Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике

Содержание
Введение................................................................... 6
Глава 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм.......................... 11
§1. Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли—Пуассона . . 11
1. Скобки Пуассона и их свойства ................................. 11
2. Невырожденная скобка. Симплектическая структура................ 13
3. Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу............... 14
4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки................. 15
5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами.................................................... 16
6. Скобка Ли—Пуассона............................................ 17
7. Приложения к механике.......................................... 19
7.1. Уравнения Эйлера и геодезические на группе Ли (20). 7.2. Уравнения Эйлера—Пуассона (21).
§ 2. Уравнения Пуанкаре—Четаева...................................... 22
1. Уравнения Пуанкаре............................................. 22
2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре—Четаева................. 23
3. Уравнения Пуанкаре—Четаева на группе Ли. Естественная каноническая структура кокасательного расслоения группы Ли.............. 24
4. Инвариантная мера.............................................. 26
§ 3. Редукции пуассоновых структур................................... 27
1. Понижение порядка — алгебраический аспект...................... 27
2. Общая процедура редукции....................................... 28
3. Алгебраические алгоритмы редукции.............................. 30
4. Дополнительные замечания....................................... 35
§4. Показатели Ковалевской, квазиоднородность и гамильтоновость . . 35
1. Тензорные инварианты динамических систем....................... 35
2. Квазиоднородные системы. Показатели Ковалевской................ 39
1
3. Урапнения Гамильтона ........................................... 40
4. Инвариантная мера............................................... 43
5. Примеры....................................................... 44
5.1. Система типа Лотки—Вольтерра (44). 5.2. Обобщенная задача Суслова (44).
Глава 2. Динамика твердого тела........................................... 46
§ 1. Кватернионное представление уравнений движения................... 46
1. Параметры Родрига—Гамильтона.................................... 46
2. Уравнения движения.............................................. 48
3. Представление на алгебре е(4)................................... 49
§ 2. Метод Ковалевской—Ляпунова и интегрируемые случаи.............. 51
1. Динамически несимметричный случай............................... 51
2. Обобщение интеграла Гесса—Аппельрота............................ 54
3. Случай динамической симметрии................................ 55
4. Обобщение случая Ковалевской.................................. 57
5. Обобщение случая Делоне........................................ 58
6. Известные случаи интегрируемости............................... 59
7. Неинтегрируемость и теоремы несуществования .................... 60
§ 3. Линейные интегралы для кватернионных уравнений................... 62
1. Интеграл площадей Д^з = (М, 7) = с = const...................... 63
2. Интеграл iV3 — М3 = (М, 7) — М3 = с = const..................... 64
3. Интеграл М3 = с = const (интеграл Лагранжа)..................... 65
4. Поднятие интегрируемых систем .................................. 66
4.1. Обобщоиие семейство Яхьи—Ковалевской (67). 4.2. Обобщенное семейство Горячева—Чаплыгина (69).
§ 4. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа....................... 69
1. Интеграл Лагратка на пучке скобок ............................. 69
1.1. Случай Лагранжа (71). 1.2. Случай Кирхгофа (72). 1.3. Случай Пуанкаре (72).
2. Волчок на гладкой плоскости в поле тяжести...................... 72
3. Гироскоп в кардановом подвесе в осесимметричном поле........... 73
4. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта............ 74
5. Случай осевой симметрии в уравнениях Чаплыгина.................. 75
2
§ 5. Изоморфизмы интегрируемых случаев . . 76
1. Изоморфизм между обобщенным случаем Ковалевской и случаем Чаплыгина для уравнений Кирхгофа.................................. 77
2. Задача Якоби на трехмерном эллипсоиде и система Клебша— Переломова........................................................ 79
Глава. 3. Бигамильтоновы системы и представление Лакса—Гейзенберга ................................................................ . 83
§ 1. Бигамильтоновы системы...................................... 83
1. Невырожденные бигамильтоновы системы........................... 83
2. Вырожденные бигамильтоновы системы ............................ 86
3. Лиевы пучки.................................................... 88
4. Метод сдвига аргумента......................................... 88
5. г-матрица...................................................... 89
6. Примеры бигамильтоновых систем................................. 91
§ 2. L — A-пары и бигамильтоновость: лиевы пучки................. 96
1. Многомерное обобщение волчка Эйлера............................ 97
2. Многомерное обобщение случая Клебша............................ 99
3. Система Жуковского—Вольтерра ................................. 100
4. Многомерные обобщения системы Ляпунова—Стеклова............... 103
4.1. Нестандартный матричный коммутатор (103). 4.2. Многомерное семейство Ляпунова—Стеклова (106).
