2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................. 4
§ 1. Постановка задач................................................18
§ 2. Описание методов................................................38
§ 3. Непрерывные управления..........................................45
§ 4. Дискретные управления...........................................50
§ 5. Погрешности в информации о параметрах системы...................58
§ 6. Стабилизация по части переменных и непрямое регулирование.......61
§ 7. Результаты в приложениях........................................70
1. Электромеханические системы, описываемые
уравнениями Лагранжа второго рода...............................70
2. Твердое тело с неподвижной точкой, управляемое
приложенным к нему моментом сил.................................71
3. Твердое тело, управляемое установленными
на нем маховиками...............................................78
4. Твердое тело, управляемое установленными на нем спаренными двухстепенными силовыми
гироскопами (гиродинами)........................................85
5. Твердое тело, управляемое установленными на нем спаренными трехстепенными силовыми
гироскопами в конирующем подвесе................................92
ПРИЛОЖЕНИЕ...........................................................93
§ 8. Уравнения, описывающие вращательное движение твердого тела, управляемого моментом внешних
сил; параметры Родрига-Гамильтона...............................93
§ 9. Уравнения, описывающие вращательное движение твердого
тела, содержащего маховики; вспомогательные утверждения.........106
1. Расчетный вариант............................................106
2. Случай с погрешностями в изготовлении носителя,
маховиков и установке маховиков относительно носителя.........112
3. Случай с малыми упругими колебаниями осей вращения маховиков, обусловленными упругой податливостью подшипников, в которых
вращаются валы маховиков......................................119
3
§10. Уравнения, описывающие вращательное движение твердого тела, содержащего двухстепенные
силовые гироскопы.............................................136
1. Расчетный вариант..........................................136
2. Уравнения, описывающие движение механической системы, состоящей из носителя И 5 спарок
гиродинов...................................................142
3. Случай с рассогласованием поворотов гирокамер спарок, обусловленным малыми упругими деформациями растяжения лент, синхронизирующих
эти повороты............................................... 145
4. Случай с отклонениями скоростей собственного вращения роторов гиродинов от расчетных, обусловленными конструктивными особенностями
приводов....................................................149
§11. Уравнения, описывающие вращательное движение твердою тела, содержащего спаренные трехстепенные
силовые гироскопы в конирующем подвесе....................... 153
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................166
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.......................................168
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................170
4
ВВЕДЕНИЕ
В диссертации изложены полученные автором результаты в задаче стабилизации программных движений управляемых динамических систем. Задача в общих словах состоит в выборе управлений, обеспечивающих за ограниченное время требуемую точность выполнения программного (т.е. желаемого) движения. Особенностью работы является развитие математической теории, обеспечивающей решение задачи стабилизации при наличии диктуемых практикой ограничений на структуру управлений и информацию о параметрах системы и действующих на нее возмущающих силах.
Излагаемая в работе методика позволяет в рамках единого подхода строить непрерывные и различного рода дискретные (шаговые, релейные, импульсные) стабилизирующие управления. Предполагается, что конструктивные параметры управляемой системы, включая параметры управляющих органов и измерительных устройств, известны неточно: заданы лишь необязательно малые диапазоны изменения этих параметров.
В диссертации указаны многопараметрические семейства стабилизирующих («в большом») управлений для следующих классов управляемых динамических систем:
• твердое тело с неподвижной точкой, управляемое приложенным к нему моментом сил, формируемым на основе информации об угловом положении и угловой скорости тела относительно жестко связанной с телом системы координат;
• твердое тело, управляемое маховиками и силовыми гироскопами; в этом случае дополнительно используется информация о движении маховиков и гироскопов относительно тела;
• системы, описываемые уравнениями Лагранжа второго рода, у которых управлениями являются обобщенные силы, формируемые на основе информации об обобщенных координатах и обобщенных скоростях системы;
• линейные по управлению системы, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида
в которых нелинейности и определяемые погрешностями величины принадлежат линейной оболочке столбцов матрицы коэффициентов при управлении. Эти системы выбраны как объект, на примере которою излагается суть разработанной методики решения задач стабилизации. В связи с этим для простоты изложения для таких систем предполагается, что система линейною приближения в окрестности программного движения
5
х = А{1)х+ В^)и может быть сделана экспоненциально устойчивой выбором линейного
управления и = М(^х. Все результаты, полученные для указанных систем при некоторых
предположениях справедливы и для общего случая, охватывающего все рассматриваемые в работе динамические системы, - квазилинейных систем иерархической структуры:
х, = 4(/)*+я,(0 |йс»(0+^(».*)]*7 +[Д + А(<»*)]С«.|(0*м +Ч'Х>,х,р) |
4
где х1 - П; -мерный подвектор вектора фазовых переменных х, 1=1..к, У'п. = п; причем
г-1
- управление; 4(0*» Д(0> С (I) - известные ограниченные матрицы
соответствующих размерностей; Е( - единичные матрицы; Рц(1,х) и Р^,х) - матрицы погрешностей; у/^,х,р) - векторы нелинейностей. Для таких систем требуется, чтобы подсистемы х = Д (/).*,. + В{(1)и. были стабилизируемыми, а матрицы С,/41(/) и погрешности ОД/,*) и /^(/,х) удовлетворяли некоторым дополнительным условиям.
