- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...................................................... 4
ГЛАВА I. ПРОБЛЕМА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ИНТЕГРАЛОВ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ВОЗМУЩЕННОГО -
ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА.................................... 17
§ 1.1. Канонические переменные действие-угол в
задаче о волчке Лагранжа ....................... 17
§ 1.2. Возмущенное движение волчка Лагранжа 19
§ 1.3. Теорема Пуанкаре о существовании периодических решений для неавтономной возмущенной системы
с одной степенью свободы ........................ 26
§ 1.4. Существование периодических решений возмущенной задачи о волчке Лагранжа...........................33
§ 1.5. Теорема о неинтегрируемости: задачи о возмущенном движении волчка Лагранжа...........................37
§ 1.6. Ветвление решений и несуществование одноз-
начных интегралов возмущенной задачи о
волчке Лагранжа...................................44
ГЛАВА 2. ДИНАМИКА СЛАБО'' НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ............................... 54
§ 2.1. Уравнения Кирхгофа и проблема их интегрируемости .............................................. 54
§ 2.2. Случай интегрируемости Кирхгофа..................63
§ 2.3. Теорема о неинтегрируемости возмущенного
случая Кирхгофа...................................68
§ 2.4. Вычисление характеристического интеграла ... 72
- 3 -
ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ............................................82
§ 3.1. Движение тяжелого твердого эллипсоида
по гладкой плоскости................. 82
§ 3.2. Асимптотические решения в симметричном
случае ........................................ 87
§ 3.3. Теорема о неинтегрируемости возмущенной
задачи в симметричном случае ................. 90
§ 3.4. Вычисление характеристического интеграла .. 92
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................... 96
/
СПИСОК ЛИТЕРАТУШ............................................... 97
4
ВВЕДЕНИЕ
Задача о движении абсолютно твердого тела как одна из наиболее распространенных в приложениях является одной из важнейших проблем механики.
С момента опубликования Л.Эйлером уравнений динамики твердого тела прошло более 200 лет, и в течений всего этого времени эта задача привлекает неослабное внимание исследователей. В классической постановке, когда рассматривается одно твердое тело с: неподвижной точкой в однородном силовом поле, известны три первых интеграла и множитель Якоби для системы уравнений движения. Для полного аналитического решения задачи достаточно указать лишь один /четвертый/ интеграл. Таким образом, задача представляется весьма близкой к окончательному решению.
В математической постановке задача о движении тяжелого твердого тела сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений высокого порядка. Сущность направления классических исследований Эйлера, Лагранжа, Пуассона, Якоби, Гамильтона, Кирхгофа,
С.В.Ковалевской можно характеризовать следующим образом: "ставится задача разработки методов интегрирования дифференциальных уравнений механики и изучаются случаи, когда такая интеграция может быть доведена до конца, и решение задачи может быть получено в замкнутой форме, например, когда интегралы выражаются или через элементарные функции, или в квадратурах, или через те или иные классы хорошо изученных функций" [ю, с. 38^.
В классических случаях Эйлера и Лагранжа вращения тяжелого твердого тела около неподвижной точки решения уравнений Эйлера-Пуассона выражаются в эллиптических функциях и являются однозначными и мероморфными функциями времени, а уравнения движения имеют дополнительный интеграл в виде алгебраической функции переменных. Поэ-
- 5 -
тому полученные частные результаты естественно подвели к следующим двум общим задачам:
I/ найти все случаи, когда система уравнений Эйлера-Пуассона движения твердого тела с неподвижной точкой имеет общие решения, представляющие собой однозначные и мероморфные функции времени;
2/ найти все случаи, когда эта система уравнений имеет четвертый алгебраический интеграл.
Первую задачу в общем виде поставила и решила С.В.Ковалевская, показав, что уравнения Эйлера-Пуассона в общем случае не имеют однозначных решений, допускающих пять произвольных постоянных и не имеющих на всей комплексной плоскости переменного t других особых точек, кроме полюсов; исключение составляют случаи:
і А=В=С,
Z. Х0 ~ ^ о ” ~ О,
з. А=В, = ^
ï /1 = В = гС, г0=о,
где Д , В 9 С - главные моменты инерции тела для неподвижной точки, X 0 f ÿ, 0 9 Z о - координаты центра тяжести рассматриваемого тела в подвижной системе координат.
Эта теорема справедлива лишь в предположении, что начальные
, ^ /проекций вектора мгновенной угловой скорости на оси подвижной системы координат/ и X , У ; , У /направляющих косинусов вертикальной оси/ являются совершенно произвольными. Если подчинить эти начальные данные каким-либо дополнительным условиям, то можно получить однозначные решения. Случай
ÿ0 = 0, xjm-c) + zJc(A-B) = 0,
значения для функций ^ , CL
- 6 -
пропущенный С.В.Ковалевской, был указан Г.Г.Алпельротом. Но, как показали исследования А.М.Ляпунова и П.А.Некрасова, при некоторых начальных значениях решение в этом случае будет многозначным [29, Зо]. А.М.Ляпунов окончательно решил вопрос об однозначности решений уравнений движения твердого тела около неподвижной точки при произвольных начальных условиях и для случаев, когда решения имеют другие особенности на комплексной плоскости, или совсем не имеют особенностей, показав правильность исследований С.В.Ковалевской и расширив формулировку ее теоремы.
