Движение проводящего твердого тела с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью, в магнитном поле

- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................................4
§ I. Обзор литературы и постановка задачи................4
§ 2. Некоторые сведения из электродинамики сплошных
сред...............................................10
§ 3. Общие уравнения движения и некоторые первые
интегралы..........................................17
Глава I. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДЯЩЕГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ, В МАГНИТНОМ ПОЛЕ..........................26
§ I. Особенности поступательного движения проводящего
й т • ,
твердого тела с прово,цяЩЬй: жидкостью в неоднород-
ном квазистационарном магнитном поле...............26
§ 2. Уравнения возмущенного движения....................34
§ 3. Расчет коэффициентов уравнений возмущенного движения для полости в форме прямого кругового цилиндра..................................................52
§ 4. Возмущенное движение проводящего твердого тела, содержащего в полости проводящую жидкостю, в однородном квазистационарном магнитном поле 62
§ 5. Частные задачи.....................................73
Глава II. СТАЦИОНАРНОЕ ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОСИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОГО ПРОВОДЯЩЕЙ ВЯЗКОЙ ЖВДКОСТЬЮ, В МАГНИТНОМ
ПОЛЕ............................................100
§ I. Вращение цилиндрического сосуда с проводящей
- 3 -
жидкостью в радиальном магнитном поле..............104
§ 2. Вращение проводящего твердого тела с проводящей
жидкостью в осевом магнитном поле...................ИЗ
§ 3. Электромагнитное вращение проводящего цилиндрического сосуда, частично заполненного проводящей жидкостью...........................................118
Глава III. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ВРАЩЕНИЕ ПРОВОДЯЩЕГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА С ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.................................................127
§ I. Нестационарное вращение цилиндрического сосуда с проводящей жидкостью в радиальном магнитном
поле...............................................129
§ 2. Нестационарное вращение проводящего цилиндрического сосуда с проводящей жидкостью в осевом магнитном поле.............................................137
§ 3. Нестационарная задача об электромагнитном вращении проводящего цилиндрического сосуда, частично заполненного проводящей жидкостью.......................142
Глава 1У. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОГО ПРОВОДЯЩЕЙ ЖВДКО-
СТЬЮ, С УЧЕТОМ ВТОРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ.............147
§ I. Стационарная задача................................148
§ 2. Нестационарная задача.............................................158
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................167
ЛИТЕРАТУРА..................................................170
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ § I. Обзор литературы и постановка задачи
Вопрос о движении тел с полостями, содержащими жидкость, относится к числу классических задач механики. Отдельные результаты в решении этой задачи связаны с именами выдающихся ученых середины прошлого века: Стокса, Гельмгольца, Ламба, Любека, Неймана. Первые фундаментальные результаты были получены Н.Е.Жуковским (1875 г.) для случая безвихревого движения жидкости при полном заполнении полости [1] . Жид-
кость в работе Жуковского предполагалась невязкой и несжимаемой. Как известно, в этом случае задача решается при помощи введения эквивалентного твердого тела. Исследования нашего великого соотечественника позволили в некоторых случаях теоретически расчитать движение летательных аппаратов, несущих жидкость в топливных баках, а также были использованы при расчетах движения судов-танкеров и железнодорожных цистерн с жидкостью.
Развитие авиационной, космической и других видов техники требовало создания более адекватных математических моделей, в частности, учитывающих влияние вязкости жидкости. Известно [2] , что даже при больших значениях гидродинамического числа Рейнольдса ( /?е » / ) влияние вязкости
весьма существенно сказывается в тонком пограничном слое, прилежащем к поверхности твердой стенки, смачиваемой жидкостью. Плодотворная идея пограничного слоя нашла широкое
- 5 -
применение в динамике тел с полостями, содержащими жидкость. Общий алгоритм решения таких задач предложен Черноусько Ф.Л.
