2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ..................................................... 4
ГЛАВА I. МЕТОД ОЦЕНОК ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА..................................................... 23
1.1. Постановка задачи................................ 23
1.2. Достаточный критерий абсолютной ^-устойчивости по выходу нелинейных неавтономных
систем............................................ 32
Выводы к главе I ...................................... 41
ГЛАВА 2. МЕТОД ОЦЕНОК ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ КАЧЕСТВА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В УСТОЙЧИВЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 44
2.1. Использование понятия степени устойчивости для оценки качества переходных процессов
в нелинейных системах ............................ 45
2.2. Использование интегральных методов для оценки качества переходных процессов в нелинейных системах...................................... 54
Выводы к главе 2....................................... 58
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДОСТАТОЧНОГО
КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ............................ 61
3.1. Сравнительное исследование абсолютной устойчивости нелинейной системы 2-го порядка методом оценок и известными частотными
методами.......................................... 61
3.2. Исследование области абсолютной устойчивости двумерного нелинейного связанного осциллятора 72
з
3.3. Исследование области применения достаточного
критерия устойчивости ................................... 80
Выводы к главе 3..................................... 90
ГЛАВА 4. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОЦЕНОК ДЛЯ
ИССЛЕДОВАНИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ., 101
4.1. Применение метода оценок к некоторым типам систем с нелинейностями, зависящими от координат или их линейной комбинации.................... 101
4.2. Методика получения матрицы передаточных функций ЛЧ систем с нелинейностями, зависящими от обобщенных координат и скоростей ... III
4.3. Пример исследования устойчивости одной
нелинейной модели манипулятора.................................... П2
4.4. Общая методика применения достаточного критерия устойчивости, полученного на основе
метода оценок ........................................... 130
Выводы к главе 4 .............................................. 145
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................. 152
и
ВВЕДЕНИЕ
п.1. Рассматриваемый тип механических систем (нелинейный многомерный осциллятор) и актуальность задачи исследования его устойчивости
Современное производство, транспорт, приборостроение немыслимы в настоящее время без сложных управляемых механических систем. Это промышленные агрегаты и имитаторы-тренажеры, космические аппараты и роботы-манипуляторы, корабли и наземные скоростные транспортные системы, сверхзвуковые самолеты и многое другое.
Требования научно-технического прогресса, лежащие в основе стремления инженера-проектировщика к наиболее полному отражении в модели динамических свойств конструируемых систем, приводят к многомерным и многосвязным, главным образом, нелинейным нестационарным моделям [дЗ , описываемым в общем случае векторно-матричным уравнением вида
$ (0.1) где - вектор обобщенных координат системы.
Такого рода "нелинейные многосвязные системы с переменными параметрами представляют в настоящее время открытую область исследования, где достигнуты только отдельные существенные результаты" [23 .
Например, "в одной из немногих пока в мировой литературе монографий £зЗ * посвященных неклассическим задачам динамики систем твердых тел" (по словам редактора монографии В.В.Румянцева), разработанный автором общий формализм математического описания их движения приводит к уравнениям именно такого типа.
Другим ярким представителем подобных объектов являются кон-
5
тинуальные или дискретно-континуальные системы, математическая модель которых обычно представляется в результате использования метода Бубнова-Галеркина в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, порядок которой достигает иногда нескольких десятков £4, стр. 7-в] . Здесь в качестве типичных примеров можно назвать современный тяжелый самолет с автопилотом при учете упругости конструкции фюзеляжа, крыльев и исполнительного элемента системы управления [5] ; космический аппарат с жидкостным ракетным двигателем и автоматом стабилизации при учете упругости элементов конструкции (корпус, антенны, солнечные батареи) и подвижности компонент жидкого топлива в баках и магистралях |[б, 7] 5 скоростную пассажирскую систему на магнитной или электромагнитной подвеске 8, 9^ ; танкер с большим количеством отсеков, частично заполненных жидким топливом или сжиженным газом, снабженный успокоителем качки и т.д. Математические модели таких сис-
тем допускают единую формализацию, отражающую их основные структурные свойства [4, стр.132Д .
Часто нелинейность в правой части уравнения (0.1) позволяет аддитивно выделить линейные векторные составляющие по обобщенной координате и обобщенной скорости, при этом уравнение динамики системы приобретает вид
+ ЬЦ + !Ц + ВФ(<^/Ь) = Г(Й, (о.2)
где М , N , , В - постоянные (ИХи) -матрицы, причем,
М - невырожденная; РШ - вектор обобщенных внешних воздействий; ФИ - непрерывная по всем своим аргументам или кусочнонепрерывная вектор-функция, в которую включены и некоторые линей-ные по члены, быть может с переменными коэффициентами.
Векторно-матричным уравнением типа (0.2) описывается динамика и электро-механических систем [и, 1ё\ .
