О движении мяча по травяному газону

Оглавление
Введение 4
1 Движение гладкого мяча по стержневому газону 25
1.1 Моделирование механической системы "мяч-газон". Постановка задачи............................................25
1.2 Вычисление сил ударных реакций со стороны стержней,
действующих на поверхность мяча.......................30
1.3 Силы, обусловленные деформацией стержней..............34
1.4 Уравнения движения....................................38
1.5 Частные режимы движения: качение по горизонтальной
плоскости, качение по наклонной плоскости, вертикальные колебания. Отыскание стационарных движений, исследование их устойчивости............................39
2 Движение мяча с шероховатой поверхностью по стержневому газону 50
2.1 Учет рассеяния энергии при скольжении концов стержней по поверхности мяча....................................50
2.2 Модели сил трения.....................................55
2.3 Уравнения движения для модели линейного вязкого трения........................................................60
2
Оглавление
2.4 Уравнения движения для модели сухого трения..........65
3 Движение шероховатого мяча по газону с учетом внутренних вязких сил при деформации стержней 71
3.1 Уравнения движения с учетом вязкости стержней.........71
3.2 Изменение формы пятна контакта....................... 76
Заключение 85
Литература
86
Введение
В настоящей работе рассматривается динамика механической системы переменного состава, состоящей из массивного однородного изотропного мяча с недеформируемой сферической поверхностью, движущегося по так называемому газону, который моделируется непрерывным однородным множеством вязкоупругих достаточно жестких стержней с нижними концами, закрепленными в опорной плоскости, и свободными верхними.
Долгое время механика не касалась вопросов деформации при взаимодействии твердых, упругих и вязкоэластичных тел. Исследование сил и моментов, возникающих при таком взаимодействии, сводилось к изучению точечного контакта или контакта по поверхности прилегания (например, в случае плоскопараллельного движения пластинки).
Основы механики контактного взаимодействия были заложены в работах Генриха Герца, опубликованных в 1881-1882 гг. В статьях [75), (76) Герц исследовал статическую задачу о контакте двух осесимметричных упругих тел с искривленными поверхностями. В основу контактной теории были заложены следующие предположения: материал соприкасающихся тел в зоне контакта однороден и следует закону Гука; линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с ради-
4
Введение
усом кривизны и линейными размерами соприкасающихся поверхностей в окрестности точек контакта; силы трения между соприкасающимися телами пренебрежимо малы. Одним из основных результатов исследования является так называемый закон Герца распределения напряжений сг(г) = 2х7^Д — дь где Я - радиус пятна контакта, N -сжимающая сила, а г - радиус-вектор элементарной площадки внутри зоны контакта.
Так как в конце XIX века не было экспериментальных методов для исследования адгезии между твердыми телами, в модели Герца пренебрегает учетом сцепления поверхностей. Впоследствии этот недостаток был устранен в моделях из более поздних работ.
Для перехода к решению задач динамики необходимо было разработать модель силы трения, учитывающую как площадь пятна контакта, так и распределение напряжений внутри нее. Классическая модель сухого трения Кулона [67] основывается на полученной экспериментально в ходе опытов 1781-1821 гг. независимости силы трения от скорости при прямолинейном поступательном движении. Также в одномерной модели сухого кулоновского трения предполагается, что сила приложена к точке контакта взаимодействующих тел и направлена противоположно относительной скорости проскальзывания. Однако, если движение взаимодействующих тел включает в себя процессы скольжения и верчения одновременно, а зона контакта не ограничивается точкой, предположения Кулона нарушаются, и модель трения требует доработки.
Первые исследования процесса качения твердого тела по деформируемой поверхности принадлежат О. Рейнольдсу [92), |93]. В ходе экспериментов в 1875 г. он обнаружил, что при качении но плоскости
5
Введение
из резины металлический цилиндр проходит путь, меньший длины своей окружности. Ученый объяснил это так: зона контакта состоит из зоны сцепления, где действуют силы трения, и зоны микропроскальзывания, рассеяние энергии из-за упругих деформаций в которой обуславливает сопротивление движению. Описание имело качественный характер, и еще долгое время задача определения напряжений и микропроскальзываний при контакте тел с разными модулями упругости не имела количественного решения. Фактически, статьи Рейнольдса содержат только описание закономерностей качения цилиндров и таблицы с результатами экспериментов.
Значительный вклад в исследование закономерностей трения качения по деформируемым поверхностям внес академик АН СССР А.Ю. Ишлинский [27-31]. Его диссертационная работа "Трение качения" была посвящена движению катка по релаксирующему и вязко-пластическому грунту. В этой задаче использование конкретной модели не вполне упругого основания позволило обосновать расположение зон сцепления и проскальзывания при качении с учётом трения Кулона в области проскальзывания.
В 50х гг. XX века Ф.П. Тейбор в соавторстве с Д. Боуденом и другими учеными опубликовал ряд работ [6], |б0), [61], (68|, [74], [94], [95] о качении цилиндра по горизонтальной поверхности. Ключевым для определения момента сил сопротивления в этих работах был коэффициент гистерезисных потерь, описывающий диссипацию энергии при нагружении и разгрузке материала контактирующих тел. Для случаев качения шара или цилиндра по плоскости коэффициент может быть вычислен на основе контактной теории Герца как функция контактной нагрузки и радиуса тела. В такой модели сила трения качения не
6
Введение
зависит от скорости движения тела. Проведенные эксперименты для некоторых материалов хорошо согласовывались с моделью (качение металлического цилиндра по основанию из резины), а для других -хуже (качение металлического цилиндра но металлической пластине).
Другой подход для определения силы и момента сопротивления движению тела со стороны среды основывается на представлении основания в качестве множества не взаимодействующих между собой стержней или пружин, так называемого ''пружинного матраца". Эти пружины могут обладать разными свойствами, как в работах [84], [97-101]. Корректность такого подхода обсуждается в книге [18]. В частности, модель Максвелла использована в работе [85] о движении цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому основанию.
В статьях Д. Флома [71-72] для моделирования опорной плоскости используется модель Кельвина-Фойгта. Для определения контактной нагрузки и величины силы трения при плоскопараллельном качении шара по плоскости использовались приближения но безразмерным параметрам системы, причем в зависимости от сравнительной величины этих параметров были получены разные приближенные формулы для вычисления коэффициента силы трения (под коэффициентом силы трения для неточечного контакта мы понимаем отношение модуля силы трения к величине контактной нагрузки).
Описание взаимосвязи трения скольжения и верчения первым предоставил французский ученый П. Контенсу |б6]. Он рассматривал частный случай неточечного контакта двух тел, а именно, контакт тел с локально сферическими поверхностями. Контенсу получил зависимость величины силы сухого трения от отношения скорости скольжения V к линейной скорости верчения Ви) в предположении о том, что распре-
7