- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ .................. 4
Глава I. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
ФАЗОВОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА......................... 24
§ I.I. Свойства фазовой системы второго порядка ............... 24
§ 1.2. Оценка областей притяжения устойчивых
состояний равновесия с использованием
процедуры Бакаева - Гужа ............................... 32
§ 1.3. Исследование глобальной асимптотической
устойчивости с помощью разрывных
периодических функций Ляпунова ......................... 51
§ 1.4. Модификация численного алгоритма Урабе
для определения критического значения коэффициента демпфирования ............................. 57
Глава П. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ
ФАЗОВОЙ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ ............... 63
§ 2.1. Постановка задачи исследования устойчивости
и стабилизации движения фазовой системы
с нелинейным регулятором. Вспомогательные леммы ........ 63
§ 2.2. Определение достаточных условий глобальной
асимптотической устойчивости на основе метода нелокального сведения Леонова ................... 75
/
§ 2.3. Определение достаточных условий глобальной асимптотической устойчивости на основе теории периодических функций Ляпунова ......................... 89
- 3 -
§ 2.4. Оценка областей притяжения
устойчивых состояний равновесия .......................... 97
Глава Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИЯ
ДВИЖЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ ...................... 103
§ 3.1. Исследование устойчивости и стабилизация
движения электромеханических систем ..................... 103
§ 3.2. Краткое описание программ
для исследования устойчивости и стабилизации движения фазовых систем ................................. 119
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .............................................. 122
ЛИТЕРАТУРА .............................................. 125
Приложение I. Акт о внедрении научно-исследовательской работы "Комплекс программ для исследования переходных процессов в электроэнергетических системах .................................. 136;
Приложение 2. Акт о внедрении научно-исследовательской работы "Комплекс прикладных программ для графопостроителя "Атлас" ...................................... 141'
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
И СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ
Работа посвящена исследованию устойчивости и стабилизации движения фазовых систем, описываемых дифференциальными уравнениями, правые части которых периодичны по угловой координате. В последние годы фазовые системы получили широкое распространение в различных областях науки и техники: механике, радиоэлектронике, энергетике, связи /I - 6/. К рассмотрению фазовых систем приводят задачи исследования динамики механических вибраторов, систем фазовой автоподстройки частоты, электроэнергетических систем, фазовых систем радионавигации и др.
В общем случае фазовые системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями вида /7/
ах (1)
у 9 •*•» =+Н-+.4., . . . , "И.) ,
где переменные ,...,являются угловыми координатами, а
функции периодичны относительно этих координат (без ог-
раничения общности предполагают, что период их одинаков и равен &Л?). Фазовое пространство системы (I) является цилиндрическим
. X«
пространством 2Г г"!**)’ которое можно
рассматривать как топологическое произведение -ш-мерного тора на евклидово пространство переменных Изображающие
точки с координатами <{к+2£пК,оел+4>,...,
где произвольные целые числа, соответствуют одному
и тому же физическому • состоянию рассматриваемой системы. Из периодичности по угловым координатам правых частей дифференциальных
- 5 -
уравнений (I) следует, что стационарное множество фазовых систем либо пусто, либо бесконечно (причем состояния равновесия могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми по Ляпунову).
Исследованию динамики фазовых систем посвящены работы Ф.Три-коми, Л.Америо, Г.Зейферта, К.Бёма, В.Хейза, Л.Н.Велгостиной /8/, В.А.Табуевой /9/, Ю.Н.Бакаева, А.А.Гужа /10 - 12/, Г.А.Леонова /13/ и многих других ученых.
Наиболее строгим и математически обоснованным методом исследования устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова /14/. Этот метод был в дальнейшем обобщен и развит в рабо-. тах А.И.Лурье /15/, И.Г.Малкина /16/, А.М.Летова /17/, Е.А.Варба-шина, Н.Н.Красовского /18 - 21/, Н.Г.Четаева /22/, В.И.Зубова /23/, В.А.Плисса /24/, М.А.Айзермана, Ф.Р.Гантмахера /25/, Ж.Ла-Салля, С.Лефшеца /26/, В.М.Матросова /27/, В.М.Попова /28, 29/, Р.Калмана /30/, В.А.Якубовича /13, 31 - 33/, Е.С.Пятницкого /34/, К.П.Персидского /35/, С.А.Айсагалиева /36/, Б.Ж.Майгарина /37/ и других авторов. Обзоры работ, посвященных исследованию устойчивости нелинейных систем автоматического управления, приведены в /38 - 43/.