Анализируемые классы систем широко исследованы в специальной литературе.
При этом обнаруживаются различные подходы к самому понятию стабилизации движения [19, 21, 31, 69, 75, 76, 82, 88, 93, 95, 105, 125, 126, 129, 130]. В самом общем виде оно может рассматриваться как обеспечение устойчивости программного движения в том или ином смысле. Например, в классической постановке [31] при управлениях непрерывного типа под стабилизацией понимается обеспечение экспоненциальной устойчивости программного движения.
Автор придерживается следующей общей постановки задачи стабилизации, которая в дальнейшем будет конкретизирована применительно к изучаемым классам управляемых динамических систем. Пусть имеется управляемая система, состояние которой в каждый момент времени полностью определяется вектором фазовых переменных х. Такими переменными могут быть, например, обобщенные координаты и обобщенные скорости. Под движением системы при данном управлении будем понимать решение х- д:(/,х0,/0)системы уравнений, описывающих ес поведение (*0 - начальное состояние системы). В случае, когда в качестве фазовых переменных выбраны обобщенные координаты и обобщенные скорости д, с), движение системы будет характеризоваться парой (<7,<7)> где <7 =‘/(^о^оЛ)" соответствующее начальному состоянию решение системы уравнений Лагранжа второго рода, замкнутой выбранным управлением.
Пусть хр(1) обозначает программное движение системы. Это движение может быть задано явно как некоторая вектор-функция времени. Однако в практических задачах чаще программное движение определяется неявно посредством ряда предъявляемых к нему
требований и для нахождения функции хр(!) требуется решить самостоятельную, норой достаточно сложную, задачу' [39, 119].
Пусть С7у обозначает заданную ограниченную окрестность начальной точки программного движения, например, шар радиуса 6 с центром в точке = {х :||х-х,(*0)| < 5}; Сс - заданную ограниченную £-трубку программного
движения, например, О, = Л+}; и- вектор управлений, которыми мы
можем воздействовать на систему. Обычно предполагается, что размерность вектора управлений не больше размерности фазового вектора.
Задача стабилизации программного движения управляемой системы состоит в выборе управлений, при которых любые движения системы, начинающееся в окрестности (7^ программного движения, за ограниченное время попадают в окрестность Ое этого движения и в дальнейшем гам остаются. Другими словами, в данной формулировке задача состоит в выборе закона управления, обеспечивающего за ограниченное время требуемую точность выполнения системой программного движения для любых начальных состояний из заданного множества Управления, которые решают сформулированную задачу, будем называть стабилизирующими.
Приведенная выше формулировка задачи дана в работе [105] и рассматривалась в дальнейшем в работах [113-117]. Эта постановка имеет ряд важных, в первую очередь с точки зрения практики, достоинств: не предполагается малость начальной и целевой окрестностей программного движения - они могут быть любыми наперед заданными ограниченными; не требуется обеспечить полезное, но вместе с тем весьма жесткое свойство экспоненциальной устойчивости; не требуется даже, чтобы программное движение при допустимых управлениях было физически реализуемо, т.е. чтобы оно было решением замкнутой системы при каком-либо из допустимых управлений - важно, чтобы система совершала достаточно близкие к программному движения. Конечно, для того, чтобы задача стабилизации имела смысл, программное движение должно быть реализуемо при каком-то управлении, возможно не являющемся допустимым.
