- г -
Оглавление
стр.
Введение ...................................................... 4
ГЛАВА I. ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ ТРАЕКТОРИЙ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ ПО МНОЖЕСТВУ НАЧАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ .... 18 § I. Области достижимости линейных систем и их
свойства.............................................18
§ 2. Построение областей достижимости ........ 23
§ 3. Оценка областей достижимости с помощью погружения их в эллипсоиды...............................40
§ 4. Оценка областей достижимости с помощью синхронных поверхностей . ...................................48
§ 5. Сравнительные характеристики методов построения
и оценки областей достижимости ..................... 58
ГЛАВА П. О МАКСИМАЛЬНОМ ОТКЛОНЕНИИ СИСТЕМ С АНТИСИММЕТг-
РИЧНЫМИ ПЕРЕКРЕСТНЫМИ СВЯЗЯМИ ...................... 61
§ I. Задача о вычислении характерных размеров
абсолютной области достижимости для систем с антисимметричными перекрестными связями ..... 61 § 2. О максимальном значении угла атаки объекта, вращающегося в потоке воздуха ...............................70
§ 3. О приближенном вычислении и оценках сверху максимального отклонения угла атаки объекта, вращающегося в полете........................................87
ГЛАВА Ш. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСПОЗНАВАНИЯ СИСТЕМЫ ПО
ПРЕДЪЯВЛЕННОЙ ТРАЕКТОРИИ ........................... 96
§ I. Задачи распознавания системы по предъявленной
траектории...........................................97
- з -
§ 2. Алгоритм решения задачи распознавания .................... 103
§ 3. Об оценке устойчивости системы по замерам ее траектории ..........................................................109
§ 4. Результаты численных расчетов ............................ ИЗ
Заключение...........................................................120
Литература . ........................................................121
*
- 4 -
Введение
При эксплуатации как управляемых так и неуправляемых объектов задаются определенные требования на их динамику. Желательно, чтобы объект всегда соответствовал этим требованиям. Однако в объекте могут происходить изменения характеристик элементов (отказы, неисправности), нарушающие указанное соответствие. В связи с этим возникает задача: как в процессе функционирования объекта по измерениям его выходных динамических параметров, констатировать факт правильности или неправильности его работы [ I ] .
Формализация построения оценок правильности или неправильности функционирования технических объектов предполагает наличие адекватной математической модели поведения объекта в желательных и нежелательных режимах. Функционирующий объект может быть представлен как динамическая система, состояние которой в каждый момент времени определяется значениями входных внутренних и выходных координат (параметров).
Если вектор выходных параметров объекта, изменяясь со временем, принимает значения из континуального множества, то во многих случаях моделью его функционирования может являться система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
внутренних параметров, определяющий тот или иной режим работы объекта;
СС - вектор выходных параметров модели, характеризующий
где вектор входных параметров, определяющий начальные и
учитываемые в данной модели внешние возмущения, вектор
- 5 -
'динамику рассматриваемого объекта.
Вводя в рассмотрение математическую модель функционирования объекта, предполагают взаимно однозначное соответствие между динамическими параметрами объекта и его модели. Будем предполагать в дальнейшем, что измеряемые динамические параметры объекта полностью определяют фазовый вектор ее модели.
Требования, накладываемые на динамику технического объекта при его проектировании и эксплуатации, приводят к ограничениям на динамические параметры его модели. Как правило, эти ограничения приводят, в свою очередь, к требованию принадлежности фазового вектора модели некоторой определенной области /\/ . Область
А/ определяется множеством траекторий модели, пороэденных всевозможными допустимыми возмущениями как начальными, так и постоянно действующими. Область д/ соответствует множествуоУ!/^ допустимых значений вектора состояния объекта. Принадлежность вектора
его правильного функционирования. Выход вектора состояния объекта
Возникает вопрос о выявлении причин нарушения работы объекта.
В некоторых технических объектах список возможных (штатных) неисправностей заранее известен. Это дает возможность построить модели, описывающие поведение объекта с одной из этих неисправностей. Тогда возникающая задача идентификации сводится к определению номера модели из заданного списка.
В настоящей работе предлагается оценивать номальное функционирование технического объекта с помощью использования информации о его векторе состояния. Во всех рассматриваемых ниже задачах предполагается, что отклонения системы, вызываемые постоянно действующими внешними возмущениями, существенно меньше отклонений, вызываемых начальными возмущениями. На примере линейных стацио-
состояния объекта области
необходимым условием
из области сА° говорит о неправильном его функционировании.
