Периодические движения спутника на круговой орбите

- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
ВВВДЕНИЕ........................................................ 4
ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ НЕСИММЕТРИЧНОГО
СПУТНИКА............................................. 13
§ 1.1. Постановка задачи .................................... 13
§ 1.2. Типы периодических движений .......................... 21
§ 1.3. Построение периодических движений .................... 32
§ 1.4. Устойчивость периодических движений .................. 35
ГЛАВА 2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ ГИПЕРБОЛОИДАЛЬНОЙ
ПРЕЦЕССИИ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА 52
§ 2.1. Постановка задачи .................................... 52
§ 2.2. Два типа периодических движений....................... 55
§ 2.3. Построение периодических движений .................... 58
§ 2.4. Устойчивость периодических движений I типа ........... 62
9
§ 2.5. Устойчивость периодических движений II типа .......... 70
§ 2.6. Результаты исследования периодических движений ... 74
ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 77
§ 3.1. О периодических движениях конечной амплитуды ......... 77
§ 3.2. Метод численного продолжения периодических движений лагранжевой системы с двумя степенями свободы. Постановка задачи ............................................ 79
§ 3.3. Предиктор............................................. 83
§ 3.4. Корректор ............................................ 91
§ 3.5. Устойчивость в первом приближении .................... 93
§ 3.6. Метод нелинейного исследования устойчивости периодических движений конечной амплитуды ....................... 96
- 3 -
стр.
§ 3.7. Численное продолжение короткопериодических движений из окрестности гиперболоидальной прецессии
динамически симметричного спутника .................... 125
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................... 142
ПРИЛОЖЕНИЕ I. Таблицы коэффициентов разложений по степеням малого параметра сечений резонансных поверхностей
в задаче о движении несимметричного спутника .......... 144
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Алгоритмы и программы нормализации автономных
гамильтоновых систем с тремя степенями свободы ... 157
ЛИТЕРАТУРА....................................................... 177
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
В работе рассматриваются некоторые задачи теории периодических решений гамильтоновых систем и их приложения к механике.
С давних пор наблюдения за небесными телами обнаружили периодичность или почти периодичность движений планет Солнечной системы и их спутников. Описание этих движений методами небесной механики связано с изучением свойств периодических решений систем дифференциальных уравнений.
К сожалению, в настоящее время не существует общего метода нахождения периодических решений систем дифференциальных уравнений, описывающих движения интересующих нас небесных тел.
Первые фундаментальные результаты в решении этой одной из важнейших задач небесной механики были получены в конце 19-го века в классических работах А.М.Ляпунова [18] и А.Пуанкаре[33] .
Общим в теориях периодических решений Ляпунова и Пуанкаре является предположение о существовании заранее известного (порождающего) периодического решения. При этом рассматривается вопрос о нахождении периодических решений, близких к заданному.
В конкретных небесно-механических задачах важный частный класс периодических решений заданной системы дифференциальных уравнений образуют решения, соответствующие положениям равновесия системы. Такие решения можно рассматривать как периодические с произвольным периодом. При этом их нахождение сводится к решению систем уравнений, не содержащих производных неизвестных функций, что существенно упрощает построение порождающих решений при использовании теорий Ляпунова и Пуанкаре.
Если найдены периодические решения (или положения равно-
- 5 -
весия) системы уравнений движения небесного тела при любых значениях параметров данной небесно-механической задачи из некоторой области их изменения, то задача Ляпунова состоит в отыскании других периодических решений (при тех же значениях параметров) , близких к уже известным.
Если же существуют периодические решения системы при некоторых частных значениях параметров, то подход Пуанкаре заключается в нахождении периодических решений при значениях параметров, близких к этим частным значениям.
В определенном смысле теорию Пуанкаре можно трактовать как некоторый частный ( или особый) случай теории Ляпунова, так как параметры задачи, входящие в уравнения движения, можно считать неизвестными функциями. С другой стороны, реальные возможности применения этих теорий в конкретных механических задачах конечно различны.
Фундаментальный признак существования периодических движений, близких к данному (или к положению равновесия системы ) , был сформулирован А.М.Ляпуновым в его замечательном сочинении "Общая задача об устойчивости движения" ( 1892 г. ) в теореме о голоморфном интеграле 118, 13] . Им также был предложен способ построения самих движений в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра ( амплитуды периодического движения ) с коэффициентами, периодически зависящими от времени [18] .
