ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.............................................................5
ГЛАВА 1. Устойчивоподобные свойства неавтономных линейных
дифференциальных уравнений
§ 1. Определение устойчивости движения в смысле Ляпунова......16
§ 2. Признаки экспоненциальной устойчивости линейного дифференциального уравнения на основании свойств диагональной
доминантности.................................................21
§ 3. Экспоненциальная устойчивость неавтономного линейного уравнения с периодически диагонально доминантной
матрицей......................................................27
§ 4. Признак асимптотического постоянства решений
линейного неавтономного дифференциального уравнения...........28
§ 5. Признак асимптотического постоянства решений для бесконечномерного линейного дифференциального уравнения... 29 ГЛАВА 2. Устойчивость и ограниченность движения в механических системах, описываемых линейными уравнениями второго порядка
§ 1. Типы изучаемых механических систем.......................35
§ 2. Достаточные признаки устойчивости в смысле Ляпунова
нулевого решения линейного неавтономного уравнения............37
§ 3. Достаточные признаки асимптотической устойчивости
нулевого решения линейного неавтономного уравнения............40
§ 4. Достаточные признаки неустойчивости нулевого решения
линейного неавтономного уравнения.............................42
§ 5. Признак ограниченности решений обобщенного уравнения
Льенара.......................................................44
§ 6. Признак ограниченности решений линейного неавтономного дифференциального уравнения второго порядка..............45
2
ГЛАВА 3. Устойчивость программных движений тяжелой точки переменной массы
§ 1. Математические модели движения тяжелой точки переменной
массы.............................................................47
§ 2. Постановка задачи об устойчивости программного движения 53
§ 3. Признаки устойчивости программного движения
при линейном законе сопротивления среды...........................55
§ 4. Признаки устойчивости программного движения
при квадратичном законе сопротивления среды.......................57
§ 5. Устойчивость вращательного движения тяжелой точки
переменной массы..................................................60
ГЛАВА 4. Вопросы регуляризации уравнений и прочности решений в задаче двух и трех тел § 1. Задача N тел
1.1.0 сингулярности уравнений в задаче А тел.................64
1.2 Предельные случаи задачи N тел..........................66
§ 2. Задача двух тел и задача трех тел
2.1 Задача двух тел..........................................67
2.2 Задача трех тел..........................................71
§ 3. Прямая задача линейной регуляризации уравнений
3.1. Прямая задача линейной регуляризации....................72
3.2. Алгоритм линейной регуляризации кеплеровского движения.....................................................79
§ 4. Обратная задача линейной регуляризации уравнений.............80
§ 5. Глобальная регуляризация уравнений в задаче трех тел.........85
§ 6. Уравнения в вариациях кеплеровских движений..................90
§ 7. Прочность решений в смысле Жуковского и задача об упрочнении решений
7.1. Понятие прочности решения в смысле Жуковского...........94
7.2. Задача об упрочнении решений............................96
3
§ 8. Прочность эллиптической траектории кеилеровского
движения. Первый подход.......................................97
§ 9.1 Прочность эллиптической траектории кеплеровского
движения. Второй подход.......................................98
ЛИТЕРАТУРА........................................................100
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы и краткий обзор литературы, относящейся к теме диссертации. Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивонодобных свойств решений и вопросам регуляризации уравнений классической и небесной механики.
Под устойчивоподобными свойствами решений дифференциальных уравнений в работе понимаются устойчивость в смысле Ляпунова, ограниченность (другими словами, устойчивость в смысле Лагранжа), прочность в смысле Жуковского, наличие асимптотического равновесия (асимптотическое постоянство решений). Указанные понятия играют важную роль в задачах классической и небесной механики.
Одной из актуальных проблем при исследовании динамических свойств линейных и нелинейных механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами является проблема устойчивости движения в смысле Ляпунова. Теория устойчивости линейных механических систем является базовым направлением в общей теории устойчивости механических систем, представляющих огромный интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений. Для решения этой проблемы А.М. Ляпунов создал приемы, приведшие к двум методам исследования устойчивости движения: первому методу на базе характеристичных чисел и второму (прямому) методу, основанному на изучении взаимосвязи движений механической системы со специальными однопараметрическими семействами поверхностей, являющимися поверхностями уровня функций Ляпунова. В настоящее время оба метода получили значительное развитие и оказались эффективными при решении многих теоретических и прикладных задач устойчивости движения как линейных, так и нелинейных механических систем с распределенными и сосредоточенными параметрами. Одной из актуальных задач указанной проблемы является исследование устойчивости
5
состояния равновесия с помощью коэффициентных признаков. Эта задача в общем виде чрезвычайно сложна и далека от своего завершения.
Теории устойчивости состояния равновесия автономных и неавтономных линейных и возмущенных линейных систем в конечномерных или бесконечномерных фазовых пространствах посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых: Е.А. Барбашина, Ю.С. Богданова, Ь.Ф. Былова, В.Г. Веретенникова, В.Г. Вильке, Р.Э. Виноградова,
Н.И. Гаврилова, A.C. Галиуллина, И.А. Галиуллина, С.К. Годунова, Е.А. Гребеникова, А.М. Гробмана, Б.П. Демидовича, В.Г. Демина, Н.П. Еругина, В.И. Зубова, H.A. Изобова, Г.В. Каменкова, А.Н. Колмогорова,
Н.Н.Красовского. М.Г. Крейна, А.Н. Крылова, В.М. Миллионщикова, И.Г. Малкина, В.М. Матросова, В.В. Немыцкого, К.ГТ. Персидского, И.Г. Петровского. И.М. Рапопорта, В.В. Румянцева, Ю.А. Рябова, В.М. Старжинского, В.В. Степанова, Н.Г. Четаева, A.A. Шестакова, В.А. Якубовича, Х.А. Антосевича, Р. Беллмана, С.П. Дилиберто, Т. Иосилзавы, Дж. Като, Р. Конти, В.А. Коппела, Н. Левинсона, К.Д. Пальмера, О. Перрона, Д.Х. Саттиигера, А. Уинтнера, Ф. Хартмана. Л. Чезари и других ученых.