Метод функций Ляпунова непосредственно можно применить для анализа устойчивости "в малом" и "в большом" состояний равновесия систем с цилиндрическим фазовым пространством. Для исследования устойчивости "в целом" потребовалась разработка специальной теории в рамках второго метода Ляпунова, которая учитывает специфику фазовых систем, обусловленной наличием периодических нелинейностей по угловым координатам. Так как стационарное множество 71 фазовых систем может содержать как устойчивые, так и неустойчивые в смысле Ляпунова положения равновесия, вместо понятия устойчивости "в целом" вводится определение глобальной асимптотической
- 6 -
устойчивости /13/.
Определение . Фазовая система (I) называется глобально асимптотически устойчивой, если ее решение при любых начальных условиях стремится при t-» + oo к некоторому состоянию равновесия из А. .
Как видно из определения, глобальная асимптотическая устойчивость более широкое понятие чем устойчивость "в целом", поскольку здесь не требуется, чтобы положения равновесия системы
(I) были устойчивыми по Ляпунову (устойчивыми "в малом").
Так как физические состояния фазовых систем определяются с точностью до аддитивной постоянной вида Sfe3t ( fe, - произвольное целое число) по угловым координатам, критерий глобальной асимптотической устойчивости должен обладать свойством периодичности относительно этих координат. Однако в большинстве практических задач построение непрерывных, периодических по угловым координатам функций Ляпунова оказалось трудной проблемой. А непериодические функции в цилиндрическом фазовом пространстве представляют собой многозначные функции, т. е. они не могут быть использованы для глобального исследования систем с угловыми координатами в рамках имеющихся методов ляпуновского типа.
Существенный вклад в развитие второго метода Ляпунова для систем с цилиндрическим фазовым пространством внесли работы Ю.Н. Бакаева, A.A.Гужа /10 - 12/. В статье Ю.Н.Бакаева /10/ изложены основы теории разрывных функций Ляпунова применительно к фазовым системам. Рассматривается динамическая система с одной угловой координатой, описываемая дифференциальными уравнениями вида
(2)
- 7 -
где ср^ - угловая координата, ОС = (ас*,,...>эса)*- вектор евклидовых (неугловых) координат размерности [(*1-1) *4.] , определяющие состояние системы; р - скалярная постоянная; С , % - постоянные (п.-1)-мерные векторы; А- постоянная [( (п-и,)3 -
матрица; непрерывная ^-периодическая функция £(^4.) Удовлетворяет условию Липшица и обращается в нуль только в двух точках <р^ - 0 и ср^ = (р1о на интервале С 0 -> Я&).
Производя развертку цилиндрического фазового пространства ОС *) по угловой координате , можно перейти к евклидовому пространству &*(<&*ОС). Из периодичности следует,
что эта функция принимает нулевые значения в точках ,
ДЛЯ любого &€ Ъ ( - множество целых
чисел). При выполнении условия
стационарное множество Л системы (2) состоит из бесконечного счетного множества точек фазового пространства кото-
рое можно рассматривать как объединение двух непересекающихся подмножеств Л* и Л*:
Л = { (<р4,а) 1К<?0= о, ос = о} = ЛА и Лг ,
сс. = о‘
л*.® $(<?*» «о I л = о (»к*?')} .
Можно показать, что если состояния равновесия из подмножества Л* устойчивы по Ляпунову, то точки из Ад неустойчивы (и наоборот). Для определенности предполагается, что подмножество Л*, содержит устойчивые положения равновесия, т. е. начало координат является устойчивым по Ляпунову.
