ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Введение. 3
Глава 2. Постановка задачи, интегрирование уравнений движения 13
2.1. Рассматриваемое приближение потенциала 13
2.2. Геометрические замечания 13
2.3. Сведение уравнений движения к квадратурам 15
2.4. Связь с потенциалом гауссова кольца 20
2.5. Первые интегралы в инволюции рассматриваемой задачи 25
2.6. Различные системы произвольных постоянных и их связь 26
2.7. Переход к безразмерным переменным 31 Глава 3. Устойчивость и бифуркации стационарных движений 33
3.1. Стационарные (круговые) орбиты модельной задачи 33
3.2. Устойчивость по Ляпунову круговых орбит 35
3.3. Бифуркационные диаграммы Пуанкарс-Четаева 37
3.4. Бифуркационные диаграммы Смейла 39 Глава 4. Качественный анализ движения в приведенной системе 42
4.1 .Необходимые сведения 42
4.2.Г1ереход к рассматриваемой задаче 47
4.3. Построение диаграмм Алексеева 48
Глава 5. Качественный анализ в зависимости от энергии 58
5.1. Вид многочленов, входящих в квадратуры 58
5.2. Движения эллиптического типа 59
5.3. Движения параболического типа 71
5.4. Движения гиперболического типа 75
Заключение 85
Список использованных источников 85
2
Глава 1. Введение
Среди многочисленных проблем теоретической и небесной механики, а также звездной динамики особое место занимает задача отыскания решений систем дифференциальных уравнений, описывающих движение исследуемых объектов при использований различных моделей гравитационных полей.
Как правило, аналитические решения таких систем не удастся найти, и поэтому на повестку дня встает вопрос выбора таких моделей, которые при сохранении основных свойств рассматриваемой динамической системы, допускали бы, тем не менее, существование некоторых первых интегралов или даже интегрирование в квадратурах соответствующих дифференциальных уравнений. Поиск и исследование таких, так называемых интегрируемых приближений, будет вестись всегда и всегда будут актуальны.
Сказанное относится и к задаче о движении материальной точки в гравитационном поле неподвижного абсолютно твердого тела. Это одна из основных задач небесной механики, она стала особенно востребованной после запуска первого советского искусственного спутника Земли в 1957 г. Интегрируемые небесной, механики описаны в монографиях В.Г.Демина [И],
В.В.Бслецкого [12], а также недавно изданной монографии А.М.Персломова [35]. Отметим, однако, что рассматриваемого нами случая нет среди них. Это определяет актуальность рассматриваемой в диссертации темы.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из пяти глав и заключения. В работе 87 страниц, 50 наименований использованной литерату'ры, 78 рисунков.
В главе 1 (введении) сформулирована общая постановка задачи и приведен краткий обзор результатов, касающихся известных моделей гравитационных полей, допускающих интегрирование в квадратурах, среди которых представлена и рассматриваемая модель. Описаны известные интегрируемые варианты задачи двух неподвижных центров: Кеплера, Р. Баррара, Дж. Винти и М.Д. Кислика, Е. П. Аксенова, В. Г. Демина и Е. А. Гребенникова, а также предложенный А. А. Кочиевым и рассматриваемый автором некоторый новый вариант:
жП, О /п
Глава 2 посвящена постановке задачи и интегрированию уравнений движения.
В параграфе 2.1. ставится задача с потенциалом (1): проинтегрировать в квадратурах уравнения движения материальной точки в поле с Чуказанным. В параграфе 2.3 рассматриваются сжатые сфероидальные коор-
1 ДИНаТБГ ч .ми/
Ц/
х = Ярсоь<р, у >
у = Яр$\п<р, (3)
г = д/(Яг-с2)( IV)
с помощью которых, используя метод Якоби, уравнения движения с потенциалом (1) сведены к квадратурам и приведены к виду
СІЛ УЩ) ТяЯ
сїх Л с1т р
= (лг -с2рг)сіт;
СІ6)
(Іт
(4)
(5)
где
ф-)=
= (я! -с2\л2{2а,Л2 + 2/А!А+а2) + ог32с2}
.= (> - Мг1- а] ~ А2 V + «2 )1
В параграфе 2.2 рассмотрена связь потенциала модельной задачи с потенциалом поля тяготения твердого тела и гауссова кольца.
На основе системы уравнений (4) и многочленов (5) разработан алгоритм построения промежуточной орбиты, которая для ограниченных движений (/? <0) в общем случае является условно-периодической с тремя периодами.
В параграфе 2.3 получены три первых интеграла в инволюции, т.е. такая система первых интегралов, скобки Пуассона от которых для любых двух интегралов тождественно равны нулю.