Применение и дальнейшее развитие теорий периодических решений Ляпунова и Пуанкаре тесно связано с исследованиями, посвященными одной из старейших и наиболее важных задач космодинамики, классической задаче трех тел (см., например, [211 ) » которой занимались еще Л.Эйлер и Ж.Лагранж.
- 6 -
В 1899 году К.Шарлье ( см., например, С 50] ) , а затем в 1901 году Г.Пламмер [62] , используя фундаментальные результаты Ляпунова [18] и Пуанкаре [33] , установили существование двух семейств малых периодических движений, близких лагранжевым решениям плоской круговой ограниченной задачи трех тел.
Последовавший затем большой цикл работ, в основном зарубежных авторов, посвященных "немашинному" исследованию периодических движений, завершился работой Ю.А.Рябова 1952 года [ 34 ] , в которой наиболее четко обосновывается существование малых периодических движений, следующее из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле, а также методом Ляпунова найдены первые три члена разложения периодического движения в ряд по орбитальному параметру. Эта работа показала, что проведение дальнейших исследований в области построения периодических движений возможно только с помощью современных ЭВМ.
Методы, основанные на использовании ЭВМ, были созданы в работах А.Депри, Е.Рейба, Дж.Хенрарда и др. [52-55, 57, 58, 63-66] . В работах Депри [52, 55] рассмотрен метод аналитического продолжения, в основе которого лежат классические процедуры Ляпунова и Пуанкаре. Этот метод состоит в рекуррентном вычислении коэффициентов разложения периодического движения в ряд по степеням малого орбитального параметра и удобен для применения ЭВМ. В работах Хенрарда [58] и Шмидта [66] исследован вопрос о существовании периодических движений при таких значениях параметров задачи, для которых их существование не следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.
Во всех вышеупомянутых работах не рассматривался вопрос об устойчивости периодических движений в строгом нелинейном
- 7 -
смысле, да и вопрос об устойчивости в первом приближении решался только для отдельно найденных орбит, а не для всего их семейства.
В настоящее время для решения вопроса об устойчивости движений гамильтоновых систем принята идеология нормальных форм, основы которой заложены в работах А.М.Ляпунова [18] и Дк.Д.Бирк-гофа С 71 .
Не останавливаясь на подробном рассмотрении критериев устойчивости и способов нормализации ( см., например, [21] ), отметим, что наиболее удобным, с точки зрения машинной реализации, для получения нормальной формы функции Гамильтона на наш взгляд является метод, разработанный Хори ( Ноге , [591 , 1966 г.; , [61] , 1970 г. ) и Депри ( ,
С 56 1 , 1969 г.; Каме£ , [60] , 1969 г. ) , основанный на применении преобразований Ли (см. [25] ) .
В работах А.П.Маркеева и А.Г.Сокольского [28, 29] был разработан комплекс методов исследования периодических движений Ляпунова в автономных гамильтоновых системах со многими степенями свободы в окрестности положения равновесия. Основная цель этих работ заключалась в создании метода исследования устойчивости периодических движений в строгом нелинейном смысле. Соответствующим образом был приспособлен и метод нахождения этих движений. При этом использовался подход, примененный А.Д.Брюно в работах [9, 10] , который позволяет исследовать полную окрестность периодического движения с помощью канонических преобразований, а в окрестности периодического движения ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмущенного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в
- 8 -
окрестности положения равновесия.
Дальнейшая модификация этого метода [ 29 ] позволила для нахождения и исследования устойчивости всех типов периодических движений Ляпунова в окрестности положения равновесия проводить нормализацию исходной функции Гамильтона только в окрестности самого положения равновесия.
Для решения конкретных небесно-механических задач в работе А.П.Маркеева и А.Г.Сокольского [ 25 1 рассмотрен комплекс программ нормализации, реализующий алгоритмы Депри-Хори. С помощью этого комплекса и методов работ [28, 29] было, например, проведено полное исследование малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел в плоском и пространственном случаях (см. [24, 27] ).
За последние два десятилетия в связи с запуском искусственных спутников возникло много новых задач определения качественных характеристик их движения, в частности движения около центра масс.
При этом важной практической задачей является исследование устойчивости некоторых стационарных положений спутника при его движении по орбите. По-видимому, при изучении локальных свойств положения равновесия в конкретной небесно-механической задаче необходимо не только исследование устойчивости самого положения равновесия, но и решение вопроса о существовании, построении и устойчивости малых периодических движений, близких положению равновесия. В настоящей работе рассмотрены две задачи такого класса.
Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и двух Приложений.
В первой главе диссертационной работы рассматривается
- 9 -
движение спутника около его центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Спутник - твердое тело с тремя различивши главными центральными моментами инерции; орбита его центра масс - круговая. Известно [5,6], что существует 24 положения относительно равновесия спутника, соответствующие совпадению его главных центральных осей эллипсоида инерции с осями орбитального трехгранника (радиус-вектор центра масс, нормаль и трансверсаль к орбите ). Рассмотрена задача об устойчивости периодических движений Ляпунова, близких относительному равновесию спутника. По методу работ [28, 29] исследованы два типа движений, соответствующих выходу главных центральных осей спутника из плоскости орбиты. При различных значениях параметров задачи ( две инерционные характеристики спутника ) для периодических движений малых амплитуд проведено нелинейное численно-аналитическое исследование устойчивости с помощью комплекса программ нормализации автономных гамильтоновых систем с тремя степенями свободы [44] , описанного в Приложении 2. Результаты расчетов приведены в Приложении I.
Во второй главе рассматривается движение динамически симметричного спутника относительно центра масс. Орбита центра масс - круговая. Известно [6] , что уравнения движения симметричного спутника относительно центра масс допускают частное решение, называемое гиперболоидальной процессией (ось динамической симметрии спутника при его движении по орбите описывает в абсолютном пространстве однополостный гиперболоид). Устойчивость самой гиперболоидальной прецессии полностью исследована в работах [6, 39"] .
Глава 2 посвящена исследованию устойчивости периодических
- 10 -
движений, близких гиперболоидальной прецессии симметричного спутника. В точной нелинейной постановке по методу работ [28, 29] изучены оба типа возможных движений и в зависимости от значений параметров получены выводы об устойчивости по Ляпунову или неустойчивости. Периодические движения автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, описывающей данную задачу, исследованы аналитическими методами.
Критерий существования и метод построения периодических движений, предложенные еще Ляпуновым [18] , имеют один существенный недостаток. Они применимы лишь в асимптотически малой окрестности положения равновесия или заданного периодического движения.
К сожалению, отсутствие на настоящее время эффективных оценок нижней границы орбитального параметра для периодических движений Ляпунова (см., например, [31, 12, 13])делает невозможным достоверное использование получаемых результатов на практике для движений конечной амплитуды. В связи с этим в последнее время появилось большое количество работ ( в основном американских: авторов ) , посвященных методам аналитического и численного продолжения малых периодических движений.
Применение метода аналитического продолжения в работах Депри [52, 55] , а также его более эффективной модификации, основанной на использовании теорий возмущений Депри-Хори и описанной в работах Депри и Хенрарда [54, 57 ] , показало, что этот метод мало пригоден для построения периодических орбит с большими амплитудами из-за медленной сходимости рядов, задающих эти периодические движения, даже при рассмотрении очень больших степеней малого орбитального параметра.
- II -
Более эффективным оказывается метод численного продолжения, впервые применонный в работах Рэйба [63-65] и наиболее полно описанный в работе Депри и Хенрарда [53] . Из результатов советских авторов отметим большой цикл работ В.А.Сарычева и
В.В.Сазонова ( см., например, [35-37] ), в которых разработан быстродействующий метод численного продолжения периодических движений, основанный на численном решении краевых задач.
Во всех вышеупомянутых работах не рассматривался вопрос об устойчивости получаемых семейств периодических движений конечной амплитуды в строгой нелинейной постановке. Отметим, что методы исследования устойчивости работ [28, 29] также применимы только для асимптотически малых периодических движений.
Глава 3 диссертационной работы посвящена разработке комплекса методов численного продолжения и полного нелинейного исследования устойчивости произвольных периодических движений автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
В §§ 3.2 - 3.5 разработан предиктор-корректорный метод численного продолжения периодических движений по параметрам системы и постоянной энергии, являющийся, на наш взгляд, эффективной модификацией метода работы [53] .
Предложенный способ введения константы энергии в число параметров системы позволил существенно упростить и унифицировать метод, так как при этом отпадает необходимость рассматривать так называемые неизоэнергетические смещения [ 53 ] и соответствующие алгоритмы обладают большей приспособленностью к использованию на ЭВМ. Метод позволяет одновременно с построением периодических движений исследовать их устойчивость в первом приближении ( § 3.5 ).
