Управляемое движение упругого манипулятора

Оглавление
2
Введение................................................ 3
1. Вращение упругого стержня 11
1. Вывод уравнений движения упругого стержня............... 11
2. Управление в случае жесткого стержня.................... 15
3. Управление в случае нерастяжимого стержня............... 17
4. Численный анализ полученных решений..................... 18
2. Управление движением манипулятора с упругим звеном 21
1. Уравнения движения нагруженной балки.................... 21
2. Управление вращением упругой нагруженной балки ... 27
3. Уравнения движения упругого манипулятора с полезной
нагрузкой.............................................. 29
4. Решение задачи управления движ;е^ием упругого манипулятора с полезной НсЙ'рЗфКСЯ* лУГя........................ 35
5. Численный анализ получениях решений..................... 37
3. Вращение двухзвенного манипулятора для случая одного абсолютно жесткого и одного упругого звеньев 41
1. Вывод уравнений плоского движения упругого манипулятора .................................................... 41
2. Управление в случае жесткого стержня.................... 48
3. Управление в случае нерастяжимого стержня............... 53
4. Вращение манипулятора с двумя упругими звеньями 56
1. Уравнения плоского движения упругого манипулятора . 56
2. Решение задачи управления............................... 64
3. Численный анализ полученных решений..................... 70
Заключение............................................. 72
Литература ................................................. 74
3
Введение
Для решения ряда задач динамики и управления движением роботов необходимо изучение многих сложных процессов механики и управления движением [1]—[17]. При исследовании динамики манипуляционных систем роботов и при проектировании систем управления обычно используется механическая модель робота в виде системы абсолютно твердых тел, соединенных идеальными шарнирами (например, [18]— [27]). В прикладных задачах управления в связи с экономией материалов и уменьшением веса конструкций возникает необходимость учета упругой податливости их элементов. Упругость конструкции приводит к дополнительным степеням свободы. Большой упругой податливостью звеньев обладают некоторые специальные роботы со значительными линейными размерами, например, предназначенные для работы в космосе. Обеспечение высокой точности позиционирования и достаточного быстродействия гибких роботов возможно за счет специальных режимов управления, исключающих возникновение упругих колебаний в процессе движения манипулятора. Сказанное обусловливает актуальность научных исследований по динамике и оптимизации режимов движения роботов с упругими звеньями с применением асимптотических методов теории оптимальных процессов [13] и методов управления системами с распределенными параметрами [15]—[17].
В работах [8]—[12] рассмотрен ряд проблем динамики манипуляционных роботов. Основное внимание уделено вопросам, определяющим точность позиционирования и производительность роботов. Разработаны теория и методы приближенного расчета динамики механических систем с упругими элементами применительно к манипуляционным роботам, конструкция которых обладает упругой податливостью. Развита методика экспериментального исследования упругих свойств промышленных роботов. Построены оптимальные и близкие к ним законы управления движением манипуляторов с различными кинематическими схемами.
В работе [28] рассматривались плоские вращательные движения упругого нерастяжимого стержня, нагруженного абсолютно твердым телом, под действием управляющего момента сил. Решались задачи управления о приведении системы из некоторого начального в задан-
4
ное угловое положение с гашением упругих колебаний или в состояние вращения системы как единого целого с фиксированной угловой скоростью. В [29] исследовался процесс гашения колебаний массивного груза, закрепленного на конце длинной упругой банки, при помощи активного виброгасителя с поступательно перемещающейся массой. В работе [30] была получена система интегродифференциальных уравнений в частных производных и граничные условия для манипулятора, состоящего из твердого тела и упругого нерастяжимого стержня. Исследовались задачи управления о приведении манипулятора за время Т из произвольного начального состояния в конечное с гашением относительных отклонений. В предположении о пренебрежимой малости центробежных сил была предложена схема решения данной задачи путем сведения ее к некоторой задаче математической физики и проблеме моментов. В работах [31]-[32] исследовалось управляемое движение упругого стержня с учетом продольной и изгибной деформаций. Решена задача перевода стержня из заданного начального в заданное конечное угловое положение без возбуждения колебаний при условии равенства нулю угловой скорости и упругих отклонений в начале и в конце маневра. В работе [33] рассматривалось управляемое движение манипулятора, состоящего из упругой балки и твердого тела, закрепленного на одном из ее концов. Учитывались упругие продольная и изгибная деформации. Решена задача перевода манипулятора из заданного начального в заданное конечное угловое положение без возбуждения колебаний при условии равенства