Исследование устойчивости систем с односторонним ограничением

Содержание.
Введение................................................................3
Глава 1. Условия бесстолкновительного движения двойного астероида.
1. Уравнения движения и условия существования системы двойного астероида......................................................25
Глава 2. Исследование устойчивости равновесий систем с односторонним ограничением по первым приближениям.
1 .Определение системы ОДУ с односторонним ограничением, её решений и условий устойчивости неподвижных точек...................51
Глава 3. Исследование устойчивости равновесий механических систем с односторонними голономными и дифференциальными связями по первому и второму приближению.
1 .Общие соображения. Модельная задача о космическом лифте как пример системы с (с,/) = 0..................................82
2. Иллюстративные примеры систем с односторонними дифференциальными связями.............................................93
3. Задача о движении твёрдого тела с неподвижной точкой, на которое наложена односторонняя дифференциальная связь............99
Заключение..........................................................114
Список литературы...................................................116
2
Введение
Диссертация посвящена исследованию систем с ограничениями на значения фазовых переменных или с неудерживающими связями (в механических терминах). Это необходимо для изучения систем, состоящих из нескольких твёрдых тел, чьё взаимное расположение ограничено тем или иным образом. В работе рассматривается задача двух взаимно-гравитирующих твёрдых тел, и строится теория, позволяющая исследовать устойчивость состояний, возникающих из-за наличия односторонних связей в механике или ограничений общего вида для соответствующих образом определённых систем дифференциальных уравнений с неравенствами. Полученные теоретические результаты поясняются в иллюстративных примерах.
Для системы двойного астероида найдены достаточные условия на величину механической энергии и кинетического момента, обеспечивающие вечное бесстолкновительное движение тел на конечном расстоянии друг от друга.
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида с неравенством, ограничивающим допустимую для динамики область фазового пространства, получены условия (не)устойчивости неподвижных точек, возникающих из-за наличия неравенства. Эти и родственные результаты применяются для исследования механических систем с неудерживающими связями.
Небесномеханические системы из нескольких твёрдых тел активно исследуются в современной механике. Наиболее точный анализ возможен в случае систем вида “тело-точка”, которые позволяют точно (численно) находить как возможные стационарные движения (ЭЛ. Зсйеегез [14]), гак и статистические характеристики типа плотности выпадения частиц на тело (пересечение орбиты точки и поверхности тела), как эго было сделано в работе О.О. Василько-вой[37]. Такие задачи представляют интерес для исследования процесса формирования астероидов, но не всегда пригодны для изучения динамики конкретных систем.
з
Большинство известных автору современных работ, посвящённых системам двойных астероидов, используют численное моделирование, опирающееся либо на экспериментальные данные (D.J. Scheeres и др.[9]), либо на авторские представления о типичности рассматриваемых тел. Тела могут приближаться многогранниками (D.J. Scheeres, E.G. Fahnestock [11]), либо иметь симметрии (W.S. Кооп и др. [13]). Эффективными оказываются модели, задаваемые телами относительно простой формы - эллипсоидами и сферами. Они появляются при желании аналитически исследовать динамику систем многих притягивающихся твёрдых тел (В.В.Белецкий, А.В. Родников [33], [4], В.В.Белецкий [23]), либо динамику в окрестности таких систем (F. Gabern и др. [12], В.В. Белецкий [25]). Отдельно стоит упомянуть работы (В.В. Видякин [38]), где налагаемые на тела требования симметрии являются относительно слабыми, но находятся только решения, соответствующие классическим для случая точечных тел. Представления потенциала в таких ситуациях, полученные ещё Г.Н. Дубошииым [42], успешно применяются для численного моделирования (О.О. Василькова [37]). К сожалению, численное интегрирование уравнений не позволяет проводить качественный анализ систем общего вида.
В силу аналитической сложности получать общие результаты в полной задаче двух твёрдых тел произвольного вида представляется затруднительным (сложности имеют место уже для одного тела в поле ньютоновского центра [22] - предельный случай задачи двух твёрдых тел состоящей из очень массивного однородного шара и тела произвольной формы). Современные теоретические исследования, открытые книгой Г.Н. Дубошина [42] оперируют модельными системами тел простой формы. В общем случае до сих пор проводился лишь грубый качественный анализ. В полной постановке для изолированной системы двух твёрдых тел условия бесстолкновительности рассматривались в работах D.J. Scheeres[18], [19], в которых, однако, энергия и кинетический момент системы выступали как независимые параметры, которые приходилось подбирать. Ниже пороговые значения параметров будут явно вычисляться с использовани-
4
ем величины моментов инерции тел системы, что позволит сформулировать пригодные к практическому применению условия обеспечения сохранности системы, то есть устойчивости по Лагранжу некоторого класса её движений.