Принятая постановка задачи стабилизации допускает без каких-либо существенных изменений изучение случаев, когда в информации о параметрах системы и действующих на нее силах имеются некоторые (не обязательно малые) погрешности, когда есть ограничения на фазовые переменные, структуру и компоненты управления. Последнее обстоятельство важно и с чисто теоретической точки зрения, поскольку позволяет с единых позиций
7
подойти к ранее весьма разнородным задачам стабилизации, например, непрерывной и релейной (см.[31 ]), которые укладываются в нашу постановку как частные случаи.
Необходимо вместе с тем отметить, что, несмотря на хорошую приспосабливаемость к нуждам практики, рассматриваемая нами постановка задачи все-гаки остается абстрактной математической. Прежде всего это связано с рассмотрением бесконечного промежутка времени функционирования системы и не вполне определенного, а лишь ограниченного времени перехода из окрестности в окрестность программного движения. Кроме того, на практике окрестности программного движения задаются не для вектора фазового состояния, а для каждой из его компонент в отдельности, что требует использования не произвольной, а подходящим образом выбранной нормы.
Обеспечение указанных, а также других важных в прикладном отношении требований (например, выбор наилучших в некотором смысле стабилизирующих управлений - см. [8, 50, 55, 128]) можно рассматривать как следующую задач)', один из подходов к решению которой состоит в построении зависящих от параметров стабилизирующих управлений и направленном их переборе. В диссертации мы ограничимся построением многопараметрических семейств стабилизирующих управлений.
Исследования, результаты которых отражены в настоящей диссертации, проводились методами математической теории управления и качественной теории дифференциальных уравнений. При решении задачи стабилизации весьма плодотворным оказался метод функций Ляпунова, развитие которого связано в первую очередь с именами отечественных ученых: В.И. Зубова, H.H. Красовского, А.М. Летова, И.Г Малкина, В.М. Матросова, Н.Г. Четаева и др. (см. [23-32, 46, 61, 62, 67, 129]). Автору представляется, чго выполненные им исследования лежат в русле идей, характерных для возглавляемой В.И. Зубовым школы, и развивают в первую очередь результаты, полученные
Н.Я. Смирновым [32, 105].
Новыми результатами, представленными в диссертации, являются следующие:
• метод анализа перечисленных выше управляемых систем, заключающийся в использовании удачно выбранных функций Ляпунова и построении для них удобных мажорант; этот метод, изложенный на примере линейных по управлению систем, первоначально был разработан для управляемых систем, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода, и опубликован в [142-144]. Результаты, полученные для задач стабилизации вращательного движения твердого тела опубликованы в [143, 150, 151];
• методика, позволяющая распространять способы построения стабилизирующих управлений на случай непрямого регулирования; эта методика, основа которой состоит в
выделении при необходимости дополнительных стабилизируемых переменных и организации, если необходимо, процесса разгрузки управляющих устройств, изложена в §4, а в §6 применена для решения задач стабилизации вращательного движениям твердого тела с помощью маховиков и гироскопов; конкретные результаты, полученные автором для этих задач, опубликованы в [108-111, 120, 132-135, 138];
• методика учета «динамических» погрешностей в информации о параметрах системы, т.с. отклонений от расчетного (без погрешностей) варианта, описываемых собственными дифференциальными уравнениями (при управлении вращательным движением твердого тела с помощью силовых гироскопов к таким погрешностям можно отнести, например, малые упругие деформации элементов подвеса гироскопов); §5 содержит схематичное изложение данной методики, позволяющей за счет выделения из сложного движения исследуемой системы некоторой составляющей его «быстрой» части, определяемой погрешностями, осуществить декомпозицию исследуемой системы, сохранив преемственность в используемом для решения задачи стабилизации математическом аппарате и при увеличении уровня иерархичности исследуемой динамической системы; в §6 показано, как указанная методика работает при необходимости учета различного рода погрешностей в задачах стабилизации вращательного движения твердого тела; результаты, полученные автором для этих задач, опубликованы в [108-111, 120, 132-135, 138].
• построение в удобном для приложений виде многопараметрических семейств управлений, в том числе импульсных, которые решают задачу стабилизации при наличии необязательно малых погрешностей в информации о параметрах системы и действующих на нее возмущающих силах; в §4 на примере линейных по управлению систем показано как осуществляется построение импульсных управлений, реализуемых по интегралу от специальным образом выбираемого базового управления, в частности, управлений, организованных по принципу широтно-импульсной модуляции (ШИМ [1]); в §6 построение импульсных стабилизирующих управлений осуществлено для динамических систем, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода, и систем, описываемых уравнениями Эйлера-Пуассона; результаты опубликованы в [142-151].