§3. L - А-пары и бигамильтоновость: картановское разложение..... 108
1. Задача Бруна.................................................. 108
2. Картановское разложение и согласованные семейства скобок ... 111
3. L — A-пара системы Бруна...................................... 113
4. Волчок Ковалевской и его обобщения............................ 114
5. Построение интегрируемых систем на римановых симметрических парах............................................................ 116
§4. Новая L — A-пара обобщенного волчка Горячева-Чаплыгина .... 118
Глава 4. Гамильтонова динамика вихревых структур.................... 122
§1. Динамика точечных вихрей на плоскости....................... 122
1. Динамика в абсолютных переменных.......................... 122
3
2. Комплексная форма уравнений вихревой динамики.................. 123
3. Представление в относительных переменных....................... 123
§2. Динамика точечных вихрей на сфере................................. 127
1. Абсолютное движение. Канонические уравнения.................... 127
2. Алгебраическое представление................................... 130
3. Проблема интегрируемости....................................... 133
§ 3. Классификация и алгебраическая интерпретация системы п-вихрей на
плоскости......................................................... 134
1. Вихревая алгебра и лиевы пучки................................. 134
2. Редукция по симметриям и сингулярные орбиты.................... 138
3. Симплектические координаты..................................... 141
4. Канонические координаты приведенной системы четырех вихрей. Сечение Пуанкаре.................................................. 142
5. Представление Лакса—Гейзенберга ............................... 145
6. Стационарные конфигурации...................................... 147
§ 4. Движение трех вихрей............................................. 148
1. Общий компактный случай........................................ 148
1.1. Аналогия между системой трех вихрей и системой Вольтер-ра (150). 1.2. Три вихря на плоскости (152). 1.3. Три вихря на сфере (161).
2. Некомпактный случай. Проблема коллапса и рассеяния............. 170
2.1. Движение на плоскости (170). 2.2. Движения на сфере (174). 2.3. Условие коллапса вихрей на плоскости и сфере (170). 2.4. Рассеяние вихрей на плоскости (181).
§ 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере........... 182
1. Частный случай задачи N вихрей, сведение к задаче ^ — 1) вихрей 182
2. Частные решения в задаче 4-х вихрей............................ 186
3. Стационарные и статические вихревые конфигурации............... 196
4. Устойчивость томсоновских конфигураций на сфере ............... 199
Приложения ............................................................ 203
§ 1. Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре-Жуковского.
Счетное семейство первых интегралов............................... 203
§2. Пуассоиова структура для неголоиомиого шара Чаплыгина ............ 210
4
1. Уравнения движения и интегралы.................................. 210
2. Аналогия с задачей Якоби........................................ 211
3. Нелинейная скобка, изоморфизм с системой Брадена................ 211
§3. Различные обобщения случаев интегрируемости уравнений Эйлера-
Пуассона на пучке скобок Пуассона.................................. 214
1. Волчок Ковалевской и его обобщения.............................. 214
1.1. Интегралы случая Ковалевской и их обобщения (214). 1.2. Разделение переменных на пучке Сх (218). 1.3. Преобразование Хай-не~Хорозова для системы Ковалевской (221). 1.4. Обобщение аналогии Колосова (222). 1.5. Переменные «действие-угол» для волчка Ковалевской на пучке (223).
2. Случай Горячева-Чаплыгина....................................... 225
2.1. Интегралы и разделение переменных (225). 2.2. Переменные действие-угол для случая Горячева-Чаплыгина (228).
3. Случай Чаплыгина................................................ 228
3.1. Интеграл и разделение переменных (228). 3.2. Переменные действие-угол для системы Чаплыгина на пучке скобок (229).
4. Система Богоявленского.......................................... 230
5. Интегрируемые системы на сфере кубическим интегралом (система Гаффе) ............................................................ 231
Заключение................................................................ 232
Литература ............................................................ 234
5
Введение
Скобки Пуассона (пуассоновы структуры) и связанные с ними математические конструкции играют ключевую роль в гамильтоновой механике. Основные результаты классической теории, восходящие к Пуассону, Гамильтону, Остроградскому и Лиувиллю, были получены для скобки вида
определенной для канонических координат <7, р в фазовом пространстве R2". Их достаточно полное обсуждение содержится в трактате Э. Уиттекера [164]. Наиболее приемлемым современным математическим языком для изложения классических результатов, инвариантным относительно координатных преобразований, оказался язык симплектической геометрии и связанной с ней теорией внешних дифференциальных форм. С этой точкой зрения на гамильтонов формализм можно ознакомиться по известной книге В. И. Арнольда [2].
Скобка Пуассона (1) является невырожденной, то есть для любой гладкой функции F(x) ф const, х = (<7,р), существует другая функция С?(ж) Ф const, такая, что
Более общее понятие пуассоновой структуры, для которого требование невырожденности (2) уже может не выполняться, появилось в теории Софуса Ли «функциональных групп» и интегрирования систем линейных дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка [298].
Теория Ли в целом была забыта математиками и физиками, пока П. Дирак не возобновил к ней интереса в связи с обобщением гамильтоновой механики, необходимым для целей квантования [63]. Физические рассуждения Дирака приобрели математическую законченность (возможно, излишнюю) в работах Лихнерови-ча [296, 297], Марсдена [307, 308] и Вейнстейна [355, 356, 306]. Менее формальное изложение, дополненное различными физическими примерами гидродинамического происхождения, имеется в работе С. П. Новикова [137] (см. также [66]). В дальнейшем эти результаты позволили выработать альтернативную (по сравнению с
а)
(2)
6
формализмом внешних форм [2] и теорией производящих функций [164] аксиоматическую основу гамильтоновой механики [30].
Отметим еще один любопытный исторический момент. В книге Ли [298] была введена скобка Пуассона на двойственном пространстве к алгебре Ли и фактически указана ее связь с коприсоединенным представлением группы Ли (скобка Ли-Пуассона, линейная скобка см. §1, гл. 1). Эта скобка была забыта вплоть до 60-х годов XX века. Ее переоткрыл Березин (п дальнейшем она применялась также Кирилловым, Костантом и Сурио) в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. В гамильтоновой механике интерес к структуре Ли-Пуассона возрос после появления работы В. И. Арнольда [1], в которой была представлена одна из форм уравнений движения п-мерного твердого тела вокруг неподвижной точки.
