Проблемы качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список основных обозначений ............................... 4
ВВЕДЕНИЕ .................................................. 5
§1. Общая характеристика работы ........................... 5
§2. Краткий обзор современного состояния изучаемых
в диссертации проблем ................................ В
§3. Краткое содержание диссертации ....................... 14
Глава I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ОПИСАНИЕ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ
ВНУТРИ ОБЛАСТИ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ................... 18
§1. Описание рассматриваемого класса динамических
систем с ударными взаимодействиями .................... 18
§2. Изучаемые типы локальных особенностей динамических
систем с ударными взаимодействиями .................... 22
§3. Изучение локальных особенностей первых трех типов .... 24
§4. Изучение локальной особенности четвертого типа ....... 29
§5. Дифференциальные уравнения вспомогательных
скользящих движений.................................... 32
§6. Некоторые применения полученного описания
бесконечноударных движений............................. 44
Выводы главы............................................ 55
Глава И. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ГРАНИЦА ОБЛАСТИ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ
ДВИЖЕНИЙ ......................................... 57
§1. Уравнения движения ................................... 57
§2. Изучение локальной особенности пятого типа............ 59
§3. Изучение локальной особенности шестого типа.......... 100
§4. Область бесконечноударных движений и ее граница. Способ численного изучения динамических систем с ударными
взаимодействиями ..................................... 124
Выводы главы............................................. 125
Глава III. ОСНОВНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ
ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ ............................... 126
§1. Уравнения движения рассматриваемой системы .......... 126
3
§2. Описание фазового пространства ........................... 128
§3. Сведение задачи к рассмотрению точечного отображения ----- 129
§4. Некоторые особенности точечного отображения .............. 130
§5. Периодические движения ................................... 132
§6. Структура пространства параметров ........................ 135
§7. Расчет безразмерной средней скорости
вибротранспортирования .................................... 139
Выводы главы.................................................. 141
Глава IV. ПОДСЧЕТ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ
ВИБРОТРАНСПОРТИРОВАНИЯ .............................. 143
§1. Уравнения движения ....................................... 143
§2. Методика расчета средней скорости вибротранспортирования 144
§3. Результаты расчетов ...................................... 144
Выводы главы.................................................. 147
Глава V. ОСНОВНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА БЕЗ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ
С НЕПОДВИЖНЫМ ОГРАНИЧИТЕЛЕМ ......................... 149
§1. Уравнения движения ....................................... 149
§2. Фазовое пространство осциллятора с предварительным
натягом ................................................... 151
§3. Точечное отображение осциллятора с предварительным
натягом ................................................... 152
§4. Особенности точечного отображения осциллятора
с предварительным натягом ................................. 152
§5. Структура пространства параметров осциллятора
с предварительным натягом ................................. 161
§6. Фазовое пространство осциллятора с зазором................ 165
§7. Точечное отображение осциллятора с зазором ............... 165
§8. Особенности точечного отображения осциллятора с зазором .. 166
§9. Структура пространства параметров осциллятора с зазором . 171
Выводы главы................................................. 174
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................... 175
Литература.................................................... 178
Таблица..................................................... 191
Рисунки ...................................................... 192
4
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
В диссертации используются следующие обозначения:
(хи #2,... ,хп) - точка п — мерного евклидова векторного пространства Ип;
t - время;
функция /(«!,...,»») или векторная функция (Л(®Ь..М /г(яь...,жп)) принадлежит классу Ст(5)(либо классу Ст), если она имеет во внутренности некоторого множества Б, на котором она рассматривается, все частные производные до порядка т включительно, непрерывные на замкнутом множестве ели т = 0, то под частными производными порядка т, естественно, подразумевается сама функция /);
для любых функций Н(хь... ухя) и /(жь* * * ,£*-0 запись Л
обо-
Гі=а
значает функцию . ма»)> а /і
/
Мо
= Л(*?» - - - »*») и
л*
= если М0 *°);
%
% А А А
ддп
дхі
% А А А
• А 0 А
- определитель соответствующей
матрицы;
1,'л == 1,2,3,..., п;
для любой функции ж(£) дифференцирование по времени обознача-
ется
. сРж „ агх т
{(«!,... ,жЛ)|/;(«1 ,= 0, г = 1,/г} - множество точек пространства удовлетворяющих перечисленным условиям;
В\А - разность множеств В и А (т.е. множество точек, входящих в В и не входящих в А).
5
ВВЕДЕНИЕ
§1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы.