- 6 -
’ нарных систем обсуждаются вопросы построения областей достижимости и их оценки. Для решения сформулированных задач идентификации сконструированы два алгоритма - алгоритм распознавания системы из заданного списка и алгоритм оценки устойчивости системы по предъявляемым траекториям. Полученные результаты иллюстрируются несколькими примерами, имеющими механическую природу,
В литературе обсуждались отдельные вопросы, прямо или косвенно соприкасающиеся в рассматриваемыми ниже. Оценки правильности функционирования в рассматриваемой постановке связаны с качественной теорией дифференциальных уравнений, построением различных оценок их решений, построением областей достижимости траекторий по различным возмущениям, устойчивостью движения, методами построения функции Ляпунова, с задачей о максимальном отклонении.
Б.В.Булгаков первый пришел к необходимости постановки и решения задачи о накоплении возмущений в технике [3, 4, Задача о накоплении возмущений привлекала многих исследователей, например, Я.Н.Ройтенберга [в] , Л.С.Гноенского [7] , В.В.Александрова [ д] .
Как задача о максимальном отклонении так и более общая задача о построении и оценках множества достижимости траекторий тесно связана с теорией технической устойчивости [ 9] , [ К)] , а также с всевозможными оценками решений системы дифференциальных уравнений.
В самом деле, теория технической устойчивости базируется на следующих трех понятиях [ ю] множества Но начальных возмущений, множества ТГ значений моментов времени, множества/"/^) возмущенных движений системы на П5" . В постановке задачи о построении мнодатва достижимости так же как в определении технической устойчивости фигурируют множества Но начальных возмущений и множество г значений времени, являющиеся заданными.
- 7 -
Заданным считается и множество Н (£) в определении технической устойчивости. Тогда как в задаче о построении множества достижимости область /-/(£) является искомой величиной.
Решение задачи о максимальном отклонении дает оценку множества достижимости рассматриваемой системы. В этом смысле задачи о вычислении максимального отклонения и о построении оценок облас ти фунщионирования являются частными для задачи о нахождении мно жества достижимости (В.И.Коробов [пЪ А.В.Лотов £12]). А.М.Фор-мальский рассматривал задачи о построении области достижимости траекторий системы по множеству возможных управлений [13] . В работах Ф.Д.Черноусько (например [14] ) вычисляются области достижи мости траекторий по множеству начальных возмущений.
Несмотря на различие в постановках задач о максимальном отклонении и о построении и оценках множества достижимости с одной стороны и о технической устойчивости с другой, методы исследования этих задач во многом схожи.
Основным методом исследования технической устойчивости является метод функций Ляпунова (Румянцев В.В. [15] ). При этом задача сводится к отысканию некоторой функции V (Х>Ь) переменных вектора состояния 2С (Ь) и времени £ , полные производные
которых в силу уравнений возмущенного движения обладают некоторыми определенными свойствами. Существуют методы построения функций Ляпунова в задаче устойчивости траекторий линейной системы на конечном интервале времени, например /Ю], [1б] , [17] . В диссертации метод построения функции Ляпунова использован для оценок множества достижимости.
Для оценок максимальных отклонений систем линейных дифференциальных уравнений можно использовать оценку их решений, полученных с помощью неравенств. При построении оценок решений уравнений как отмечает В.П.Червяков [18] возможны два подхода.
I. Единичные оценки, определяющие с той или иной степенью
- 8 -
точности для каждой данной системы уравнений некоторую единственную область возможных изменений координат.
2. Последовательность оценок с возрастающей степенью точности. Области возможного изменения координат системы, определяемые членами этой последовательности таковы, что область, определенная данным членом последовательности, меньше или равна области, определенной предьщущим членом* Наличие таких оценок позволяет (при условии сходимости к точным значениям оцениваемых величин), получить область сколь угодно близкую к истинной области изменения координат в данной конкретной задаче.
Вопросами оценок первого типа занимались Н.Д.Моисеев [19],
А.Д.Горбунов [”20, 21] , Чжан-Сы-Ин [22] , К.А.Карачаров и А.Г. Пилютик [23] , Б.С.Разумихин [24] , К.А.Абгарян [2б] и др. Примерами оценок второго типа являются оценки Ф.А.Михайлова [2б] или формулы аппроксимирующие решения с той или иной точностью (С.М. Алеферов [27] ).