Заметим также, что до работ С. Ли некоторые важные примеры скобки Ли-Пуассона были известны еще Якоби. В его примерах скобка Пуассона возникала на пространстве первых интегралов уравнений Гамильтона.
Рассмотрим более общую ситуацию. Лагранжевы уравнения динамики с использованием вместо обобщенных скоростей «определяющих параметров» были записаны А. Пуанкаре [327]. В дальнейшем Н. Г. Четасв показал [174], что этим уравнениям можно придать гамильтонов вид, если некоторым образом изменить вид канонической скобки Пуассона (1). Эта скобка для многих классических систем имеет особо замечательный вид (например, для уравнений Эйлера-Пуассона, § 1 гл. 1) и естественным образом вкладывается в теорию Ли. Отметим, что связь своих уравнений с теорией групп и алгебр Ли прекрасно осознавал сам А. Пуанкаре, рассматривая задачу о двшкении твердого тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение [328]. Тем не менее, свойство гамильтоновости уравнений Эйлера-Пуассона и уравнений Кирхгофа, являющееся очевидным следствием записи уравнений движения твердого тела в форме Пуанкаре-Четаева, обычно связывают с работой [137].
В диссертации систематически изучаются именно вырожденные пуассоновы структуры. Наряду с общими теоремами мы рассматриваем новые примеры из различных областей классической механики и гидродинамики, в которых такого типа пуассоновы структуры возникают естественным образом.
Как заметил еще С. Ли [298], с локальной точки зрения, вырожденные пуассоновы многообразия (многообразия со скобкой Пуассона) мало чем отличаются от обычного невырожденного (симплектического) случая. Он доказал общую тео-
7
рему Дарбу для этой ситуации и показал, что при этом пуассоново многообразие расслаивается на симплектические подмногообразия (листы), на которых естественно ограничивается любая гамильтонова система. Это ограничение (локально!) возвращает нас к классической гамильтоновой механике, теории симплектических многообразий и внешних дифференциальных форм.
Однако из этого вовсе не следует, что вырожденные пуассоновы структуры не имеют собственного теоретического интереса. Как правило, во многих задачах предпочтительней оставаться на самом объемлющем многообразии. Это особенно естественно для систем, зависящих от параметров. Вопросы, связанные с их интегрируемостью и исследованием частных решений, глобальным (топологическим) анализом решений, существенно проще ставятся и решаются именно при записи гамильтоновых уравнений движения с вырожденной скобкой Пуассона. При этом сами уравнения движения, в отличие от канонической формы записи, во многих представляющих интерес случаях получаются полиномиальными и даже однородными.
Для анализа интегрируемости таких систем могут быть применены хорошо разработанные алгебраические и аналитические методы исследования, восходящие к П. Пеилевс, С. В. Ковалевской, А. М. Ляпунову, основанные на изучении поведения общего решения системы дифференциальных уравнений на комплексной плоскости времени. В диссертации мы приводим ряд новых результатов, отражающих специфику применения методов Ковалевской-Ллпуиова для квазиоднородных систем дифференциальных уравнений, обладающих пуассоновой структурой, а также используем их для исследования интегрируемости различных задач. Алгебраический подход наиболее наглядно иллюстрируется на примере вихревой динамики (гл. 4), которая, начиная с Кирхгофа и Пуанкаре, изучается в каноническом гамильтоновом представлении. Запись уравнений движения в новых (предложенных нами) образующих, условия коммутации которых определяют некоторую алгебру Ли, позволяет разделить исследование на две составляющие. При этом часть информации, связанная с топологическими свойствами системы, оказывается заключенной в скобке Пуассона, которая также зависит от параметров системы (интенсивностей вихрей), а другая — определяется свойствами гамильтониана, задающего динамические системы на симплектических листах, фиксированных интегралом момента.
Остановимся, вкратце, на общей структуре диссертации.
В первой главе обсуждаются механизмы возникновения пуассоновых структур в динамике (ограничение на симплектический лист, понижение ранга струк-
туры при помощи симметрий, уравнения Пуанкаре-Четаева), а также вопросы интегрируемости соответствующих уравнений Гамильтона. Подробно изложены вопросы редукции гамильтоновых систем на алгебраическом уровне, и связанной с ней процедурой понижения порядка. С такой точки зрения вопросы понижения порядка ранее не обсуждались, между тем здесь можно получить интересные результаты, связанные с изоморфизмами между различными динамическими системами.
В главе 2 рассмотрена новая кватернионная форма уравнений в динамике твердого тела, а также некоторые системы, получающиеся из них с помощью понижения ранга пуассоновой структуры с учетом симметрийных законов сохранения. При этом понижение порядка производится в алгебраической форме, что даст большие преимущества при анализе. На примере кватернионных уравнений в §4 произведен анализ интегрируемости методом Ковалевской и получено обобщение теоремы Л. М. Ляпунова [119] для случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки в суперпозиции однородных силовых полей. Здесь приведен также траекторный изоморфизм между задачей Клебша и задачей Якоби о геодезических на эллипсоиде. Еще один результат относится к изоморфизму между случаем Ковалевской в суперпозиции двух силовых полей и случаем Чаплыгина в уравнениях Кирхгофа. Кроме того мы приводим также новую форму уравнений движения твердого тела с нелинейной скобкой Пуассона, соответствующей редукции по суперпозиции углов прецессии и собственного вращения.