Через точки неустойчивого равновесия проводятся гиперплос-
- 8 -
кости п к = {СЧк»*> IВ."-4 } , тем самым евклидово фазовое пространство ^ ((р^ос') разбивается на бесконечное счетное множество ПОЛОС *[ (<£*> 1 < < ^±к У
Z). Все эти гиперплоскости отображаются в одну гиперплоскость П в цилиндрическом фазовом пространстве \ °0.
Если траектория системы, начинающаяся с некоторой точки на П через определенное время снова попадает на эту поверхность, то говорят, что система (2) осуществляет точечное преобразование гиперплоскости П.
В евклидовом пространстве Для полосы £0 , за-
ключенной между гиперплоскостями П-1 И По 1 строится непрерывная функция Ляпунова. Если продолжить ее периодически в соседние полосы, то в пространстве К (с^зС.) будет построена функция, которая в общем случае будет иметь разрывы на граничных гиперплоскостях Ц(^ 2). Оказывается, такая функция может быть
использована для глобального исследования фазовых систем вида
(2). Здесь мы приведем только формулировку теоремы о разрывных функциях Ляпунова, доказанной а работе /10/.
Теорема Бакаева. Пусть в полосе (т0 построена функция V((?* ), удовлетворяющая следующим условиям:
(а) является бесконечно большой по неугловым ко-
ординатам, т. е. для любого числа 1.>0 существует число Ц>0 такое, что при 11ХЦ>В. имеет место неравенство У((^о0С) >Ь ;
(б) У(ср*, ОС) - положительно определенная функция в полосе
(в) производная по времени У(^4,0С), вычисленная в силу системы (2), является отрицательно полуопределенной функцией в полосе бг0 , причем уравнение О не определяет положи-
тельных полутраекторий в , кроме начала координат.
- 9 -
Кроме того, предположим, что существует функция *СГ(оО (не зависящая от угловой координаты <Р±), такая, что
(г) 7Х(эс/) - положительно определенная функция;
(д) приращение дЧУ этой функции при точечном преобразовании поверхности л удовлетворяет условию ДТГ< °С< о (ос.= СОПъ1:
Тогда система (2) глобально асимптотически устойчива.
В статье /12/ Ю.Н.Бакаев приводит частную формулировку этой теоремы, где условия (г), (д) заменены неравенством Д"УЧ-£<оО (здесь а’У - приращение функции Ляпунова У/ср^зс) , £ - скачок значения функции на границе при точечном преобразовании поверхности разрыва). В обоих вариантах теоремы для вычисления приращений функции необходимо знать точные или хотя бы приближенные решения системы (2) в пределах полосы Сг0. Это существенно ограничивает класс систем, для исследования устойчивости которых можно применить теорему Бакаева, т. к. не всегда удается получить оценку приращений функции вдоль траекторий системы.
Если в полосе Сг0 удается построить функцию Ляпунова , при периодическом продолжении которой в соседние полосы получается функция, непрерывная во всем фазовом пространстве К > то Для глобальной асимптотической устойчивости сис-
темы (2) достаточно выполнения условий (а) - (в) теоремы Бакаева, т. е. в этом случае не требуется оценка приращений функции. В работе Ю.Н.Бакаева и А.А.Гужа /II/ приводится процедура построения непрерывной, периодической; по угловой координате функций Ляпунова для глобального исследования фазовых систем.
Для системы (2) предлагается функция Ляпунова, заданная в евклидовом пространстве 55, (.^±*90 в следующем виде (в /II/ она записана для конкретной фазовой системы третьего порядка):
- 10 -
-^(<ро $К<РО <* <р4 > (3)
О
где Н - симметрическая, положительно определенная матрица;
V (^1) является кусочно-постоянной функцией:
(V* при (яЬ-а)зег+ ф10^ сл< авзг (4)
(V" ПРИ Я&ЗС4 (рд < &&$Хр10
Если выбрать постоянные величины V', V * таким образом, чтобы
выполнялось условие
о ?ю
Ъо-ИЪ о
то X) будет непрерывной, периодической относительно угло-
вой координаты функцией, причем она будет принимать нулевые значения только в точках устойчивого равновесия (на подмножестве .Л^ ), а в остальных точках фазового пространства будет положительной.
