Некоторые задачи неустойчивости вязкоупругих систем

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ .............................................. 5
1. МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ...................................................13
2. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ.............. 33
2.1. Общие уравнения движения вязкоупругих тел . . 33
2.2. Формулировка задачи об автоколебаниях вязкоупругих тел.............................................. 35
2.3. Приведение задачи о возмущенном движении к операторному уравнению..................................37
2.4. Определение критических параметров вязкоупругих систем..............................................38
2.5. Расчет автоколебательных режимов методом Ляпунова-Шмидта ........................................... 40
2.6. Исследование устойчивости автоколебаний ... 43
2.7. Аппроксимирование вязкоупругих систем с распределенными параметрами системами с конечным числом степеней свободы ............................... 45
3. ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ..............48
3.1. Устойчивость и автоколебания фрикционной вязкоупругой механической системы с одной степенью свободы .......................................... 48
3.1.1. Постановка задачи ............................. 48
3
3.1.2. Определение равновесных состояний и критических параметров систем....................................... . 51
3.1.3. Исследование устойчивости равновесных состояний
3.1.4. Исследование периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия ............................... 56
3.1.5. Исследование устойчивости автоколебательных режимов ....................................................... 58
3.1.6. Анализ результатов автоколебаний механических систем с одной степенью свободы . ................ 62
3.2. Устойчивость и автоколебания фрикционной вязкоупругой механической системы с двумя степенями свободы ........................................................ 63
3.2.1. Уравнения движения .................................... 63
3.2.2. Исследование устойчивости равновесных состояний.
Нахождение критических значений параметров . . 67
3.2.3. Исследование периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия ............................... 70
3.2.4. Исследование устойчивости периодических режимов 74 Выводы...................................................... 76
4. АВТОКОЛЕБАНИЯ ФРИКЦИОННЫХ ВЯЗЮУПРУШХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ............................................ 78
4.1. Постановка задачи ....................................... 78
4.2. Определение равновесных состояний и критических значений параметров системы ................................. 80
4.3. Определение амплитуд и частот автоколебаний ... 84
4.4. Исследование устойчивости равновесных состояний . 90
4.5. Исследование устойчивости автоколебательных режимов ......................................................... 92
Выводы.................................................. 95
ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕЗЕЦ-
СУПОРТ . ....................................................97
5.1. Постановка задачи и основные уравнения ..... 97
5.2. Исследование устойчивости равновесных состояний. Определение критических значений параметров системы .......................................................105
5.3. Определение амплитуд и частот периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний . . Ю7
5.4. Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся ОТ состояний равновесия ............... 115
5.5. Пример исследования автоколебаний системы резец-
супорт.................................................124
Выводы.................................................125
АВТОКОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СУП0РТ-РЕЗЕЦ-0БРА-
БАТЫВАЕМАЯ ДЕТАЛЬ............................................12?
6.1. Постановка задачи..................................... 127
6.2. Уравнения движения системы ............................ 129
6.3. Определение статического состояния системы. Нахождение критических параметров системы .... 138
6.4. Определение амплитуд и частот периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний . 140
6.5. Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия ............... 151
6.6. Пример исследования автоколебаний системы резец-
су порт-обрабатываемая деталь ........................ 154
Выводы.................................................158
Основные выводы по диссертации ....................... 161
Литература.............................................165
Приложения ................................... ..... 177
ВВЕДЕНИЕ
"Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981-1985 года и на период до 1990 года", принятые ХХУ1 съездом КПСС, предусматривают создание высокоэффективных и надежных машин, приборов, автоматизированных технологических линий. В связи с этим повышаются значение и требования к точности расчетов в машиностроении, в частности, относящиеся к исследованию устойчивости стационарных режимов и вибраций исполнительных и других механизмов. Одним из аспектов этой проблемы является разработка методов анализа автоколебаний во фрикционных устройствах, металлорежущих станках, бурильных установках и других деформируемых системах, подверженных действию неконсервативных нагрузок.
В работах А.А.Алифова [2-4] , А.И.Каширина [бз], С.С.Кедрова [54], Ю.И.Костерина [58, бо], И.В.Крагельского [58], А.В.Кудинова [63-65] , Г.С.Лазарева[бб] , П.С.Ланда[б7], Я.Г.Пановко[82), А.С.Пономарева [91, 92], А.П.Соколовского [9б] , А.Тондла [102]и других ученых выполнены исследования автоколебаний механических систем с малым числом степеней свободы.