Названные методы развивают, как представляется автору, существенно теорию стабилизации программных движений динамических систем с учетом диктуемых практикой особенностей структуры управлений и получаемой о системе информации, доведя эту теорию до вполне завершенного состояния. Они позволили построить в удобном для приложений виде многопараметрические семейства управлений, в том числе важных в прикладном отношении импульсных, которые решают задачу стабилизации при наличии
необязательно малых погрешностей в информации о параметрах системы и действующих на нее силах. Фактически свободные параметры стабилизирующих управлений позволяют решать другие практически важные задачи, такие как выбор наилучших в некотором смысле стабилизирующих управлений, оптимизацию времени перехода в целевую окрестность программного движения и другие.
Хронологически отраженные в диссертации исследования начались с работ, связанных с управлением ориентацией космических аппаратов при помощи силовых гироскопов, в частности, спаренных трехстепенных в копирующих подвесах:
Рис. /. Кинематическая схема спарки трехстепенных силовых гироскопов в
копирующих подвесах.
10
Спарка состоит из двух идентичных гироузлов. Каждый гироузел образован пятью телами: 7] - внутренняя лира, Т2- гирокамера, Т3- ротор, ТА- малая внешняя лира, Т5-большая внешняя лира. Роторы гироузлов вращаются с постоянными одинаковыми по величине и противоположными по направлению в начальный момент времени скоростями, так что начальный суммарный кинетический момент спаркн нулевой. Повороты больших и малых внешних лир гироузлов спарки синхронизированы в противоположных направлениях при помощи колес и гибких стальных лент. Это дает возможность, поворачивая только большие или только малые лиры гироузлов обеспечивать изменение кинетического момента спарки вдоль фиксированных в носителе осей. При этом обеспечивается многократное усиление прикладываемого к ним вращающего момента за счет энергии предварительно раскрученных роторов.
Использование силовых гироскопических устройств (СГУ) для целей управления ориентацией космических аппаратов сулило и по-прежнему оставляет многообещающие перспективы в связи с возможностями высокоточного регулирования кинетического момента, малым энергопотреблением, габаритами и весом [16, 40, 59, 92, 155]. Вместе с тем при использовании СГУ на этапе разработки системы управления вращательным движением носителя исследователю приходится столкнуться с целым «букетом» задач, которые в общих чертах описаны выше и будут подробно сформулированы в § 1. Именно, управление при помощи описанных СГУ предполагает:
• непрямое регулирование и стабилизацию по части переменных, когда желаемое воздействие гироскопов на носитель должно быть обеспечено надлежащим управлением поворотами гирокамер СГУ;
• ограничения в изменении кинетического момента СГУ, обусловленные невозможностью произвольных поворотов гирокамер («упоры» ограничивают повороты больших и малых лир);
• импульсный характер воздействия на СГУ шаговых двигателей приводов гирокамер;
• непостоянство скоростей собственного вращения роторов гироскопов, обусловленное конструктивными особенностями асинхронных двигателей постоянного тока, приводящих их движение;
• учет конструктивной «расцснтровки» больших и малых лир подвеса, приводящая к погрешностям СГУ как инструментов управления (инструментальным погрешностям);
• малые упругие деформации элементов подвеса гироскопов;
11
• неточности изготовления, сборки, установки СГУ в носителе и др.
Необходимо отмстить также, что хотя описанные выше задачи стабилизации схожи по постановке и используемым для решения методам (метод функций Ляпунова) с классическими задачами обеспечения устойчивости программных движений, они не укладываются в последние, отличаясь в первую очередь нелокальным характером. По-существу, это другие задачи, которые до конца 70-х годов не имели приемлемого теоретического решения.