[3] •
Всеобъемлющую характеристику состояния данной проблемы на период до середины 60-х годов содержит монография Моисеева H.H. и Румянцева В.В. [4] , которая является обобщени-
ем огромного количества работ в этой области многих советских и зарубежных ученых. В книге приводится классификация направлений в исследовании динамики тел с полостями, содержащими жидкость, анализируются современные методы решения задач, указываются пути дальнейшего развития проблемы.
При частичном заполнении полости на поверхности жидкости неизбежно возникают волны. Волновые движения в ряде случаев оказывают^весьма существенное влияние на динамику твердого тела и могут явиться причиной неустойчивости движения последнего. В связи с этим возникла необходимость составления и исследования уравнений возмущенного движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. Такие уравнения были впервые получены и развиты в работах советских ученых Нариманова Г.С. [5-6[] , Сретенского Л.И. [7] , Охоцимс-
кого Д.Е. [в] , Колесникова К.С. [э] , Моисеева H.H. [iCfJ, Рабиновича Б.И. [II, 19] и других. В настоящее время разработана методика составления этих уравнений для маловязкой жидкости.
Если твердое тело и жидкость электропроводны, то движением системы "тело + жидкость " можно безконтактно управлять с помощью внешнего магнитного поля. Движение проводящей жидкости в присутствии магнитного поля составляет предмет изу-
- 6 -
чения сравнительно новой области гидромеханики - магнитной гидродинамики (МГД). Магнитные силы, действующие в проводящей жидкости, способны изменить структуру её течения,повлиять на его устойчивость [13] , что в конечном счете сказывается на движении твердого тела. Магнитогидродинамические задачи имеют приложения при расчетах электромеханических преобразователей с жидким рабочим телом, а также используются применительно к металлургическим процессам [16-19,23-25,66-67] . В большинстве приведенных работ авторов интересует движение жидкости под действием электромагнитных сил в неподвижном сосуде. В работах [26-27] изучается вращение полого цилиндра без торцевых поверхностей в проводящей жидкости в магнитном поле. Вращение проводящей жидкости в магнитном поле вблизи вращающегося диска рассматривается в работах [28-29] .
В настоящее время большое внимание уделяется проблеме устойчивости движения тел с полостями, содержащими жидкость. В работах [30-32] исследуется устойчивость движения гироскопа с жидким наполнением. Наибольшее практическое применение имеют роторные системы с полостями, частично заполненными жидкостью, занимающей кольцеобразную область с круговой свободной поверхностью [33-36]. Повышения динамической устойчивости роторных систем можно добиться наложением внешнего магнитного поля при условии, что жидкость является проводящей [37-38] .
Имеется большое количество работ, в которых изучается динамика изотропного проводящего твердого тела в магнитном поле [39-46, 48] . Эти исследования имеют прямое
- 7 -
приложение в динамике космических аппаратов, а также в электромеханических системах [39,43,70] .
Известно несколько работ [47,49,50] , в которых ста-
вится общая задача о движении проводящего твердого тела,в полости которого содержится проводящая жидкость, в магнитном поле. В этих работах получены общие уравнения невозмущенного движения системы и решены некоторые частные задачи, в которых жидкость полностью заполняет полость.
Целью настоящей работы является изучение некоторых частных случаев динамики проводящего твердого тела, полость которого частично заполнена проводящей несжимаемой жидкостью, в присутствии магнитного поля. Основной задачей является изучение движения твердого тела под действием всех внешних сил, реакций связей, магнитных сил, а также сил воздействия жидкости на твердое тело. При такой постановке задачи необходимо исследовать характер динамического взаимодействия тела и жидкости и решать МГД-задачи с требуемой степенью точности. Решению МГД-задач в работе уделено довольно большое внимание, однако они носят лишь вспомогательный характер, входя составной частью в общий алгоритм решения задач о движении твердого тела.