Соответствующие интегралы в сжатых сфероидальных координатах (8) имеют вид:
Р„=а3> (Х-с>)р1н\-м2)р1 , РІ 2 /МЯ
Я2-р2с2 лу >}-р2с2
сУ(Я2-с2)р2х+Я2(\-р2)р1 (1 с2) У*)
Я2-р2с2
2с2]М>У Я2-р2с2 *2‘
= 2И
РІ-
(6)
4
В параграфе 2.4 получена полная система первых интегралов, через которые установлена связь между произвольными постоянными, возникшими при интегрировании методом Гамильтона-Якоби, прямоугольными координатами и скоростью точки.
В параграфе 2.5. произведен переход уравнений движений модельной задачи к безразмерным переменным.
В главе 3, состоящей из четырех параграфов, найдены стационарные решения (движения) и исследована их устойчивость по Ляпунову, а также рассмотрены вопросы бифуркации.
В параграфе 3.1 найдены стационарные движения, которые соответствуют круговым орбитам, лежащим в экваториальной плоскости планеты, с центром в начале координат. В заключение параграфа приведён общий алгоритм построения стационарных (круговых) движений.
В параграфе 3.2, посвященном устойчивости по Ляпунову стационарных движений, показано, что круговые орбиты модельной задачи устойчивы по отношению к цилиндрическим координатам г,г,г и г, только для орбит, радиусы г0 которых удовлетворяют неравенству Г0 >Сл/з + 2л/3 , и неустойчивы в противном случае. Здесь же получено, что степень неустойчивости Пуанкаре стационарных движений равна 1.
В параграфе 3.3 получена бифуркационная диаграмма Пуанкаре-Четаева, с помощью которой удобно характеризовать геометрически распределение устойчивых и неустойчивых стационарных движений.
В параграфе 3.4 в виде зависимости постоянной интеграла энергии от постоянной площадей построена бифуркационная диаграмма Смсйла.
В главе 4, состоящей из трех параграфов путем исключения циклической координаты получены уравнения движения модельной задачи в форме Рауса. Здесь же произведен подробный качественный анализ возможных типов движения приведенной задачи, в который переменные разделяются по Лиу-виллю.
В параграфе 4.1. даны необходимые сведения и выведены уравнения движения модельной задачи в форме Рауса.
В параграфе 4.2. в эллиптических координатах уравнения движения Рауса сведены к квадратурам и выписаны их полная система первых интегралов.
В параграфе 4.3. произведен подробный качественный анализ методам Алексеева В.М.[32], путем построения бифуркационных диаграмм (состоящих в основном из кривых кратных корней) в плоскости g,h в зависимости от постоянной интеграла площадей к2.
Эта методика уже применялась в работах Е.Г.Смирновой [46], Р.М.Бебенина [48].
Типы движения, которые здесь возникают, получают несколько иное освещение в следующей главе.
5
В главе 5, состоящей из четырех параграфов, проведен качественный анализ траекторий, при котором рассматривается кривые кратных корней на плоскости g,k2 в зависимости от значения постоянной интеграла энергии /».Заметим, что аналогичный метод применялся в работах [1,11,15,16,45 и др]-
В параграфе 5.1. рассмотрен общий вид многочленов, входящих в квадратуры.
Параграф 5.2 посвящен эллиптическому типу движения (Л < 0) и найдено, что все траектории ограничены и делятся на два типа:
1. Траектории,которые лежат внутри эллипсоида вращения и внутри однополостного гиперболоида вращения.
2. Траектории, которые лежат внутри однополостного гиперболоида вращения и между двумя софокусными эллипсоидами вращения.
В параграфе 5.3. рассмотрен параболический случай движения (й = 0) и показано, что можно выделить три типа движений:
1. Траектории,которые расположены внутри гиперболоида и не ограничены.
2. Неограниченные траектории, которые находятся вне эллипсоида и внутри гиперболоида.
3. Ограниченные траектории, расположенные внутри гиперболоида и внутри эллипсоида.
В параграфе 5.4. рассмотрен гиперболический случай движения (И> 0) и показано, что можно выделить следующие качественно типы движений:
1. Неограниченные траектории, которые находятся между двумя однополостными гиперболоидами вращения.
2. Неограниченные траектории, расположенные внутри однополосного гиперболоида вращения.
3. Неограниченные траектории внутри однополосного гиперболоида и вне эллипсоида вращения.
4. Ограниченные траектории внутри эллипсоида и внутри гиперболоида навивающиеся на окружность особых точек.
Движение во всех случаях условно-периодическое в общем случае с тремя несоизмеримыми периодами.
Апробация работы. Результаты диссертации частично и целиком докладывались на научно-исследовательских семинарах следующих организаций:
1. Кафедра теоретической механики и мехатроники механикоматематического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова:
1.1. “Гамильтоновы системы и статистическая механика”. Руководители академик В.В.Козлов, член-корреспондент РАН Д.В.Трещсв, проф.
С.В.Болотин
6
- Київ+380960830922