Относительные равновесия маятниковых систем

Содержание
стр.
Введение 4
Глава 1. Устойчивость и ветвление относительных равновесий математического маятника с точкой подвеса, скользящей по вращающейся эллиптической рамке
1.1 Постановка задачи 10
1.2 Тривиальные относительные равновесия и их устойчи- 11
вость
1.3 Преобразование уравнений 14
1.4 Разложения решений по параметру в случае А Ф 0 и 16
А ф и - 2 (рд ^ 1 и pq^l ф 1)
1.5 Разложения решений по параметру в случае А — и — 2 20
(рдц = 1)
1.6 Разложения решений по параметру в случае А = 0 22
(ря = 1)
1.7 Бифуркационная диаграмма 23
1.8 Таблица 1.1. Конфигурации маятника 25
1.9 Рисунки 30
Глава 2. Устойчивость и ветвление относительных равновесий трехзвенного маятника во вращающейся системе отсчета
2.1 Постановка задачи 31
2.2 Тривиальные положения равновесия и их устойчи- 32 вость
2.3 Преобразование уравнений 36
2.4 Исследование устойчивости решений Я* 42
2.5 Предельные решения 45
2.6 Разложения решений, ответвляющихся от собственных предельных точек и их устойчивость
2.6.1 Решения, ответвляющиеся от точки (0,0) 47
2.6.2 Решения, ответвляющиеся от точки (0, У0~) 51
2.6.3 Решения, ответвляющиеся от точки (0, 1о+) 51
2.6.4 Решения, ответвляющиеся от точки (Х<7,0) 52
2.6.5 Решения, ответвляющиеся от точки (Хо,0) 53
2.6.6 Решения, ответвляющиеся от ненулевых пре- 55 дельных точек
2.7 Решения, для которых одна или обе переменные неограничены при е —> 0
2.7.1 Решения, дчя которых X -> 0, ¥ —> оо при 56 £ -> 0
2.7.2 Решения, для которых X —У А ф 0, У —► оо, 56 при е 0
2.7.3 Решения, для которых обе переменные стре- 57 мятся к бесконечности при £ —> 0
2.8 Бифуркационная диаграмма 60
2.9 Таблица 2.1. Конфигурации маятника 61
2.10 Рисунки 73
Приложение
П.1 Построение разложений решений, ответвляющихся от 77
точек (0,Уф*), по параметру и их устойчивость
2
*
П.2 Построение разложений решений, ответвляющихся от 84
точки (Х<7,0), по параметру и их устойчивость П.З Построение разложений решений, ответвляющихся от 90
точки (Хо",0), по параметру и их устойчивость П.4 Построение разложений решений, ответвляющихся от 97
ненулевых предельных точек, по параметру и их устойчивость
П.5 Построение разложений по параметру решений вида 102
X -4 0, У -> оо, при е -4 О П.6 Построение разложений по параметру решений вида 105
X -4 А ф О, У -4 оо, при е —У О П.7 Построение разложений по параметру решений, для 114
которых обе переменные стремятся к бесконечности при е -4 0, и их устойчивость Глава 3. Устойчивость и ветвление установившихся движений гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле
3.1 Постановка задачи 127
3.2 Простейшие семейства установившихся движений и их 131
устойчивость
3.3 Дальнейшее исследование семейств установившихся 140
движений
3.4 Рисунки 149
Заключение 150
Литература 151
*
*>
Введение
Динамика многозвенных систем представляет собой быстро развивающийся и, одновременно, один из самых трудных разделов теоретической механики. Интерес к подобным задачам обусловлен их многочисленными приложениями в таких разделах механики, как робототехника и динамика космического полета. При этом основная трудность в изучении таких систем обуславливается наличием многих степеней свободы и связанной с ней необходимостью анализа большого числа нелинейных уравнений со многими неизвестными. В диссертации рассмотрены несколько частных случаев систем многих тел: маятниковые системы в однородном и центральном поле тяготения.