В главе 3 систематически обсуждаются механизмы, связанные с бигамильто-новостью динамических систем и родственными вопросам интегрируемости и теорией алгебр Ли. Показано, что бигамильтоновость системы, отражающая наличие двух согласованных тензорных инвариантов, приводит к естественным процедурам построения Ь - А-пар, содержащих спектральный параметр. Развивается два основных способа их построения. Первый их них связан с лиевыми пучками, он приводит к гиперэллиптическим парам, второй - с картановским разложением, на последнем пути получаются обычные Ъ - А-пары, в которые спектральный параметр входит рационально. В этой главе естественным образом получены все ранее известные результаты, а также новая I» — А-пара случая Горячева-Чаплыгина, позволяющая построить новое обобщение этого случая.
В главе 4 рассматриваются пуассоновы структуры, возникающие в задачах о движении вихрей на плоскости и сфере. Указан траекторный изоморфизм интегрируемой задачи о движении трех вихрей (на плоскости и сфере) и системой Лот-
9
ки-Вольтсрра, возникающей в математической биологии. В §§4,5, исходя из новой формы динамических уравнений, выполнена классификация движений в интегрируемой задаче трех вихрей на плоскости и сфере. Указаны сферические аналоги стационарных конфигураций и частных решений классической задачи о движении точечных вихрей на плоскости, исследованы вопросы их устойчивости. Приведены также различные варианты сечений Пуанкаре, полученные при помощи симплек-тизации первоначальной формы алгебраических уравнений. Хаотическое поведение траекторий в задаче четырех вихрей одинаковой интенсивности подтверждает неинтегрируемость этой задачи. В этой главе разработан новый алгоритм понижения порядка динамических систем, отличный от редукции Рауса и существенно использующий алгебраическую форму уравнений движения. Для задачи четырех вихрей на плоскости понижение порядка выполняется несколько различным образом в зависимости от соотношений на интенсивности, определяющих топологический тип симплектичсского листа.
В главе 5 рассматриваются новые интегрируемые случаи в динамике твердого тела. Наиболее сложным здесь является счетное семейство интегрируемых случаев для уравнений близких к гамильтоновым на алгебре ао(4) (т. е. уравнениям Пуанкаре-Жуковского, описывающих движение тела с жидкостью). В этом случае интегралы имеют четную степень по фазовым переменным и всегда являются полиномиальными. В одном из случаев они допускают обобщение на нсголономную ситуацию, что приводит к новой интегрируемой задаче, описывающей движение твердого тела в сферическом подвесе.
В следующем разделе получено новое гамильтоново представление для него-лономной системы Чаплыгина, описывающей качение динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости. Полученная здесь пуассонова структура является нелинейной, а ее преобразование приводит к гамильтоновой интегрируемой системе с разделяющимися переменными, указанной Браденом.
В последнем параграфе этой главы приведены обобщения случаев Ковален-скоЙ, Горячева-Чаплыгина и Чаплыгина на пучке скобок Пуассона, содержащем алгебры е(3), «о(4), во(1,3), а также указаны обобщения процедур явного интегрирования, приводящие их к уравнениям Абеля-Якоби. Указаны также интегрируемые гиросгатические аналоги этих случаев, где разделяющие переменные до сих пор не найдены.
10
Глава 1
Скобки Пуассона и гамильтонов формализм
§ 1. Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли—Пуассона
1. Скобки Пуассона и их свойства
Многие задачи динамики допускают запись в гамильтоновой форме
Ч=Ц. Р=~§|- Я = Я(р,д), (1.1)
где канонические координаты (и, р) определены на некотором четномерном многообразии (и, р)еМ2п — фазовом пространстве (сПтЛ/=п). Функция Я называется гамильтонианом. Если ввести скобку Пуассона двух функций I? и (7 по формуле
3 Т? /"И — \ ' ((л
то уравнения (1.1) можно переписать в виде
Яг = {Ягу Я}, Р; = {р„ Я}. (1.3)
Любая дифференцируемая функция Г = Г(ч, р) также эволюционирует по гамильтонову закону:
Я = {Я,Я}. (1.4)
Классическое изложение гамильтоновой механики, основанное на теории про-изводящих функций и канонических преобразований координат (я, р) не является инвариантным относительно произвольных координатных преобразований. Поэтому при инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона, определенных для функций, заданных на некотором многообразии М с координатами х = (а:1,... ,яп). Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям:
11
1°. {AFi + /iF2, G} = AfF^G) + /i{F2,G}, A,/i 6 R — билинейность,
2°. {F,G} = -{G,F} — кососимметричность,
3°. {FiF2, G} = Fi{F2, G} 4- F2{Fi,G} — правило Лейбница,
4°. {{Я, F}, G} + {{G, Я}, F} + {{F, G}, Я} = 0 — тождество Якоби.
Скобку Пуассона {•,•} мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие М, на котором она задана — пуассоновым.
В приведенном определении мы отказались от свойства невырожденности, (т. е. VF(x) ф const, 3G ф const, {F, G} ф 0), которое заложено в выражении (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечстномериых систем. При этом пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира F*(x), коммутирующими со всеми переменными я* и, стало быть, с любыми функциями — VG(x), {Fk, G} = 0 (в литературе для функций Казимира употребляют также термины: аннуляторы, центральные функции, отмеченные функции и просто казимиры).