В различных областях современной техники широко используются устройства с соударяющимися элементами. Они применяются в машиностроении, строительстве, в горной, лесной, пищевой промышленности, в металлургии, при механизации различных работ в сельском хозяйстве и т.д.
Изучение динамических систем, описывающих функционирование таких устройств, проводилось в значительном числе работ, авторы которых - В.И.Бабицкий, Н.Н.Баутин, Й.И.Влехман, В.Ф.Журавлев, A.A. и А.Е.Кобринские, М.З.Коловский, Э.Э.Лавендел, Р.Ф.Нагаев, Ю.И.Неймарк, К.М.Рагульскис, М.И.Фейгин, C.N.Bapat, P.J.Holmes,
S.F.Masri, F.Peterka, S.W.Shaw и многие другие.
Однако построение качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями происходило фрагментарно, хотя необходимость такого подхода была осознана после работ А.А.Андронова.
К тому же, изменившиеся представления о возможностях динамики систем (в частности, о наличии у них хаотических движений), бурное развитие вычислительных методов позволяют с иной точки зрения посмотреть на конкретные динамические системы, положенные в основу всей теории виброударных систем. Такой подход в сочетании с исследованиями качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями приводит к новым интересным закономерностям и выводам, имеющим важное значение для практики.
Цель работы состоит в исследовании локальных качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, а также в изучении (с помощью полученных при этом исследовании результатов) установившихся движений ряда конкретных систем, составляющих основу теории виброударных систем.
Методы исследования.
Исследования проводились методами теоретической механики и качественной теории дифференциальных уравнений на основе применения метода точечных отображений. При доказательстве утверждений о структуре фазового пространства использовался также ряд результатов
6
функционального анализа. При изучении конкретных систем привлекались численные методы исследований на ЭВМ.
Новые научные результаты.
В диссертации впервые:
-выделяются 6 типов локальных особенностей, наиболее часто возникающих в динамических системах с ударными взаимодействиями;
-предлагается описание первых 4-х и 6-ого выделенных типов, достаточное для установления топологической эквивалентности особенностей одного и того же типа, доказывается теорема о структуре фазового пространства в окрестности локальной особенности Б-ого типа.;
-дается описание бесконечноударных движений динамических систем с ударными взаимодействиями с помощью гладких дифференциальных уравнений;
-изучается в целом пространство параметров ряда конкретных виброударных систем на базе введенного понятия основных установившихся движений;
-указываются закономерности поведения (при изменении параметров системы) средней скорости виброперемещения, оптимальной по углу вибраций.
Достоверность полученных результатов основана на строгом и обоснованом применении математических методов, на сравнении результатов компьютерного моделирования с теоретическими выводами.
Практическое значение работы.
Полученные в работе теоретические результаты могут быть использованы при аналитическом и численном исследовании конкретных систем с ударными взаимодействиями.
Рассмотренные в работе конкретные виброударные системы представляют собой модели, принятые для описания процессов виброперемещения, вибротранснортирования, вибробункеризации, вибросепарации, пневмовибротранспорта и т.п., и поэтому полученные при изучении упомянутых систем результаты могут быть использованы при выборе рабочих режимов для этих процессов.
Созданный (на основе полученных теоретических результатов) автором диссертации программный комплекс [Г15] позволяет численно изучать динамику конкретных виброударных систем.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались автором на: VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва,
7
1991), II Всесоюзном съезде по теории машин и механизмов (Одесса, 1982), XXI Всесоюзной летней школе ученых механиков по анализу и синтезу механических колебательных систем (Даугавпилс, 1991), Международном коллоквиуме механиков Euromech 295 ’’Wave processes in machinery and structures” (Нижний Новгород, 1992), Всесоюзном семинаре ’’Автостохастические явления и системы” (Горький, 1980), Расширенных семинарах по теории машин и механизмов на тему ’’Динамика виброударных систем” (Москва, 1981, 1984), II конференции молодых ученых факультета Вычислительной математики и кибернетики и НИИ Прикладной математики и кибернетики Горьковского госунивер-ситета (Горький, 1979), научной конференции молодых ученых Волго-Вятского региона (Горький, 1985), I, II Всесоюзных и III - V конференциях ’’Нелинейные колебания механических систем” (Горький, 1987, 1990 и Н.Новгород, 1993, 1996,1999), Всесоюзной научно-технической конференции ”Вибрация и вибродиагностика. Проблемы стандартизации” (Горький, 1988), II и III Всесоюзных конференциях ’’Новые подходы к решению дифференциальных уравнений” (Дрогобыч, 1989, 1991), IV научно-технической конференции ’’Динамика станочных систем гибких автоматизированных производств” (Нижний Новгород, 1992), Итоговых научных конференциях Горьковского госу ни вереи тета (1977, 1978, 1980, 1985, 1986, 1987, 1989), семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ленинградского госуниверситета (1982), Всесоюзном семинаре ’’Динамика распределенных систем” (Горький, 1990), семинарах лаборатории мех.-мат. методов исследований института Механобр (Ленинград, 1982, 1990), руководимом В.Ф.Журавлевым и Д.М.Климовым семинаре ИПМ АН СССР (Москва, 1991) и др.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ГЗ -
Г25].
