ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Глава 1. Обратная задача динамики гиростатов .................. 13
§1. Условия существования интегралов движения ................. 13
§2. Стационарные движения тяжелого гиростата................... 18
Глава 2. Описание регулярных прецессий гиростата ______________ 24
§1. Лагранжевы уравнения движения ............................. 24
§2. Обратная задача регулярной прецессии гиростата............. 27
§3. Гиростат в поле позиционных сил............................ 30
§4. Регулярные прецессии гиростата в потенциальном иоле 33
Глава 3. Спутник с неконтактным ротором
на круговой орбите ........................................... 46
§1. Твердое тело со сферическим демпфером...................... 46
§2. Уравнения движения симметричного спутника со сферическим
ротором на круговой орбите..................................... 59
§3. Эволюция стационарных движений спутника.................... 65
Глава 4. Твердое тело с ротором при слабой диссипации 72 §1. Симметричное тело с неподвижной точкой при слабой
диссипации во взаимодействии с ротором ........................ 72
§2. Эволюция кинетических моментов и стационарные движения .. 75 §3. Исследование устойчивости ................................. 77
Заключение 81
Литература 83
2
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы и содержание работы. Теория стационарных движений механических систем является интенсивно развивающейся областью теоретической механики и восходит к известному трактату Э.Дж. Рауса [40]. Именно задача устойчивости нутационных колебаний волчка Лагранжа стала отправной точкой дальнейших исследований. Среди отечественных работ необходимо отметить книги
В.Г. Веретенникова [3], A.B. Карапетяна [25], Д.Р. Меркина [26], В.В. Румянцева [28].
Динамика твердого тела дает обширный материал для приложения развитых методов изучения стационарных движений и в то же время создает базу эвристического характера для получения новых результатов. Необходимо отметить, вместе с тем, что в последние десятилетия сложился такой взгляд на эту ветвь механики, что наряду с абсолютно твердым телом следует рассматривать его естественное обобщение, а именно, гиростат, уравнения движения которого лишь одним дополнительным членом отличаются от классических уравнений Эйлера-Пуассона. Наиболее весомо этот взгляд утверждается в работах донецкой школы механиков [12], которым принадлежит ряд замечательных результатов по теории стационарных движений гиростата, в частности, его перманентным вращениям и регулярным прецессиям.
Между этими движениями тела различие достаточно условно. Например, при изучении регулярных прецессий симметричного спутника отмечалось, что таковыми эти движения являются в инерциальной
3
системе, тогда как в орбитальной системе они являются состояниями равновесия - для стреловидного спутника, и перманентными вращениями - для симметричного тела на орбите.
Определение регулярной прецессии восходит к трудам Л. Пуансо, Ф. Клейна и А. Зоммерфельда. Движения такого типа были долгое время известны для симметричных тел, и лишь в середине прошлого века итальянским математиком Дж. Гриоли [38], был открыт новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела, который оказался регулярной прецессией несимметричного тела с осью собственного вращения, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида инерции. Позже итальянский механик Э. Бснтсик [36] установил существование аналогичного движения у тела в центральном ньютоновском поле. Среди исследований, посвященных поиску других случаев регулярных прецессий, следует отметить работы Р. Граммеля [15], М.П. Гуляева [16], Г.В. Горра [12,13], В.М. Смотрова [30], в которых тело либо помещалось в поле с силовой функцией конкретного вида, либо она полагалась произвольной, подчиненной некоторым условиям.
Наиболее общий результат был получен в работе И.А. Галиуллина [11], где было дано описание всех существующих регулярных прецессий твердого тела в потенциальном поле с силовой функцией, допускающей разложение в ряд Фурье, и как частные случаи были указаны все известные движения такого рода. Методологической основой этой работы стала теория обратных задач динамики.
Обратные задачи динамики всегда были предметом исследований классической механики. Более того, именно при решении обратной
4
задачи об определении силы, под действием которой планеты совершают движение по законам Кеплера, были заложены основы векторной механики Ньютона. В это же время установилось понятие обратных задач динамики как задач об определении сил, действующих на механическую систему, если известны свойства движения этой системы. В дальнейшем, в аналитической механике Лагранжа-Гамильтона понятие обратных задач обрело более широкое содержание - наряду с задачами о построении силовых функций (задача Суслова) ставились и решались задачи об определении функционалов, принимающих стационарное значение в процессе движения механической системы (задача Гельмгольца), задачи построения уравнений движения по заданным свойствам движения (задача Горячева, задача Пуанкаре-Картана). Возможность моделирования многих прикладных задач в виде обратных задач динамики привела к тому, что само понятие обратных задач заметно расширилось. Появились задачи, в которых необходимо определить не только обобщенные силы, но и параметры механической системы, а также наложенные на систему связи, при которых возможно движение механической системы с заданными свойствами.
Итак, обратными задачами динамики называются задачи об определении активных сил, действующих на механическую систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой системы.
В настоящее время существует много работ, в которых сформулированы возможные постановки обратных задач и установлены довольно
5
общие методы их решения. Оказывается, что если заданные свойства движения механической системы могут быть аналитически представлены как первые или частные интегралы соответствующих уравнений движения, то решение обратных задач динамики в общем случае сводится к построению дифференциальных уравнений по заданным их интегралам и к определению в дальнейшем из них искомых сил и моментов, параметров и связей, необходимых для осуществления движения рассматриваемой механической системы с предварительно заданными свойствами.
Обратная задача теории дифференциальных уравнений в виде задачи построения множества систем уравнений по заданным частным интегралам была впервые сформулирована Н.П. Еругиным в работе [24], где был указан также и метод решения этой задачи.
Фундаментально обратные задачи исследовал A.C. Галиуллин. В его монографиях [6,7,8) и других работах задачи построения дифференциальных уравнений ставятся и решаются применительно к обратным задачам динамики и к различным задачам управления движениями материальных систем. Согласно разработанному им методу составляются необходимые и достаточные условия того, что заданные интегралы действительно образуют интегральное многообразие строящейся системы дифференциальных уравнений. Для осуществимости заданного движения рассматриваемой механической системы требуется также, чтобы удовлетворялись соответствующие начальные условия.
Методы решения обратных задач динамики в настоящее время широко применяются для изучения поведения материальных систем са-
б
- Київ+380960830922