СОДЕРЖАНИЕ
Содержание..........................................................2
В »едение...........................................................4
Глава 1. Об обобщенном интеграле Чаплыгина..........................7
1. Постановка задачи.............................................7
2. Историческая справка..........................................7
3. Получение основного соотношения...............................9
■1. Движение шара по плоскости..................................10
5. Движение шара по внутренней поверхности сферы...............11
6. Движение шара с гироскопом но плоскости.....................13
7. Движение шара по произвольной поверхности...................14
Дополнение. Вывод формулы (5.3).................................16
Глава 2. Диск на абсолютно шероховатой плоскости...................17
Введение........................................................17
1. Историческая справка.........................................17
2. Уравнения движения и их первые интегралы.....................18
3. Стационарные движения........................................22
4. Анализ условия существования стационарных движений...........22
5. Условие устойчивости стационарных движений и его анализ. ..25 С>. Первоначальные выводы об устойчивости....................27
7. Результаты численного исследования...........................33
8. Предварительные рассуждения для дальнейшего исследования
устойчивости....................................................33
У. Исследование устойчивости на интервале а.,(А-) < а < а.(к)... 38
10. Исследование устойчивости на промежутке a.(fc) < п < it/2 .. 39
11. Выводы......................................................41
12. Наглядный материал. Сравнение с другими работами............42
Дополнение. Соотношения между г*.. л-fи х\_.....................46
Глава 3. Диск с гироскопом на абсолютно шероховатой плоскости .. 49
1. Постановка задачи. Стационарные движения диска с гироскопом .........................................................49
2. Устойчивость найденных решений...............................51
Глава 4. Шар на абсолютно шероховатой плоскости....................56
1. Постановка задачи. Уравнения движения и их интегралы.........56
2. Историческая справка.........................................57
3. Предварительные рассуждения................................
4. Построение эффективного потенциала.........................
5. Стационарные движения тара.................................
6. Анализ уравнения (-5.7)....................................
7. Условие устойчивости стационарных движений (5.3)...........
8. Некоторые выводы об устойчивости регулярных прецессий------
Глава 5. Исследование частных случаев............................
1. Регулярные прецессии шара с дополнительным ограничением на распределение масс.........................................
2. Случай С1 = 0..............................................
3. Случай с*2 — 0.............................................
Заключение.......................................................
Литература.......................................................
58
59
СО
63
67
67
70
70
75
75
77
78
3
ВВЕДЕНИЕ
Задача о движении тяжелого твердого тела бон проскальзывания по •заданной поверхности (в частности, но плоскости) является одной из основных задач целого раздела аналитической механики - динамики неголономных систем. Классическая динамика неголоноыных систем, с одной стороны, имеет примерно вековую историю, а с другой - псе еще, так или иначе, сохраняет облик дисциплины изолированной и отчасти противопоставленной динамике систем голономных. Дело здесь не столько в названии, сколько - во первых в том, что объекты этой дисциплины исследуются скорее индивидуально, нежели на основании общих подходов, которые расширяли бы методы динамики голономных систем и - во вторых в том, что ведут себя эти объекты, согласно широко распространенному мнению, часто неожиданно. В динамике неголономных систем известно сравнительно немного точно решенных задач (практически полную информацию можно найти в книгах (2,30,39,48]), поэтому исследования, относящиеся к этой науке, вызывают известный интерес как у нас в стране, так и за рубежом.
Все сказанное в равной мере относится и к исследованию устойчивости движения неголономных систем. Постановка задач об устойчивости движения таких систем требует большого внимания, что не раз отмечалось многими известными специалистами в этой области [20,49,50]. Разрозненные результаты по исследованию устойчивости стационарных движений конкретных неголономных систем впервые были систематизированы, по-видимому, в книге [39]. Описанию дальнейших результатов, полученных в этой области, посвящены обзоры 23 и [42].
Иеголономные модели различных механических систем находят применение при решении многих технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла [25,33.51,55], в теории движения автомобиля [15,16,26,27], в теории взаимодействия колеса и дороги [4,5,16,25], в теории движения электрических машин [7,8,28,29,31] и, с недавнего времени, при изучении движения мобильных роботов (10,24,32,37], а также в целом ряде других областей техники.
Интерес к механике неголономных систем и. в частности, к задаче о качении тела по неподвижной поверхности без проскальзывания ничуть не ослабевает, свидетельством чему являются появившиеся сравнитель-
1
но недавно работы [53,58] И [66]. Современное состояние этого вопроса и обширная библиография имеются в монографии [30].
В предлагаемой диссертации изучаются вопросы устойчивости и бифуркации стационарных движений некоторых конкретных неголоном-ных систем, в частности, неоднородного динамически симметричного шара и диска, катящихся бет скольжения но неподвижной горизонтальной плоскости (если движение по некоторой поверхности происходит без скольжения, то принято говорить, что она абсолютно шероховатая). Подробные обзоры литературы по этим вопросам приведены в соответствующих главах. И первой главе предлагается способ нахождения одного из первых интегралов в задаче о движении неоднородного динамически симметричного шара но абсолютно шероховатой плоскости - интеграла Чаплыгина. Указанный способ не только устраняет все сложности, имевшиеся в других методах построения данного интеграла. но и обобщает его на случай движения шара по поверхности сферы в отсутствии поля тяготения.
Но второй главе дано полное аналитическое исследование условий устойчивости и бифуркаций стационарных движений тяжелого круглого диска, катящегося по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости. Ное аналитические результаты подтверждены численными экспериментами. Результатом исследования явилось ностроение полного атласа бифуркационных диаграмм в данной задаче. Попытки изучения бифуркаций в рассматриваемой задаче проводились и ранее. Особенно успешными, в этом смысле, являются работы [56] и [62]. Однако в этих работах проводились только численные исследования условий существования и устойчивости стационарных движений, что мотивировалось значительной сложностью этих условий.
В третьей главе проводится аналогичное исследование для случая, когда на диске установлен быстровращающийся ротор, ось которого проходит через центр диска, перпендикулярно к его плоскости. Также, как и в главе 2, исследования проводились двумя путями аналитически и численно. В результате был построен полный атлас бифуркационных диаграмм.
В четвертой главе исследуются бифуркации в задаче о движении неоднородного динамически симметричного шара по абсолютно шерохо-
5
ватой плоскости. Здесь исследования такой полноты, как в главах 2 и 3, провести не удалось, что выгнано большой сложностью исследуемых выражений, поэтому для некоторых построенных численно бифуркационных диаграмм нет надлежащего аналитического обоснования. Однако, удалось выделить несколько частных случаев, когда при дополнительных ограничениях на распределение масс в шаре, такое исследование все же возможно провести до конца. Этому посвящена последняя пятая глава диссертации.
Все аналитические рассуждения, проведенные в диссертации и связанные, зачастую, с анализом довольно громоздких выражений производились вручную и проверялись затем с помощью компьютерной программы символьных вычислений МАРЬЕ V Rolea.se 5.1. С помощью этой же программы производились все численные расчеты и строились бифуркационные диаграммы.
О
- Київ+380960830922