Изучение динамики тела, подвешенного на струне (стержне) к вращающейся вокруг вертикали горизонтальной оси, в однородном поле тяжести берет свое начало в экспериментальных исследованиях, про-1 водившихся под руководством М.А. Лаврентьева. Теоретические ис-
следования динамики тела со струнным приводом развивались А.Ю. Ишлинским, В.В. Румянцевым, С.А. Мирером, В.А. Сарычевым и многими другими [1, 14-17, 22-24, 26].
Так, В.В. Румянцевым [26] были выведены уравнения движения тела и проведен их анализ, в частности, показано существование интегралов энергии и площадей. Особый интерес вызвали частные решения уравнений движений, названные перманентными вращениями, т.е. такие движения, при которых тело и струна вращаются вокруг вертикали как единое целое, а в системе координат, вращающейся вместе с телом, они находятся в положении относительного равновесия, а также предельные движения системы, т.е. ее поведение при больших угловых скоростях. Исследованию этих вопросов посвящено большое число работ (см. обзоры [17], [24]), в частности, перманетные вращения осесимметричного тела с подвесом, смещенным с оси симметрии, ис-
4
*
m
следовались в |15], его предельные режимы - в [16]. В случае крепления подвеса к оси симметрии полное исследование перманетных вращений выполнено в [14], [23], предельные режимы исследованы в [22].
Рассмотренная в настоящей работе маятниковая система в центральном гравитационном поле тяготения представляет собой частный случай орбитальной тросовой системы (ТС), т.е. системы нескольких твердых тел или точек с наложенными на них связями, допускающими их относительное перемещение, в космическом пространстве.
Впервые идею практического использования тросовых систем в космических исследованиях высказал К.Э.Циолковский [31]. Свое дальнейшее развитие она получила в проекте Ю.Н. Арцутанова «космический лифт», который предложил использовать трос, одним концом закрепленный на Земле а другим концом находящийся на орбите или другом небесном теле, для доставок груза или межпланетного перелета [2]. Однако теоретический расчет [39] показал невозможность реализовать такой проект из-за отсутствия материалов необходимой прочности. В последние годы развитие нанотехнологий и связанная с этим возможность получения сверхпрочных и сверхтонких волокон позволили дать подобным проектам «второе дыхание», в частности, один из проектов НАСА предусматривает построение системы типа «космический лифт» к 2050 году.
В дальнейшем было предложено более 20-ти различных вариантов применения тросовых систем в космосе [3], их число постоянно растет. Фундаментальные результаты в исследовании динамики орбитальных тросовых систем принадлежат В.В. Белецкому [3]. Задаче динамики орбитальных тросовых систем посвящено большое количество теоретических исследований, предложены различные модели тросовой системы различной степени сложности, начиная с модели двух точек, связанных невесомой нерастяжимой нитью, до модели нескольких тел
5
т
(или гиростатов), связанных весомым деформируемым тросом, учтены также возможные ударные взаимодействия в таких системах. Классифицированы возмущающие факторы, влияющие на движение ТС (несферичность Земли, неидеальность троса, влияние атмосферы, магнитных и электрических сил, возникающих в тросе, светового давления), даны их численные оценки [4], [5-7], [9-13], [19,20], [25], [27-29], [33-49].
Проведены исследования в космосе с экспериментальными орбитальными тросовыми системами [34].
Большое число работ посвящено также вопросам управления орбитальными объектами с помощью тросовых систем [34], [36], [41-46].
Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы, ее научная новизна, дается краткий исторический обзор и краткое содержание диссертации.
В первой главе исследуются относительные равновесия математического маятника с массивной точкой подвеса, скользящей по вращающемуся вертикально расположенному эллипсу в однородном поле тяжести. Показано, что у данной механичекой системы существует четыре геометрически различных тривиальных положений равновесия, исследована их устойчивость. Заменой переменной система уравнений для определения относительных равновесий механической системы сведена к одному уравнению относительно угла отклонения маятника от вертикали. Левая часть уравнения представляет собой многочлен шестой степени относительно косинуса угла отклонения, поэтому у данной механической системы существует не более шести нетривиальных положений равновесия (два из которых могут быть изолированными а четыре ответвляются от тривиальных).
