Об устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости

Оглавление
Введение......................................................2
1 Вывод уравнений движения 12
1.1 Некоторые геометрические и кинематические формулы 12
1.2 Уравнения движения.................................. 21
2 Об устойчивости стационарных движений гиростата 29
2.1 Функция Рауса....................................... 29
2.2 Стационарные движения............................... 34
2.3 Устойчивость стационарных движений ................. 46
2.3.1 Тело с круговым основанием ................... 65
2.3.2 Диск с ротором................................ 72
2.3.3 Тело, опирающееся на плоскость иглой.......... 80
3 Гиростат с жидкостью в полости 86
3.1 Уравнения движения. Первые интегралы................ 86
3.2 Стационарные движения. Устойчивость................. 97
3.3 Случай тонкой оболочки..............................113
Заключение ................................................126
Литература .................................................128
1
Введение
1. Задача исследования движения и устойчивости качения тела по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости является классической задачей, которой начали заниматься во второй половине XIX столетия и которую продолжают изучать до настоящего времени.
В 1861 г. Г. Слессер [65], используя основные теоремы динамики, составил уравнения движения тяжелого тела вращения, отнесенные к системе координат, движущейся относительно тела и в пространстве.
Э. Дж. Раус в своем трактате [63], также записав основные теоремы динамики в полу подвижной системе координат, получил уравнения движения без скольжения тела вращения по горизонтальной плоскости, определил условия существования его стационарных движений, исследовал вертикальные вращения и малые колебания вблизи положения равновесия тела произвольной формы, вывел первые интегралы уравнений движения в случае тела вращения со сферическим основанием.
С. А. Чаплыгин [53] впервые вывел дифференциальные уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах для систем, кинетическая, потенциальная энергии и уравнения связей которых не содержат некоторых из обобщенных координат. Системы, обладающие таким свойством, стали называть системами Чаплыгина. Однако, решая далее задачу о движении без скольжения тяжелого симметричного гиростата — тела вращения с ротором, он записал уравнения движения гиростата на основе общих теорем динамики с последующим исключением входящих в эти уравнения реакций. Далее он указал ряд частных случаев, когда интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам, и сделал ряд замечаний о характере движения гиростата в этих случаях.
2
В монографии А. Грэя [57] изложена теория движения тела вращения со сферическим основанием, несущего ротор, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, найдено условие существования стационарных движений системы, рассмотрен случай диска с ротором.
Из линеаризованных уравнений движения определены условия устойчивости прямолинейного качения тела с круговым основанием, в частности диска, по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости [61].
В конце XIX столетия Э. Дж. Раус [62] получил условия устойчивости стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами или с известными первыми интегралами. Следует отметить, что для голономных консервативных механических систем существует единственное определение циклической координаты, которое одновременно обеспечивает наличие соответствующего циклического интеграла. В случае неголономных систем существуют несколько определений псевдоциклической координаты [22], среди которых имеются определения, обеспечивающие существование стационарных движений, но вообще говоря, не допускающие циклических интегралов. Таким образом, консервативные неголоном-ные механические системы не имеют, вообще говоря, интегралов, отличных от интеграла энергии. Однако, в некоторых случаях неголо-номная система Чаплыгина допускает первые интегралы, явный вид которых неизвестен, но их можно представить в виде гипергеометри-чсских рядов [20]. Несуществование дополнительных интегралов в случае неголономной системы существенно затрудняло исследование устойчивости ее стационарных движений.
В работах И. М. Миндлина [28] и А. Г1. Дувакина [7] исследована устойчивость прямолинейного качения диска с ротором и устойчивость прямолинейного качения диска и верчения диска вокруг вертикально расположенного диаметра на абсолютно шероховатой плоскости. И. М. Миндлиным и Г. К Пожарицким [29] получено необходимое и достаточное условие устойчивости стационарных движений гиростата в предположении, что угол нутации отличен от нуля. При
3
исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова использовалось представление неизвестных первых интегралов в виде гипергео-метрических рядов.