Структура и объем работы.
Диссертация занимает 212 страниц. Она состоит из списка основных обозначений, введения, пяти глав, заключения, 31 рисунка, таблицы и списка литературы, включающего 166 наименований.
Примечание к диссертации.
В диссертации используются результаты работ (ГЗ -Гб), проведенных совместно с профессором Ю.И.Неймарком. При выполнении работ [ГЗ, Г5] Ю.И.Неймарком была осуществлена постановка задачи. При проведении работы [Г4] Ю.И.Неймарком были предложены: идея описания бесконечноударных движений дифференциальными уравнениями и ите-
8
рационный процесс для отыскания правых частей этих уравнений. При выполнении работы [Гб] Ю.И.Неймарком была высказана идея сужения пространства параметров системы выбором таких параметров, которые доставляют максимум средней скорости вибротранспортирования.
Соискателем в этих работах были сформулированы утверждения, проведены доказательства и получены численные результаты.
§2. КРАТКИЙ ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗУЧАЕМЫХ В ДИССЕРТАЦИИ ПРОБЛЕМ
Изучаемые в диссертации динамические системы с ударными взаимодействиями охватываются понятием кусочно-гладких динамических систем. Под последними имеются в виду [Н7] системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с кусочно-гладкими правыми частями. По достижении многообразий разрыва фазовые переменные таких систем могут изменяться как непрерывно, так и скачками. Первая возможность реализуется, в частности, при рассмотрениии разнообразных систем управления движением (систем с переменной структурой, релейных систем и т.п.), а вторая - при описании систем с ударными взаимодействиями, а также иных систем с толчками. Изучение кусочногладких динамических систем проводилось в большом количестве работ (см., например, работы [А6 - А8, Б1, Б4, Б7, В4, Ж2 - Ж5, Й1, КЗ, К4, Л1, М5, Н1, Н2, Н7, Н8, С1, С2, Т1, Т2, У1, Ф9, Ф10, Ц1] и библиографию в них). Эти исследования посвящены, в основном, определению и условиям существования решений в таких системах, изучению их свойств, устойчивости, наличию и исследованию определенных режимов движения кусочно-гладких динамических систем, переходным режимам и установившимся движениям таких систем.
Однако программа качественного анализа, реализованая при изучении гладких динамических систем (рассмотрение локальных качественных особенностей, периодических, хаотических и иных движений, их бифуркаций [А1 - А5, Б2, БЗ, Н8 - НЮ, А9, АН - А14, Н13, XI, Х2 и др.]), для кусочно-гладких динамических систем в полной мере не выполнена. Так для кусочно-гладких динамических систем с непрерывным изменением переменных выяснена качественная структура фазового пространства малых окрестностей точек определенного типа [Н11, Н12, Н7, Ф10 и др.]. Бифуркации периодических движений таких систем изучались в работах [Н9, Н8, Н11, Н12, Б10, Ф4 - Ф6, Г26, Г27, Ф9 и др.],
9
в которых классифицируются бифуркации, связанные с наличием многообразий разрыва, изучены достаточно подробно некоторые типы бифуркаций, указаны возможные случаи появления в результате таких бифуркаций хаотических движений. Изучались бифуркации периодических движений кусочно-гладких динамических систем с непрерывным изменением переменных и при исследовании конкретных систем [А1, А6 - А8, Б9, Ж1, К1, К2, Т1 и др.].
Для кусочно-гладких динамических систем со скачкообразным изменением переменных на многообразиях разрыва в плане изучения качественных особенностей известно не столь много. Так для динамических систем с ударными взаимодействиями до последнего времени систематическое рассмотрение локальных качественных особенностей отсутствовало. Хотя особенности таких систем, связанные с наличием бесконечноударных движений (движений с бесконечным числом ударных взаимодействий за конечный промежуток времени, которые возможны в силу общепринятою описания ударных взаимодействий), были хорошо изучены. На практике бесконечноударным движениям соответствуют режимы движения с достаточно большим числом ударов, после чего соударяющиеся тела движутся как единое целое.