Можно указать работы, в которых получены оценки отклонений с использованием расположения корней на комплексной плоскости (А.А.Фельдбаум [[28, 29] ; Л.С.Гноенский [30-32] , В.Н.Полоцкий [ЗЗ, 34] ). В работах В.Ш.Блоха [35], Е.Д.Якубович [Зб] , [37] описаны методы выбора параметров системы, обеспечивающих монотонное уменьшение начальных отклонений.
В рамках задачи о максимальном отклонении может быть осуществлен выбор таких экстремальных значений параметров, при которых достигается абсолютное максимальное отклонение. В этом плане целесообразно отметить работы В.В.Александрова и В.Н.Жер-моленко [38, 39] , А.Н.Голубенцева [40] , Э.М.Болычевцева и А.П.Борисова [41] . В.Ф.Демьянова и В.Н.Малоземова [42-45] .
Методы вычисления максимального отклонения, использующие теорию чувствительности, рассматриваются в работах В.Томовича
- 9 -
и М.Вукобратовича [46] , Е.Н.Розенвассера [47] , а также в трудах 1У Всесоюзного совещания по теории инвариантности и теории чувствительности автоматических систем [48] ♦
Понятия о синхронных функциях, которые в диссертации развиты для оценок областей достижимости и для построения алгоритмов распознавания систем, почерпнуты в статье В.Д.Иртегова [49] .
По динамике объектов, описываемых системами дифференциальных уравнений с антисимметричными перекрестными связями и, в частности, по динамике осесимметричных вращающихся в воздухе тел отметим работы [50-52, 57] •
Методы идентификации системы по измерениям ее вектора состояния достаточно широко представлены в научной литературе (см., например, работы [58, 59] )♦ Однако наиболее близкими по духу следует считать методы функционального диагностирования динамических систем, обсуждаемые в обзоре Л.А.Мироновского [2] . Распознавание линейных динамических систем по траекторным измерениям отражено в работах [бЗ-55] . В этих работах для целей распознавания используются, так называемые контрольные условия.
При этом вводятся дополнительные переменные, что повышает порядок исследуемой системы. Методы идентификации, предлагаемые в Ш главе диссертации, основаны на локальных свойствах траекторий линейных стационарных систем. Порядок исследуемой системы при этом не повышается.
Ццейными источниками работы следует считать статью И.Т.Бо-рисенка [бб] и статью [бб] , написанную в соавторстве с И.Т.Бо-рисенком и В.А.Самсоновым. В этих работах дается постановка задачи распознавания системы из заданного списка по предъявленной траектории и предлагаются алгоритмы решения этой задачи. В статье [60] задача распознавания решается для класса матриц систем с неустойчивым тривиальным решением. Сконструированные алгоритмы
- 10 -
решения задачи основаны на предельных свойствах траекторий таких систем. Помимо информации о траектории распознаваемой системы для работы этих алгоритмов неооходимо вычислить априори множества собственных векторов всех систем из заданного списка.
Цель работы. Целью проведенного исследования является построение простых алгоритмов, с помощью которых по измерениям текущих значений вектора состояния объекта можно оценить правильность или неправильность его функционирования.
Приложение. Полученные в работе алгоритмы построения и оценок множества достижимости, а также критерии правильности функционирования по существу относятся к теории линейных динамических систем, и могут быть использованы и в других областях, например, в технической диагностике.
Методика построения областей достижимости и их оценок использована в работе для вычисления максимального отклонения оси симметрии вращающейся ракеты от ее балансировочного положения.
Результаты работы по построению и оценкам областей достижимости могут быть также использованы при анализе точности регулируемых систем, при оценке справедливости линеаризации уравнений движения нелинейных систем, при оценке качества синтезируемого линейного управления.
Предложенный в работе алгоритм распознавания системы из заданного списка может быть применим для идентификации штатных режимов линейных динамических систем. Алгоритм оценки устойчивости системы по предъявленной траектории может найти свое применение при оценке правильности функционирования линейных динамических систем.
Свои области приложения могут найти разработанные в диссертации новые способы вычисления собственных векторов произвольных действительных матриц, алгоритм построения квадратичной функции
- Київ+380960830922