке X* — (X*, V*) функционала F(X, V) следует дифференцируемость функционала Е(Х, ТУ) в точке (Х\С7). Требуется линеаризовать функционал F(X) в окрестности точки X*, т.е. привести (1.1) к виду
F(X) = F(X*) + /^Х'УХ +
Здесь X = (X, V), X* = (Х\У*), № = £ - X* = (<?Х,Т),
F/(X*) - производная Р в точке X*, б(с/Х) - ошибка линеаризации. Понятно, что ^(Х*) Е X, где X - пространство линейных ограниченных функционалов, определенных на X [42].
В силу теоремы о структуре линейного отображения, определенного на прямом произведении нормированных векторных пространств [205, с.120] всякое линейное непрерывное отображение Е из Еп х Я в векторное нормированное пространство Е\ выражается, и притом единственным образом, в виде
Г(Х,У) = Г!(Х) + ^2(У)
где 7*1 (соответственно /2) является линейным непрерывным отображением (соответственно Н) в Е\. Тогда
Г(Х*)^Х = А(1Х + &Т,
И
причем каждому элементу F'(Z*) £ Z соответствует одна и только одна пара функционалов А £ ЕПуЯ £ Н. Здесь Еп и Н - пространства линейных ограниченных функционалов, определенных соответственно на Еп и Н. При этом задача отыскания F'(Z*) сводится к раздельному определению линейно непрерывных (вследствие их ограниченности [196, с.82]) функционалов: гс-мерного вектора А = и оператора ft.
Сказанное выше позволяет записать функционал (1.1) в линеаризованном виде:
f)F
dL — L — F(X\ U) = + 9КГ (1.2)
Слагаемое ftT в (1.2) обозначает результат действия линейного дифференциального оператора ft на возмущающий потенциал Т. В [42] показано, что для всех геодезических функционалов F £ Z оператор ft может быть выражен в стандартной форме
Я = fr{Z^)6{X*)grad (1.3)
где 6(Х*) - дельта-функционал, a /^(Z*) - трехкомпопентный
вектор-строка, получаемый дифференцированием функционала
—*
F (1.1) по координатам Лг* в поле U.
Объединение уравнений вида (1.2) для всех выполненных разнородных наблюдений приводит к системе уравнений поправок, традиционно записываемой в форме, несколько отличающейся от обозначений, принятых выше [135]:
Г= AX + Bs + n, (1.4)
где / - вектор поправок наблюдений (в смысле О - С),
А - матрица коэффициентов детерминированной (параметрической) составляющей системы уравнений поправок,
X - искомый вектор поправок в компоненты вектора положения,
В - матрица коэффициентов обусловленной влиянием гравита-
ционного поля псевдостохастической (сигнальной) составляющей системы уравнений поправок,
s - искомый вектор-сигнал, зависящий от возмущающего потенциала и его трансформант,
15
it - вектор случайных ошибок измерений.
Система уравнений поправок (1.4) в предположении некоррелированности сигнала 5 и шума п решается при условии
птС^хп 4- ё*з = min, - (1.5)
где СШ1 -автоковариационная матрица вектора п ошибок наблюдений,
Css - автоковариационная матрица вектора-сигнала s.
Этот метод, представляющий собой обобщение метода наименьших квадратов на случай бесконечномерных пространств, носит название метода среднеквадратической коллокации и широко используется в практике совместной обработки данных разнородных геодезических наблюдений (см. также параграф 1.8) [135], [145], [216], [277], [284], [287] и др.
В развитие изложенной интегративной концепции Тайном получены уравнения наблюдений вида (1.1) практически для всех видов наземных наблюдений [244], [245]. Первой программной реализацией соответствующих алгоритмов стала разработанная в 1981 году программная система OPERA [248]. В 1987 году были представлены усовершенствованные версии пакета OPERA 2.3, а затем - OPERA 2.4 [249]. Отметим, что последний вариант предусматривает включение в обработку также и результатов GPS-наблюдений.