Свойства 1° — 4° позволяют записать скобку Пуассона функций F и G в явном
Базисные скобки = {я*,я;} называются структурными функциями пуассонова многообразия М относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат х [139]. Они образуют структурную матрицу (тензор) 3 = ||«/и|| размера п х п. Если
то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2). Структурная матрица .7**(х) обладает следующими свойствами:
а) кососимметричность:
виде
(1.5)
(1.0)
J«(x) = -Я;(х),
(1.7)
б) тождество Якоби:
(1.8)
Легко видеть, что всякая постоянная кососиммстрическая матрица JlJ задает
пуассонону структуру.
12
Инвариантный объект, определяемый тензором является бивектором (би-векторным полем):
(9 Р
где (1Р — ковектор с компонентами
дх1
Векторное поле Хц = {х,Я} определяет на многообразии гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид
х* = №,)' = {х% Я} = £ (1-9)
.7
Функция Н ~ Н(х) при этом называется гамильтонианом (функцией Гамильтона). Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением
[Хн,Хр\ = — Х{Н'Р}‘
Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование, сохраняющее скобки Пуассона.
Определение 1. Функция Р(х) называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю Р = Хц(Р) = 0([Х|/, Хр\ = 0), это условие эквивалентно тому, что {Я, Я} = 0.
2. Невырожденная скобка. Симплектическан структура
Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции Р операция ХГ — {Я,*} является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на М. Все касательные векторы можно представить в таком виде. Определим 2-форму и2 по формуле
и\Хс,Хр) = {Я, С}.
Из аксиом 1° — 4° следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2-форма называется симплектической структурой, а многообразие М — симплектическим многообразием. В общем случае форма ш2 имеет вид А с1х;, где ||ц>у|| = ||«/**||“\ в каноническом случае (1.6) со2 = А dqi. К такому виду по теореме Дарбу [3] приводится локально всякая симплектическая структура.
13
Обратно, невырожденная форма и2 позволяет установить изоморфизм касательного ТХМ и кокасательного пространств: вектору £ е ТХМ ставится в соответствие 1-форма ш\(т)) = о;2(т7,£) е Т*МУ где 77 € ТХМ. Пусть I: Т*М ТХМ — обратное отображение. Легко проверить, что скобка Пуассона двух функций .Р,<7, заданная формулой {^,С} = ь)2(ЫСу1с1Е) удовлетворяет условиям 1° — 4° и условию невырожденности.
3. Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу
Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассонопо многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои (листы) , ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои представляют собой общий уровень всех центральных функций и для них справедлива теорема Дарбу. Таким образом, на симплектическом слое мы вновь возвращаемся к ситуации стандартной канонической (симплектической) гамильтоновой механики. Однако, для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, так как ведет к потере, например, алгебраичности дифференциальных уравнений и ограниченности применения геометрических методов исследования.
Рангом пуассоновой структуры в точке х € А/ называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Как правило, под рангом пуассоновой структуры на М понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке х € М. Для симплектическнх многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален.
Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных (возможно вырожденных) пуассоновых многообразий. Доказательство этой теоремы восходит к Ли [298] и Дарбу, с более формальными рассуждениями можно ознакомиться по работе [355] (см. также [139]).
Теорема. Пусть (М, {•,•}) — пуассоново многообразие размерности п, и в точке х € М ранг скобки {•,•} локально постоянен и равен 2г. Тогда существует локальная система (канонических) координат »яг,Уь... >1/г>2ь-*- ,гп~2Г, в
которой скобки Пуассона имеют вид
{*«»*>} = {уйуЛ = {*«»**} = {у.-»**} = {**»*|} = о,
{•£*» У;} —
где 1 ^ г, ^ г, 1 ^ к, I < п — 2г.
14
В указанных координатах симплектический лист задастся уравнениями Zi = с*, (с,- = const), а симплектическая структура на нем задается формой и = dxi A dxji. Если в любой окрестности точки х ранг не является локально постоянным, то теорема Дарбу уже не является справедливой. Одно из обобщений теоремы Дарбу для произвольной точки получено А. Вейнстейиом [355] и будет рассмотрено в §9 гл. 1. Нормальные формы пуассоновых структур вблизи такой особой точки х G М обсуждаются в [2, 355].
4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки
Определение 2. Пусть (М, {-, *}лг)? (ЛГ, {-»-Jiv) — пуассоновы многообразия. Отображение /: М -> N называется пуассоновым, если
{F(f(x)), G(J(x))}m = {F, G}N(f(x)) (X.10)
для любых функцй F, G: N —> R (т. e. отображение сохраняет скобку Пуассона).
Пусть N С М — подмногообразие в пуассоновом многообразии. Па N можно определить скобку {*,-}лг функций F, G: N -> R по формуле
{p,g}w = {f,5}|w, (l.ii)
где в правой части стоит ограничение скобки Пуассона двух функций F, (7, являющихся гладкими продолжениями функций F, G на объемлющее многообразие М. Определение 3. Подмногообразие N называется пуассоновым, если скобка не зависит от способа продолжения функций F и G.
При этом отображение вложения г: N —* М является пуассоновым. Определение 4. Пуассонова структура {•, -}Лг на многообразии N, в общем случае содержащая константы, фиксирующие это подмногообразие в М, называется ограничением на N скобки {•,•}.
Пуассоиовость подмногообразия N гарантирует для {•, ‘}дг выполнение тождества Якоби. В случае, если скобка {*,*}лг — невырождена, соответствующее под-многобразие называется невырожденнъин (симплектическим).
