Оглавление
1 Введение 3
1.1 История вопроса о существовании эллипсоидов равновесия.................... 3
1.2 История вопроса об устойчивости эллипсоидов равновесия.................... 6
1.3 О результатах и методе................................................... 12
2 Об устойчивости эллипсоидов Якоби и Дедекинда вращающейся жидкости 17
2.1 Об устойчивости эллипсоидов Якоби. ...................................... 17
2.2 Об устойчивости эллипсоидов Дедекинда . . . . :.......................... 21
3 Об устойчивости эллипсоидов Римана вращающейся жидкости 24
3.1 Структура уравнений системы (1.1) (1.4) .............................. 24
3.2 Общая схема определения областей устойчивости и неустойчивости............28
3.3 Об устойчивости эллипсоидов равновесия первого семейства эллипсоидов
Римана................................................................... 32
3.4 Об устойчивости эллипсоидов равновесия второго семейства эллипсоидов
Римана................................................................... 37
4 Об устойчивости эллипсоидов Римана однородно- намагниченной вращающейся жидкости 43
4.1 Морфология системы....................................................... 43
4.2 Структура уравнений системы (4.1.1) (4.1.5)............................. 46
4.3 Об устойчивости эллипсоидов равновесия однородно-намагниченной вращающейся жидкости.............................................................. 50
5 О частичной устойчивости эллипсоидов Римана и об их устойчивости в смысле определения Ляпунова. 57
5.1 О связи между частичной устойчивостью по отношению к (а, Ь) эллипсои-
дов Римана и устойчивостью их как форм равновесия в смысле определения Ляпунова................................................................. 57
5.2 Некоторые замечание к вопросу о частичной устойчивости................... 63
5.3 Об устойчивости эллипсоидов Рішана в смысле определения Ляпунова (1.11). 76
2
Глава 1. Введение
§ 1.1. История вопроса о существовании эллипсоидов равновесия.
Вопросы динамики однородной идеальной несжимаемой самогравитиру-юшсй вращающейся жидкости привлекали внимание многих исследователей, математиков и механиков. Основоположниками теории фигур равновесия вращающейся жидкости являются Маклорен, Якоби, Л иу вил ль, Дирихле, Дедекинд, Риман, Пуанкаре, Ляпунов и др [8-10,2,4,6,7]. Основные направления исследований в этой области — задача существования равновесных конфигураций вращающейся жидкости и задача устойчивости последних.
Отдельные результаты, касающиеся первой из этих задач в отношении тех конфигураций, которые являются эллипсоидальными, были получены Маклореном и Якоби; ими было установлено существование серий эллипсоидов, носящих теперь их имена [8,9]. Однако полное решение задачи существования эллипсоидов равновесия было дано позже, Дирихле и Ри-маном [4,10\. Дирихле исследовал движение жидкости под действием сил взаимного притяжения ее частиц по закону Ньютона для класса движений с однородной деформацией, т.с. в случае, когда перемещения выражаются линейными функциями координат ("общая постановка Дирихле”).
Он показал [4,10], что если в начальный момент поверхность жидкости эллипсоидальна и поле скоростей однородно-вихревое, то эти условия ("условия Дирихле") будут выполнены и в любой последующий момент времени. Иными словами, в этом случае исходная система уравнений в обыкновенных и частных производных, описывающая динамику рассматриваемой
жидкости, переходит в систему ОДУ для компонент завихренности (£), 2ùJ2(t), 2w;s(t)), полуосей эллипсоида (а. 6, с) и компонент угловой скорости (р, (/, г) в подвижной системе отсчета. Приведем здесь указанную систему ОДУ в наиболее удобном для дальнейшего виде, получающемся из первоначального [4] с учетом условия постоянства объема жидкости, являющегося следствием уравнения несжимаемости: abc = const, где можем, без ограничения общности считать const = 1.
Имеем
—(Aip 4- А2иi) 4- с[{С\Г -h C2loz) — т№\4 2^2) = О (П1)
(jpqr, AJ3C)
d (шЛ 2a 2a 2a(c2 — b2) ЛЧ
“77 (----------------J-—-"9rCü2 H Г——~qu)3 + 7—r--04. —(^2^)3 = 0 (1-2)
dt \ a J a2 + b2 a2c2 (a2 4- c2)(a2 4- b2)
(123, abc, pçr)
.. ( 1\ 6 2<z6 2â2 2b2 _ 1 /r _ 4 , , -4
a Г + 6W + o263 a363 o462 6V “( г)^ ~( г)а (L3)
у /. 1 \ а 2аб 2â2 2b2 „. 1 , _ 4t9 ,
( ô2^) + №â3_â363_ôï^~6ïâ2 = ^ “ W - Wy)b > (14)
где
~ à a c2 2 n 2\ 2 б2 .о л» 9ч 9
»•=;-"•=+ 30 + + 1
4(a2-c2)c2_ 4(a2 — 62)62 t 4a262 2i 4a2c2 2
(a2 + c2)2 9W2 (a2 + Ь2)2 Шз + (^Тб2)2“3 + (a2 + c2)2^'2
(zyz, обе, pgr) (1.5)
AT (б2- с2)2 „ 4M б2с2
Н = ™1 у=щ> V(A) = (а2 + А )(62 + А) (с2 + А)
М — масса жидкости; здесь и далее (а, в, у) означает круговую перестановку индексов.
