Устойчивость пластин и тонкостенных стержней

2
СОДЕРЖАНИЕ
стр,
В в е д е к и е............................................. 5
I. КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРШЕЙ...................................... 9
1.1. Анализ работы по устойчивости прямоугольных пластин со сложными граничными условиями в линейной постановке......................................................9
1.2. Исследования местной потери устойчивости тонкостенных стержней....................................... 15
1.3. Закритическое поведение пластин и тонкостенных стержней с недеформируемыми кромками с учетом динамики и геометрической нелинейности.................... 21
1.4. Цель и задачи исследования.,........................... 31
2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО СЛОЖНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ.................................................... 35
2.1. Точный способ решения задач динамической устойчивости пластин............................................. 35
2.1Л. Дифференциальное уравнение динамическое устойчивости тонких пластин...... 35
2.1.2. Определение критических уоиішй сжатых пластин.. 35
2.1.3. Определение частот свободных колебаний незагруженной и загруженной постоянными усилиями пластины......................................................... 44
2.1.4. Параметрические колебания пластин.................... 46
2.2. Методы решения задач устойчивости пластин со
сложными краевыми условиями на основе энергетического критерия Тимошенко...................... 50
2.2.1. Энергетический метод Тимошенко в задачах устойчивости пластин............................................. 50
2.2.2. Определение критических усилий методом двучленной аппроксимации............................................ 53
3
стр.
2.2.3. Определение критических усилий модифицированным
энергетическим методом................................ 58
3, МЕСТНАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ... 64
3.1. Точный способ решения задач динамической местной потери устойчивости стержней................................ 64
3.1.1. Дифференциальные уравнения динамической местной потери устойчивости тонкостенных стержней 64
3.1.2. Определение критических усилий тонкостенных стержней...................................................... 67
3.1.3. Определение частот свободных колебаний незагруженных и загруженных продольными усилиями тонкостенных стержней........................................... 75
3.1.4. Параметрические колебания тонкостенных стержяей 76
3.2. Определение критических усилий тонкостенных стержней на основе решений для пластин, полученных энергетическим методом...................................... 76
4, ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПЛАСТИН 80
4.1. Способ решения геометрически нелинейной динамической задачи устойчивости пластин ........................ 80
4.2. Определение закритических деформаций при статическом нагружении........................................... 82
4.3. Определение закритических деформаций при динамическом нагружении......................................... 88
4.4. Напряженное состояние и несущая способность пластин в закритической области................................ 93
5, ПОВЕДЕНИЕ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ПОСЛЕ МЕСТНОЙ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ........................... 99
5.1. Способ решения геометрически нелинейной динамической задачи местной потери устойчивости тонкостенных стержней............................................ 99
5.2. Определение закритических деформаций при статическом нагружении.......................................... 100
4
стр.
5.3. Определение закритических деформаций при динамическом нагружении...................................... 104
5.4. Напряженное состояние и несущая способность тонкостенных стержней после местной потери устойчивости................................................ 105
6. АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ......................... НО
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................ 120
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................... 124
ПРИЛОЖЕНИЯ................................................ 138
ІЇІ. Фортран-программа определения критических усилий для пластин и тонкостенных стержней на основе точных решений................................................. 139
П2. Фортран-программа решения нелинейной статической
задачи для пластин и тонкостенных стержней. .......... 142
ПЗ. Фортран-программа решения нелинейной динамической
задачи для пластин и тонкостенных стержней............ 145
5
ВВЕДЕНИЕ
Решения ХХУ1 съезда КПСС требуют дальнейшего ускорения научно-технического прогресса, более рационального использования производственного потенциала страны, всемерной экономии всех видов ресурсов, Важную роль при этом играют разработка и внедрение в практику облегченных инженерных конструкций, которые при достаточной прочности и жесткости требуют наименьших затрат материалов. Одними из распространенных типов конструкций, удовлетворяющих этим требованиям, являются конструкции, состоянии из прямоугольных пластин: тонкостенные стержни* иногопанельные пластины, пластины с подкреплениями, сотовые конструкции и другие. С точки зрения практики, для этих конструкций весьма актуальны задачи устойчивости как статические, так и динамические. Причем, задачам местной потери устойчивости тонкостенных конструкций менее исследованными по сравнению с задачами общей потери устойчивости, последнее время уделяется все большее внимание. Однако, на сегодняшний день, степень разработки проблем устойчивости и закритического напряженно-деформированного состояния рассматриваемых тонкостенных конструкций отстает от запросов практики.
Целью работы является исследование статической и динамической устойчивости прямоугольных пластин с упругими граничными условиями и местной устойчивости тонкостенных стержней, а также закритического поведения этих конструкций.