Одним из наиболее распространенных направлений исследования устойчивости движения является исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, разработанным А. Пуанкаре [63] и А.М. Ляпуновым [48]. Прямой метод Ляпунова получил значительное развитие в многочисленных работах [5, 6, 9, 22, 26, 29, 35, 36, 40, 46, 50, 52, 66, 67, 68] и других. В настоящее время обобщенный прямой метод Ляпунова стал одним из важнейших методов исследования устойчивости движения систем с распределенными и сосредоточенными параметрами (современное состояние этого метода и литературу по этому методу можно найти в монографии [78] и в работе [29]).
Другим направлением исследования устойчивости движения линейных и возмущенных линейных уравнений является исследование устойчивости методом характеристических чисел Ляпунова (см. монографию [48], а также
6
книги [5, 10, 26, 32, 39, 81] и др.). С помощью этого метода достаточно полно изучены приводимые уравнения, правильные уравнения и уравнения с периодическими коэффициентами.
Третьим направлением исследования устойчивости движения линейных и возмущенных линейных уравнений является исследование методами качественной теории и теории устойчивости, не связанными с теорией характеристических чисел Ляпунова. Может оказаться, что среди характеристических чисел имеется несколько чисел, равных нулю тогда, когда остальные являются положительными. Этот случай является критическим и требует рассмотрения, выходящего за рамки теории характеристических чисел. В указанном направлении существенные результаты были получены А.Н. Колмогоровым [41], А. Уинтнером [71,102], Ф. Хартманом [72], В. Коппелом [87,88], A.A. Шестаковым [77], К.П. Персидским [60], Л. Чезари [73], Б.П. Демидовичем [26], см. также обзор литературы в [39].
Исследование устойчивости в смысле Ляпунова применительно к небесно-механическим уравнениям отражены в [I], а также в работах В.М. Алексеева [3], Г.Н. Дубошина [31], В.В. Румянцева [65, 66,67], А.П. Маркеева [51], Е.А. Гребеникова [23, 24], Е.А Гребеникова и Ю.А. Рябова [25], В. Себехея [69], И. А. Галиуллина [17,18] и других работах.
Основы теории прочности траекторий в смысле Жуковского заложены в докторской диссертации Н.Е. Жуковского "О прочности движения” [33]. В этой работе Жуковский поставил и в ряде случаев разрешил общую задачу о прочности траекторий уравнений первого приближения. Чтобы дать определение прочности движения, Н.Е. Жуковский, как и В. Томсон и П. Тет [99], рассматривает основное движение системы, и наряду с ним так называемое возмущенное движение. Н.Е. Жуковский одну из координат уравнения д: = #(*), например х], принимает в качестве независимой переменной, а время t рассматривает как функцию этой координаты, причем выбранная в качестве независимой переменной координата является
7
монотонно возрастающей функцией времени. Рассматривая координаты х2,...9х„ как функции от Н.Е. Жуковский предполагает, что в возмущенном движении функции х2,...,хп получат приращения у2>-9уп-Если во все время движения приращения у29.~9у„ остаются достаточно малыми, то движение называется прочным; если некоторые из этих приращений не являются таковыми, то движение называется непрочным.
Важно отметить, что время t рассматривается Н.Е. Жуковским как функция от ху а приращение St определяется при переходе от данного движения к возмущенному. Н.Е. Жуковский пишет: ’’Движение, будучи прочным, может давать для St при одних возмущениях бесконечно малую величину, а при других - беспредельно возрастающую величину. Консервативное возмущение, не изменяющее полной энергии, вызывает в прочном движении бесконечно малое возмущение времени, в то время как неконсервативное возмущение вызывает бесконечно возрастающее возмущение времени". Из определения Н.Е. Жуковского следует, что речь действительно идет об устойчивости траекторий точек материальной системы, а не об устойчивости состояния движения.
Теория прочности траекторий в смысле Жуковского получила развитие в труде Дж. Синджа [98] и труде М.Ш. Аминова [4], который ввел понятие "устойчивости в смысле Жуковского" и исследовал методами А.М. Ляпунова, Дж. Синджа и Н.П. Еругина прочность в смысле Жуковского траекторий некоторых классов механических систем при консервативных и неконсервативных возмущениях. Дальнейшее развитие теория прочности получила в работах А.Ю. Кравчука, Г.А Леонова и Д.В. Пономаренко, использовавших термины "устойчивость по Жуковскому", "сильная орбитальная устойчивость", а также в работах A.A. Шестакова [79], A.C. Галиуллина и A.A. Шестакова [16]. Ряд результатов и методов, находящих применение в теории прочности траекторий в смысле Жуковского, принадлежит Н.Д. Моисееву [54,55], В.И. Зубову [37]. В диссертации О.В.
8
- Київ+380960830922