Применению интегративных методов в динамической спутниковой геодезии и выводу уравнений спутниковых наблюдений посвящены работы Машимова и др.[128] и Тайна, Айсфеллера [247]. В [128] принимается следующая форма записи уравнения наблюдения:
L = Дь Пь GM$, {Cnm, 5nm}, Rp/n, Pt) (1*6) где обозначено: L - результат наблюдения;
Xq - вектор координат наземных пунктов, участвующих в этом наблюдении;
Eq - вектор начальных элементов орбит ИСЗ; fo - вектор положения центра масс Земли и параметров ориентации ее осей инерции относительно центра и направлений осей
16
используемой геодезической системы координат;
<7$ - вектор параметров вращения Земли;
GiV/ф - геоцентрическая гравитационная постоянная;
{Опт, Snm} - набор гармонических коэффициентов разложения геопотенциала в ряд объемных сферических функций;
Rp/n - матрица прецессии и нутации;
Pt - вектор параметров модели приливных явлений.
Линеаризация в окрестности референтных значений перечисленных параметров позволяет в общем случае перейти к уравнению поправок вида (1.4). Понятно, однако, что строгое решение получаемой в итоге системы уравнений является весьма сложной задачей как вследствие огромного объема вычислений, так и по причине неизбежной плохой обусловленности подобных систем, предполагающих совместное уточпение большого числа разнородных, но тесно друг с другом связанных параметров.
Развитием идей интегративной геодезии на геодинамическом уровне стали работы Панкрушина [153], [154], [155], [156], в которых с позиций системного анализа рассматривается задача моделирования геодинамической системы ” земная поверхность и гравитационное поле Земли” по результатам пространственно - временных рядов разнородных наблюдений.
Согласно [154] система разнородных наблюдений ?(*), выполненных в гравитационном ноле Земли моделируется нелинейным геодезическим функционалом вида
Ÿ(t)=m(xR(t),ë(t))+AY(t), (1.7)
где Y(t.) -вектор, формируемый поданным многомерных пространственно -временных рядов разнородных наблюдений, результаты которых вследствие нсстационарности геодинамической системы оказываются зависимыми от моментов (эпох) наблюдений * = 1,2,...;
XR(t) - расширенный вектор состояния системы в фиксированные моменты *, эволюция которого в дискретном времени представляется в форме:
= F(t)(XR(t - 1), 0(0) + T(t)Ф(*); (1.8)
17
0(*) - вектор детерминированных возмущающих воздействий на геодинамическую систему;
(/) - вектор коррелированных в общем случае ошибок наблюдений с ковариационной матрицей Кд(1);
/(£) - нелинейный геодезический функционал, в каждый момент і отображающий произведение метрических пространств, к кото-рым принадлежат вектора ХН(І) и 0(<), на числовую ось;
Г(і) - переходная функция состоялия;
Г(і) - переходная матрица воздействия Ф(0;
Ф(£) - вектор стохастических возмущающих воздействий с ковариационной матрицей Кф(<;).
В свою очередь расширенный вектор состояния Хл(і), эволюция которого моделируется выражением (1.8), представляется в виде
ХЯ(1) = (Х^),Х^),Х^)Т (1.9)
Хт(і) = (Хт(і),\¥т(і))т, (1.10)
где ЛГ(^) - вектор пространственных координат пунктов геодезической сети;
И/(^) - вектор значений геопотенциала в этих пунктах;
Хв(і) - вектор параметров движения и деформации геодинамиче-ской системы;
Хс - вектор параметров геодинамической системы, не зависящих от времени.
В вектор Хд(£) так же, как и в (1.6) могут быть включены и неизвестные параметры, характеризующие систему координат и изменения ее во времени.
Множество Хн{і) образует вектор состояния геодинамической системы ”земная поверхность и гравитационное поле Земли”, если можно найти такие две однозначные функции /(/) и .Р($), которые позволяют построить уравнения (1.7) и (1.8).
Пару уравнений (1.7) и (1.8) называют также моделью динамической системы в пространстве состояний. Для этой системы входами являются детерминированные воздействия 0(£), а выходами - У (і); ыа систему действуют стохастические возмущения
18
Ф(£) и ошибки измерений Ау(0* Оценивание расширенного вектора Хя(1) параметров, описывающего состояние системы, но данным массива измерений У(£) как решение уравнений (1.7), (1.8) и является задачей четырехмерной геодезии [154].