Актуальность темы определяется как чисто теоретическим интересом, связанным с выявлением новых особенностей движения проводящих систем в магнитном поле, так и многочисленными практическими приложениями в космической, авиационной технике, в электромеханических преобразователях, в некоторых металлургических процессах. В ряде случаев движение плазмы вполне удовлетворительно описывается МГД-теори-
- 8 -
ей, поэтому полученные результаты могут быть использованы в различных устройствах, содержащих плазму, например, в го-
Метод исследования. В основу исследования положены уравнения математической модели движения абсолютно твердого тела с полостью, частично заполненной однородной несжимаемой жидкостью. Особенностью этих уравнений является присутствие в них магнитных сил и их моментов, а также сил давления жидкости на стенки полости и моментов этих сил. Такой подход позволяет применить для решения всех рассматриваемых задач метод последовательных приближений Пикара [75] , который приводит к рекуррентным формулам и позволяет производить расчеты с требуемой степенью точности. Использованный метод обеспечивает сходимость результатов при возрастании номера приближения.
Научная новизна. В диссертационной работе получены и исследуются уравнения возмущенного поступательного движения проводящего твердого тела с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью, в магнитном поле. Изучены некоторые случаи, когда магнитные силы повышают устойчивость поступательного движения системы и когда способствуют его неустойчивости. Решены стационарные и нестационарные задачи о вращении вокруг вертикальной собственной оси цилиндрического сосуда с тяжелой проводящей жидкостью в магнитном поле с учетом трехмерной структуры течения и изменения высоты смачиваемой поверхности полости.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.
мополярниках
- 9 -
В первой главе исследуется поступательное движение проводящего твердого тела с полостью, частично заполненной идеальной проводящей жидкостью, в магнитном поле. Выводятся уравнения возмущенного движения твердого тела в случае ква-зистационарного однородного магнитного поля при условии одинаковой проводимости тела и жидкости. Рассмотрены частные случаи движения цилиндрического кругового сосуда с проводящей жидкостью при различных законах зависимости индукции магнитного поля от времени. Волновые движения жидкости на свободной поверхности учитываются в пределах теории малых колебаний. Полученные решения уравнений возмущенного движения позволяют для конкретных случаев сделать вывод об устойчивости или неустойчивости поступательного движения твердого тела.
Во второй главе рассматриваются задачи о стационарном вращении цилиндрического сосуда с проводящей вязкой жидкостью вокруг закрепленной оси, совпадающей с осью цилиндра, в магнитных полях различной ориентации. Задачи решаются без учета вторичных течений.
Третья глава посвящена решению нестационарных задач о вращении проводящего цилиндрического сосуда с проводящей вязкой жидкостью в магнитных полях различной ориентации.При этом стационарные задачи, решенные в предыдущей главе, используются в качестве нулевых приближений.
В четвертой главе рассмотрена одна автомодельная задача (стационарная и нестационарная) с учетом вторичных течений, возникающих во вращающемся сосуде конечных размеров.
В заключении в концентрированном виде приведены выво-
-Го-
ды, вытекающие из рассмотренных задач.
Список литературы содержит 84 наименования.
В приложении помещены распечатки программ численных расчетов на ЭВМ.
§ 2. Некоторые сведения из электродинамики сплошных сред
Для решения сформулированной в предыдущем параграфе механической задачи необходимо знать магнитные силы и их моменты, а значит, и уметь их определять с достаточной степенью точности, вводя возможные упрощения. Поэтому прежде всего обратим внимание на те электромеханические явления, которые возникают при движении проводящей среды в магнитном поле.
Пусть движение проводящего твердого тела с полостью, содержащей проводящую жидкость, в общем случае происходит во внешнем неоднородном нестационарном магнитном поле В=В(х,у, 2^). Проводимости тела и жидкости различны.Пусть, кроме того, при помощи внешних источников э.д.с. в проводящих средах создано неоднородное нестационарное электрическое поле Е = Ё(х,у,зЬ,Е) . Токи, создаваемые в проводящих средах полем Е , назовем собственными в отличие от токов, индуцированных движением проводящей среды в магнитном поле. Все электродинамические величины связаны между собой при помощи уравнений Максвелла, которые в общепринятых обозначениях в условно неподвижной системе координат записываются в виде:
- II -
сН&В$ =0 ; (Ии-д3 =уэ8 ;
(2.1)
При 6'= / эта система уравнений относится к твердому телу, при 5 = 2 - к жидкости. Такой порядок индексации сохраняется на протяжении всей работы.