Несложно проверить, что поверхности уровня функций Казимира задают пу-ассоново подмногообразие, которое является невырожденным, если рассмотреть их общий регулярный уровень. Чтобы лучше понять устройство других пуассоновых подмногообразий, сформулируем простые утверждения, доказанные, например, в [139].
15
Предложение 1. Если N — пуассоново подмногообразие, то для всякой функции F: М -> К векторное поле Хр = {•, касается N.
Предложение 2. Если N задано в виде N = {х Е М, /*(х) = 0}, то для всякой функции F: М ->■ К выполнено {/*^}|^ = 0 (в частности, для координатных функций {/,, = 0^.
С точки зрения динамики функции Казимира представляют собой первые интегралы, существующие у гамильтоновой системы (1.9) при любых функциях Гамильтона Н. В общем случае пуассоновы подмногообразия представляют собой систему инвариантных соотношений динамической системы (1.9), также не зависящую от выбора гамильтониана. Симметрии, соответствующие этим функциям, содержатся полностью в пуассоновой структуре.
Само обобщение классической гамильтоновой системы (1.1) на случай вырожденного структурного тензора с динамической точки зрения эквивалентно рассмотрению систем, представление которых в каноническом виде не очевидно заранее, но возможно (локально — это следствие теоремы Дарбу) на общем уровне функций Казимира или существующих у данной системы инвариантных соотношений, определяющих невырожденное пуассоново подмногообразие.
5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами
Пусть на касательном расслоении ТМ = (ц, я) задана лагранжева динамическая система с лагранжианом Ь, содержащим члены, линейные по скоростям
Л = Г + (/(Ч),4) + К(Ч), (1.12)
^(П, п) — квадратичная по ^ положительно-определенная форма кинетической энергии, \'(ч) — потенциал. Линейные члены в (1.12) могут возникать либо при наличии в системе гироскопических сил типа силы Лоренца, действующей на заряд в магнитном поле, либо в процессе понижения порядка по Раусу в системах, содержащих циклические координаты [137].
Два-форма Г = ^ ) ^Чх Л ^ л называется формой
г<; '
гироскопических сил. Она определена на конфигурационном пространстве М = {с|} и является замкнутой. По лемме Пуанкаре, локально эта форма является точной, что может быть невыполнено глобально. В этом случае лагранжиан (1.12)
16
не является глобально определенным на касательном расслоении (точнее, один-
форма в лагранжиане (1.12) не определена глобально). Если перейти с
*
помощью преобразования Лежандра от лагранжева формализма к гамильтонову, то полученный таким образом гамильтониан также не будет определен глобально на кокасательном расслоении (кроме случая, когда форма Г точна Г = <іА). Чтобы сохранить однозначность гамильтониана, можно выполнить преобразование Лежандра без учета в (1.12) линейных по ^ членов. Это приведет к гамильтоновой системе с глобально определенным гамильтонианом (который полезно иметь для топологических исследований в «целом» [137]), однако к симплекти-ческой структуре ш2 = £ сйд А сіді добавится дополнительный (гироскопический) член Г = А с/ф. В скобке Пуассона также появятся дополнительные слагаемые {<&,</,} = 0, = <5/, {рй£/} = Єч(я)‘ Включение гироскопических
членов в скобку Пуассона было предложено Сурьо [339]. В работе [137] изложенные соображения применены к уравнениям Кирхгофа, что позволило явно выделить глобальные эффекты (типа «монополя Дирака») при приведении по Раусу уравнений движения на сферу Пуассона.
6. Скобка Ли—Пуассона
Другой важный пример пуассоновой структуры связан с алгебрами Ли. Пусть С” — структурные константы алгебры 0 в базисе {я*і, Скобка Ли—
Пуассона ([298], т. 3, гл. 25, §115, формула (75)) пары функций И, Н, заданных на некотором (другом) линейном пространстве V с координатами х = (я?х, ... , хп) и базисом {о;1, ... , а;”} определяется формулой
(я,л}.£л,М Щ (113)
й=1 1
где *7|Дх) = — линейный по Хи структурный тензор. Все необходимые
к
тождества для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли:
1. = -с£,
2- £(4.<$ + 4„4 + 4.41) = о.
т
Более инвариантное описание структуры Ли—Пуассона делается следующим образом. Для любого векторного пространства V и гладкой функции і*1: V —> М дифференциал с1Г(х) в любой точке х Є V является элементом двойственного век-
17
торного пространства У*, состоящего из линейных функционалов на У. По определению
для любого у € У, а операция (•,•) есть естественное спаривание пространства У и двойственного к нему пространства У*. Учитывая это, можно отождествить линейное пространство У, участвующее в исходной конструкции скобок Ли—Пуассона с двойствешшым пространством д* к алгебре Ли д, причем {а;1,... — двойственный базис к ,ип}. Дифференциал дР(х) любой
функции Г: д* —> К (определенной на дуальном пространстве) является элементом пространства (д*)* « д. Скобка Ли—Пуассона в инвариантной форме имеет вид
{Я,Я}(х) = (х,[^(х),<*Я(х)]>, х € 0-, (1.14)
где [•, •] — скобка Ли на самой алгебре д.
Симплектическое слоение для скобки Ли—Пуассона на двойственном пространстве 0* к алгебре Ли имеет особенно замечательную интерпретацию в терминах представления, двойственного к присоединенному представлению группы Ли 0 на алгебре Ли 0. (см. [2, 139]).