Для систем с большим числом степеней свободы решены лишь ограниченные задачи о нахождении критических значений параметров, при которых равновесные состояния становятся неустойчивыми, причем рассматриваются линеаризованные уравнения движений, возмущенных относительно состояний равновесия. Метода исследования характеристических уравнений соответствующих дифференциальных уравнений, а также критерии устойчивости решений разработаны Раусом, Гурвицем, Найквистом, А.В.Михайловым, И.А.Вышнеградским.
Общие теоремы, относящиеся к устойчивости движения различных систем, сформулированы Л.М.Ляпуновым [?з], А.А.Андроновым [б], И.Г.Малкиным [7б] , Н.Г.Четаевым [108], Н.Н.Боголюбовым[14] , М.Розо [88].
В практических приложениях можно выделить три направления, основанные на применении:
- точных методов решения нелинейных уравнений, из которых наиболее распространенным является метод точечного преобразования поверхностей А.А.Андронова;
- приближенных методов (ассимптотического, малого параметра, гармонической линеаризации, усреднения и других), разработанных Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым [б2] , А.Пуанкаре [87], Ван-дер-Полем [24], Л.И.Мандельштамом [7б], Ю.А.Митропольским [78] , Е.П.Поповым [8б] ;
- методов статистической линеаризации, предложенных И.Е.Казаковым [50] , Б.Г.Доступовым [35] .
Особое место среди перечисленных методов занимает метод Ляпунова-Шмидта, позволяющий исследовать поведение деформируемых систем при действии неконсервативных нагрузок в "окрестностях" критических значений параглетров. Метод развит в работах М.М.Вайн-берга и В.А.Треногина [23] , В.И.ВДцовича [109-Ш], В.Г.Громова [31, 32].
Актуальность настоящей диссертации обусловлена необходимостью:
- дальнейшего развития методов теории устойчивости применительно к задачам о формулировании условий возбуждения автоколебаний, определении критических параметров, частот и амплитуд периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия вязкоупругих механических систем, исследованию устойчивости
этих режимов, обоснованию единственности получаемых решений;
- комплексного рассмотрения важных в теоретическом и практическом отношениях задач об анализе влияния различных нелинейных факторов и вязкоупругости на поведение фрикционных автоколебательных систем и механических систем при резании;
- анализа точности решений, полученных при аппроксимировании деформируемых тел системами с малым числом степеней .свободы;
- создания пакета программ для решения перечисленных задач на ЭВМ.
Цель диссертации: на основе теории устойчивости движения деформируемых тел разработать, реализовать и довести до практических приложений методики:
- определения критических параметров существенно нелинейных вязкоупругих систем;
- расчета амплитуд и частот автоколебаний;
- исследования автоколебательных до- и закритических режимов.
Задачи исследований:
1. Модификация методов теории устойчивости применительно к существенно нелинейным неконсервативным деформируемым системам.
2. Составление уточненных дифференциальных уравнений о колебаниях вязкоупругих систем, подверженных действию неконсервативных сил трения или резания.
3. Исследование работы моделей фрикционных механизмов с целью определения влияния различных факторов на:
- области неустойчивости равновесных состояний систем;
- критические значения параметров;
- частоты и амплитуды периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия;
е
- устойчивость автоколебательных режимов.
4. Анализ плоских автоколебаний механических систем типа су-порт-резец металлорежущих станков при обработке деталей большой жесткости с учетом:
—запаздывания контактных усилий относительно перемещений;
- сдвига по фазе продольной составляюшей силы резания относительно поперечной составляющей;
- нелинейной зависимости контактных сил относительно глубины и скорости резания;
- сил вязкого трения и податливости супорта;
- влияния изгиба резца на глубину резания.
5. Анализ автоколебаний механических систем при резании с учетом податливости обрабатываемой детали.
6. Составление пакета программ для решения задач на ЭВМ; разработка практических рекомендаций с целью исключения или ограничения автоколебаний фрикционных систем и систем типа супорт-ре-зец-обрабатываемая деталь.
Научная новизна диссертации:
Впервые автоколебания фрикционных и фрикционно-запаздывающих систем рассмотрены с позиций теории устойчивости. Возникновение автоколебаний трактуется как факт потери устойчивости равновесного состояния, а сами автоколебания - как до- или закритическое движение.
Предложен метод расчета критических параметров деформируемых вязкоупругих систем на основе совместного решения уравнений основного состояния и спектральной задачи для возмущенного движения.
Для определения амплитуд и частот до- или закритических режимов разработана модификация метода Ляпунова-Шмидта, предусматривающая исследование устойчивости этих режимов.