В монографии Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [31] впервые дано достаточно полное изложение механики неголономных систем. Рассмотрены различные формы уравнений движения неголономных систем, затронуты вопросы малых колебаний около положения равновесия и устойчивости стационарных движений.
A. В. Карапетяном было исследовано движение на абсолютно шероховатой плоскости тяжелого тела, распределение масс и форма поверхности которого произвольны [12, 13], а также некоторых частных случаев тел [17, 14]. Рассмотрено движение [19] по абсолютно шероховатой плоскости трехосного эллипсоида, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром. Найдено условие существования перманентных вращений эллипсоида. Изучены случаи перманентных вращений вокруг его главных осей, вокруг осей, расположенных в главной плоскости эллипсоида, и вокруг произвольной оси.
B. В. Румянцевым [40] исследована устойчивость стационарных вращений вокруг вертикали тяжелого гиростата произвольной формы.
В диссертации А. В. Карапетяна [12] разработана теория устойчивости стационарных движений неголономных систем. Показано, что если рассматривается неголономная система Чаплыгина, причем матрица диссипативно-ускоряющих сил, действующих на линейную приведенную систему, тождественно по позиционным координатам обращается в нуль, то для исследования устойчивости справедливо обобщение теоремы Рауса.
В работе А. В. Карапетяна и В. В. Румянцева [22] дан обзор результатов об устойчивости положений равновесия и стационарных движений голономных и неголономных систем, исследованы стационарные движения тяжелого твердого тела на горизонтальной абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостях и на плоскости с трением.
4
В монографии А. П. Маркеева [25] изложены основные результаты в задачах движения твердых тел по поверхности, в частности, по абсолютно шероховатой плоскости. Исследованы стационарные и периодические движения тела произвольной формы, тела вращения, диска, трехосного эллипсоида.
В работе Л. Сальвадори и Ф. Визентин [64] для неголономной динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями Вольтерра с одной ациклической переменной, построена функция, к определению минимума которой сведено исследование )гстойчивос-ти динамической системы. Полученные результаты приложены к задаче о качении тела вращения по горизонтальной плоскости, найдены условия устойчивости всех стационарных движений тела вращения, за исключением вращения вокруг вертикально расположенной оси симметрии.
В диссертации Е. Н. Шевелевой [54] рассмотрено движение без скольжения неоднородного диска, представляющего собой однородный круговой диск с расположенной на нем точечной массой; найдены необходимые условия устойчивости верчения системы вокруг вертикально расположенного диаметра, содержащего эту точечную массу. В диссертации [54] и в статье В. И. Каленовой, В. М. Морозова,
Е. Н. Шевелевой [11] рассмотрено движение по абсолютно шероховатой плоскости одноколесного велосипеда, состоящего из однородного кругового диска, стержня, прикрепленного к центру диска и движущегося в плоскости диска, и однородного симметричного маховика, установленного на стержне. Найдены необходимые условия устойчивости равновесия системы, вращения диска вокруг неподвижного вертикального диаметра и прямолинейного качения системы.
Исторический очерк развития рассматриваемой проблемы имеется в трактатах П. Аппеля [3], Е. Рауса [63], а также в современной монографии А. II. Маркеева [25]. Исторический обзор достижений в развитии теории устойчивости стационарных движений голономных систем и систем с дифференциальными связями с учетом результатов последних лет дан в монографии А. В. Карапетяна [20].
2. Фундаментальные результаты в задачах динамики твердых тел,
5
имеющих полости, содержащие жидкость, принадлежат В. В. Румянцеву [45, 36, 30, 42. 44, 4, 5 ]. А. В. Карапетяном [16] получены достаточные условия устойчивости регулярной прецессии симметричного твердого тела с неподвижной точкой, имеющего эллипсоидальную полость, целиком заполненную идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.
В последнее время возрос интерес к задаче движения тяжелого осесимметричного тела с полостью, содержащей жидкость, по горизонтальной неподвижной плоскости. Первой в этом ряду исследований была работа А. П. Маркеева [26], в которой рассмотрено движение тела вращения с полостью в форме эллипсоида вращения, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Для случая абсолютно гладкой плоскости найдены необходимые и достаточные условия устойчивости вращения гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Для абсолютно шероховатой плоскости получено необходимое условие устойчивости вертикального вращения гиростата в предположении, что тело и жидкость вращаются с одинаковой угловой скоростью
[26]; исследованы колебания около положения равновесия гиростата
[27].