Часто прибегают к упрощениям, пренебрегая токами смещения, а следовательно, и накоплением зарядов в местах разрывов и считая токи замкнутыми (МГД-приближение). В этом случае уравнения Максвелла принимают более простой вид:
Чтобы система электродинамических уравнений (2.2) была замкнутой, её необходимо дополнить соотношениями
жидкости везде в дальнейшем принимаем близким к единице.Проводимости обеих сред 61 и 6г конечны.
п?* Н$ = ;
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Значение магнитной проницаемости и* и для тела, и для
- 12 -
О? nr
~ ~ » £/r~L2t“- (2.6)
Запшем граничные условия для электродинамических величин в МГД-приближении.
Для нормальных составляющих:
Вщ ~ Вгп » Нщ = Hzn »
Jm-Jzn» 6iEin=&2E2nf (2.5)
где £1 , S2 - относительные диэлектрические проницаемости соответственно твердого тела и жидкости.
Для тангенциальных составляющих:
^1Т = &2Т ’ ^/Г = ^2Т ?
♦
Jrc_ (h . jit Ö1
Из первых двух уравнений (2.2) с учетом (2.4) получаем: 1-rot rotHs-rot(irsxBs) = -j£; (S=1,2)
Используя известную формулу векторного анализа
rot rot ä = grad diir ä - Aä
получаем:
J-&HS + rot(v-sxBS)=:^ ; (S=l,2) (2_7)
Первый член в левой части этого уравнения характеризует просачивание магнитного поля в проводящее вещество, покоящееся относительно линий магнитного поля. Второй член характеризует перенос линий магнитного поля вместе с движущимся веществом, т.е. "вмороженность" [jl4,I5] магнитных силовых линий. Критерием преобладания того или другого из указанных эффектов является магнитное число Рейнольдса:
- 13 -
Яет=}1о6*и*1\ тт ^ где ^0= 1,256-10' Гн/м -магнитная постоянная, 11 - ха-
рактерное значение скорости движения среды, С - характер-
*
ный размер проводящей области, 6 - характерная проводимость.
При больших магнитных числах Рейнольдса ( Яет » 1 )
первый член в левой части уравнения (2.7) пренебрежимо мал, следовательно, перенос магнитного поля вместе с движущимся веществом преобладает над просачиванием, силовые магнитные линии как бы вморожены в вещество. Наоборот, при Вет « 1 диффузия магнитного поля в вещество преобладает над его переносом.
Магнитное число Рейнольдса имеет и другой смысл, а именно, характеризует отношение величины индуцированного магнитного поля к величине индукции внешнего магнитного поля. Таким образом, число /?ет служит критерием выбора того или иного приближения при решении электродинамических задач. При !?ет»1 необходимо учитывать индуцированное магнитное поле, а при Вет « 1 им обычно пренебрегают (безиндукционное приближение).
Для большинства встречающихся лабораторных и промышленных установок (исключая сверхпроводящие среды) выполняется условие Кет«1 . Однако это не означает, что безиндукционное приближение удовлетворительно во всех случаях. Вопрос о выборе приближения следует решать исходя из конкретных условий каждой отдельной задачи. Токами Холла во всех случаях пренебрегаем.
- 14 -
Магнитная сила, действующая на элемент объема проводящей среды, вычисляется с точностью до малых величин высших порядков [46,55] по формуле:
^^5 ~0($=1>2) (2.8)
Под Н$ и В$ здесь подразумеваются характеристики полного магнитного поля, образованного суперпозицией внешних и индуцированных полей.