9
Разработанная методика применена к качественно новым задачам об автоколебаниях фрикционных и фршсционно-запаздывающих
систем. Выявлены количественные и качественные особенности
автоколебательных режимов в зависимости от моделей вязкоупругих
тел, "запаздывания" контактных усилий, степени демпфирования,
податливости обрабатываемой детали, распределенности параметров.
Практическое значение диссертации
Разработаны и реализованы на ЭВМ алгоритмы:
- нахождения областей неустойчивости равновесных состояний вязкоупругих нелинейных механических систем;
- определения частот и амплитуд периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний;
- исследования устойчивости автоколебательных режимов.
На основе расчетов по составленным программам могут быть
установлены режимы работы и значения параметров систем, исключающие или ограничивающие амплитуды автоколебаний.
Апробация и внедрение результатов исследований
По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях:
Ш и 1У-й научно-практических конференциях молодых ученых и специалистов НПИ (1976, 1977 гг.);
ХХУ1-ХХХ и ХХШ-й научно-практических конференциях НИИ (1977-1981, 1984 гг.);
V-й Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике (Ленинград, 1977 г.);
VI-й тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций" (Ленинград, 1983 год).
Содержание диссертации опубликовано в 'девяти статьях [29], [41-49] .
10
Результаты работы по автоколебаниям фрикционных механических систем внедрены в практику работы КБ Азовского оптико-механического завода.
Автор защищает:
1. Метод исследования автоколебаний фрикционных и фрикцион-но-запаздывающих систем, основанный на концепциях устойчивости, что позволяет предсказывать ситуации возбуждения автоколебаний, рассчитывать их характеристики и исследовать устойчивость.
2. Результаты исследования фрикционных и фрикционно-запаздыве юших систем, касающиеся:
а) определения критических параметров;
б) расчета частот и амплитуд автоколебаний;
в) устойчивости автоколебательных режимов.
3. Рекомендации по выбору режимов работы и значений параметров систем, исключающих или ограничивающих автоколебания.
Краткое содержание диссертации по главам
Содержание работы отражено в шести главах.
В первой главе диссертации приведен анализ публикаций отечественных и зарубежных ученых, посвященных общим теоремам об устойчивости движения и методам исследования автоколебаний механических систем. Рассмотрены математические модели фрикционных систем, учитывающие зависимость сил трения от относительных скоростей контактирующих поверхностей. Описаны нелинейные зависимости сил резания при взаимодействии резца и обрабатываемой детали.
Изложены основные результаты, относящиеся к исследованиям
автоколебаний систем с малым числом степеней свободы. Обоснованы
, #
актуальность работы и выбор метода исследований.
Во второй главе, диссертации дана общая постановка задачи о движении нелинейного вязкоупругого тела при действии неконсерва-
II
тивных стационарных нагрузок. Равновесные (основные) состояния тела определяются в результате решения нелинейной краевой задачи. Уравнение движения тела относительно основного состояния представлено в операторной форме. Изложен метод нахождения критических значений параметров, определяемых при совместном решении краевой задачи основного состояния и спектральной задачи для линеаризованного оператора. Разработан алгоритм исследования автоколебаний тела при значениях параметров, близких к критическим. Алгоритм, основанный на модифицированном методе Ляпунова-Шмидта, включает в себя задачи о нахождении частот, амплитуд и исследовании устойчивости колебаний. На основе принципа возможных перемещений выполнено приведение задачи к конечномерной. Описан алгоритм исследования равновесных состояний и автоколебаний систем с конечным числом степеней свободы.
В третьей главе приведены дифференциальные уравнения движения фрикционных систем с одной и двумя степенями свободы, нагруженных нелинейными силами трения. Получены выражения, определяющие равновесные состояния систем, критические значения параметров, частоты и амплитуды периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия.
В отличие от работ других авторов, учтены вязкоупругие свойства дефюрмируемых связей и выполнено исследование устойчивости
периодических режимов.
Выявлены количественные и качественные особенности поведения систем, соответствующих моделям Фойхта и стандартного вязко-упругого тела.
Четвертая глава посвящена исследованию фрикционных автоколебаний вязкоупругой системы с распределенными параметрами. Составлены дифференциальное уравнение и граничные условия задачи с
12
учетом внутреннего и внешнего трения* Выведены уравнения и формулы, определяющие статическое состояние системы, критические
параметры, амплитуды и поправки к частотам автоколебаний* Исследована устойчивость равновесных состояний и автоколебаний.