В общей теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием подобные движения получили название ’’явление биения” и изучались в работах [С1, С2, А10 и др.]. Аналогом для бесконечноударных движений в системах управления движением (системах с непрерывным изменением переменных) является поведение таких систем во время режимов с учащающимися переключениями [Ф14, Б8, 31 и др.], на которых управление претерпевает бесконечное число переключений за конечное время, а также поведение во время скользящих движений [Д2, Н14, Н7, ФИ, У1 и др.], когда реально происходит довольно большое число переключений управляющих элементов с одного режима работы на другой, а при теоретических рассмотрениях вводится понятие скользящих движений по некоторым многообразиям.
Существование бесконечноударных движений в системах с ударными взаимодействиями было известно еще В.Д.Мак-Миллану, который в 1936 году в своей книге (перевод ее [М1] появился много позже) привел задачу о падении упругого шара. Однако, интенсивное изучение бесконечноударных движений началось только после работы [Ф7], в которой указаны достаточные условия существования бесконечноударных движений для динамических систем общего вида с ударными взаимодействиями. В работе [НЗ] для одной частной системы исследуются бесконечно-
10
ударные движения. В работах [Н4, Н5] для систем общего вида с ударными взаимодействиями предлагается описание в виде некоторых рядов для бесконечноударных движений и для границы области существования бесконечноударных движений. Ряд работ [Д1, Кб, К7, Н6, Ф1, Ф2, Ф9 и др.] посвящен методам изучения бесконечноударных движений в окрестности границы области их существования, различным методам нахождения границ области существования бесконечноударных движений и периодических решений с участком бесконечноударных движений, а также исследованию характеристик бесконечноударных движений для ряда конкретных систем. В работах (Г4, Г21, Г22] для динамических систем с ударными взаимодействиями общего вида предлагается описание бесконечноударных движений с помощью гладких дифференциальных уравнений внутри и на самой границе области существования бесконечноударных движений, что позволило при решении вопроса о бифуркациях режимов движения с участком бесконечлоударных движений непосредственно применять хорошо развитый метод точечных отображений [Н7, Н8, Б12, Н15].
Необходимо отметить монографию [Н2], в которой кроме ряда отмеченных выше результатов нашло отражение также и аналитическое описание бесконечноударных движений в системах с кулоновым трением, в системах с несколькими ударными парами, в системах с дополнительными односторонними связями.
В плане изучения локальных качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями сделано следующее. В работе [Д1] для конкретной системы, а в [ФЗ] для неавтономной динамической системы общего вида с прямым ударом, описываемым гипотезой Ньютона, устанавливается структура фазового пространства в окрестности точки на поверхности 5 = 0 удара, в которой первая и вторая производные функции 5 (в силу дифференциальных уравнений движения) равна нулю, а третья - положительна (движение системы происходит в области 5 > 0). В работах [Г7, Г8, ПО, Г13, Г17, Г22, Г25] для динамических систем с ударными взаимодействиями общего вида: классифицируются локальные особенности; устанавливается структура фазового пространства малых окрестностей точек, лежащих на многообразии 5 = 0 удара, в которых одна из производных вплоть до третьего порядка функции 5 в силу дифференциальных уравнений движения отлична от нуля, а все предыдущие равны нулю; устанавливается топологическая эквивалентность соответствующих локальных особенностей; формулируется метод численного анализа таких систем. При этом в отличие от работ [Д1, ФЗ]
11
в [Г7] при изучении локальной особенности, рассмотренной в [Д1, ФЗ], устанавливается еще и гладкость функции, которая определяет границу области бесконечноударных движений, и поведение бесконечноударных движений вблизи и на самой этой границе.
Начало систематическому изучению бифуркаций периодических движений динамических систем с ударными взаимодействиями было положено работами [Н9, Н8], в которых такое изучение (для более общего класса кусочно-гладких динамических систем) сведено к рассмотрению бифуркаций неподвижной точки эквивалентного точечного отображения, перечислены условия, вызывающие бифуркации периодических движений (в том числе, обусловленные наличием многообразий разрыва правых частей системы).