Важную роль при этом играет выбор устойчивого алгоритма решения. В работах [153], [154] рекомендовано проводить обработку пространственно-временных рядов наблюдений в соответствии с алгоритмом фильтра Калмана-Бьюси (ФКБ), представляющего собой динамическую систему, осуществляющую накопление информации о динамике исследуемой системы и, как следствие, повышение точности с ростом числа эпох. При обработке внутри одной эпохи алгоритм ФКБ переходит в алгоритм рекуррентного метода наименьших квадратов (МНК).
Справедливость требует, однако, заметить, что ранее Тайном с учетом изменения измеряемых и искомых величин со временем была предложена следующая форма записи функционала (1.1) [246]:
т = Г[Х(а^(Х(аЛЬ% (1.11)
где £(£) - зависящий от времени результат наблюдения;
Х(а, /) - зависящий от времени вектор положения одной или нескольких участвующих в наблюдении точек; а - постоянный во времени вектор параметров априорно устанавливаемой модели изменения вектора X со временем;
]¥(Х(а, 0>М) - зависящий от времени потенциал силы тяжести; Ъ - постоянный во времени вектор априорно устанавливаемой модели изменения потенциала силы тяжести со временем.
Замечательным примером интеграции идей и методов гравиметрии, геодезии и геофизики может служить гравитационная томография - разрабатываемый под руководством Ю.А.Тараканова метод получения трехмерного распределения аномалий плотности недр небесных тел по разнородным измерительным данным (см. цикл статей [179] - [186]).
Главный вывод настоящего параграфа состоит в том, что интегративный подход в каждом из изложенных вариантов обеспечивает объединение наблюдений как геометрической (расстояния, направления, углы и т.д.), так и гравиметрической (сила тяже-
19
сти, ее производные и т.д.) природы и последующую их обработку в рамках единой теоретической и вычислительной модели. Отмеченная универсальность интегративных методов располагает к дальнейшему рассмотрению эффективности использования идей интегративной геодезии применительно к изучению тел Солнечной системы.
1.2 Задачи планетной гравиметрии и особенности их решения
Сформулируем главную задачу планетной гравиметрии как определение фигур и внешних гравитационных полей небесных тел по данным разнородных наблюдений, выполненных в различных точках пространства. Исходя из этого, методы ее решения, как уже отмечалось выше, должны носить возможно универсальный характер и опираться при этом на следующие особенности современного этапа исследования тел Солнечной системы:
• проведение измерений в различных точках пространства (с поверхности Земли, с орбиты ИСЗ, с орбиты искусственного спутника исследуемого небесного тела, непосредственно с поверхности небесного тела и т.д.);
• преимущественное использование дистанционной спутниковой наблюдательной информации;
• разнородный характер результатов имеющихся и планируемых гравиметрических и геодезических измерений (направления, углы, расстояния, скорости, ускорения, компоненты градиентов сил и т.д.), в том числе измерений в системах с изменяемой геометрией расположения пробных масс;
• высокую точпость и большой объем измерительной информации;
• значительные различия в размерах, массах, форме и внутреннем строении тел Солнечной системы.
20
В данной работе нас будет главным образом интересовать проблема определения внешнего гравитационного поля исследуемого тела, сводимая к получению в каждой интересующей нас точке X внешнего пространства вектора ускорения д(Х) пробной еди-ничной массы. Планетная система прямоугольных координат X предполагается при этом жестко связанной с небесным телом. Хотя вектор д(Х) представляет собой равнодействующую всех сил, действующих на пробную массу, проблема определения гравитационного поля по существу сводится к определению поля ньютоновской силы притяжения, ввиду чего, обозначая потенциал ньютоновских сил У(Х), имеем:
д(Х) = дгоЛУ{Х) (1.12)
Потенциал У(Х) в общем виде определяется объемным интегралом
^> = с///рГ^
С = 6.674 • 10“им3/кг- сек2 - кавендишева гравитационная постоянная,
т - вектор положения элементарной массы с/га в планетной системе координат Ху т - объем гравитирующего тела.