и^ШТОЯл .шестой главах диссертации рассмотрены фрикционно-запаздывающие системы типа супорт-резец-обрабатываемая деталь, в частности, с учетом податливости обрабатываемой детали.
Получены дифференциальные уравнения движения деформируемых систем данного типа, учитывающие: запаздывание сил резания по отношению к перемещениям и друг к другу; нелинейные зависимости усилий от относительной скорости резания, толщины стружки и подачи. Найдены равновесные состояния и критические параметры систем. На основе метода Ляпунова-Шмидта определены амплитуды и поправки к частотам автоколебаний. Проведено исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия. Даны рекомендации по использованию результатов исследования при выборе параметров систем и режимов резания.
Приложения содержат блок-схемы и распечатки отлаженных программ исследования устойчивости и расчета амплитуд и частот автоколебательных режимов.
13
I. МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИИ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕНИМОВ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
СИСТЕМ
Все большее значение для повышения точности расчетов в машиностроении приобретает учет колебаний конструкций. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок вследствие возбуждения колебаний, неточности показаний приборов, неконтролируемые отклонения размеров деталей, обрабатываемых на металлорежущих станках, приводят к необходимости тщательного исследования возможных вибраций узлов машин. Одному из аспектов указанной проблемы-автоколебаниям деформируемых систем,- посвящена данная работа.
Автоколебательные системы представляют собой широкий класс колебательных систем с различными свойствами: автомобиль при включении сцепления в момент трогания; тормозные колодки при торможении; супорт при перемещении вдоль направляющих; система станок-ннструыент-деталь при обработке резанием; соприкасающиеся детали в измерительных и следящих устройствах; валы прокатных станов; валы, вращающиеся в подшипниках скольжения; колонны бурильных станков; стержни, нагруженные следящими силами; прицепы автомобилей и самолеты с носовым колесом; крылья и панели обшивки самолетов и ракет, обтекаемые потоком воздуха; висячие мосты; лопатки высокоскоростных турбин; оболочки в потоке газов; механические часы; тепловые машины поршневого типа и многие другие механизмы и устройства. В подобных системах при определенных условиях могут возникать незатухающие колебания за счет источников энергии, колебательными свойствами не обладающими.
14
Автоколебательные системы принято делить на следующие группы.
а. Фрикционные системы [5Ï], [57-6ÔJ, [l04], [lie], [12б], [l29] , которые являются наиболее распространенными. Примерами могут служить фрикционные тормоза и муфты, коллекторные щетки электродвигателей и генераторов,фрикционные маятники, скрипичные музыкальные инструменты. К фрикционным в первом приближении могут быть отнесены [53} [6Î], [во} [9б], [l24^ [l28] и автоколебательные системы резец-супорт-обрабатываемая деталь.
Автоколебания в фрикционных системах обусловлены нелинейной зависимостью сил трения от скорости относительного движения контактирующих поверхностей [2-4], [82], [84], [Î02] .
б. Механические квазилинейные системы с запаздыванием, динамические процессы в которых описываются дифференциальными, интегральными и интегродифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом [4о[ [85], [89], [lI9]. Так, возникновение автоколебаний при резании авторы [54], [72], [II2-II5], [lI9] объясняют фактом запаздывания сил резания относительно друг друга и перемещений в деформируемой системе обрабатываемая деталь-резец. Другие авторы [зэ], [бЗ-бб], [77],[rof], [l25] объясняют автоколебательные процессы при резании нелинейной зависимостью сил резания от толщины срезаемой стружки.
Наличие сдвига по фазе между силой резания и перемещением резца вызвано неоднозначностью изменения толщины срезаемого слоя при относительном движении инструмента и обрабатываемой детали.
С учетом указанных факторов механические системы типа супорт станка-резец-обрабатываемая деталь могут быть отнесены к фрикци-онно-запаздываюшим системам при нелинейной зависимости контакт-
15
ных усилий от перемещений и относительной скорости.
в. Механические системы, подверженные действию "следящих" нагрузок, направление которых изменяется в зависимости от конфигурации системы [15], [1б), [з4 [юб), [иё], [п7|, [12з] ,
г. Аэроуп|угие системы. Важные задачи, связанные с обтеканием тел потоками газа, рассмотрены в работах [11], [17-20], [94], [Юб] . Достаточно хорошо к настоящему времени изучены явления флаттера крыла самолета, панельного флаттера, колебаний и потери УСТОЙЧИВОСТИ оболочек И ВИСЯЧИХ конструкций [83], [92], [93),[104] в потоке газов.
д. Автоколебательные колесные системы [69-71].