Начавшееся затем изучение сложного характера движений в гладких динамических системах [СЗ, Н16, Н13 и др.) привело к необходимости более детального рассмотрения бифуркаций периодических движений динамических систем с ударными взаимодействиями. Существенную роль при этом сыграли исследования [Л2, Ш1] непрерывного одномерного (переводящего прямую в прямую) точечного преобразования, из которых следовала возможность появления в результате бифуркаций (даже для динамической системы малой размерности) многократных неподвижных точек и притягивающих множеств, без устойчивых многократных неподвижных точек. Поэтому в работе [Ф4] выделены условия удвоения периода колебаний при бифуркации, связанной с касанием периодическим движением поверхности удара. В [Ф5] указывается на возможность рождения семейств периодических движений в результате такой бифуркации периодического решения.
В [ФЗ) перечисляются бифуркации, которые возможны в системах с ударными взаимодействиями у периодических движений с участком бесконечноударных движений. В [Ф8] доказывается неустойчивость периодического движения с ударом, рождающегося при бифуркации касания периодическим движением поверхности удара. В [N01] указывается на сложный характер движений, возникающих при такой бифуркации. В [Й2] реализуется новый подход к изучению такой бифуркации, связанный с видоизменением постановки задачи.
В [Г11, Г14, Г16] описывается бифуркация периодического движения, содержащего участок бесконечноударных движений, лежащий на границе области существования бесконечноударных движений. Бифуркация исследуется на примере одной частной системы и представляет собой новый механизм возникновения хаотических движений. При ис-
12
следовании гладких динамических систем изучению таких механизмов в последнее время уделяется особенное внимание, благодаря чему стали известны следующие пути возникновения хаотичности гладких систем: последовательность бифуркаций кратных увеличений периода [Fel]; бифуркации в системе с гомок лини ческой кривой состояния равновесия типа седло-фокус [П14] ; бифуркации в системах с негрубой гомоклинической кривой [Г1] ; бифуркации квазипериодических движений [Р2]; перемежаемость [Mal].
Как и при изучении кусочно-гладких динамических систем с непрерывным изменением переменных, при исследовании динамических систем с ударными взаимодействиями в традиционно большом числе работ [В1, Б4, В4, Д1, Ж2 - Ж5, КЗ, К4, Л1, ÏÏ2, 116, Bai, Dal, Mol, Pol, Sh2, Sh5 и многих других] проводится анализ динамики конкретных систем. В их среде значительное место занимает анализ движений простейших систем, например, осциллятора, перемещение которого ограничено одним или двумя упорами, о которые возможны соударения [Б1, Б6, Б7, В4, Ж2 - Ж4, КЗ, К4, Hl, Н2, Ва2 - Ва4, Isl, Kol, Ко2, Ма2, МаЗ, Мо2, Ngl, Ng2, Pel - Ре5, Shl, Sh3, Sh4, Thl и др.]. В этих работах предлагаются методы анализа систем с ударными взаимодействиями, а также в результате натурных экспериментов, численного счета или аналитических исследований изучается наличие и устойчивость периодических движений с одним или несколькими ударами на периоде, с участками бесконечноударных движений. Последнее время особое внимание стало уделяться изучению хаотических движений таких систем [В2, ГЗ, Гб, Г11, Ва4, Biil, Hel, Hol, Isl, Mol, Mo2, Nol, Pe3, Pe5, Shl, Sh4, Sh5, Thl, Tul и др.].
Однако по сравнению с анализом конкретных кусочно-гладких динамических систем с непрерывным изменением переменных, где удается для простых систем достичь полной ясности при изучении качественной структуры и ее зависимости от параметров [А6 - А8 и др.], здесь ситуация иная даже для простых модельных систем с соударениями (очевидно, ввиду множественности режимов движения в последних системах). Примером может служить задача о движении тяжелой частицы на вибрирующей наклонной плоскости, которая является одной из основных в теории виброперемещения. Ее исследование, начатое Г.Линднером в 1912 году, проводилось в целом ряде монографий [Б7, Н1 и др.] и статей [Б5, Б11, Б13, В2, ВЗ, Г28, КБ, К7, М2, Ва4, Hol, Tu 1 и др.] (см. также обширную библиографию в [Б7 и Н1]). К настоящему времени виброперемещение без подбрасывания достаточно полно изучено [Б7, Б11, Н1 и др.].
13
В более сложной задаче о вибротранспортировке с подбрасыванием такое полное исследование отсутствует. До появления работы [В2] при рассмотрении движения частицы но наклонной плоскости, совершающей прямолинейные гармонические колебания, были изучены [Б7, Hl, К7) периодические движения периодов, кратных периоду колебаний плоскости: с одним, двумя ударами на периоде, а также с одним, двумя ударами до попадания в область бесконечноударных движений.