- 12 -
В § 3.6 разработан метод исследования орбитальной устойчивости периодических движений в точном нелинейном смысле, использующий локальный подход Брюно для двумерной автономной системы.
На основе приведенных методов создан комплекс программ численного продолжения и исследования периодических движений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, с помощью которого рассмотрено семейство короткопериодических движений в конечной окрестности гиперболоидальной прецессии симметричного спутника (§ 3.7) , для которых порождающими являются малые
лялуновские периодические движения, изученные во второй главе.
Основные результаты настоящей работы перечислены в Заключении, а результаты расчетов и комплексы программ нормализации вынесены в Приложения I, 2.
- ІЗ -
Глава І. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ
ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ НЕСИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА.
§ ІЛ. Постановка задачи.
Рассмотрим движение спутника ( твердого тела ) относительно его центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Орбита центра масс - круговая; линейные размеры спутника считаются малыми по сравнению с характерным размером орбиты и поэтому задача исследуется в ограниченной постановке, т.е. предполагается, что движение около центра масс не влияет на движение самого центра масс [5] . В данной главе рассматривается движение несимметричного спутника, имеющего неравные между собой главные центральные моменты инерции.
Введем необходимые для исследования системы координат ( см. рис. I ) . Пусть - связанная со спутником сис-
тема координат с началом в центре масс спутника О и осями, совпадающими с главными центральными осями эллипсоида инерции спутника. Рассмотрим также орбитальную систему координат ОХХ Н . ось ох направлена по радиусу-вектору *£* ,
О V - по вектору скорости V* » ось (9 2 - по нормали к плоскости орбиты
Положение связанной системы координат относительно орбитальной определяется с помощью углов Эйлера ^ ^ , У ( У -
угол прецессии, 1У - угол нутации, У - угол собственного вращения ) . Переход из связанной в орбитальную систему координат осуществляется по формулам
Х(Є) /М
Рис. І. Системы координат.
- 15 -
где элементы матрицы направляющих косинусов С имеют вид
С„ = cos Y COS if - siw Y siv\ У cos О г C<i = -CoS Г sin if-sln Y cog if COS 1> ,
С*г = Sin Ч7 Sin О f
С 21 = Stn Y cog if + CoS Y Sin if CoS О ; (III)
Cjz = -Sin Y sin if + WS Y coS if MS О f Сгг = " CoS Y Sin О ;
Сз< = Sin if sin }
С-зл, = cog if sin О }
- cog О.
Проекции абсолютной угловой скорости центра масс спутника на оси связанной системы координат вычисляются по формулам
p = SlCu + У Сл + О COS if ;
= Л Саг + У Сгг sZn if ,
t = SI Сгз + У Саг + if ,
где Jlj - угловая скорость движения центра масс спутника по орбите, а точкой обозначено дифференцирование по времени V Пусть А , Б , С - главные центральные моменты инерции спутника по осям 0 ос , Of . Ог соответственно. Тогда кинетическая энергия спутника равна L5, 6 ]
г- т(Арг + 13с£+ Су2) ,
(I.1.2)
- 16 -
а силовая функция задачи вычисляется по формуле L5]
tf-'Г Аг(Ас,М$сД + Сс(\).
При помощи функции Лагранжа введем обоб-
щенные импульсы
Q& Я& 2Ж-
*= Tr , pwe 9V- , Ру ' Ъ*
Заметим, что обобщенные импульсы являются проекциями вектора кинетического момента спутника соответственно на нормаль к плоскости орбиты V) , линию узлов Д/ и ось Ог . Функция Гамильтона задачи вычисляется по формуле gt-T^-T.-u, и Т0 - части кинетической энергии (I.I.2), соответственно квадратично зависящая и не зависящая от обобщенных скоростей V , V- , if .
За независимую переменную примем истинную аномалию
движения центра масс спутника. Тогда, обезразме-рив импульсы с помощью множителя A Si и сделав замену р*— р* + В/А , получим следующий вид функции Гамильтона относительного движения спутника:
+ j[(st^if + 0ACos1U)ct^2;+ ]р^+ (I.I.3)
+ (6Л slv^+cos1*) pi + т О-0А) + ел)Р*~
где Та.
+ 0А Cosl5f) ( р* + рд ) ptf