Допустим, что по тем или иным причинам нельзя ограничить взаимное расположение тел без постороннего вмешательства. Традиционным способом ограничения относительного движения является создание лёгких, но жёстких пространственных конструкций, удерживающих вместе части системы. Модельные задачи, открывающие эти исследования рассматривают базовую модель - две материальные точки, соединённые невесомым нерастяжимым стержнем и называемые гантелыо, находящейся в гравитационном поле. Эти модели являются также дальнейшим упрощением, вводимым при описании твёрдых тел сложной формы (В.В. Белецкий [27], [32]). Даже классическая задача трёх тел (В.И. Арнольд и др.[20], А.П. Маркеев [51]) может быть обобщена для случаев подобного рода (W.J. Robinson [15], В.В. Белецкий [27]). Они допускают, например, исследование возмущений, вносимых атмосферой (В.В. Белецкий, М.Л. Пивоваров [31]), а также интересные инженерные применения (A.B. Родников [16], [17], М.А. Муницина [52]) для работы на околопланетной орбите.
Второй тип систем - с нежёстким закреплением частей. Характерной чертой в этом случае является малая масса удерживающих механизмов, имеющих при этом большую жёсткость на растяжение. Перспективные применения подобных конструкций рассматривались в (Белецкий В.В. [26], Белецкий В.В. Левин Е.М. [29]). Для их моделирования удобно применять теорию систем с односторонними связями и ударами (А.П. Иванов [43], В.В. Козлов, Д,В. Трещёв [46], В. Brogliato [6]). В частности, для них строятся методики исследования устойчивости. В книге [46] рассмотрен вопрос о реализации связей подобного рода, и конструкции, применяемые для их построения, эффективно используются для изучения модельных систем, таких, например, как биллиард Биркгофа. В книге [43] излагаются вопросы об импульсивном движении, возникающем при
5
наличии односторонних связей, приводятся авторские обобщения метода функций Ляпунова для исследования устойчивости положений равновесия и периодических движений систем с односторонними связями. В целом представляется, что существуют два основных способа определения решений - с помощью вариационных принципов ([46], В.В. Румянцев [60]) либо конструктивно [43]. Последний будет применяться ниже, так как он наиболее удобен для исследования конкретных систем. Существуют также два основных подхода для исследования устойчивости - прямой метод Ляпунова (использовался для исследования систем с импульсами у D. Bainov и др. в [1], [2], [3], разработан А.П. Ивановым для механических систем [43], [44]) и метод точечных отображений (С.П. Горбиков [41]).
При формальном описании можно по-разному определять поведение системы, когда “включается” ограничение. Простейший и уже традиционный путь - зафиксировать моменты скачков, как это сделано в [54], [53] А.Д. Мышкисом, и в [58] H.A. Перестюком и А.М. Самойленко. Он не подходит, однако, для механических систем с неудерживающими связями (см, напр. С.Н. Березинская и др. [34]). Введение дополнительной функции, которая будет использоваться для изменения векторного поля, определяющего систему при “включённой реакции” отличает предлагаемый ниже подход от используемого в [40],[39]. Выстраиваемая в работе теория допускает скачки фазовых переменных и работает для систем произвольной конечной размерности, что отличает работу от близкой по духу [45], где системы двумерны и при выходе на связь система к ней “прилипает”. В отличие от [45] нерегулярные точки границы связи и неподвижные точки системы, попавшие на связь, не исследовались в работе, так как в случае общего положения они изолированы и такие ситуации пропадают при малой деформации границы связи. Единообразное описание позволяет отталкиваться от общей базы при описании систем, механическими аналогами которых являются системы с неудерживающими голономными и неголономными (в терминах [34]) связями. Полученные теоремы близки по смыслу к теоремам Ляпу-
6
нова об исследовании устойчивости положения равновесия по первому приближению (см. Н.Г. Четаев [65]). Для демонстрации взяты примеры, близкие к рассматриваемым в работах С.Н. Березинской и др. [34], И.И.Косенко и С.Я. Степанова [48], книги Ю.И. Неймарка и H.A. Фуфаева [56].
Рассмотрим кратко основные моменты.
