Динамика космического аппарата вблизи Солнца

2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...................................................... 4
Глава 1. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ АППАРАТА 23
1.1. Постановка задачи о вычислении возмущений. Метод решения уравнений движения космического аппарата . . 23
1.2. Разложение возмущающей функции, обусловленной нецен-тральностью гравитационного поля Солнца .................... 30
1.3. Влияние светового давления на движение космического аппарата вблизи Солнца...................................... 44
1.4. Релятивистские возмущения элементов промежуточной орбиты КА................................................... 52
1.5. Возмущения элементов орбиты космического аппарата, обусловленные потенциальными силами . ...................... 61
Глава 2. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ, ПОСТРОЕНИЕ И
РЕШЕНИЕ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ.............................. 70
2.1. Метод дифференциального улучшения параметров движения космического аппарата из наблюдений ............................. 70
2.2. Построение условных уравнений при улучшении параметров орбиты аппарата ........................................ 79
2.3. Построение условных уравнений при улучшении параметров, характеризующих возмущающие факторы ................... 83
2.4. Применение метода наименьших квадратов и плохая обусловленность .................................................. 88
Глава 3. МЕТОДИКА, АЛГОРИТМ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
УЛУЧШЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КА ИЗ НАБЛЮДЕНИЙ . 92
3.1. Краткое описание алгоритма улучшения параметров дви-движения космического аппарата из наблюдений и характеристики вычислительной программы................................ 92
3
.* З.Р. Методтт??^ яг~™*— и характеристики программы вычислений по формулам теории движения КА...................... 98
Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОСМИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ИЗУЧЕНИЮ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ СОЛНЦА.................................... 104
4.1. Методика изучения гравитационного поля Солнца. Постановка задачи....................................................... 104
4.2. Принятая физическая модель .................................. 107
» 4.3. Результаты исследования .................................... 116
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................ 125
ЛИТЕРАТУРА........................................................ 129
%
С
4
ВВДДЕНИЕ
Для планирования любого космического эксперимента необходима его тщательная научная подготовка. Описание движения тел Солнечной системы с точностью, соответствующей точности современных наблюдений, требует уточнения динамических постоянных Солнца. Данное уточнение можно выполнить по измерениям движения космического аппарата (КА) вблизи Солнца. Запуск космического аппарата в сторону Солнца также предоставляет редкую возможность для проверки общей теории относительности (ОТО) и уточнения модели структуры недр Солнца.
Одна из возможностей экспериментальной проверки ОТО заключается в изучении предсказанного смещения перигелия орбиты Меркурия. Смещение перигелия можно измерить с точностью порядка О,5% [49]. Однако, с начала 1960-х гг. стало ясно, что смещение перигелия (по крайней мере частично) может быть вызвано несфе-ричностью Солнца [57]. Попытки измерить несферичность оптическими методами с Земли дают противоречивые результаты [58], [64].
Величина сжатия в стандартной модели гравитационного поля Солнца характеризуется коэффициентом J при второй зональной гармонике разложения потенциала притяжения Солнца. Значение «7 накладывает ограничения на распределение плотности, угловой скорости и магнитного поля внутри Солнца, и поэтому является полезным при разработке и проверке моделей внутренней структуры Солнца [77]. Таким образом, в настоящее время является важной проблема определения величины *7 .
А
Стандартный метод определения гравитационных коэффициентов тела состоит в оценке их значений по возмущениям траектории движения аппарата при прохождении вблизи тела. По этой причине, а также с целью изучения частиц и полей, оптического исследования
Солнца, ЫАБА была предложена и проанализирована космическая программа, получившая название ‘^агргоЬе" [73], [77]. Согласно
этой программе предполагается вывести космический зонд на гелиоцентрическую орбиту с эксцентриситетом близким к единице и утлом наклона 90° к плоскости эклиптики. Расстояние в перигелии должно равняться четырем радиусам Солнца. Для определения J с относи-
3
тельной точностью (1 + 2)*10"8 будет использоваться прецизионная доплеровская система слежения за траекторией полета и бортовая система компенсации торможения, с помощью которой КА удерживается на траектории, определяемой почти исключительно гравитационными силами [50], [51], С53], [66]—[69]9 [72], [74] [75], [87].
Целью настоящей работы являлось создание теории, методов и вычислительных программ, обеспечивающих планирование и проведение космического эксперимента по определению параметров гравитационного поля Солнца. Была поставлена задача оценки точности определения искомых параметров на основе радиотехнических измерений геоцентрической дальности и скорости по лучу зрения космического апппарата, движущегося вблизи Солнца. При планировании эксперимента важно знать зависимость точности от конфигурации орбиты и состава измерений. Для решения такой задачи мы включили в комплекс методов и программ моделирование всего цикла определения параметров.