б
Задачи, связанные с исследованием систем (0.2),решаются в настоящее время разнообразными методами, выбор которых зависит от конкретной специфики уравнений (0.2). Это и различные типы линеаризации 1>. 13] , и метод малого параметра £ 1^] , и ме-
тод, привлекающий аппарат дифференциальных неравенств [II] , и очень часто численные методы С Ф, 15, 1б] .
Однако, поскольку представление исследуемого типа систем в виде (0.2) допускает выделение стационарной линейной части (ЛЧ) и нелинейного, возможно нестационарного блока N , представляется интересным применение методов общей теории замкнутых нелинейных систем с обратной связью [17] • Общая функциональная схема, соответствующая этому типу нелинейных систем, изображена на рис. 0.1, где Н4 и Не) - операторы, описывающие соответственно нелинейную и линейную части системы, а и4 и и2 - внешние воздействия, приложенные к различным частям системы.
Рис.0.1
Иногда та часть модели реальной системы, которую описывает нелинейный оператор, "обладает физическими свойствами, позволяющими придать ей смысл модели регулятора ( Р ), хотя формально таковой может отсутствовать. Таким "регулятором" является, на-
пример, ракетный двигатель в задаче о продольных колебаниях летательного аппарата или система нестационарных аэродинамических сил при колебаниях типа ветрового резонанса или срывного флаттера различных упругих систем" [_4, стр.4-5] . В простейшем случае "регулятор" - это автопилот, автомат стабилизации или автомат демпфирования. "Другим примером служит класс механических систем с неголономными связями, моделирующими условия качения упругого колеса по шероховатой поверхности (самолет с трехколес-ным шасси, контейнер с шасси безрельсовой схемы, движущийся внутри трубы и т.д.). Здесь может оказаться полезным искусственное истолкование определенным образом преобразованных уравнений него-лономных связей как уравнений некоторого фиктивного регулятора, стабилизирующего систему" [Ч, там же] . Оставшаяся часть в математической модели, описываемая линейным оператором, интерпретируется как объект регулирования ( ОР ).
Таким образом, несмотря на богатое разнообразие систем, общность их, выраженная в наличии единой математической модели, допускает единый подход к их исследованию. Такой подход позволяет использовать методы теории автоматического регулирования и управления, в частности, при решении задачи устойчивости, поскольку, как известно, обеспечение устойчивости движения является одной из центральных задач при проектироваюга любой сложной динамической системы.
Проблема обеспечения устойчивости движения сложных механических систем, включающих реальные или условные ОР и Р, является одной из наиболее острых для современной техники. Острота этой проблемы усугубляется непрерывным усложнением как ОР, так и соответствующих "корректирующих устройств".
"Инженеру, специализирующемуся в области проектирования авиационных, космических, наземных транспортных и других сложных
8
систем, приходится сталкиваться с задачами устойчивости, которые не только трудно решить, но даже формализовать в духе классических подходов к этой проблеме. Это объясняется большим числом степеней свободы, сложностью связей между ними и большим количеством параметров, прямо или косвенно влияющих на устойчивость проектируемой системы" ^4, стр. ю].
Таким образом, "актуальность проблемы обеспечения устойчивости сложных механических систем, включающих ОР с большим числом степеней свободы и Р, реагирующий на тот или иной набор обобщенных координат и обобщенных скоростей, достаточно очевидна" [4, стр.7] .
Настоящая работа посвящена разработке на основе указанного подхода инженерного метода анализа устойчивости в рамках теории абсолютной устойчивости.
п.2. Краткий историко-библиографический обзор работ и методов теории абсолютной устойчивости
Среди многочисленных существующих в настоящее время понятий устойчивости (это и техническая или устойчивость на заданном интервале времени [18] , и устойчивость по Лагранжу [19, 20^ , и гиперустойчивость по Попову М. и условная устойчивость [22\ и т.д.) наиболее плодотворным применительно к нелинейным системам и вызывающим неослабевающий интерес до настоящего времени,по мнению многих специалистов [эз],оказалось понятие асимптотической устойчивости по А.М.Ляпунову . Оно легло в основу по-
нятия абсолютной устойчивости, породившего целую теорию, богатую как эффективными методами исследования, так и приложениями.
Сегодня теории абсолютной устойчивости 40 лет. В становлении этой теории, как и самого понятия "абсолютная устойчивость",
9
важную роль сыграли основополагающие работы советских ученых: А.И.Лурье и В.Н.Постникова [25] , Б.В.Булгакова [26] , М.А. Айзермана ^27, 2в] , И.Г.Малкина [29] , А.М.Лётова [зо], Б.А.Ершова [з1, 32] , Н.П.Еругина [зз] , В.А.Плисса [зд, 351 и ДРУГИХ авторов.