В работе [В2] в результате численного счета обнаружено существование движений, не похожих на периодические, и отмечена их высокая эффективность. В работе [ГЗ] описываются основные установившиеся движения движения с подбрасыванием частицы на вибрирующей по гармоническому закону наклонной плоскости, изучены их области существования и притяжения. Установлено наличие гомоклин и ческих структур, показана эффективность для процессов вибротранспортировки хаотических движений или периодических режимов с участком бесконечноударных движений и большим числом ударов, предшествующих такому участку.
В работах [Hol, Tul, Ва4] исследуется частный случай рассматриваемой задачи вибротранспортирования - движение шара над горизонтальной, колеблющейся в вертикальном направлении плоскостью. Авторы этих работ, не будучи, очевидно, знакомы с [ГЗ], повторяют ряд ее результатов. Кроме того, в [Hol] часть найденных хаотических движений топологически описывается; в [Tul] представляются результаты экспериментов, иллюстрирующих путь к хаосу через каскад бифуркаций удвоения; в [Ва4] изучаются возможности исследования движений в рассматриваемой задаче с помощью упрощенной модели. Следует также отметить, что на [Hol] в зарубежных исследованиях ссылаются как на первую работу, посвященную хаотическим движениям систем с ударными взаимодействиями.
В работе [Evl] изучаются хаотические движения шара над горизонтальной, колеблющейся в вертикальном направлении плоскостью, с помощью упрощенной модели для этой механической системы.
В работе [Гб] формулируются закономерности поведения (при изменении параметров задачи) средней скорости вибротранспортирования вдоль наклонной плоскости. Даются рекомендации по выбору параметров, обеспечивающих максимальную скорость вибротранспортирования.
При изучении задачи о вибротранспортировании выделяется система, описывающая движение частицы по нормали к вибрирующей плоскости. Эта система представляет собою осциллятор, предельно упрощен-
14
ный, с одним ограничителем движения. Если такую систему несколько усложнить, рассматривая осциллятор без вязкого трения, то получится система, описывающая движения, например, виброударника. Изучению последней системы также посвящено большое число работ [Р1, ББ, А15, Ф2, Б1, В4, Bul, Kol, Ко2, РеЗ - Реб, Whl и др.]. В пространстве параметров соответствующей системы были найдены области существования безударных движений [В5], области существования и устойчивости периодических движений с одним ударом за период (при коэффициенте R восстановления нормальной составляющей скорости не равном нулю) [Б5, А15, Б1, Pel, Whl] и ряда других возможных периодических движений (при R = 0)[Б5], одна из границ существования периодического движения с одним ударом после чего фазовая точка попадает в область бесконечноударных движений [Ф2].
В работе [РеЗ] подробно изучаются (для указанной системы) движения случайного характера в области неустойчивости периодического движения периода вынуждающей силы с одним ударом на периоде. В [Kol] исследуются двухударные периодические движения и их устойчивость. В [Ре4] для двух значений коэффициента восстановления изучается ряд установившихся движений и их области притяжения. В работе [Ко2] анализируется устойчивость ряда многоударных периодических движений. В [Реб] рассмотрены два возможных механизма перехода к хаотическим колебаниям и для одного значения коэффициента восстановления ряд возможных периодических движений. В работе [Bul] рассмотрена бифуркация , связанная с тем, что периодическое движение касается поверхности удара, описываются возникающие при этом установившиеся движения.
В работах [Г11, Г23] для указанного осциллятора без вязкого трения с предварительным натягом или зазором изучается в целом пространство параметров на базе выделения основных установившихся движений, имеющих наибольшие области притяжения в фазовом пространстве системы. Указаны основные установившиеся движения, имеющие значительные области существования в пространстве параметров.
§3. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В диссертации изучаются локальные особенности динамических систем с ударными взаимодействиями и основные установившиеся движения ряда конкретных виброударных систем.
15
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Главы I - II посвящены выделению и исследованию шести типов локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, описанию бесконечноударных движений с помощью гладких дифференциальных уравнений. В главах III - IV изучаются основные установившиеся движения одной системы из теории виброперемещения и закономерности поведения средней скорости вибротрансиортирования при изменении параметров задачи. В главе V исследуются основные установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с неподвижным ограничителем и с предварительным натягом или с зазором. Каждая глава завершается выводами из полученных в ней результатов.