Пусть (5 — группа Ли с алгеброй Ли 0. По определению коприсосдиненным действием элемента группы I 6 & называется линейное отображение Ас!/: 0* д* двойственного пространства, удовлетворяющее условию
(Ас!/ и, у*) = Аф-1 \у) (1-15)
для всех и € 0*^ € 0, а Л<1/ — присоединенное действие элемента I на д.
Если отождествить касательное пространство Тд*\ш, и € д* с самим пространством д* (аналогично сделать и для д,) то можно получить инфинитезимальные образующие коприсоедииенного действия дифференцированием равенства (1.15)
(ас!* и, лу) = -(а>,ас1у\у) = (и, [у,лу]),
где у,уг е 0,о> € 0*. Для присоединенного представления аё* V = [>у,у].
Коприсоединенное действие и скобка Ли—Пуассона связаны следующим замечательным утверждением, доказательство которого можно найти в [2, 139, 162]. Теорема 1. Пусть 0 — связная группа Ли с коприсоединенным представлением Аё^ на д*. Тогда орбиты представления Аё^> в точности совпадают со слоями симплектического слоения, индуцированного скобкой Ли—Пуассона на д*.
18
В частности, орбиты коприсоединеиного представления группы 0 являются четномерными подмногообразиями в g*. Кроме того, для каждого элемента g е & коприсоединенное отображение Ad* является пуассоновым (сохраняет скобку Пуассона) и оставляет на месте слои этого слоения. В случае, если размерность орбиты коприсоединеиного представления не является максимальной, то она называется сингулярной. Можно показать, что такие орбиты являются пуассоновыми многообразиями — сингулярными симплектическими листами. Сингулярные орбиты естественно возникают в различных задачах (см. гл. 2,3,4) и для групп 50(n), Е(п), U(n) описаны в приложении D.
Замечание 1. При редукции на орбиту коприсоединеиного представления возникает невырожденная скобка, порождающая соответствующую замкнутую невырожденную 2-форму. Эта форма была (независимо от С. Ли) открыта Березиным и использовалась Кирилловым, Костантом и Сурьо в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. Термин «скобка Ли—Пуассона» введен А. Вейнстейном, который ввел также термин «функция Казимира», вообще говоря, исторически мало оправданный. Казимир (Н. В. G. Casimir), выполнявший диссертацию под руководством П. Эренфеста (P. Elirenfest), использовал это понятие при квантовании уравнений Эйлера свободного волчка [234]. С. Ли называл эти функции отмеченными (ausgezeichnete Funktionen) [208].
Уравнения Гамильтона для структуры Ли—Пуассона
Xi = {xhH} (1.16)
в покомпонентной записи имеют вид
хг = ^2 ^Хкд^' (1Л7^
kJ
Уравнения (1.17) можно записать в более инвариантном виде
x = adj„(x), х е д’, (1.18)
где adj, (Ç € 0) — оператор коприсоединеиного представления алгебры Ли 0: adj: g* -> д*.
7. Приложения к механике
Оказывается, что ряд задач механики, например, уравнения, изучаемые в классической динамике твердого тела, динамике вихрей, могут быть записаны
19
в виде уравнений Гамильтона на пуассоновом многообразии со скобкой Ли— Пуассона (1.13). Отличием этих уравнений от канонической формы записи, как правило, является их простота и алгебраичность.
Представление уравнений движения в форме (1.17) называется алгебраизаци-ей динамической системы [162]. В дальнейшем под алгебраизацией гамильтоновой системы мы будем понимать более широкую возможность ее представления в виде (1.9) с алгебраическим гамильтонианом и структурным тензором. При этом для всех рассматриваемых далее примеров эти инварианты являются просто полиномиальными (в некоторых случаях полиномиальность может быть достигнута введением избыточных координат).
7.1. Уравнения Эйлера и геодезические на группе Ли. При выборе переменных для описания движения твердого тела вокруг неподвижной точки, в которых уравнения движения имеют наиболее простой вид, еще Л. Эйлер (1758 г.) предложил использовать проекции кинетического момента твердого тела на оси, связанной с телом системы координат. Уравнения Эйлера, описывающие вращение твердого тела по инерции (1 — тензор инерции)
М = М х АМ,
(1.19)
А = I 1 = с^(аьа2,«з), М = (Ми Мъ М3),
могут быть записаны как уравнения Гамильтона со скобкой Ли—Пуассона, порожденной структурными константами алгебры $о(3):
{МиЩ} = -етМк (1.20)
и функцией Гамильтона Я = (АМ, М)/2.
Скобка (1.20) является вырожденной и обладает функцией Казимира — интегралом момента:
М2 = М? + М\ + М\.
Ненулевой уровень этой функции задаст симплсктический лист — двумерную сферу, при редукции на него скобка (1.20) становится невырожденной — ее ранг равен двум (центр сферы является сингулярной нульмерной орбитой). Координатами Дарбу в этом случае является система цилиндрических координат [139]. Замечание 2. Задание гамильтониана Я п виде
Я = |(АМ,М) = |(1о/,а;),
20
определяет левоиивариантную риманову метрику но группе Ли 50(3). Операторы А: 0 —> 0*, и обратный ему А“1 = I: 0* —* 0 являются положительно определенными и задают переход от угловых скоростей к компонентам кинетического момента М. Уравнения (1.18) представляют собой уравнения геодезических на группе Ли, снабженной левоиивариантной римановой метрикой. Связь между уравнениями геодезических и уравнениями Эйлера динамики твердого тела обсуждается ъ [3], где также дастся определение угловой скорости (кинетического момента) в теле и пространстве, как элементов алгебр Ли, полученных перенесением из касательного пространства в некоторой точке группы Ф при помощи, соответственно, левых и правых сдвигов. Лсвоинвариант-ность формы кинетической энергии твердого тела при этом обусловлена тем, что она определяется вектором угловой скорости в теле и не зависит от расположения тела в пространстве.
