Содержание
Введение 5
1 Представление Гамильтониана в координатах Якоби 15
1.1 Координаты Якоби...................................... 15
1.2 Кинетическая и потенциальная энергия в кординатах Якоби 19
1.3 Представление гамильтониана в координатах Якоби в виде суммы невозмущенной и возмущающей части.................... 20
1.4 Гамильтониан для случая двух планет................... 21
2 Оскулирующие элементы 23
2.1 Различные системы оекулирующих элементов ............. 24
2.2 Скобки Пуассона в различных системах оекулирующих элементов.................................................. 28
2.2.1 Общий случай перехода от канонической системы к некононической........................................ 28
2.2.2 Отсутствие перемешивания импульсов и координат 31
2.2.3 Переход между неканоническими переменными при отсутствии перемешивания элементов первой и второй группы............................................ 33
2.3 Нахождение скобок Пуассона в различных системах оску-лирующих элеметов для задачи одного притягивающего центра..................................................... 34
2
2.4 Нахождение скобки Пуассона в различных системах оску-
лирующих элементов для планетной задачи................. 38
2.4.1 Матрицы Пуассона для случая двух планет......... 47
2.4.2 Сингулярности скобок Пуассона.................... 51
3 Представление гамильтониана в оскулирующих элементах 53
3.1 Невозмущенная часть..................................... 53
3.2 Функциональные свойства гамильтониана................... 54
3.3 Представление гамильтониана рядом Пуассона по всем элементам ...................................................... 56
3.4 Случай двух планет...................................... 59
3.5 Анализ свойств представления гамильтониана рядом Пуассона ........................................................ 61
3.5.1 Оценка границ суммирования....................... 61
3.5.2 Оценка числа коэффициентов....................... 67
4 Вычисление коэффициентов разложения гамильтониана 71
4.1 Выбор постоянных........................................ 72
4.2 Вычисление коэффициентов по интегральному представлению в элементах у^......................................... 76
4.2.1 Область интегрирования........................... 77
4.2.2 Вычисление )\ч в подынтегральном выражении ... 80
4.2.3 Выбор радиусов .................................. 81
4.2.4 Генерация случайных чисел........................ 82
4.3 Вычисление коэффициентов по интегральному представлению в элементах х^4\ у^.................................... 84
4.3.1 Область интегрирования........................... 85
4.3.2 Вычисление Н-2 в подынтегральном выражении ... 86
4.4 Практическая реализация метода ......................... 87
з
4.4.1 Вычисление радиусов ь3..........
4.4.2 Численные значения коэффициентов
Заключение
Литература
Введение
Изучение эволюции планетных систем, и прежде всего Солнечной, представляет собой одну из фундаментальных задач небесной механики. Вплоть до середины XX века исследование задачи проводилось в основном аналитическими методами. На этом пути были получены важные результаты. Перечислим их.
• Предложенный И.Ньютоном метод малого параметра разрабатывался многими астрономами, доведен до совершенства А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре. Практическое применение метода позволило представить элементы планетных орбит рядами по степеням параметра д, равного отношению масс Юпитера и Солнца. Доказано отсутствие вековых возмущений первого и второго порядков в больших полуосях [40].
Метод малого параметра описывает поведение планетной системы лишь на временнбм промежутке, меньшем (в лучшем случае ненамного превышающем) промежуток сходимости соответствующих рядов. Согласно [25] и [26] длина последнего обратно пропорциональна. /1. Таким образом, классические ряды типа Левсрье теорий движения планет можно с успехом использовать в эфемеридной службе. Но они не пригодны даже на временах порядка д '2, на которых строится астрономическая теория климата ледникового периода, не говоря уже о космогонических временах порядка д -г- д-4.
• Предложенный Г1.Лапласом и Ж.Лагранжем метод осреднения пре-
5
терпел многочисленные модификации (К.Гаусс, Ш.Делоне, А.Линд-стсдт, Х.Цейпсль, Н.М.Крылов, Н.Н. Боголюбов, Н. Д. Моисеев,
Н.Ф.Рейн, В.М.Волосов, Е.А.Гребеников, Г.И.Хори, А.Депри и др.) и, хотя и не доведен до совершенства, позволил установить следующее. При условии сходимости соответствующих рядов большие полуоси планетных орбит изменяются на малую вместе с д величину на бесконечном промежутке времени. Ряды метода малого параметра сходятся на временах порядка д-1. Ряды метода осреднения сходятся на множестве положительной меры фазового пространства при малых д. Асимптотический характер рядов позволяет делать уверенные выводы о поведении системы на промежутке времени Д£ ~ д 1, и несколько менее надежные при Д/ ~ д-2.
• Качественными методами теории дифференциальных уравнений установлено, что близкие в начальную эпоху к плоским круговым орбиты вечно остаются таковыми при условии малости изменения больших полуосей [21, 35, 36|.
Итак, аналитические методы к середине XX века показали устойчивость планетных систем типа Солнечной при М ~ д-1 и высокую вероятность устойчивости при Д£ ~ д-2. Времена порядка д 3 и выше остались недоступн ым и.
С семидесятых годов века на помощь аналитике приходят численные методы. Шаг интегрирования пропорционален наименьшему из периодов обращения принятых во внимание планет. Поэтому на временах порядка возраста Солнечной системы (5 • 109 лет) исследована только система планет-гигантов и Плутона, оказавшаяся устойчивой [41, 44]. Что касается всей системы от Меркурия до Плутона, то ее рассмотрение требует на два порядка больше машинного времени. Поэтому результаты до самого последнего времени были получены лишь для М ~ 108 лет. Недавно Ито и Таникава продлили интегрирование до 5 миллиардов лет.