Как и многие другие задачи, связанные с управлением движением механических систем, исторически первыми задачи стабилизации формулировались и решались применительно к управлению движением космических аппаратов. Проблемная в начале 70-х годов 157], задача построения прикладываемых к носителю внешних управляющих моментов, обеспечивающих заданное вращательное движение носителя, благодаря усилиям российских математиков среди которых В.И.Зубов, А.М. Летов, Б.В.Раушенбах, Е.Я.Смирнов, Е.Н. Токарь и другие к начазу 80-х годов, была в основном решена. Из работ названных авторов выделим работы В.И.Зубова [31, 24, 32] и развивающие его работы Е.Я.Смирнова [101-106]. В этих работах па основе метода функций Ляпунова [61] построены управления, обеспечивающие решение поставленной задачи в «большом». В работах Е.Я.Смирнова, кроме того, решены вопросы синтеза управлений, обеспечивающих решение задачи стабилизации заданной ориентации твердого тела в условиях неопределенности, когда тензор инерции тела и приложенные к нему внешние управляющие моменты известны лишь с некоторой необязательно малой ограниченной погрешностью.
Необходимые для управления вращательным движением носителя вращающие моменты могут создаваться внешними управляющими органами (реактивными двигателями, магнитными катушками) или содержащимися в носителе приборами управления (инерционными маховиками и силовыми гироскопами). Оставляя в стороне вопрос о целесообразности использования магнитных катушек в рассматриваемых задачах [22], отметим, что управление вращательным движением при помощи реактивных двигателей связано с расходом рабочего тела. Кроме того, реактивные двигатели как правило реализуют управляющие моменты релейного типа и, следовательно, имеют ограниченные возможности с точки зрения точности ориентации. Эти обстоятельства делают целесообразным в соответствующих случаях непрямое регулирование вращательного движения твердого тела, когда необходимые управляющие моменты создаются при помощи содержащихся в носителе вращающихся маховиков или гироскопов,
которые обладают преимуществами с точки зрения габаритов, веса, потребляемой энергии [92]. Принципиальный ответ на вопросы, связанные с непрямым регулированием дает работа В.И.Зубова [24], в которой указана аналитическая конструкция закона регулирования, осуществляющего управление вращательным движением твердого тела при непрямом регулировании. Непрямое регулирование в тех или иных аспектах рассматривается также в работах [2,4, 17, 18,22, 26, 31-34, 50-52, 70, 73, 79, 92-95].
Инерционные маховики как органы управления наиболее просты из систем, содержащих вращательные массы поэтому достаточно хорошо изучены [2, 4, 18, 22, 31, 32, 50-52, 57, 92, 98]. Они могут быть использованы как для активного управления вращательным движением носителя, так и для пассивной стабилизации. Вместе с тем, они обладают рядом существенных недостатков: большой энергоемкостью при сравнительно небольшом быстродействии, большими габаритами, весом и как следствие, сравнительно небольшой [16] точностью обеспечения заданной ориентации носителя.
Среди систем управления ориентацией с использованием вращающихся масс весьма перспективными считаются системы, содержащие двухстепенные и трехстепенные силовые гироскопы: спаренные и неспаренные [16, 40, 59, 70, 79, 92, 100, 127, 155]. Спарка гироскопов представляет собой пару идентичных гироскопов, повороты гирокамер которых синхронизированы в противоположных направлениях при помощи механической связи, например, гибких стальных лент, а роторы закручены в противоположных направлениях с постоянными одинаковыми по величине и противоположными по направлению в начальный момент времени скоростями. Спарки двухстепенных или трехстепенных силовых гироскопов обладают существенными преимуществами перед инерциальными маховиками: они обеспечивают многократное усиление прикладываемого к ним вращающего момента так, что для создания необходимого для обеспечения ориентации носителя управляющего момента моно использовать приборы, имеющие мсньпшй вес, габариты, большее быстродействие и что, немаловажно, дающие значительную экономию энергии по сравнению с маховиками [16, 40, 92, 155]. Конечно, законы управления гироскопами сложнее, чем маховиками, однако это обстоятельство несколько компенсируется за счет использования в спарках противоположно ориентированных гиророторов и наличия в контуре управления бортовой ЭВМ. Трудности же связанные с синхронизацией поворотов гирокамер трехстепенных гироскопов устраняются при использование подвесов «конирующего» [16, 40, 59, 155] типа. Указанные качества спарок гироскопов при использовании их в системах управления вращательным движением носителя приводят к возможности значительно [16, 40, 155] повысить точность ориентации.