В главе I вводятся в рассмотрение шесть типов локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, и изучаются первые четыре выделенных типа особенностей. В §1 дано описание рассматриваемого класса динамических систем с ударными взаимодействиями и обоснование выделения именно такого класса. В §2 определяются 6 типов локальных особенностей, которые в дальнейшем изучаются в диссертации. В §3 доказываются утверждения о структуре фазового пространства и топологической эквивалентности (при соответствующих условиях) малых окрестностей первых трех выделенных типов локальных особенностей. В §4 — §6 исследуется локальная особенность четвертого выделенного типа. В §4 вводится в рассмотрение некоторое точечное отображение и доказываются достаточные условия существования бесконечиоударных движений. В §5 доказывается теорема об описании бесконечноударных движений вспомогательными гладкими дифференциальными уравнениями, указывается сходящаяся итерационная процедура для их отыскания. §6 посвящен примерам использования полученного описания бесконечноударных движений. Здесь: находятся предельные значения бесконечноударных движений; рассматриваются бифуркации периодических решений, включающих участок бесконечноударных движений, происходящие при изменении коэффициента восстановления нормальной составляющей скорости от нуля; для одной частной задачи численно исследуются бесконечноударные движения; доказывается при соответствующих условиях топологическая эквивалентность локальных особенностей четвертого типа.
В главе II изучаются локальные особенности пятого и шестого выделенных типов. В §1 уравнения движения рассматриваемого класса динамических систем приводятся к виду, более удобному для предстоящих исследований. В §2 доказывается теорема о структуре фазового простран-
16
ства изучаемых динамических систем в малой окрестности локальной особенности пятого выделенного типа. Дается описание (с помощью гладких дифференциальных уравнений) бесконечноударных движений в малой окрестности особенности пятого типа как на границе области существования бесконечноударных движений, так и внутри этой области. В §3 доказывается теорема о структуре фазового пространства рассматриваемых систем в малой окрестности локальной особенности шестого выделенного типа. Бесконечноударные движения этой окрестности описываются с помощью гладких дифференциальных уравнений. Доказывается при соответствующих условиях топологическая эквивалентность локальных особенностей шестого типа. В §4 дается определение области бесконечноударных движений, которое затем используется для классификации движений конкретных виброударных систем. Формулируется один способ численного исследования таких систем.
В главе III изучаются основные установившиеся движения одной задачи из теории ви бр опер емещен и я. В преамбуле главы предлагается определение таких движений, которое в дальнейшем используется. В §1 приводятся уравнения, которым подчиняется движение рассматриваемой динамической системы. §2 посвящен описанию особенностей структуры фазового пространства системы. В §3 - §6 изучается система, описывающая движение частицы в направлении, нормальном к вибрирующей плоскости. В §3 задача об изучении движений в такой системе сводится к исследованию точечного отображения Т. В §4 устанавливается ряд особенностей отображения Г, которые в дальнейшем используются. В §5 рассматриваются периодические точки отображения Ту а также некоторые их бифуркации. Обнаружено наличие в системе гомоклинических структур, образованных сепаратрисами седловых неподвижных точек. В §6 на основании результатов численных экспериментов на ЭВМ делаются выводы о структуре пространства параметров, о характере установившихся движений, об их областях притяжения. В §7 приводятся результаты численного счета средней скорости виброперемещения вдоль плоскости при условии, что для описания изменения касательных составляющих скорости при ударе используется "гипотеза сухого трения”. Описываются закономерности поведения средней скорости вибротранспортирования в зависимости от изменения параметров системы.
В главе IV подсчитывается средняя скорость вибротранспортирования, оптимальная по углу вибраций. В §1 приводятся уравнения движения рассматриваемой системы. В §2 описывается методика подсчета средней скорости вибротранспортирования. В §3 указываются законо-
17
мерности поведения (ігри изменении параметров) средней скорости виброперемещения, оптимальной по углу вибраций. Даются практические рекомендации для увеличения средней скорости виброперемещения.
В главе V найдены основные установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с неподвижным ограничителем. В §1 уравнения, описывающие движения такого осциллятора, приводятся к наиболее удобному для дальнейших рассмотрений виду. В §2 и §6 описываются особенности фазового пространства осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно. В §3 и §7 изучение соответствующих динамических систем сводится к рассмотрению соответствующих точечных отображений. В §4 и §8 для осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно, доказана диссипативность и наличие яри определенных условиях периодического движения с одним ударом, после которого фазовая точка попадает в область бесконечноударных движений. В §5 и §9 для осциллятора с предварительным натягом и с зазором, соответственно, описана структура пространства параметров на базе выделения основных установившихся движений и указания тех из них, которые имеют значительные области существования в пространстве параметров.