Все задачи, решаемые на основе наблюдений КА, связаны единой цепью, центральным звеном которой является теория движения аппарата. Для успешного решения этих задач необходимо, чтобы теория по точности опережала наблюдения. Высокоточные наблюдения КА подтолкнули развитие аналитической теории движения аппаратов, обусловили возникновение новых, более совершенных методов численного интегрирования уравнений движения. Возникла необходимость в новых подходах к рассмотрению фундаментальных проблем, в
создании новых методов решения. Поэтому задача определения параметров движения космического аппарата на основе развитой аналитической теории имеет большое научное значение.
На основе результатов наблюдений КА определяются параметры трех типов. Первый из них - это параметры орбиты аппарата или начальные условия движения. Параметры второго типа характеризуют факторы, влияющие на движение космического аппарата. Это - коэффициенты разложения гравитационного потенциала Солнца, релятивистские параметры и др. К третьему типу относятся параметры, характеризующие условия наблюдений, то есть координаты пунктов наблюдений, параметры вращения Земли, инструментальные константы. Возможность одновременного определения всех этих параметров ограничивается тем, что различные факторы могут вызвать похожие эффекты в измеряемых величинах. Разделить эти эффекты можно лишь при накоплении достаточного числа наблюдений определенного состава.
Проблемы построения аналитической теории движения космического аппарата по орбитам с эксцентриситетом близким к единице.
Задача расчета траектории движения КА сводится к решению задачи Коши для системы дифференциальных уравнений. В случае высокоэллиптических орбит правые части этих уравнений вдоль решений представляют собой быстроосциллирующие функции времени. Данные осцилляции в основном обусловлены орбитальным движением аппарата и вращением Солнца. Поэтому непосредственное численное интегрирование уравнений движения космического аппарата вызывает ряд трудностей, так как для достижения достаточной точности шаг численного интегрирования должен быть очень малым. Это влечет за собой большие затраты машинного времени и заметное влияние ошибок округления на результаты прогнозирования движения аппарата.
Совершенствование методов и алгоритмов, применение новых идей в этой области позволили значительно повысить эффективность численного интегрирования уравнений движения небесных тел. В качестве примеров создания новых высокоэффективных численных методов можно указать работы М.С.Яров-Ярового [48] и Э.Эверхарта [61]. Новые методы повышают до определенной степени эффективность алгоритмов численного интегрирования, однако прогресс численных методов по точности и по увеличению интервала времени достигается в основном еще большими затратами вычислительного времени. Исследованию движения искусственных спутников по высокое ллиптическим орбитам численными методами посвящены работы В.А.Шефера, А.В.Кардаш [45]. Т.В.Бордовициной, И.В.Мартыновой [6].
Для изучения эволюции высокоэллиптических орбит-- аппаратов и дли определения их движения также'применяются полуаналитические методы решения уравнений движения. Такие методы использовались в работах А.А.Соловьева, М.Л.Лидова, Е.Я.Ивановой [31]. [32],
[36].
В отношении точности, затрат вычислительного времени и величины интервала времени, на котором определяются координаты КА, аналитическая теория движения обладает бесспорными преимуществами. Она обеспечивает высокую точность на больших интервалах времени. Вычислительные программы, основанные на аналитической теории движения, требуют значительно меньших затрат вычислительного времени.
Теперь рассмотрим каковы же были трудности при построении аналитической теории движения аппарата. При рассмотрении задач небесной механики мы сталкиваемся с необходимостью вычислять с высокой точностью координаты движущегося объекта на заданные моменты времени при известных параметрах его движения. Решая эту
задачу, мы встречаемся с решением трансцендентного уравнения Кеплера
Е - е sin Е - U, (1)
где Е - искомая эксцентрическая аномалия, Ы - средняя аномалия, е - эксцентриситет орбиты. Наличие трансцендентного соотношения не позволяет представить решение дифференциальных уравнений не-возмущенного кеплеровского движения в алгебраическом виде. Получение явных выражений зависимости координат от времени в таком случае возможно лишь путем разложения величин невозмущенного движения в бесконечные ряды. Эта задача решена классической небесной механикой только для случая, когда эксцентриситет орбиты не превышает предела Лапласа [16], [38]
е* = 0,6627434193492...
Координаты небесного тела в эллиптическом движении могут быть представлены как явные функции эксцентрической аномалии Е. Определив Е как явную функцию времени t, мы получаем явные выражения величин, определяющих движение тела в пространстве. Разложения функции Е = Е(е, М), неявно определяемой уравнением Кеплера, и других величин эллиптического движения в классической небесной механике ведется двумя способами.
Первый способ. Разложения в бесконечные ряды Тейлора по целым положительным степеням эксцентриситета е. Коэффициенты рядов суть некоторые периодические функции средней аномалии М. Доказано [16], [38], [40], что радиус сходимости для рядов по-
ft
добного типа равен пределу Лапласа е . Следовательно, ряды по возрастающим степеням е сходятся абсолютно при любых значениях М, если эксцентриситет орбиты не превышает предела Лапласа. При
ft
значениях е £ е < 1 ряды типа Лагранжа могут оказаться расходящимися для некоторых Ы.