Проведен анализ нетривиальных положений равновесия при боль-
6
ф
ших угловых скоростях, получены все равновесные конфигурации маятника. Показано, что их число зависит от соотношения между геометрическими параметрами системы (длинами полуосей эллипса и подвеса маятника). На плоскости (Ь/а, с/а) (а, Ь - полуоси эллипса, с -длина маятника) получены кривые - границы областей с одинаковым числом равновесных конфигураций. При этом инерционная характеристика системы (отношение масс) влияет только на размер областей. Также при больших угловых скоростях исследована устойчивость равновесных конфигураций. Знаки вторых производных измененного потенциала вычислялись по первым ненулевым членами их разложений по параметру £, обратно пропорциональному обезразмеренной угловой скорости. Для всех конфигураций приведена их геометрическая интерпретация.
Во второй главе изучаются относительные равновесия трехзвенного маятника с вращающейся осью подвеса. Получены восемь геометрически различных тривиальных положений равновесия, исследована их устойчивость. Обнаружена смена устойчивости тривиальных положений равновесия при увеличении угловой скорости вращения, что указывает на существование не менее двенадцати нетривиальных положений равновесия.
Замена переменных позволяет свести систему уравнений для определения относительных равновесий к системе двух уравнений, левые части которых представляют собой многочлены от двух переменных.
Проведено исследование равновесных конфигураций маятника при угловых скоростях вращения, стремящихся к бесконечности. В отличие от предыдущей задачи, здесь приходится изучать не только конечные предельные значения новых переменных, но и случаи, когда одна или обе переменные стремятся при увеличении угловой скорости к бесконечности. Этим фактом обуславливается большее разнообра-
#
7
*
зие асимптотических конфигураций маятника, а также более сложное разбиение плоскости (р,<?) геометрических параметров системы (р -отношение длин первого и второго звеньев, <? - первого и третьего) на области с одинаковым числом равновесных конфигураций. Роль инерционных характеристик системы также возрастает: в отличие от предыдущей главы они влияют не только на размер областей, но и на их количество (существование). Для всех конфигураций проведено исследование устойчивости при больших угловых скоростях и дана геометрическая иллюстрация равновесий.
В третьей главе рассматривается задача о существовании, устойчивости и бифуркации установившихся движений орбитальной связки двух тел в случае, когда одно из тел движется по круговой кеплеровой орбите, невозмущаемой движением другого тела, а другое представляет собой симметричный субспутник с ротором на оси симметрии. Один конец стержня прикреплен к оси симметрии субспутника, а второй закреплен в другом теле так, что точка крепления движется по круговой кеплеровой орбите. Такая механическая система является частным случаем системы, рассмотренной в [37], однако дополнительная симметрия задачи обуславливает существование движений, невозможных в общем случае (в отличие от работы [37], где в общей постановке найдены относительные равновесия, форма которых зависит от значения кинетического момента, при рассмотрении осесимметричного тела с указанным расположением ротора удается определить однопараметрические семейства установившихся движений, где свободным параметром является угловая скорость вращения самого тела вокруг его оси симметрии, и исследовать их устойчивость, которая зависит от значения угловой скорости вращения ротора).
Для данной механической системы показано существование дополнительного первого интеграла, кроме указанных в [37], и построен при-
#
8
веденный потенциал.
Получены шесть простейших семейств установившихся движений и исследована их устойчивость. Показано, что параметром, влияющим на устойчивость этих движений является не только кинетический момент ротора, но и длина стержня; т.е. при фиксированном кинетическом моменте степень неустойчивости будет меняться, если меняется длина стержня.
Пользуясь тем, что часть уравнений для определения установившихся движений можно представить в виде A(z)z = 0, где A(z) -матрица, z - столбец координат, дальнейшее изучение этих движений можно разбить на случаи, когда ранг матрицы А равен соответственно О, 1 и 2. Исследованы все случаи равенства ранга матрицы А нулю и часть случаев, когда rank А = 1. При этом получены еще шесть более сложных семейств установившихся движений; исследована устойчивость двух из них. Для всех семейств установившихся движений дана геометрическая иллюстрация.
В заключении коротко сформулированы основные результаты par боты.
В приложении приведены громоздкие вычисления, связанные с получением разложений решений системы уравнений для определения равновесных конфигураций трехзвенного маятника по малому парат метру.