В работе И. М. Казмерчука и В. А. Самсонова [10] рассмотрено движение осесимметричного тела с цилиндрической полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью. При различных законах трения исследованы семейства траекторий волчка на фазовой плоскости.
В статье А. В. Карапетяна и О. В. Прокониной [21] исследована устойчивость вращений на горизонтальной плоскости с трением скольжения симметричного твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость, целиком заполненную идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.
В конце XIX столетия Уильям Томсон (лорд Кельвин) [66] описал опыты с жидкостным гиростатом, представляющим собой тонкую оболочку в форме эллипсоида вращения, целиком заполненную жидкостью. С. Гафом, А. Б. Бассе и С. В. Жаком были получены необходимые [59, 56] и достаточные [8] условия устойчивости верти-
6
кального вращения волчка, движущегося по инерции вокруг центра полости. А. П. Маркеев [26] определил области устойчивости равномерного вращения вокруг вертикально расположенной оси симметрии тонкостенного волчка на абсолютно гладкой плоскости. В статьях А. В. Карапетяна и О. В. Прокониной [21, 50: исследована устойчивость стационарных движений тонкостенного волчка, заполненного жидкостью, на плоскости с трением скольжения. А. В. Карапетяном
[15] найдены стационарные и периодические движения тонкостенного сфероида, целиком заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, на горизонтальной плоскости с вязким трением скольжения; рассмотрен вопрос ветвления этих движений, получены необходимые условия устойчивости равномерного вращения сфероида вокруг вертикально расположенной оси симметрии. Для случая абсолютно шероховатой плоскости в результате анализа корней характеристического многочлена линеаризованных уравнений А. П. Маркеев [26] установил, что необходимое условие устойчивости вертикального вращения выполнено для сжатого вдоль оси симметрии волчка и некоторых вытянутых волчков.
3. Диссертация посвящена вопросам устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, рассмотрено влияние ротора и жидкости на устойчивость стационарных движений. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 67 наименований.
В первой и второй главе диссертации изучается задача о движении без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости динамически симметричного гиростата — тяжелого тела вращения, с которым неизменно связана ось вращающегося ротора, причем ось симметрии ротора совпадает с осью симметрии тела.
В п. 1.1 введены обобщенные координаты, определяющие положение гиростата в пространстве; получены выражения проекций векторов скорости центра масс и скорости точки контакта тела с опорной плоскостью, выписаны выражения кинетической и потенциальной энергий гиростата.
7
В п. 1.2 вычислены коэффициенты членов неголономности. В отличие от предшествующих работ [53, 28, 29, 25, 39], где уравнения движения по плоскости тела или системы составлялись на основе общих теорем динамики, уравнения движения гиростата составлены в форме уравнений Чаплыгина, не содержащих реакцию опорной плоскости. Показано, что уравнения Чаплыгина выражают в проекциях на оси полуподвижной системы координат теорему о кинетическом моменте гиростата, взятом относительно точки контакта корпуса с опорной плоскостью.
Во второй главе с помощью теории, обобщающей теорему Рауса для неголономных систем [20], определены стационарные движения гиростата и получены необходимые и достаточные условия их устойчивости.
В п. 2.1 выделены псевдоцикличиские координаты, введены импульсы псевдоциклических координат, получены выражения аналога функции Рауса и измененного потенциала.
В п. 2.2 отмечено, что система уравнений движения гиростата допускает стационарные движения; найдено условие их существования. Рассмотрены все возможные типы стационарных движений: равномерное вращение гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии, перманентные вращения и прямолинейное качение гиростата, движение типа регулярной прецессии.
В п. 2.3 при помощи обобщенной теоремы Рауса [20] найдены необходимые и достаточные условия устойчивости стационарных движений гиростата, включая случай, когда угол нутации равен нулю.