13
Если вес системы не принимать во внимание, то конструкция из трех спарок двухстепенных силовых гироскопов, действующих по трем взаимно ортогональным осям, обеспечивает, по видимому [16], наилучпше рабочие характеристики, присущие системам гироскопических стабилизаторов. Система, состоящая из двух спарок трехстепенных силовых гироскопов, обеспечивающих управление по трем взаимно ортогональным осям, обладает по сравнению с предыдущей меньшим весом, габаритами, энсргосмкостыо и позволяют про одной из осей использовать сразу две снарки гироскопов, однако, более сложна в управлении.
Весьма привлекательными с точки зрения технической простоты и веса конструкции являются системы управления вращательным движением космических аппаратов, построенные на неспаренных двухстепенных силовых гироскопах - гиродинах [33, 34, 92, 100]. Однако, наличие так называемых особых взаимных положений гиродинов, в которых изменение суммарного кинетического момента системы в некоторых направлениях оказывается невозможным, делает их весьма сложными в управлении.
Вопрос управления ориентацией носителя при помощи указанных гироскопических систем в аспекте построения прикладываемых к гироскопам управлений, обеспечивающих заданное вращательное движение носителя долгое время оставался малоисследованным. Об этом свидетельствовали не только отсутствие в периодической печати соответствующих публикаций (причиной данного факта была «закрытость» соответствующих исследований), но и освещавшиеся в прессе проблемы с управлением ориентацией станции «Мир». Еще менее исследованным был вопрос о синтезе прикладываемых к спаренным гирокоиам управлений, которые обеспечивали бы решение задачи динамической ориентации при наличии погрешностей в изготовлении носителя, гироскопов и установке гироскопов относительно носителя, а также инструментальных погрешностей спарок гироскопов, т.е. погрешностей в изготовлении этих устройств, приводящих к погрешностям их как устройств управления.1
Первые подходы к решению задач управления вращательным движением космических аппаратов при помощи СГУ заключались в изучении систем линейного приближения в окрестности программных движений, см., например, [106].
Автором в кандидатской диссертации [134] были рассмотрены и решены в нелинейной постановке вопросы управления ориентацией твердого тела при помощи двух-и трехстепенных силовых гироскопов, а также дан способ учета различного рода погрешностей в изготовлении носителя, гироскопов и установке последних относительно
1 Ниже в § 1 подробно описываются возможные инструментальные погрешности, учитываемые автором в его исследованиях.
14
носителя. Ключевую роль при этом сыграли использование удобных функций Ляпунова, предложенных Е.Я. Смирновым [105], и декомпозиция исследуемых систем за счет удачного выделения из сложного движения системы некоторой составляющей его быстрой части, определяемой инструментальными погрешностями.
Дальнейшие исследования, проводившиеся в лаборатории проф. Е.Я. Смирнова с участием автора настоящей диссертации, позволили в значительной мере - но не окончательно - закрыть проблему, дав решения задачи стабилизации при помощи непрерывных и различного рода дискретных управлений для динамических систем, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода и уравнениями Эйлера-Пуассона. В приложениях это было выполнено прежде всего для задач управления динамической ориентацией космических аппаратов при помощи силовых гироскопов и маховиков. Результаты исследований нашли отражение в монографии [117].
В указанной работе, в частности, дан способ построения импульсных стабилизирующих управлений, реализуемых но интегралу от специальным образом выбираемых - т.н. базовых - управлений. Однако этот способ дал положительный результат только для расчетного (без погрешностей в информации о параметрах системы) варианта.
Автору диссертации удалось, изменив методику анализа поведения функций Ляпунова на решениях исследуемых систем, решить вопрос и в случае с погрешностями [143]. Оказалось, к тому же, что найденная методика, заключающаяся в построении мажорант для подходящим образом выбранных функций Ляпунова, достаточно универсальна и позволяет дать единообразное изложение всех ранее полученных в обсуждаемой задаче результатов. Конечно, идея замены изучения поведения функции Ляпунова изучением свойств специальным образом подбираемых для нее мажорант не нова, и данный пример свидетельствует лишь том, что и в нашем случае она хорошо «сработала» после того, как удаюсь подобрать подходящую для решения задачи функцию Ляпунова и построить удобную для этих целей мажоранту.
Оказалось также, что для различных динамических систем, названных выше, удаюсь подобрать функции Ляпунова, исследование которых, если отвлечься от технических подробностей, осуществляется единообразно.
Это позволило, не умаляя общности, изложить матерная диссертации на примере линейных по управлению динамических систем общего вида (1.1), для которых для определенности предположена возможность построения функции Ляпунова на основе системы линейного приближения. Это же позволяет говорить об оформившейся теории
15
стабилизации управляемых динамических систем в условиях диктуемых практикой ограничений.