Общей чертой всех этих систем являются нелинейность и не-консервативность, вследствие чего исследования устойчивости их равновесных состояний и, тем более, движений не могут быть выполнены методами Эйлера-Лагранжа или начальных несовершенств. Устойчивость автоколебательных систем должна быть исследована на основе "динамического" подхода - изучении их "возмущенных" движений и применений общих критериев А.М.Ляпунова [73], [74] .
Способы решения задач об автоколебаниях и устойчивости неконсервативных деформируемых систем квалифицируем по следующим признакам:
- методам аппроксимирования реальных тел различными моделями с конечным или бесконечным числом степеней свободы;
- применению "точных" методов решения получаемых уравнений;
- использованию приближенных (качественных, асимптотических) методов решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Остановимся более подробно на методах решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение неконсерватив-
16
ных систем с конечным числом степеней свободы.
Одним из наиболее распространенных точных методов является способ"точечного преобразования поверхностей" А.А.Андронова [ 7]. К точным методам тесно примыкают различные алгоритмы численного решения нелинейных уравнений. При нахождении равновесных состояний неконсервативных систем могут быть использованы методы [28], [36] приведения нелинейных алгебраических уравнений к линейным дифференциальным уравнениям.
Однако более широко в задачах об устойчивости и автоколебаниях применяют различные приближенные методы.
Метод малого параметра разработан А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым, использован Л.И.Мандельштамом [7б] и развит А.А.Андроно-вым.
Систему дифференциальных уравнений
X=F(t,x,(j.) (I#I)
представляют в виде
a:=%(tix:)+£iFf(t,x)+/u2/r(t,x)+..., (1.2)
где £L - малый параметр. Решение Я*^)"порождающих" уравнений
X=Fc(t,x)
считают известным. Подставляя в выражение (1.2) ряды
т
jr(t) = JO*Cf) + Z. (j- X с О,
К=!
получают последовательные системы уравнений для нахождения вектор-функций ЯД?),..., t).
Метод Ван-дер-Поля предложен в 1922 г. [24J для систем с одной степенью свободы; обобщен и обоснован Л,И.Мандельштамом и Н.Д.Папалекси [7б].
Уравнения движения систем, близких к консервативным, пре-
17
образуют к форме
Х+$?Х=(1Г(г,х-,Х), (1.3)
где матрица Я =сИа([ [оог ... соп \ .
Предполагая, что амплитуды А-^) и фазы Ф-(^) автоколеба-
%/ У
ний являются медленно применяющимися функциями времени, решение уравнений (1.3) разыскивают в виде
JCJ■<,t)=AJ(t)cosy;(t)
и составляют выражения
и (1.4)
Предусмотрена возможность приведения задачи к уравнениям с разделяющимися неизвестными Ау и (ру . Уравнения (1.4) позволяют исследовать периодические и непериодические режимы автоколебаний, в том числе, процессы установления. В задачах об устойчивости колебаний метод Ван-дер-Поля позволяет составить лишь необходимые условия.
Близким к методу Ван-дер-Поля является метод усреднения, предложенный Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым [62] для исследования уравнений типа
(1#5)
где «ТОО сначала считается медленно изменяющейся вектор-функцией времени.
Решение первого приближения получают из уравнения
(г,//*,**)}, а.б)
где М - оператор усреднения по явно входящему "быстрому” времени Т . Подставляя вектор-функцию (1.6) в правую часть уравнения (1.5) и разлагая Г(Х в ряд фурье, составля-
18
ют выражения
Аналогично могут быть получены второе и последующие приближения.
Асимптотический метод Крылова-Боголюбова [14] также в известной мере можно считать обобщением метода Ван-дер-Поля. Решение уравнения (1.3) разыскивают в виде
; (1.7)
-Ю + ■■■ 1 ,
у.^+ц/^СЛ^ ,^)+?%2/А’У>№*- 1 <1,8)
причем правую часть (1.3) раскладывают в ряды
] л ■
Здесь вектор-функция ф = СО^+ Ш ; X У считагот-
) • Ку К] Л/
ся медленно изменяющимися функциями времени.
Для определения неизвестных функцйй^у ,/^.выражения (1.7) и(1.9) подставляют в исходную систему уравнений (1.3) и приравнивают члены, содержащие малый параметр£л в одинаковой степени.
Для нахождения решения в первом приближении не требуется отыскание функций , и^-, ... ряда (1.7), причем уравнения для амплитуд и фаз аналогичны (1.4). Нахождение функций{ ,
.8) представляет собой более сложную задачу,
}у2] УРавнений