Исследуется влияние ротора на устойчивость стационарных движений. Показано, что с увеличением абсолютной мгновенной угловой скорости ротора возможно стабилизировать неустойчивое перманентное вращение и качение по прямой гиростата.
Рассматриваются случаи, когда корпусом гиростата является тело с круговым основанием, в частности диск. Показано, что вращающийся ротор оказывает стабилизирующее влияние на равновесие гиростата. Показано, что прямолинейное качение диска с ротором при условии, что осевой кинетический момент такого гиростата рав-
8
няется нулю [53], неустойчиво.
В главе 3 исследуется движение по абсолютно шероховатой плоскости симметричного гиростата — тяжелого симметричного твердого тела со сферическим основанием, с которым неизменно связана ось вращающегося симметричного ротора. Кроме того, в теле имеется полость в форме эллипсоида вращения, целиком заполненная однородной идеальной несжимаемой жидкостью. Предполагается, что ось симметрии тела является также осью ротора и полости, а жидкость совершает однородное вихревое движение.
В п. 3.1 на основе общих теорем динамики составлены уравнения движения гиростата, показано, что эти уравнения допускают интегралы энергии, постоянства интенсивности вихря и геометрический. Найдено обобщение интеграла Желле.
В п. 3.2 найдены стационарные движения гиростата, представляющие собой равномерное вращение гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии и движение типа регулярной прецессии, при котором скорость центра масс равна нулю, а точка контакта корпуса гиростата с плоскостью описывает в этой плоскости окружность.
Построением функции Ляпунова в виде линейной связки первых интегралов получены достаточные условия устойчивости найденных стационарных движений. Рассмотрены частные случаи, когда движение жидкости близко к потенциальному и корпус и жидкость вращаются с одинаковой угловой скоростью. В последнем случае установлено, что если центр масс гиростата находится выше центра сферического основания, система тело-жидкость и ротор вращаются в одном направлении и полость представляет собой сжатый вдоль оси симметрии эллипсоид, то равномерное вращение гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии устойчиво. Если полость — несильно вытянутый вдоль оси симметрии эллипсоид, то устойчивость возможна. Вращение ротора в направлении, противоположном направлению вращения системы тело-жидкость, оказывает дестабилизирующее влияние. Если полость имеет форму сильно вытянутого вдоль оси симметрии эллипсоида, то нарушаются достаточные усло-
9
вия устойчивости равномерного вращения гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии независимо от величины угловой скорости и направления вращения ротора.
Если центр масс гиростата расположен ниже центра сферического основания, то устойчивость возможна при условиях, что система тело-жидкость и ротор вращаются в одном направлении, угловая скорость вращения ротора достаточно велика и полость сжата вдоль оси симметрии.
Если полость является шаровой, а вращения тела и жидкости происходят в противоположных направлениях, то вращение гиростата вокруг вертикально расположенной оси симметрии неустойчиво, причем ротор не может стабилизировать систему.
Получены достаточные условия устойчивости движения типа регулярной прецессии гиростата.
В п. 3.3 рассмотрен случай, когда ротор отсутствует, а оболочка настолько тонка, что ее массой и моментами инерции можно пренебречь. Показано, что достаточные условия устойчивости равномерного вращения волчка вокруг вертикально расположенной оси симметрии нарушаются, если центр масс волчка находится выше центра сферического основания. Если волчок представляет собой тонкостенную невесомую сферу, заполненную жидкостью, то его равномерное вращение вокруг вертикально расположенной оси симметрии всегда устойчиво.
Для тонкостенного волчка с радиусом сферического основания р = а2/с (а, с — полуоси полости) найдены достаточные условия устойчивости его равномерного вращения вокруг вертикальной оси симметрии. В результате сравнения их с полученными ранее [26] необходимыми условиями установлено, что если волчок представляет собой сжатый вдоль оси симметрии эллипсоид, то его равномерное вращение устойчиво; если же волчок — вытянутый вдоль оси симметрии эллипсоид, то нарушаются достаточные условия устойчивости, но могут быть выполнены необходимые условия устойчивости.
Получено условие существования движения типа регулярной прецессии тонкостенного волчка. Найдены и проанализированы доста-
10