В заключении диссертации приводятся основные результаты, выносящиеся на защиту, с указанием тех разделов диссертации, где они получены. Также формулируется ряд нерешенных задач качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями, примыкающий к изученным в диссертации проблемам.
18
ГЛАВА I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ОПИСАНИЕ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Данная глава посвящена описанию рассматриваемого класса динамических систем с ударными взаимодействиями, выделению шести типов локальных особенностей таких систем и изучению особенностей первых четырех типов.
Основные результаты главы I опубликованы в работах [Г4, Г7, Г8, Г10, Г13, Г17, Г25].
§1. ОПИСАНИЕ РАССМАТРИВАЕМОГО КЛАССА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
Предполагается, что мгновенные ударные взаимодействия происходят на гиперповерхности хп = 0, по достижении которой фазовые переменные *1, ж2,..., меняются скачкообразно ( переменная хп остается равной нулю ) в соответствии с формулами
*1 = = *ГЯи(жГ,--•,*»-!),
Я,-= Я<(®г, •••>*»- 1) = *Г + *Г#1*(*Г> -*-»**-1)* (1-1.1)
» = 2,п — 1,
а при хп > 0 изменение фазовых переменных подчиняется дифференциальным уравнениям вида
■ £х. ___________________________
^ = хп = Фп(хи..., хп) = С1*1*2)
Фазовое пространство системы составляют точки (жь... %хп-и хп > 0). В соотношениях (1.1.1): ж]",...,ж~_1 и Жь...,жл_1 - соответственно доударные и послеударные значения переменных.
На протяжении всей работы предполагается, что всякий раз при использовании уравнений (1.1.1), (1.1.2) выполняются следующие условия: -1 < Яц(0,ж?,...,$“_!) < 0; Яц(жГ,ж7,...,ж".1) < 0; Фпг(хи
19
..., жп-.1,0) >0; < - время. В главе I: функции #1/, з = 1 ,п - 1,
определены и являются гладкими класса Ст, га > 3, в малых окрестностях точек < 0,»2 )••*>*»-]) пространства Я*"1, а функции Ф;-,= = 1 ~п - 1, ФлЬ ФПЛ определены и являются гладкими класса Ст в малых окрестностях точек (хг,... ,хп-ихп > 0) пространства К1.
Следует отметить, что специфический вид уравнений (1.1.2) и условие типа неравенства на функцию Фп 1 означает лишь, что:
1) на гиперповерхности хп = 0, согласно (1.1.2),
%п = Фя1(^1» • »« ) Хп—1» 0)> (1.1.3)
2) поэтому [Н7] фазовые траектории системы (1.1.2) при 21 = 0 касаются гиперповерхности хп — 0, при возрастании времени t они выходят из точек (#1 > 0,яг,..хп-1>Яп = 0) , а при уменьшении г - из точек (х\ < 0, .. • ,яЛ_1,0) (рис. 1.1). На рис. 1.1 сплошными линиями обозначены траектории системы (1.1.2), а пунктирными линиями соединены точки и их образы при отображении (1.1.1).
Указанный вид (1.1.1) ударных взаимодействий подразумевает лишь, что при достижении гиперповерхности хп = 0 фазовой траекторией со скоростью изменения последней переменной равной хп = 0 ударные взаимодействия не меняют значений фазовых переменных (т.к. в силу (1.1.3) условие хп = 0 влечет равенство х\ = 0), а условия в виде неравенств на функцию Нц означают потерю абсолютной величины скорости изменения переменной хп после ударных взаимодействий.
Поэтому к указанному виду (1.1.1) - (1.1.2) приводятся уравнения движения многих механических систем с одной ударной парой, ударные взаимодействия которой описываются в рамках стереомеханической теории удара:
1) прямым соударением, подчиняющимся гипотезе Ньютона;
2) косым соударением, когда изменение касательных составляющих скорости подчиняется так называемой [Б1, К4, Н1] гипотезе ” сухого трения’*.
При этом, естественно, предполагается, что на движение системы не влияют дополнительные нелинейности типа кулонова трения, люфт и т.п., которые приводят к нарушению гладкости правых частей дифференциальных уравнений (1.1.2), описывающих движение в промежутках между ударными взаимодействиями.
Кроме того, вид (1.1.1) ударных взаимодействий обобщает гипотезу Ньютона или ’’сухого трения” на случай, когда, коэффициент восстановления или иные коэффициенты гипотезы не являются постоянными, а