нулю угловой скорости и упругих отклонений в начале и в конце маневра. Выведены уравнения вращения манипулятора под действием управляющего момента и уравнения движения балки с телом, расположенном на одном из ее концов и могущим совершать управляемое вращение вокруг продольной оси балки. Управление построено в виде рядов по степеням параметра, обратно пропорционального модулю Юнга. Выписаны рекуррентные формулы для всех коэффициентов разложений. В работе [34] решена задача об управлении движением манипулятора в плоскости, состоящего из двух упругих звеньев и твердого тела, закрепленного на конце второго звена. В работе [35] рассматривался двухзвенный манипулятор, последнее звено которого моделировалось как упругий нерастяжимый стержень. Ставилась задача о нахождении управляющих момен-
5
тов Mi (г = 1, 2, 3), обеспечивающих движение охвата манипулятора по заданному фазовому многообразию при условии минимума квадратичной формы Z = ctiMfipii = const > 0). В работе существенным было предположение о малости угловой скорости вращения. Поэтому в уравнениях движения не учитывались слагаемые при квадрате угловой скорости. Задача была решена с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа. В [36] рассмотрена задача о стабилизации электродвигателем углового положения упругого однозвенного манипулятора. В пространстве коэффициентов обратной связи построены области асимптотической устойчивости желаемого положения равновесия. В [37] описан метод управления податливым движением роботов, предполагающий использование таких законов управления, которые генерируют потенциальные или квазипотенциальные управляющие силы, действующие на манипуляционную механическую систему робота. В [38] был предложен метод решения задачи быстродействия для упрощенной модели манипулятора с упругими звеньями.
Авторами статьи [39] предлагается процедура построения оптимальных и су б оптимальных по быстродействию режимов управления для двухзвенного антропоморфного манипулятора. Поставлена задача о приведении системы из заданной начальной конфигурации в заданную конечную конфигурацию при условии, что в начале и в конце процесса система покоится, а модули управляющих обобщенных сил не превышают фиксированных значений. Управление ищется в классе релейных режимов с минимальным суммарным числом переключений, достаточным для удовлетворения граничных условий.
В [40]-[42] для манипуляционных роботов со многими степенями свободы рассматриваются релейные режимы управления обобщенными силами, отвечающими различным обобщенным координатам. Построены алгоритмы расчета моментов переключения, обеспечивающих минимальное время приведения робота из начальной конфигурации в конечную с торможением движения в конце процесса.
В [43], описанная в [40]-[42] процедура, модифицирована на случай, когда начальная и конечная конфигурации совпадают и имеется промежуточная точка, через которую схват манипулятора должен пройти с заданной скоростью.
Работа [44] посвящена гашению колебаний руки манипулятора вдоль
6
направляющей около положения, отвечающего абсолютному минимуму момента инерции руки относительно оси вращения. В работе [45] рассматривается управляемое движение упругого манипулятора с грузом. Груз считается абсолютно твердым телом. Предполагается, что влияние упругости, в основном, обусловлено звеньями больших линейных размеров. Масса манипулятора считается малой по сравнению с массой груза. В рамках линейной теории упругости и с применением асимптотических методов анализируются общие уравнения управляемого движения манипулятора, с учетом упругости звеньев. Показано, что при ряде общих предположений упругую податливость конструкции манипулятора можно учитывать в рамках жесткой модели путем введения в уравнения движения дополнительных слагаемых.
В работе [46] исследуется динамика склерономной механической системы с упругим элементом большой жесткости, которые в предельном случае становятся жесткими и превращаются в дополнительные идеальные связи. Рассматривается случай, когда периоды собственных упругих колебаний малы по сравнению с характерным временем движения системы как целого.
В работах [47], [48] изучаются пространственные движения антропоморфного манипулятора с упругими звеньями. При некоторых предположениях исследована задача кинематического управления. Приведены результаты исследований методов асимптотического разделения движений и численного решения уравнений движения.
В [49] для рассматриваемого случая (невесомый упругий двухзвен-ник с грузом на конце) получены собственные частоты, формы и главные координаты упругих пространственных колебаний. Статья [50] посвящена некоторым вопросам разработки математической модели упругого манипулятора на подвижном основании. Получены дифференциальные уравнения, описывающие динамику подобной системы с учетом некоторых допущений. Показано, что эти уравнения могут быть проинтегрированы на ЭВМ известными методами.
В [51] для анализа динамики механизма с учетом его упругих свойств в качестве модели манипулятора берется разомкнутая цепь, состоящая из упругих стержней. Основная идея метода состоит в том, что в качестве внешних сил и моментов, действующих на манипулятор, принимаются величины, рассчитанные в номинальном режиме: инерционные