Второй способ. Разложения в ряды Фурье по кратным средней аномалии М. Коэффициентами этих рядов являются некоторые функции эксцентриситета е. Из теории рядов Фурье следует, что данные ряды сходятся условно для всех и при О ^ е < 1. Коэффициенты тригонометрических рядов для некоторых функций эллиптического движения могут быть выражены через элементарные функции. В общем случае они довольно просто выражаются через функции Бесселя. На практике, однако, как правило, приходится разлагать функции Бесселя в ряды по степеням эксцентриситета и пользоваться только их
первыми членами. Абсолютная сходимость в этом случае возможна
*
для всех У только при условии 0 5 е < е .
Разработке теории эллиптического движения небесных тел по орбитам с эксцентриситетом близким к единице в последнее время уделялось большое внимание. Н.Б.Еленевская [18] - [22] получила первые члены разложения эксцентрической аномалии Е, радиус-вектора г, прямоугольных координат и возмущающей функции по степеням приращения эксцентриситета е - ео в ряд Тейлора для эллиптического движения. В работе [21] проведено разложение пертурбационной функции в ограниченной круговой задаче трех тел по степеням е - ео пригодное для любых эксцентриситетов е (при определенном выборе значения ео). В работе [22] строятся ряды по степеням 1 - е. В работе Х.Х.Ахмата [4] выведены общие формулы для величин эллиптического кеплеровского движения в виде рядов, расположенных по возрастающим степеням приращения эксцентриситета.
Исследование области сходимости рядов такого разложения К.Шарлье [43] и Н.Б.Еленевской [22] показало, что абсолютная сходимость этих рядов возможна в интервале от О до 1,5720... При этом скорость и радиус сходимости зависят от выбора начального значения ео: с приближением ео к единице радиус сходимости очень быстро убывает. К.Штумпф [88] рассматривал разложения по степе-
ням е - eQ и исследовал области сходимости для величин гиперболического движения.
М.Ф.Субботин и А.Д.Дубяго [17], [38], [39] предложили в
случае высокоеллиптических орбит ввести вместо оскулирующих параметров а, е, AIq комбинацию элементов т, g, h (здесь а - большая полуось орбиты, Ыо - средняя аномалия в эпоху, г - время прохождения перицентра, q - расстояние перицентра, h = - а"1 -
постоянная интеграла энергии). Однако эта замена относилась лишь к дифференциальному исправлению рассматриваемых ими орбит.
Т.Леви-Чивита [65) предложил вести разложение эксцентрической аномалии по степеням величины
77 = --------- exp vr1 - е*. (2)
1 + i/1 - е2'
Из [38], [40], [65] известно, что разложения координат невозмущенного эллиптического движения абсолютно сходятся при всех значениях эксцентриситетов эллиптических орбит и при любом действительном значении М. При этом разложение ведется по целым положительным степеням параметра rj в промежутке 0 ^ 77 < 1, которому соответствует интервал 0 £ е < 1, с коэффициентами, зависящими от JY.
В работах Э.А.Борисова и Г.В.Морозовой [7] - [10], выведены разложения для некоторых величин эллиптического движения по степеням параметра Леви-Чивита, уравнения возмущенного движения для оскулирующих элементов орбиты, где в качестве одного из элементов используется параметр Леви-Чивита, и разложение пертурбационной функции в задаче трех тел. Однако коэффициенты построенных рядов выражаются кратными суммами. Последнее обстоятельство делает построенные формулы мало пригодными для приложений. Изложенный Б.И.Каминским [27] метод построения в ряды по степеням параметра 77 для функций эллиптического движения выражает коеффи-
11
циенты разложений однократными суммами, что значительно упрощает вычисления и позволяет использовать построенные ряды на практике. Следует заметить, что при ексцентриситете близком к единице скорость сходимости данных рядов очень медленная.
В 1744 году Леонард Эйлер [60] решал следующие две задачи:
1) когда орбита кометы мало отличается от параболы по промежутку времени, отделяющему рассматриваемый момент от момента прохождения через перигелий, найти истинную аномалию и радиус-вектор; р\ промежуток времени, которому соответствует данная ис- у
тинная аномалия, если орбита кометы мало отличается от параболы.
Эти задачи решаются при помощи рядов, расположенных по степеням величины
ZSL-.JP = 1--.£ (з)
р 1 + е*
здесь д - расстояние перигелия, р - фокальный параметр. Радиус сходимости этих рядов также убывает при стремлении эксцентриситета к единице.
В работах М.А.Шарафа [79] - [86] предложена теория разложения для эллиптического движения при произвольных эксцентриситете и большой полуоси. Орбита подразделяется на сектора, имеющие различные переменные, называемые секториальными. Эти переменные введены в работе [82] для регуляризации сильноосцилирующей возмущающей силы некоторых орбитальных систем. Сильноосцилирующая возмущающая функция подразделяется на несколько функций с более слабыми осциляциями. В работе [86] исследуются аналитические выражения для разложения Фурье сферического гармонического потенциала Земли в терминах секториальных переменных. Указано, что разложения сходятся очень быстро для любых эксцентриситетов эллиптических орбит.