Для достижения этой цели решены следующие задачи:
1. На основе полученного автором обобщения точного решения С.П.Тимошенко задач статической устойчивости сжатых прямоугольных пластин с произвольными условиями на продольных сторонах решена задача динамической устойчивости для таких пластин.
2. Методами двучленной аппроксимации и модифицированным эиер-
6
гетическим методом, предложенными С.Н.Каном для широкого класса задача устойчивости и колебаний упругих систем, определены критические усилия потери устойчивости равномерно сжатых в одном или двух направлениях прямоугольных пластин со сложными упругими граничными условиями.
3. С использованием решенных задач устойчивости для пластин исследованы задачи местной потери устойчивости конструкций типа тонкостенных стержней произвольного профиля, сотовых конструкций, многопанельных пластин.
4. Решены динамические геометрически нелинейные задачи устойчивости прямоугольных пластин с упруго защемленными сторонами, в том числе и с одной свободной стороной, местной потери устойчивости тонкостенных стержней и даны рекомендации для определения
их несущей способности в закритической области.
Научная новизна работы определяется:
- разработкой вопросов применения методов исследования задач устойчивости сложных упругих систем: метода двучленной аппроксимации и модифицированного энергетического метода С.Н.Кана к новым для них задачам устойчивости прямоугольных пластин и тонкостенных стержней со сложными упругими граничными условиями;
- способом точного решения статических и динамических линейных задач устойчивости пластин с упруго защемленными продольными сторонами и местной потери устойчивости тонкостенных конструкций, составленных из подобных пластин, заключающимся в задании формы
выпучивания комплекснозначными функциями, что позволило рассмотреть не учтенный в известном решении С.П.Тимошенко вид корней характеристического уравнения. Эти функции находятся как общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающие при разделения переменных в линейной статической задаче устойчивости;
- отмеченным в работе совпадением форм выпучивания прямоугольных пластин со свободно опертыми продольными сторонами и произвольными условиями на поперечных сторонах при потере устойчис-вости от равномерного сжатия в продольном направлении и свободных колебаниях. Этот факт также имеет место и для тонкостенных стержней со свободно опертыми торцами, к которым в задаче устойчивости приложена равномерно распределенная осевая сжимающая нагрузка, в условиях местного выпучивания;
- определение критических усилий и частот собственных колебаний при местном выпучивании тонкостенных стержней, не решением системы трансцендентных уравнений, как обычно, а сведением этой системы к одноад трансцендентному уравнению относительно искомого собственного числа. Это достигается благодаря рациональному представлению тонкостенной конструкции как состоящей из произвольного числа пластин с упруго защемленными сторонами и имеет место для любого числа пластин;
- решением геометрически нелинейной динамической задачи устойчивости тонкостенных стершей методом Бубнова-Галеркина с использованием для аппроксимации закритического прогиба комплексных функций, отвечающих точному решению соответствующих линейных задач.
Достоверность полученных результатов подтверждается их сопоставлением с результатами экспериментальных исследований автора, в которых изучалась местная потеря устойчивости и следующая за ней потеря несущей способности сжатых тонкостенных стержней швеллерного и прямоугольного сечений, а также с имеющимися литературными данными теоретических и экспериментальных исследований.
Практическая ценность работы заключается в возможности использования разработанных методов расчета и результатов проведенных исследований в расчетной практике проектно-конструкторских
8
организаций, научно-производственных объединений и других предприятий при разработке конструкций, элементами которых являются прямоугольные пластины и тонкостенные стержни*
Основные результаты диссертационной работы внедрены в конструкторско-расчетную практику производственного объединения АвтоКРАЗ и применялись при расчете несущих элементов грузовых платформ большегрузных автомобилей КрАЗ* Энергетические методы решения задач устойчивости используются в учебном процессе в Харьковском институте инженеров коммунального строительства* Результаты внедрения подтверждены актами.
На защиту выносится:
1. Методы и результаты решения статических и динамических задач устойчивости сжатых прямоугольных пластин со сложными упругими граничными условиями и местной потери устойчивости тонкостенных стержней.
2. Методика и результаты решения статических и динамических геометрически нелинейных задач закритического поведения этих конструкций.
I. КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
1.1. Анализ работы по устойчивости прямоугольных пластин со сложными граничными условиями в линейной постановке
Требования проектировщиков и конструкторов в области машиностроения, авиастроения,строительства и других отраслей индустрии обусловили интерес к проблемам устойчивости пластин и тонкостенных стержней*
Особое влияние на развитие теории устойчивости таких конструкций вплоть до наших дней оказывают фундаментальные работы выдающегося ученого С.П.Тимошенко,см./1,2/. Им были решены задачи устойчивости однородных и изотропных тонких прямоугольных пластин. При допущении о малости прогибов пластин по сравнению с их толщиной, что обеспечивает недеформируемость срединной поверхности,та -кие задачи описываются линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производных. Рассматривая пластины, сжатые в одном направлении равномерно распределенными усилиями, с двумя свободно опертыми поперечными сторонами (Х=0 и Х=&) и произвольными условиями на продольных сторонах (У=0 и У=6), см.рис.1.1, Тимошенко отметил возможность получения решения этого дифференциального уравнения в виде:
(1.1)
где т - число полуволн, на которые разбивается пластинка при выпучивании вдоль оси ОХ,
(1.3)
(1.3)
10
&
N
Л/
х
а
Рис. 1.1. Равномерно сжатая в продольном направлении прямоугольная пластина.
- - '• V ■■
\ \ \ 1
/ 1
/ 1 1
/ 1 1
\ / 1 V / 1
П„=1 . П*=1
Пп=2, Пк=1
Г
\
I
\
\
\
Г
/
П„=2,ПК=2
пп=3, Пк=2
П„=3,ПК=2
Рис. 1.2. Возможные формы местной устойчивости швеллера.
постоянные интегрирования,
Б - цилиндрическая жесткость пластинки,
Мкр - критические значения равномерно распределенной сжимающей нагрузки, удовлетворяющие обязательному условию:
N^4 . (1.5)
В а*
в помощью ставшего традиционным условия существования нетривиль-ных форм выпучивания, удовлетворяющих условиям на продольных сторонах, Тимошенко находил величину критических усилий. Однако, с помощью описанного решения можно получить значения Икр большие некоторого положительного числа, определяемого неравенством (1.5).
Как мы увидим ниже, этого решения недостаточно для пластин, входящих в состав тонкостенных конструкций в условиях местной потери устойчивости.
Большой интерес представляет сформулированный С.П.Тимошенко энергетический метод решения задач устойчивости упругих систем. Согласно этому методу, критические значения внешних усилий находятся из условия равенства работ внешних и внутренних силовых факторов на перемещениях потери устойчивости. Являясь простым и наглядным, энергетический метод Тимошенко позволяет приближенно решать задачи устойчивости пластин, для которых невозможно найти точное решение. Интересно, что иногда можно встретить применение этого метода к задачам устойчивости пластин, которые можно решить точным методом интегрирования дифференциального уравнения устойчивости.Например, в работах /3,4/ метод Тимошенко был применен к задаче устойчивости прямоугольной пластинки, поперечные края которой были свободно оперты, а продольные - упруго защемлены. Неизвестные функции 9т(У) авторы статей представили не в виде аналогичном формуле (1.2), а приближенно, в виде алгебраических полиномов. Естественно, что результат решения задачи был получен с превышением по сравнению с точным решением.
12
Рассмотрим ставшую эталонной задачу устойчивости, которую невозможно решить точно* Это задача устойчивости равномерно сжатой в двух направлениях жестко защемленной квадратной пластинки. Проведем на ее примере сравнительный анализ энергетического метода Тимошенко с методами других авторов. Тимошенко в работе /I/ приводит значение минимального критического коэффициента К=5,33. В статье Уонга и Беттеса /5/, развивающей идеи Тейлора /б/ и Факсена /7/ о применении приближенного решения уравнения устойчивости в виде рядов тригонометрических и гиперболических функций, получена нижняя граница К = 5,3035. Американский математик А.Вайнштейн, иллюстрируя возможности своего метода, разработанного для решения сложных задач математической физики и основанного на аппроксимации заданных граничных условий сходящейся последовательностью более простых, получил значение К с недостатком, равное 5,30362, см. /8/. Решая эту задачу в тригонометрических рядах Даревская в /9/ получила К=5,308. Результат, основанный на применении асимптотического метода Болотина, см. /10/, получил Дикинсон в /II/, он составил 5,3025. Как мы видим, точное значение К находится в пределах между 5,304 и 5,308. Относительная ошибка расчета по методу Тимошенко составила 0,6%. Несмотря на наличие методов, даший более точный результат, простота и наглядность аналитического решения по энергетическому методу Тимошенко говорит в пользу возможности его применения. Особенно эти качества будут сказываться в сложных задачах устойчивости составных тонкостенных конструкций, где применение упомянутых выше методов, а также метода Ньютона-Канторовича в аналитической форме, см. /12,13/, затруднено вследствие громоздкости аналитического выражения для критического коэффициента, а. иногда и невозможности его получения. Главной же сложностью в применении энергетического метода Тимошенко является выбор координатных функций. Традиционный путь ее преодоления, которым пользо-