Здесь и везде далее во всех формулах, кроме формул (1-6), полагаем с = 1/(а6); интегрирование проводится от нуля до бесконечности.
Уравнения (1.2) системы (1.1) - (1.4) вытекают, если учесть условия Дирихле и известный вид решения уравнения Лапласа, из уравнений Гельмгольца для вихря в подвижных осях; уравнения (1.1) — из теоремы о моменте количеств движения; уравнения (1.3), (1.4) — из гидродинамических уравнений Эйлера в подвижных осях [4].
Система (1.1) - (1.4) имеет три интеграла: энергии, момента количеств движения, постоянства интенсивности вихря [4]
2 (-^iP2 4\P\Q2 4- С\Т2 4- A2LO2 + 2 4- Сча>з) 4
+W 4 — (d2 -J- Ь2 4- с2) = const (1. 7)
(А\р 4- A'ibJ 1)2 4 (JPiq -\-jB2W2)2 4 (С\Г 4- C2W3)2 = const (1*8) (u\/a)2 + (u2/Ь)2 4 (а;з/с)2 = const (1.9)
где
ц/=-Нм’1ш (ио)
Исчерпывающее решение вопроса существования эллипсоидов равновесия в рамках общей постановки Дирихле было дано Риманом [7,10]. Ри-ман показал, во-первых, что последние могут существовать и существуют лишь в случае, когда поле скоростей частиц жидкости представляет собой
5
суперпозицию твердотельного вращения и внутренних однородно- вихревых движений. Так что каждый такой эллипсоид равновесия автоматически удовлетворяет условиям Дирихле и ему отвечает стационарное решение, соответствующее некоторому положению равновесия системы (1.1) - (1.4). Во-вторых, Риман доказал [7, 10], что множество всех положений равновесия системы (1.1) - (1.4) является объединением двух подмножеств ("семейств”): у эллипсоидов первого из них векторы угловой скорости и завихренности внутренних движений лежат в одной из главных плоскостей, а у эллипсоидов второго семейства эти векторы коллинеарны и направлены вдоль одной из осей эллипсоида. Предельными частными случаями эллипсоидов Римана второго семейства являются эллипсоиды Якоби (твердотельное вращение всей жидкости вокруг наименьшей из осей трехосного эллипсоида) и эллипсоиды Дедекинда (движение частиц жидкости является "чисто” внутренним однородно-вихревым) [7,10].
§ 1.2. История вопроса об устойчивости эллипсоидов равновесия.
п. 1.2.1. Коснемся теперь некоторых фактов из истории данного вопроса, связанных с задачей устойчивости эллипсоидов равновесия. Здесь в первую очередь необходимо заметить, что подход и постановка этой задачи определены в данном случае, как и в любой другой задаче об устойчивости сплошной среды, неоднозначно.
Существует два подхода к рассмотрению устойчивости эллипсоидов равновесия, помимо подхода гидродинамического и подхода Пуанкаре [8], близкого по методу к гидродинамическому (которые в настоящей диссертации не рассматриваются).
6
1. Первый, принятый Риманом и другими исследователями (далее такой подход будем называть традиционным), заключается в изучении устойчивости в предположении [7,10], что возмущения удовлетворяют условиям Дирихле (и, быть может, еще и некоторым другим ограничениям, см. ниже).
И, поскольку динамика возмущения описывается в этом случае системой (1.1) - (1.4), а каждому эллипсоиду Римана отвечает некоторое положение равновесия этой системы, то здесь естественным образом возникает постановка задачи об устойчивости эллипсоидов Римана, понимаемой как обычная (т.е. - по Ляпунову для систем с конечным числом степеней свободы) устойчивость соответствующих положений равновесия системы (1.1) (1.4). Эта постановка фактически и была принята Риманом. Ясно, что такая устойчивость является, по самому своему определению, условной, т.к. возмущения ограничиваются здесь классом возмущений удовлетворяющих условиям Дирихле.
2. В рамках второго подхода — подхода Ляпунова — подобных ограничений на характер возмущения не налагается и оно предполагается, вообще говоря, произвольным, удовлетворяющим лишь некоторым общим условиям (см. ниже), выполнимость которых представляется a priori очевидной исходя из соображений физического характера.
О трудах Ляпунова по теории фигур равновесия нужно говорить отдельно. Великий ученый посвятил изучению этих вопросов многие годы своей жизни и внес фундаментальный основополагающий вклад как в решение задачи существования равновесных конфигураций — трудами по исследованию фигур равновесия однородной и слабо неоднородной жидкости, близких к эллипсоидальным, — так и в решение задачи устойчивости. До работ
7
- Київ+380960830922