Метод сравнения в задачах об асимптотической устойчивости и неустойчивости

Оглавление
Введение....................................................4
Глава 1. Об исследовании устойчивости неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
1.1. Введение в метод сравнения. Теорема Важсвского. Основпые теоремы сравнения с вектор-функцией Ляпунова................11
1.2. Локализация положительного предельного множества....17
1.3. Теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы ОДУ.......25
1.4. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных.........................................36
1.4.1. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных при предположении
ограниченности решений по неконтролируемым координатам......37
1.4.2. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных без предположения ограниченности решений по неконтролируемым координатам......43
1.5. Приложение к исследованию устойчивости механических систем........................................................47
Глава 2. Об исследовании устойчивости функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием.
2.1. Основные определения. Теоремы существования, единственности, непрерывной зависимости и продолжимости решений. Предельные у равнения..........................................53
2.2. Теорема сравнения для устойчивости. Локализация положительного предельного множества решений неавтономной системы
2
ФДУ с конечным запаздыванием...............................58
2.3. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения ФДУ с конечным запаздыванием..............64
2.4. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных........................................71
Заключение.................................................76
Литература.................................................77
3
Введение
Метод функций Ляпунова является основным в качественном исследовании устойчивости движения различных систем [28, 14, 29, 1, 20, 56, 57, 58]. Но основной трудностью при применении этого метода к конкретным задачам является построение функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям той или иной теоремы. Поэтому одним из главных направлений развития метода функций Ляпунова является расширение класса функций, применяемых для исследования устойчивости.
Дальнейшим развитием метода функций Ляпунова явился метод сравнения, который возник в начале 60-х годов как объединение прямого метода с теорией дифференциальных неравенств типа Чаплыгина [23, 43, 64]. Основная идея принципа сравнения заключается в том, что если существует функция Ляпунова, удовлетворяющая заданным сравнительным оценкам, то различные динамические свойства исходного уравнения вытекают из соответствующих динамических свойств системы сравнения. Как и второй метод Ляпунова, метод сравнения не требует решения уравнений возмущенного движения, а значит, имеет большие возможности в приложениях. В отличие от второго метода Ляпунова, в теоремах сравнения производная функции Ляпунова не является знакопостоянной в общем случае. Иными словами, метод сравнения представляет собой обобщение прямого метода Ляпунова [27, 58].
Этот метод стал развиваться во многих направлениях, в частности, в работах [65, 30] вместо одной функции Ляпунова было предложено использовать несколько функций, каждая из которых удовлетворяет менее жестким требованиям, чем исходная функция. Была выдвинута идея векторной функции Ляпунова (ВФЛ), удовлетворяющей конечномерному дифференциальному неравенству типа Чап-
4
лыгина-Важевского [42], и были получены первые теоремы об устойчивости с ВФЛ [30, 31, 32]. В работе [24] была получена теорема сравнения для асимптотической устойчивости с использованием знакопостоянной вектор-функции Ляпунова.
Благодаря методу сравнения были получены интересные результаты в задачах устойчивости консервативных, диссипативных, гироскопических систем, реакторов, нелинейных систем регулирования [2, 58, 22, 60]. Его основные результаты подытожены в работах [81, 27, 42, 39].
Другой подход к проблеме ослабления условий на функцию Ляпунова и ее производную дает метод предельных уравнений. Его начало было положено в работах [70, 72, 83]. При помощи определенных предположений относительно правой части неавтономной системы, предельное множество ее решения можно представить как объединение непрерывных кривых, составляющих множество, квази-инвариантное относительно предельных систем. В работах [3, 4, 5, 6] был доказан целый ряд теорем о локализации предельного множества решений неавтономной системы, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы, когда функция Ляпунова имеет знакопостоянную производную.
Проблема распространения прямого метода Ляпунова на задачи устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием возникла в 50-х годах, и за это время появилось множество публикаций, посвященных этой проблеме [51, 79, 77, 22, 76, 19].
Один из подходов основан на идее обобщения метода «Ляпунова путем использования вместо знакоопределенных функций конечного числа переменных знакоопределенных функционалов со значениями на отрезках интегральных линий [22, 63]. Но несмотря на естественность и теоретическую завершенность такого подхода, построение
конкретного функционала и исследование знака его производной часто представляет довольно сложную задачу.
Другой подход основан на использовании функций Ляпунова [51, 25, 52, 67]. Практическое применение метода функций Ляпунова к исследованию устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом сопряжено с большими трудностями. Одна из основных трудностей - оценка знака производной функции Ляпунова в силу исходных уравнений, так как ее аргументами являются координаты вектор-функции x(t) при различных значениях аргумента. Поэтому требование монотонности функции V(t, х) вдоль решений является слишком жестким. Принципиальные результаты в вопросе применения второго метода Ляпунова к системам с запаздывающим аргументом получены Б.С. Разумихиным [51]. Им было доказано, что для того чтобы судить об устойчивости нулевого решения функционально-дифференциальных систем с запаздыванием, достаточно исследовать знак производной функции Ляпунова V(t,x) лишь на множестве непрерывных кривых, удовлетворяющих при каждом t > t[) -Ь h (h - величина запаздывания) условию И(<7,аг(<т)) < V(t,x(t)) , сг < t. Согласно аргументации Разумихина [53], это возможно благодаря тому, что всякая определенно положительная функция V(t,x) задает точечно множественное отображение, когда каждой точке (t,x) € Rx Rn возможно поставить в соответствие множество решений х(9) системы уравнений возмущенного движения, удовлетворяющих условию
V(0, х(в)) < V(t, т) при 9 < t
В силу положительной определенности функции V(£, х) указанное
множество ограничено и возможно найти функцию координат и вре-
dV
мени, являющуюся наибольшим значением функционала —г- на этом
at
множестве. Такая функция есть аналог и обобщение производной
dV
-г- в силу системы обыкновенных дифференциальных уравнений и at
6