Процедура Бакаева - Гужа в дальнейшем была распространена на другие классы систем, в частности, на фазовые системы со многими угловыми координатами /44/, дискретные фазовые системы /45/, фазовые системы с запаздыванием /46/.
Среди исследований, опубликованных за последнее десятилетие, следует отметить серию работ Г.А.Леонова /13, 47 - 50 и др./, в которых получены частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости, ограниченности решений, существования круговых движений и предельных циклов второго рода для различных классов систем с цилиндрическим фазовым пространством. Разработанный Г.А.Леоновым метод нелокального сведения позволяет сводить исследование динамики фазовых систем к рассмотрению системы второго порядка вида
при выполнении частотного критерия и тем самым классические результаты, полученные для простейших фазовых систем (б), удается распространить на системы более высокого порядка. Отметим, что метод нелокального сведения применим не только для систем с угловой координатой, он используется также для систем автоматического управления общего вида, содержащих нестационарную нелинейность /51/.
Наиболее полное качественное исследование фазовых систем второго порядка проведено в книге Е.А.Барбашина и В.А.Табуевой /7/, где рассматриваются также системы с разрывными характеристиками и маятниковые системы. На основе теоремы о дифференциальных неравенствах С.А.Чаплыгина /52/ доказывается существование единственного бифуркационного значения параметра $ = 2)*:р 1 разграничивающего одну качественную картину расположения траекторий от другой. В случае §Ь > вся фазовая плоскость ^ )
разбивается сепаратрисами седловых точек на полосы - области притяжения соответствующих устойчивых состояний равновесия, т. е. в этом случае система (6) является глобально асимптотически устойчивой. В книге приводятся различные нижние и верхние оценки обкр , а также численный алгоритм М.Урабе для вычисления приближенного значения этого параметра. Оценки 2)к>р для дифференциальных уравнений второго порядка (б), описывающих движение математического маятника в вязкой среде (в этом случае периодическая нелинейность имеет вид £(ср4) =* ^1* *>
^С<Ж$Л:), приводятся в исследованиях Ф.Трикоми, Л.Америо, Г.Зей-
- 12 -
ферта, К.Бёма, В.Хейза. В работе Л.Н.Белюстиной /8/ проведено качественное исследование фазовой системы (6) при ^Сс^к") ~
+ -5>0 (Рд.> Ро = ^Оп$1)э описывающей колебания ро-
тора синхронного двигателя с асинхронным запуском.
Большое количество работ посвящено задачам определения полосы захвата в системах фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) и анализа устойчивости электроэнергетических систем ОЭС). В статьях М.В.Капранова /53/, С.В.Первачева /54/, Л.Н.Белюстиной, В.В. Быкова, К.Г.Кивелевой, В.Д.Шалфеева /55/ исследуются системы ФАПЧ второго порядка с помощью качественно-численных методов. Наряду с методом функций Ляпунова, качественными и качественно-численными методами для изучения динамики систем фазовой синхронизации используются также приближенные методы: метод кусочно-линейной аппроксимации, метод усреднения, метод гармонического баланса и др. /2, 56, 57/. Второй метод Ляпунова впервые был использован для анализа устойчивости электрических систем в работах А.А.Янко-Три-ницкого /58/, В.А.Андреюка /59/. В настоящее время этот метод находит широкое применение в исследованиях динамической устойчивости сложных ЭЭС /3-5, 60/. В книге М.Я.Ваймана /61/ приводятся существенно новые методы анализа устойчивости энергосистем, основанные на теории Бирхгофа, теоремы Пуанкаре - Дюлака и теории возмущений, рассматриваются вопросы устойчивости ЭЭС с программным управлением и построения функции Ляпунова с помощью матричного метода Печковского - Лю /62/.
Таким образом, вышеприведенный краткий обзор современного состояния проблемы показывает, что к настоящему времени разработаны различные точные и приближенные методы исследования фазовых систем. Кроме того, имеются многочисленные примеры использования этих методов для изучения динамики конкретных технических систем
- Київ+380960830922