Следует отметить, что для рассмотренных в диссертации, вообще говоря, нелинейных систем уравнений Лагранжа второго рода и сугубо нелинейных систем уравнений Эйлера-Пуассона функции Ляпунова подбирались в значительной мере эвристически. Поскольку универсальных способов построения функций Ляпунова для нелинейных систем, как известно [6J, нет, предложенные функции также являются одним из результатов. Некоторые рассуждения о способах подбора и построения функций Ляпунова для рассматриваемых задач даны в §§ 6,12 работы [117].
Результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах автора, в том числе диссертации [117J и учебном пособии [113J (в соавторстве). Они докладывались на многих отечественных и международных конференциях (см. [34, 114, 1 18, 119, 136, 137, 139-141, 145, 146, 149], в том числе:
• IX и X Международных конференциях по нелинейным колебаниям, (Киев, 1981; Варна, 1984);
• Международной школе по методу функций Ляпунова (Иркутск, 1989);
• IV конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Болгария, Руссе, 1989);
• 2 Российско-Китайский симпозиуме по астронавтике. (Самара, 1992);
• Международном симпозиуме по аэрокосмическим системам (Санкт-Петербург, 1992);
• Международном Конгрессе по вычислительным системам и прикладной математике (Санкт-Петербург, 1993);
• Международной конференции "Stability and Control of Transforming Nonlinear Systems. Int. Conference ". (Москва, 1995);
• Международной научно-практической конференции “Дифференциальные уравнения и их применения” (Санкт-Петербург, 1996);
• IV Украинско-Российско-Китайском Симпозиуме но космической науке и технике. (Киев, 1996);
• International conference on systems, signals, control, computers SSCC'98 (Durban, 1998).
Результаты диссертации обсуждались наследующих семинарах:
• Семинаре отдела общей механики Института механики МГУ (рук. акад. А.Ю.Ишлинский) (Москва, 1995),
16
• Семинаре Московского филиала Института проблем транспорта РАН (рук. акад. В.М.Матросов) (Москва, 1995),
• Семинаре кафедры теоретической и прикладной механики математикомеханического факультета СПбГУ (рук. д.ф.м.н. профессор П.Е.Товстик) (Санкт-Петербург, 1995),
• Семинаре кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета СПбГУ (рук. д.ф.м.н., профессор Г.А.Леонов) (Санкт-Петербург, 1997),
• 8 Всероссийском семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов", Самара, 1997.
Значительная часть работы нашла отражение в специальном курсе «Управление движением механических систем», читавшемся автором совместно с Е.Я. Смирновым в 1980-1989 гг. на факультете прикладной математики - процессов управления Ленинградского государственного университета [112, 113].
Определяя место исследований, результаты которых отражены в диссертации, необходимо отмстип, следующее. Предметом исследований являются сугубо нелинейные управляемые динамические системы и квазилинейные системы иерархической структуры, линейные по управлению, покрывающие весьма представительный класс управляемых электромеханических систем. К исследуемым системам не применяются методы линеаризации или усреднения [74]. В задачах стабилизации речь идет об активном управлении при возможных больших (ограниченных) начальных отклонениях от программного движения, а не о пассивной стабилизации в малом [22, 20, 44, 47, 66]. В приложениях, связанных управлением вращательным движением твердого тела с помощью вращающихся масс, рассматриваются силовые, а не измерительные гироскопы [9-12, 15, 35-38, 42, 43, 45, 53, 58, 72, 80, 81, 99, 121, 164]. Конструируемые управления являются модальными и не используют принципа самонастройки [5,49].
Изложение материала диссертации подчинено следующей схеме: в § 1 даны постановки задач, результаты решения которых сведены в диссертации. Второй параграф посвящен описанию методов решения задачи стабилизации и предложенных для этой цели функций Ляпунова. В §§3-6 на примере линейных по управлению динамических систем изложена разработанная автором теория построения непрерывных и различного рода дискретных (шаговых, релейных, импульсных) стабилизирующих управлений. § 7 содержит изложение результатов, полученных автором с использованием этой теории в приложениях: управлении вращательным движением твердого тела и управлении движением электромеханических систем, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода. Основное
- Київ+380960830922