В течение первых 15 лет развития теории - с 19ДД года, то есть со времени выхода в свет работы И , уже упоминавшейся выше, где впервые появился сам термин "абсолютная устойчивость", и до 1959 года, - практически единственным методом, используемым в теории абсолютной устойчивости, был метод функций А.М.Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности". Монографии А.И.Лурье [36] , Н.Н.Красовского [з?] , А.М.Лётова М, Ы.А.Айзермана и Ф.Р.Гантмахера [39], Х.Ла-Салля и С.Лефшеца [19] , С.Лефшеца [до] , А.Халаная м и другие суммируют основные результаты, полученные на этом пути.
Со времени опубликования в 1959 г. работы В.М.Попова [«] методы исследования абсолютной устойчивости в пространстве состояний, использующие вектор-функции А.М.Ляпунова, получили альтернативу в виде так называемых частотных методов, то есть методов, использующих частотные представления и достигших наибольшего развития в работах В.А.Якубовича, начиная с работ И до м , Р.Калмана , В.М.Попова [21] и других советских и зарубежных ученых. Частотный метод В.М.Попова в его первоначальной форме получил название "метода априорных интегральных оценок!,1 а частотный метод советской школы, возглавляемой В.А.Якубовичем, известен в специальной литературе под названием "метода матричных неравенств". Характерным для этого метода является то, что он основан на использовании одновременно как функций А.М.Ляпунова, так и "частотной теоремы" (или лемш Якубовича - Калмана).
В работах В.А.Якубовича и {Vf} была изучена связь
между частотным методом и методом функций А.М.Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности", а доказанная "частотная теорема" обобщила ряд многих результатов и привела к созданию новых эффективных критериев, таких как круговой, квадратичный и другие, позволяющих получать условия абсолютной устойчивости для все более сложных типов систем: со многими нелинейностями, с разрывными и гистерезисными нелинейными характеристиками, с широтно-импульсной и частотно-импульсной модуляцией м • Были получены такае критерии абсолютной устойчивости процессов м.
В последние годы в теории абсолютной устойчивости развиты методы исследования нелинейных систем с неединственным положением равновесия , широко распространенных в современной механике, электротехнике и радиотехнике, а также систем с запаздыванием!] 50, 51} .
Следует заметить, что с введением в рассмотрение сложных систем, таких как системы с нестационарными характеристиками и неединственным положением равновесия, потребовалось некоторое расширение (может быть "насыщение") понятия абсолютной устойчивости. Если в литературе 60-х и начала 70-х годов под абсолютной устойчивостью понимается асимптотическая устойчивость по А.М.Ляпунову в целом для систем с нелинейностями, принадлежащими заданному классу, и это определение "неплохо соответствовало особенностям стационарных систем с единственным положением равнове-
энциклопедии В.А.Якубовичем было предложено следующее определение: устойчивость абсолютная - устойчивость в целом тривиального решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также интегральных, разностных уравнений и уравнений других типов, равномерная для всех систем некоторого класса. Это
II
"определение подразумевает, что должен быть задан класс систем и указано, в каком смысле понимаются устойчивость и равномерность" £ 52, стр.Г7оЗ .
Классическое понятие абсолютной устойчивости использует понятие асимптотической устойчивости по А.М.Ляпунову в целом, то есть требует не только асимптотического стремления к нулю всех переменных состояния, но и налагает некоторые ограничения на динамику переходного процесса, в частности, обусловленные использованием евклидовой нормы. Эти ограничения зачастую чрезмерны, так как с точки зрения практических приложений чаще более ванным является свойство асимптотического стремления к нулю выходной координаты системы, а не свойство асимптотической устойчивости в целом по состоянию £533 . Интерес во многих практически важных случаях лишь к выходной реакции системы на начальные условия и внешние воздействия, когда характер поведения других координат вектора состояний несущественен, породил новый способ описания и исследования динамики нелинейных систем - в терминах "вход-выходных" соотношений. Эти практические побуждения подкрепляются системной философией £17, СТр.5^ : действительно, "концепция "вход-выход" приобретает явную конкурентоспособность" в современной ситуации, обнаруживающей тенденцию роста сложности и размерности изучаемых объектов, и как её следствие - уменьшение достоверности информации о внутреннем устройстве этих объектов. Описание же поведения управляемой системы в пространстве состояний требует довольно детальную информацию о её внутренней структуре и предполагает возможность её декомпозиции до элементарного уровня. Тем самым проявляется неадекватность метода поставленной задаче, тогда как концепция "вход-выход", принимая систему как "черный ящик" и имея информацию только о входе и выходе, "нацеливает на исследование преобразования "вход-выход", которое описывается в общих терминах
12
функционального анализа".