Последние исследования космического пространства показали наличие большого количества систем естественных космических тел, которые состоят из нескольких близко расположенных элементов - системы астероидов, состоящие из двух и более тел. Из последних результатов интересно открытие тройной системы Сильвия-Ром-Ремул [10].
Астероид 243 Ида со спутником Дактиль
7
Астероид Сильвия со спутниками Рем и Ромул (анимация ^8А).
Наблюдения показывают, что элементы таких систем находятся на конечном расстоянии друг от друга и соударения в них, как правило, отсутствуют.
Полное рассмотрение подобных задач очень трудоёмко и выходит за рамки классической механики. Однако представляется возможным использовать подобные идеи в рукотворных конструкциях и исследовать соответствующие модели в рамках динамики космического полёта. Элементы системы при этом можно моделировать с помощью абсолютно твёрдых тел. Разделение системы на независимые модули упрощает её монтаж и ремонт, а также может способствовать повышению безопасности эксплуатации подобных систем, когда, например, источник энергии космической станции может представлять угрозу при аварии. В последнем случае его удаление сильно упрощается из-за отсутствия непосредственного контакта с остальными модулями станции.
В главе 1 для развития общих методов исследования подобных систем представлена задача по нахождению условий, при которых система, состоящая из двух произвольных твёрдых тел, не требует фиксирования частей друг относительно друга, но при этом её динамика не приводит к соударению тел или их разлёта на слишком большое расстояние. Это можно назвать устойчивостью по
Лагранжу движений, удовлетворяющих найденным условиям. Задача ставится в рамках небесной механики, но, разумеется, может применяться и в динамике космического полёта [57]. Ещё один аспект - это задача о невыходе на границу неудерживающей голономной связи, задаваемой как условие касания поверхностей тел.
В качестве модели будут рассматриваться взаимно-гравитирующие твёрдые тела Тг, Т2 с центрами масс Сх, С2, массами ш1# тп2 и центральными тензорами инерции / и А соответственно. Пусть (еь е2, е3), (сс, р, у) - правые тройки, задающие вмороженные оси и С2ос(Зу первого и второго тел. Внешние силы отсутствуют.
Можно показать, что динамика системы описывается уравнениями:
Г + О) X г = V [і(у + О) X 17) =
ди_
дг
ди п ди дії ди
/о) + со х /со = ах —+ рх —+ ух —+ гх —
да г с>р ду дг
ко + (д> х К0 — О П = СЛ~1Ст(Ко —Уы — цг XV) а = (П - а>) х а Р = (П - (д>) X Р у = (П — со) х у С = [а Р у]
(0.1)
в которых введены обозначения:
Г=0^2, V = '/со, П - абсолютные угловые скорости первого и второго тел,
771,7712
И = т~+т" приведенная масса системы.
и = /Т1хт2[г1'рО~+срО| (Т1(Р1)СГ2(Р2)^Р1^Р2 " силовая функция гравитационного взаимодействия тел, К0 = ]<л + А12 + рг х ~ = к - кинетический момент сис-
темы относительно ее центра масс.
9
Все производные в (0.1) записаны в осях, вмороженных в первое тело. Тогда А = СтАС - центральный тензор инерции второго тела в своих главных осях. Уравнения (0.1) замкнуты, но для завершения описания нужно ещё определить ориентацию первого тела в абсолютном пространстве. Это делается путём интегрирования уравнений Пуассона
гйег
~~ = (д> х е2 (0.2)
— = О) X е3
после решения (0.1).
Уравнения (0.1) проще стандартных, получаемых из общих теорем динамики, если ставится задача поиска относительных равновесий. Теорема об изменении кинетического момента второго тела заменена более простым уравнением для вектора К0. Это приводит к существенному усложнению соотношений, описывающих изменение ориентации второго тела относительно первого, и нс позволяет говорить об упрощении при наличии динамики в связанных осях. Но выведенные уравнения имеют одно заметное преимущество: общие теоремы динамики, выписанные для каждого из тел, требуют одновременного отслеживания ориентации двух реперов, а не одного, как сделано выше. Усложнение в формулах Пуассона спасает от рассмотрения локальных производных в двух подвижных системах отсчёта, либо от нескольких соотношений с использованием непостоянных матриц при записи в абсолютных осях.
Г.Н. Дубошин в книге [42] получил уравнения движения системы многих твёрдых тел. Их скалярный вид удобен для применения методов усреднения или при наличии симметрии, тогда как рассматриваемые в данной главе больше подходят для качественных оценок из-за компактности их векторной записи. В уравнениях из [42] для случая двух твёрдых тел
ю