6
Эти работы показали большую изменчивость орбит внутренних планет по сравнению с внешними (см. также работу [58]). Однако надежность результатов для всей планетной системы пока невысока, что отмечается самими авторами.
Численным моделированием найдена степень малости д, нужная для устойчивости орбит планет-гигантов [50]. Последняя сохраняется при д < 1/36, а при больших значениях параметра система распадается менее чем через 104 лет. Замечательно, что этот результат согласуется не только качественно, но и количественно с аналитическими оценками малости параметра (д < 1/30), при которых еще не происходит перекрытия резонансных зон при небольших порядках резонанс ноет и [22. 23].
Таким образом, численные методы решили вопрос об устойчивости движения планет-г и гантов на космогонических временах. Но вопрос об эволюции орбит планет земной группы и произвольных планетных систем типа Солнечной остался открытым.
В шестидесятые годы XX века аналитическая небесная механика получила новые мощные средства: KAM -теорию и метод преобразований Хори -Депри. КАМ-теория гарантирует, что близкие в начальную эпоху к плоским круговым орбиты вечно остаются таковыми для множества положительной меры фазового пространства при условии достаточной малости д. Л.Л. Соколов и К.В. Холшевников [22, 23] показали, что‘‘достаточная малость” достигается при планетарных массах, хотя до массы Юпитера дотянуть не удалось.
В восьмидесятые годы работами Ж.Ласкара открывается новый период применения аналитических методов в задаче об эволюции Солнечной системы. Ласкар реализует давнюю идею, приводит уравнения движения к виду, не содержащему быстрых переменных. Формулы замены и гамильтониан в новых переменных найдены аналитически. Система в осредненных элементах решена численно. Так как шаг здесь может быть
7
выбран порядка 250 лет, удалось продлить интервал интегрирования до десятков миллиардов лет [46, 47). Подтверждена устойчивость орбит планет-гигантов. Но планеты земной группы оказываются на границе устойчивости, а устойчивость орбиты Меркурия и вовсе под вопросом. Результаты эти требуют проверки и уточнения.
В настоящей работе сделан первый шаг в попытке продвинуться дальше в вопросе об эволюции планетных систем типа Солнечной на космогонических временах, используя мощный арсенал аналитических средств. “Солнечный тип” означает, что число планет N — порядка 10 или меньше; их массы малы по сравнению с массой Солнца (центральной звезды); орбиты близки к плоским круговым; орбитальные торы удалены друг от друга на конечное расстояние. Орбитальным тором будем называть множество, заметаемое орбитой при независимом изменении аргумента перицентра и долготы узла от 0 до 27г. В Солнечной системе эти условия выполнены при Лг = 8 — малой массы Плутон должен быть исключен из числа планет.
Метод решения задачи эволюции Солнечной системы делится на несколько шагов. Первый шаг состоит в получении разложения гамильтониана задачи в ряд Пуассона по всем переменным. В качестве последних берутся стандартные кеплеровские элементы. В дальнейшем используется гамильтонов формализм без сложных канонических элементов. Это возможно, т.к. метод Хори-Депри использует лишь скобки Пуассона [261, а последние, как показано в диссертации, легко вычисляются для любого набора фазовых переменных [31, 32).
Второй шаг состоит в вычислении производящей функции осредня-ющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри и гамильтониана в средних элементах с точностью до /Д а в дальнейшем — до д3 4- д4. Алгоритм использует стандартные процедуры с рядами Пуассона. Особого отношения требуют только малые знаменатели, но в пла-
8
нетных системах типа Солнечной их немного. Производящая функция позволяет найти и оценить отклонения оскулирующих элементов от средних (периодические возмущения).
Третий шаг состоит в численном интегрировании системы в средних элементах. Шаг интегрирования существенно (приблизительно в /I-1 раз) увеличивается, поскольку независимой переменной вместо времени t фактически является “медленное время” [lt. Кроме того, порядок системы дифференциальных уравнений в средних элементах составляет 2/3 от порядка исходной системы при сохранении интеграла энергии и трех интегралов площадей [27].
Полное решение поставленной задачи выходит за рамки кандидатской диссертации. Поэтому было решено ограничиться первым шагом, то есть получением разложения гамильтониана.
В классических методах коэффициенты ряда обычно находят, виртуозно используя различные специальные функции [1, 13, 24]: сферические, бесселевы, гипергеометрические, коэффициенты Ганзена, полные и неполные эллиптические интегралы, полиномы Тиссерана, полиномы и операторы Пьюкома и другие, что чрезвычайно усложняет алгоритм. Сейчас благодаря использованию ЭВА4 стало возможным исключить преобразования подобного типа. Широко применяются пуассонов-ские процессоры |7, 15] — специализированные системы для операций над рядами Пуассона. Они позволяют наиболее трудоемкие операции, с которыми приходится сталкиваться при построении аналитических и полуаналитических теорий движения, теперь перекладывать па средства специализированного программного обеспечения. Часто используются итерационные методы, например метод Бруке и метод Пикара [7]. В последнее время в разложении возмущающей функции начинает применяться метод преобразования Фурье [45].
9
- Київ+380960830922