Впервые в теорию нелинейных систем с обратной связью методы функционального анализа были внесены И.Сандбергом [54] и Г.Зейм-сом [551 в 196^ году. С теоретической точки зрения такой подход "открывает возможности создания теории систем, опирающейся на достаточно общие и универсальные её понятия" [ 17, стр.б^ > что позволяет применять её методы для самых широких классов систем, в том числе механических, электро-механических, систем автоматического регулирования и т.д. Однако,развиваясь параллельно с советской и румынской школой, концепция "вход-выход" не противопоставляется классическому частотному направлению, формулируя свои многочисленные результаты в виде частотных критериев [56, 57^ • Это объединяющее рассматриваемые направления свойство оказывается очень полезным для инженера, так как "в определенном смысле возрождает привычные для него понятия передаточной функции и импульсной характеристики линейных систем, развивает их на системы других классов" [17, стр.б] .
Главным достоинством вход-выходных методов до недавнего времени считалось то, что с их помощью можно исследовать системы с распределенными параметрами почти с такой же легкостью, как и системы с сосредоточенными параметрами, причем, изучение систем с одним входом и выходом и систем со многими входами и выходами ведется по одной и той же схеме. Это обеспечивалось переходом от описания систем с помощью дифференциальных уравнений (в обыкновенных или в частных производных) к соотношениям между входным и выходным сигналами, выраженным через интеграл свертки, с введением понятия абсолютной устойчивости в функциональном пространстве Ь2 , то есть пространстве функций, суммируемых с квадратом [ 58, 593 . Таким образом, условие малости евклидовой нормы переменной состояния в определении асимптотической устойчивости
13
по Ляпунову в целом заменено другим условием малости, быть может, несколько менее ограничительным, а именно, условием конечности функциональной нормы векторной переменной состояния в пространстве |_,2 . Именно введение подобных модификаций потребовало усовершенствования определения абсолютной устойчивости и формулировки его в том виде, в каком оно предложено В.А.Якубо-вичем.
Однако преимущество методов, использующих вход-выходные соотношения, о котором шла речь выше, в настоящее время в значительной степени оказалось утраченным, поскольку метод матричных неравенств был распространен начиная с 1974 года В.А.Якубовичем [60] и его сотрудниками [61] на системы общего вида, описываемые дифференциальными уравнениями в гильбертовых пространствах, и,став "методом операторных неравенств", позволил решить вопросы теории абсолютной устойчивости систем с запаздыванием. Переход же к абстрактной теории абсолютной устойчивости нелинейных систем £б2, бз] позволил исследовать вопрос об абсолютной устойчивости по произвольному выходу системы и решить задачу об абсолютной устойчивости систем с распределенными параметрами [51]
Таким образом, последние 10 лет развития теории абсолютной устойчивости отмечены характерной тенденцией сближения областей применимости различных методов этой теории.
Однако с получением этих выдающихся результатов обнаружился разрыв между теорией и практикой их использования. В прикладной литературе практически не встречаются исследования абсолютной устойчивости систем общего вида порядка выше 4. Расчеты, связанные с применением точных частотных методов, обычно содержат следующие основные этапы ^50, стр.5о] :
1) запись частотного условия}
2) выбор наилучших значений варьируемых параметров;
14
3) определение множества наборов параметров системы, для которых частотное условие справедливо при любом СО е № .
Так как в большинстве своем частотные критерии являются достаточными, то "множество, определяемое на третьем этапе, содержится в области устойчивости нелинейной системы.... Последние два этапа взаимосвязаны, и их многократная реализация допускает действия по принципу "проб и ошибок". Объем вычислений при этом, как правило, весьма велик" (!) [^50, стр.5о"] . Однако для многомерных, в общем случае многосвязных, нелинейных систем часто непреодолимые трудности возникают для инженера-практика уже на первом этапе применения частотных критериев.
В настоящее время уделяется большое внимание алгоритмизации процесса применения этих критериев для сложных систем большой размерности. Из работ, интенсивно развивающихся в этом направлении, можно указать работы Г.А.Леонова ^64, 65^ , в которых разработан так называемый "метод нелокального сведения", позволяющий получить эффективно проверяемые частотные критерии абсолютной устойчивости. Однако пока это относится лишь к определенному типу систем синхронизации.
Из сказанного выше следует, что в настоящих условиях разработка приближенных методов исследования устойчивости нелинейных систем высокого порядка является весьма актуальной задачей. Представляется целесообразным обратить внимание на методы, привлекающие технику неравенств. При исследовании устойчивости и ограниченности решений нелинейных динамических систем часто удобно наложить некоторые ограничения, которые позволяют превратить интегральное или дифференциальное уравнение в интегральное или дифференциальное неравенство.
Теория интегральных и дифференциальных неравенств получила свое развитие еще в фундаментальных трудах Т.Гронуолла [бб] ,
- Київ+380960830922