Главный вектор магнитной силы, действующей на ограниченный проводящий объем с током в магнитном поле, определяется путем интегрирования (2.8) по объему:
(2.9)
ч*
При вычислении главного вектора силы, действующей на ограниченный проводящий объем, под В$ следует понимать лишь внешнее по отношению к нему магнитное поле, в которое вносится проводник с током. Индуцированное поле в силу закона сохранения импульса не может дать вклад в действующую на него самого силу [46] .
Если собственные токи в проводнике отсутствуют, т.е.
Ё8~0 »то полная магнитная сила, действующая на него, определяется по формуле:
Главный момент магнитных сил, действующих на ограниченный проводник, относительно некоторого центра 0 в общем виде определяется по формуле:
- 15 -
М5'Г=1[г«0>ад]^,
У$ (2. И)
где 2 - радиус-вектор, определяющий положение точек про-
водящей среды в системе координат с началом в точке 0 •
В системах, состоящих из сред с различной проводимостью, необходимо учитывать целый ряд факторов, усложняющих задачу. Прежде всего следует учесть условия на границах разрыва. Пользуясь формулами (2.9), (2.11) для каждой отдельной среды, входящей в состав системы, под В$ следует понимать суперпозицию внешнего магнитного поля и поля, индуцированного другими проводниками, входящими в состав данной системы. Избежать рассмотрения задачи в столь сложном виде можно только в одном случае: когда проводимости твердого тела и жидкости, содержащейся в его полости, приблизительно одинаковы, а электрический контакт между отдельными проводящими частями является идеальным.
Кроме того, во всех исследуемых в работе случаях будем полагать, что скорость изменения поля не слишком велика, и глубина проникновения магнитного поля в проводник значительно превосходит размеры последнего. Электромагнитные поля и токи, удовлетворяющие этим условиям, называются квазистационарннми [4б] .
Приведем некоторые сведения из магнитной гидродинамики.
Во всех задачах будем рассматривать изотермическое движение несжимаемой однородной проводящей жидкости в присутствии магнитного поля. При этом из всех сил электромагнитного происхождения учтем лишь наиболее существенные:си-
- 16 -
лы, обусловленные взаимодействием электрических токов проводимости с магнитным полем. Относительную диэлектрическую и магнитную проницаемости жидкости во всех случаях принимаем близкими к единице. Это условие выполняется для большинства жидких металлов. Характерная скорость движения жидкости во всех случаях значительно меньше скорости света, поэтому релятивистские эффекты не учитываются. Вмороженностью магнитного поля пренебрегаем, т.к. во всех случаях Яет<<1.
Порядок отношения электромагнитной силы к силе вязкости характеризуется комплексом величин, образующих число Гартмана
На=вТ^ .
Порядок отношения электромагнитной силы к силе инерции характеризует число Стюарта
о. <*
Нетрудно видеть, ЧТО На =St’Re.
Разделив число Стюарта на магнитное число Рейнольдса, получим число Альфвена, характеризующее отношение магнитной энергии к кинетической
М = м РС~ •
^о? и
Магнитная сила зависит от скорости движения проводящей среды в каждой отдельной точке и, таким образом, способна существенно изменить профиль скоростей потока жидкости.
В вязкой жидкости, текущей вдоль твердой стенки, образуется МГД-пограничный слой, обладающий отличными от обычного
- 17 -
пограничного слоя свойствами [13,20,56]
Кроме того, магнитное поле способно подавить пульсации течения и тем самым предупредить переход ламинарного течения в турбулентное [13,57-59,84]] .
§ 3. Общие уравнения движения и некоторые первые
интегралы
Рассмотрим проводящее абсолютно твердое тело произвольной формы с односвязной полостью, так же имеющей произвольную форму, частично заполненной вязкой несжимаемой однородной проводящей жидкостью, частично газом, массой которого пренебрегаем. Для описания движения данной системы выберем два правых трехгранника: условно неподвижный инерциальный Оар и жестко связанный с телом неинерциальный ОаЛ/1?*
Уравнения движения удобно отнести к подвижному трех-граннику 0 ос у 2 . Так как основной задачей исследования является изучение движения твердого тела, то воспользуемся уравнениями движения в следующей форме [4,77] :