В данной книге мы не будем подробно обсуждать связь алгебры Ли, соответствующей заданной скобке Ли—Пуассона, с порождающей ее группой Ли, тем более, что в некоторых случаях (динамика вихрей, цепочки Тоды) эта связь не является такой естественной, как в твердом теле.
7.2. Уравнения Эйлера—Пуассона. Развивая идею Эйлера, С. Пуассон (1810 г.) вывел более общие уравнения, описывающие движение тяжелого твердого тела в однородном поле тяжести, используя, наряду с компонентами вектора кинетического момента, проекции единичного орта вертикали 7 = (71,72*73) на те же оси*
Оказывается, что уравнения Эйлера—Пуассона (а также уравнения Кирхгофа, описывающие движение однородного твердого тела в идеальной безвихревой жидкости по инерции) в переменных (М,7) могут быть представлены как гамильтоновы уравнения со скобкой Ли—Пуассона, определяемой коммутационными соотношениями:
{М;,М,-} = ~£цкмк, {АГ(, 7,-} = {7,, 7^} = о. (1.21)
Эти коммутационные соотношения отвечают алгебре е(3), являющейся полупрямой суммой алгебры вращений 5о(3) и трехмерной алгебры трансляций Е3. Эта алгебра не является полупростой и обладает абелевым идеалом, определяемым переменными 7,-. Переменные типа (М,7) в механике называют квазикоординатами. Более общие уравнения движения твердого тела в квазикоординатах в произвольном потенциальном поле будут приведены в следующей главе.
Движения тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение, можно также описать как гамильтонову систему на алгебре ае?(4), являющейся пря-
21
мой суммой двух алгебр вращения: $о(4) = во(3) 0 5о(3). При этом, один экземпляр 5о(3) отвечает кинетическому моменту тела, а второй — вектору завихренности (см. [18, 160]). Уравнения движения в этом случае были получены А. Пуанкаре [328], который почти в современной форме отметил их связь с алгеброй 5о(4). Другие примеры гамильтоновых уравнений, некоторые из которых имеют физическое обоснование приведены в книгах [18, 166].
Замечание 3. Оказывается, что в виде (1.18) могут быть также записаны гидродинамические уравнения Эйлера идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости. В этом случае п качестве фазового пространство выступает группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема [1, 3].
Замечание 4. В гидродинамике канонические координаты на симплектическом листе называются переменными Клебша [307]. Если их введение локально возможно по теореме Дарбу, то глобальное определение сделать не так просто, а иногда и невозможно. Это обусловлено топологией симплектического листа.
Замечание 5. Для структуры Ли—Пуассона, и для соответствующей ей алгебры Ли может быть найдено картаиовское разложение [8, 336]. Анализ структуры этого разложения позволяет более просто определить канонические координаты на симплектических листах. Например, укажем алгебру е(3) = 5о(3) 0* К3 уравнений Эйлера—Пуассона, где выделение подалгебры ао(3) позволяет просто ввести канонические переменные Андуайе— Депри [5, 27, 83], имеющие важное значение в динамике твердого тела.
§ 2. Уравнения Пуанкаре—Четаева
1. Уравнения Пуанкаре
Рассмотрим уравнения движения лагранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами <н,... ,(вообще говоря, зависимыми, то есть наложены т < п голономных связей вида /}(ц) = 0, ^ = 1,... ,тп) и квазискоростями ,0;*, которые выражаются через обобщенные
скорости по формулам
41 = 52т'*'« = 1,•••>»»; » = 1,(2Д)
в
При этом предполагается, что все голономные связи учтены, то есть
<в *
22
В случае к > п это условие приводит к тому, что между квазискоростями выполнены линейные по о»,- соотношения. /
Величины называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы в неголономном базисе векторных полей
<г2>
Предположим, что векторные поля образуют замкнутую систему
(и*, И =4(чК, г,),8 = 1 к. (2.3)
В случае к < п это условие является следствием интегрируемости связей [67]. Если все с- являются постоянными, то поля V9 определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения движения в переменных ($1,... ,дп> (*>1,... ,ш*) в лагранжевой форме были получены А. Пуанкаре [327]:
!(ё)-£<**£+-№. <-> *•
' ' Г,в
где дифференцирование вдоль векторного ПОЛЯ V* определено с помощью формулы (2.2).
2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре—Четаева
Н.Г. Четаев преобразовал уравнения Пуанкаре [174], введя новые переменные М» = дЬ/дщ (квазиимпульсы) и осуществив преобразование Лежандра:
|ы_»м= Я(Мь ..., Мку Яи ••• 1 9п)‘ (2-5)
!
При этом о;,’ = дН/9М{ и уравнения (2.4) можно записать в виде:
{ = (2-°)
Г 8 Г
Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (2.6) уравнения (2.1):
« = (2.7)
8
Система уравнений (2.6), (2.7) является гамильтоновой, вообще говоря, с вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций /(М,я), £-(М,я) формулой [151, 174]
</■*> - £ (Ц«‘« - Ш'Ц * <2-8>
I 4 ' 8\} *
23