Хорошо известно, что тела Солнечной системы сильно отличаются друг от друга, однако, с точки зрения планетной гравиметрии их возможно классифицировать следующим образом:
$ Небесные тела - обломки (Фобос, Деймос,- Амальтея, астероиды и т.п.). Впутрспнсе строение такого тела предполагается однородным, т.е. плотность его возможно считать постоянной, вследствие чего искомый гравитационный потенциал вычисляется непосредственным интегрированием по объему т в согласии с формулой (1.13). Геометрическая же фигура такого обломка, необходимая для интегрирования, может быть определена по фотографиям с борта КА [171].
4 Планеты земной группы (Меркурий, Венера, Земля, Луна, Марс, массивные спутники больших планет), отличающиеся
21
сравнительно высокой плотностью вещества недр и сильно выраженной неоднородностью внутреннего строения, препятствующей непосредственному вычислению потенциала по формул- (1.13) в отсутствии достаточно точных сведений о поведении плотностной функции. Для такого рода небесных тел процедура решения задачи определения внешнего гравитационного поля должна включать подбор подходящей математической аппроксимации правой части выражения (1.13), численные параметры которой выступают в роли параметров модели потенциала, подлежащих оцениванию по результатам измерений.
В литературе обсуждаются различные способы численно-аналитического описания потенциальной функции V(X) с помощью:
- набора точечных гравитирующих масс [15], [22], [36], [131], [151], [152], [178], [199], [215];
- разложения в ряд эллипсоидальных функций Ламе [82], [172];
- разложения в ряд выборочных функций [61], [120], [169], [202], [290];
- простого материального слоя [116], [318];
- конечных элементов [62], [213], [252], [290];
- функций гиперкомилексного переменного [87] и т.д.
Вопросы сравнения перечисленных способов рассмгггриваются в работах [14], [129], [132], [159], [238], [308] и др.
Наиболее употребительной формой описания ноля силы притяжения гравитирующего небесного тела, в особенности, с учетом абсолютно превалирующей в общем массиве измерительной информации доли спутниковых наблюдений, является разложение потенциала V(X) в ряд объемных сферических (шаровых) функций - ряд Лапласа:
GM 00 71 / RV1
V(X) =------[1+Е ХД —) (Спт cos т\ Snm sin mA)Pnm(sin <^)]
Р n=2 m=(A Р /
(1.14)
набор коэффициентов {С„т, 5„т} которого при п < N задает модель гравитационного поля небесного тела. В (1.14) приняты следующие обозначения: М, R - полная масса и средний радиус гравитирующего тела, /), <р, А - барицентрические сферические координаты точки X, N - размерность модели: максимальный поря-
22
док суммирования но индексу п, Рпт - присоединенные функции Лежандра, определяемые формулой
(1Л5)
Широкое распространение указанного способа модельного представления интеграла из (1. 13) обусловлено:
- ортогональностью системы сферических функций на единичной сфере;
- развитой теорией определения численных значений гармонических коэффициентов {Спто, 5пт};
- наглядностью геофизической интерпретации ряда коэффициентов низких степеней и порядков;
- наилучшим при фиксированном N среднеквадратическим приближением частичными суммами разложения по сферическим функциям моделируемой функции, непрерывно заданной на единичной сфере;
- наилучшим при фиксированном Дг среднеквадратическим приближением частичными суммами разложения по шаровым функциям гармонической функции V Е Я во всей внешней области.
Принципиальная теоретическая трудность использования разложения (1.14) заключена в том, что этот ряд безусловно сходится лишь вне пределов сферы наименьшего радиуса, целиком объемлющей все гравитирующие массы [159]. Причиной тому служит сложность геометрии поверхности и внутреннего строения планет земной группы, вследствие чего их гравитационное поле не удается с необходимой точностью описать замкнутым аналитическим выражением.
На практике гю-существу не принимается в расчет правомерность использования одного и того же разложения вида (1.14) для представления разнородной гравиметрической информации как в спутниковой зоне, так и на поверхности исследуемого небесного тела. Теоретическим обоснованием подобных действий служит фундаментальная теорема Рунге-Крарупа [135], позволяющая утверждать, что на поверхности любой сферы фиксированного радиуса существует разложение гравитационного потенциала в ряд сферических функций, который во внешнем по отно-
23