<#
9
#
Глава 1. Устойчивость и ветвление относительных равновесий математического маятника с точкой подвеса, скользящей по вращающейся эллиптической рамке
1.1 Постановка задачи
Рассмотрим механическую систему, представляющую собой математический маятник с массивной точкой подвеса, которая может скользить без трения по вертикально расположенному эллипсу в однородном поле силы тяжести; эллипс вращается вокруг своей вертикальной оси симметрии с постоянной угловой скоростью. Введем систему координат, связанную с эллипсом: начало координат поместим в центр симметрии эллипса, ось х направим по горизонтальной оси эллипса, ось у - по вертикальной оси симметрии вверх. Обозначим длину горизонтальной полуоси эллипса через а, вертикальной - через Ь, длину маятника - через с. Положение точки на эллипсе и самого маятника будем определять углами а и /3, отсчитываемыми от нисходящей вертикали против часовой стрелки: положение точки подвеса - углом а, положение маятника - углом /3. Исходя из симметрии, будем считать что а € [0;7г], /3 6 [—7г; 7г] (рис. 1.1).
Обозначим массу точки на эллипсе через М, массу маятника - через тп, угловую скорость вращения эллипса - через и.
Измененный потенциал системы складывается из потенциала силы тяжести и потенциала переносной силы инерции:
(А/ + тп)даЪс,оъа
— тпдссоз (З —
Ми2а2\? біп2 а
\/а?
2 (а2 сое2 а + Ь2 віп2 а)
#
10
*
Введем безразмерные параметры, которые будем употреблять в дальнейшем:
т „ Ь с д
Д = Т7~;—< 1э Р=-» Я=т, £ =
М + т а b со2Ь
Исходный потенциал W можно представить в следующем виде:
W = (M + m)u2b2V
cos a sin2 а
V = —£-
+ - l)sin2a 2(1 + (p2 - 1) sin2 a)
sin P sin a _ 1 9 . о Л
j —■ . й “ Mecos/3 - -fiq sin /3
у 1 + (p2 — 1)sin a 2
Очевидно, критические точки функций Ж и V и их характер совпадают.
1.2 Тривиальные относительные равновесия и их устойчивость
Положения относительного равновесия отвечают критическим точкам функции V [18], то есть являются решениями системы:
dV _ sin a cos a cos a sin /3
da (1 4- (p2 — 1) sin2 a)2 ^(1 -f (p2 — 1) sin2 a)3/2"^"
о sin a
+£ (1 + (р2-1)8т2в)3/2 “ ^Л)
9V sin a cos/? 2.0 o,
Те -
+eqn sin /? = 0
Нетрудно видеть, что система (1.1) допускает тривиальные решения вида: sin а = 0, sin/3 = 0.
Учитывая промежутки, на которых рассматриваются углы а и J3, имеем четыре геометрически различных тривиальных решения, суще-
11
ствующих при любых угловых скоростях. Будем обозначать эти решения S±:by где знак "+"или " — "ставится, если косинус соответствующего угла равен 1 или —1, первый индекс соответствует углу а, второй - углу /3. Исследуем устойчивость этих решений.
Обозначим cos а = ка, cos /3 = ас^, = ±1, «/9 = ±1. Тогда для рассматриваемых решений матрица вторых производных имеет следующий вид:
екар2 — 1 -q\xKat
eKpqp - q*p
а для главных диагональных миноров матрицы получаем выражения (индекс указывает размерность минора):
Д1 = екаР2 - 1
Д2 = др{е2какрр2 - е(кар29 + К/з) + 9(1 - р))
Дискриминант минора Д2:
Э = (кap2q + к/з)2 - ^кQKfip2q(l - р)
всегда положителен: при как^ = — 1 это очевидно, при как$ = 1 это следует из неравенств:
V = (р2Ч + I)2 - 4р2д( 1 - /х) > (р2я + I)2 - ±p2q > О
Таким образом, минор Д2 всегда имеет два (необязательно положительных) корня. Кроме того, Д2 ) = ~Я2^2 < 0- Рассмотрим далее каждое тривиальное равновесие.
Решение 5++. Геометрически оно означает, что точка подвеса находится в наинизшей точке на эллипсе, и маятник направлен вдоль
12