С.В.Ковалевской был открыт новый случай интегрируемости, в дополнение к ранее известным, для которого она наша четвертый алгебраический интеграл и дала решение в гиперэллиптических функциях. Дальнейшие исследования в данной области были направлены к выявлению случаев, когда система уравнений имеет ограничения на начальные данные. Это частные случаи движения Гесса, Горячева-Чаплыгина, Бобылева-Стеклова, а также Н.Ковалевского, Гриоли, Е.И.Хар-ламовой [il].
"По-видимому, появление в 1889 году знаменитой работы С.В.Ковалевской о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки послужило стимулом к дальнейшим исследованиям по теории движения тела в жидкости" [l0, с. 22]. Несмотря на разницу в физической сущности указанных задач и на различие в дифференциальных уравнениях, определяющих движение в том и другом случае, методы, применяемые для решения той и другой задачи и самый характер исследования имеют много общего. В 1869 году Кирхгофом были выведены основные уравнения движения твердого тела в жидкости, механический смысл которых был позднее детально выяснен В.Томсоном. Примыкая к работам Кирхгофа и Томсона, дальнейшие исследования в этой области были посвящены изысканию случаев интегрируемости этих уравнений.
- 7 -
Существенный шаг вперед был сделан Клебшем, который указал основные случаи интегрируемости. Исследования Клебша вызвали появление ряда работ Альфана, Г.Вебера, Коттера и др.. В этих работах результаты Клебша были частично дополнены, а частично исправлены, так как Клебш по недосмотру в вычислениях пропустил в своих исследованиях ряд случаев интегрируемости. Все эти работы носят чисто аналитический характер.
Можно думать, что дополнения к работе С.В.Ковалевской, которые были сделаны А.М.Ляпуновым, послужили поводом к работам и по теории движения тела в жидкости самого Ляпунова и его ученика В.А.Стеклова. Ими были указаны два новых случая интегрируемости, являющихся весьма существенным дополнением к результатам Клебша и подробно изложенных в магистерской диссертации В.А.Стеклова "О движении твердого тела в жидкости" /1893 г./.
С.А.Чаплыгиным было получено частное решение задачи о движении по инерции тела в жидкости любопытное в том отношении, что оно тесно связано с решением задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае С.В.Ковалевской.
В случаях Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и в случае полной динамической симметрии четвертые интегралы, как и три классических, являются алгебраическими. Спрашивается, в каких еще случаях возможно существование четвертого общего алгебраического интеграла.
В 1887 году Брунс доказал отсутствие в задаче трех тел дополнительных алгебраических первых интегралов, функционально независимых с классическими /количества движения, момента количества движения и энергии/. Впоследствии П.Пенлеве обобщил эти результаты на случай произвольного числа тел и на интегралы, зависящие только от скоростей и произвольным образом зависящие от координат. В работах Брунса и Пенлеве не накладывалось ограничений на массы тел.
- 8 -
В 1892 году А.Пуанкаре в "Новых методах небесной механики" [35] указал на отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона, аналитически зависящего от произведения веса тела на расстояние от центра тяжести до точки подвеса /"параметра Пуанкаре"/ в случае динамически несимметричного твердого тела, В 1908 году Э.Гюссон [б4] усилил этот результат, сняв требование аналитической зависимости интеграла от параметра Пуанкаре. В 1976 году А.И.Докшевич [1б] указал на неточности в доказательстве теоремы Э.Гюссона и предложил существенно более простой вариант ее доказательства. Работе Гюссона [54] предшествовала его же работа [бз], в которой он доказал отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона для динамически симметричного твердого тела во всех случаях, за исключением случаев Лагранжа и Ковалевской. Таким образом, из результатов Пуанкаре и Гюссона следует отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона во всех случаях, кроме случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.
В 1910 году П.Бургатти £461 предпринял попытку упрощения доказательства теоремы Гюссона [53], однако, как показал А.И.Докшевич [к], доказательство Бургатти является ошибочным.
Подробный обзор классических работ по проблеме дополнительного алгебраического первого интеграла в динамике твердого тела содержится в обзоре П.Я.Полубариновой-Кочиной [зз] и в монографиях В.В.Голубева [9], Ю.А.Архангельского [4], Г.В.Горра, Л.В.Кудряшевой, Л.А.Степановой [п].
Другой подход к проблеме дополнительных первых интегралов развивал А.Пуанкаре. В своем мемуаре "0 проблеме трех тел и об уравнениях динамики” £ 371 он доказал отсутствие дополнительного аналитического интеграла в ограниченной задаче трех тел, аналитически зависящего от массы планеты. Позднее, в "Новых методах не-
- Київ+380960830922