Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ..............................................................
ГЛАВА 1. Исследование устойчивости и качественный анализ механических систем с одной степенью свободы на основе свойств индекса, якобиана
и дивергенции поля скоростей ..........................................
§ 1. Введение......................................................
§2. Множитель Эйлера. Инвариантность свойства устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.................................................
§3. Классификация состояний равновесия и траекторий. Индекс состояния равновесия ........................................................
§4. Конечность числа эллиптических и гиперболических областей, примыкающих к состоянию равновесия ............«----’.....................
§5. Дивергентные условия неустойчивости по Ляпунову и отсутствия
асимптотической устойчивости по Ляпунову...............................
§6. Характер состояния равновесия системы со знакопостоянной дивергенцией ...............................................................
§7. Характер состояния равновесия системы с нулевой дивергенцией
поля скоростей ........................................................
§8. Знакопеременность дивергенции в эллиптической области и в кольцевой области центрофокуса.............................................
§9. Индексное условие неустойчивости по Ляпунову ..................
§10. Индексно-дивергентные условия устойчивости и асимптотической
устойчивости по Ляпунову...............................................
§11. Оценка зоны притяжения состояния равновесия системы с отрицательной дивергенцией поля скоростей....................................
§12. Условия асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия системы с неположительной дивергенцией и положительным якобианом поля скоростей ...................................................
§13. Исследование фазового портрета на основе свойств скалярного и векторного произведений................................................
5
18
18
19
21
26
27
30
32
34
35
36
38
40
46
2
ГЛАВА 2. Исследование устойчивости механических систем с конечным числом степеней свободы на основе свойств индекса, якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей.........................................51
§ 1. Введение........................................................51
§2. Множитель Якоби и его свойства. Условия существования множителя Якоби ..............................................................52
§3. Индекс состояния равновесия. Необходимые индексные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову состояния
равновесия ..............................................................55
§4. Дивергентные условия неустойчивости по Ляпунову состояния равновесия .................................................................57
§5. Примеры .........................................................60
§6. Неограниченность зоны асимптотической устойчивости состояния
равновесия системы с неположительной дивергенцией........................62
§7. Дивергентные условия орбитальной устойчивости и неустойчивости предельного цикла ....................................................64
§8. Дивергентные условия отсутствия предельных циклов................66
§9. Роторные условия отсутствия предельных циклов....................67
§10. Условия устойчивости и неустойчивости по Ляпунову состояния
равновесия системы с однородным полем скоростей..........................69
ГЛАВА 3. Исследование устойчивости и качественный анализ теоретикомеханических моделей, описывающих движение рельсовых транспортных
средств .................................................................71
§1. Введение.........................................................71
§2. Асимптотическая устойчивость движения железнодорожного экипажа, моделируемого дифференциальным уравнением второго порядка ... 72 §3. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость движения поезда
в режиме тяги ......................................................... 75
§4. Качественный метод Н.Н. Лузина исследования скалярного уравнения движения железнодорожного экипажа и его развитие для случая векторного уравнения........................................................79
§5. Приближенно-аналитический метод С.А. Чаплыгина и анализ метода 88
3
§6. Применение приближенно-аналитического метода С.А. Чаплыгина
для интегрирования уравнения движения рельсового экипажа .........91
§7. Влияние профиля пути на характер движения рельсового экипажа .. 95
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................... 103
ЛИТЕРАТУРА ...................................................... 104
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы и обзор результатов, относящихся к теме диссертации. Многие теоретико-механические модели задаются обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков и системами дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Исследование устойчивости движения, фазового портрета траекторий и получение новых условий устойчивости состояний равновесия и предельных циклов являются актуальными задачами теории устойчивости и качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы. В частности, доказательство наличия или отсутствия устойчивых предельных циклов (автоколебаний) у механических систем с конечным числом степеней свободы является трудной и актуальной задачей, для решения которой в настоящее время не существует общего метода.
Вопросы теории устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, изучались, начиная с работ А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова и Н.Е. Жуковского, в работах отечественных и зарубежных ученых: H.H. Боголюбова, H.H. Лузина, Н.Г. Четаева, H.H. Красовского, С.А. Чаплыгина, В.В. Румянцева, В.М. Матросова, В.В. Степанова, A.C. Галиуллина, В.Г. Веретенникова, К.П. Персидского, В.В. Немыцкого, Б.П. Демидовича, A.A. Шестакова, Е.А. Гребеникова, Ю.А. Рябова, П.П. Еругина, В.М. Миллионщикова, И.А. Галиуллина, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа, В. Коп-пела, Н. Левинсона, О. Перрона, Л. Чезари и других ученых. Методы Ляпунова и Пуанкаре получили дальнейшее развитие в многочисленных работах [1 - 4,6, 7, 10, 11, 13, 15, 16, 19, 24-29,31,33,36,38-40,45, 47-49,58, 60-62, 66-68, 70 - 72, 76 - 78,90 - 93, 98 - 99] и других.
Вопросы устойчивости состояний равновесия и предельных циклов и характер фазового портрета траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы на основе анализа векторного поля скоростей этих систем
5
изучались в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович и А.Г. Майера, H.H. Кра-совского, М.А. Красносельского, В.В. Немыцкого, В.В. Степанова, В.П. Жукова, A.A. Шестакова и А.Н. Степанова, Г. Дюлака, X. Браухли, Ч. Олеха, Ф. Хартмана, Л. Маркуса, Ж. Фронтеа, В. Богуша и других ученых. К таким характеристикам векторного ноля скоростей относятся значения индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаки якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей в соответствующих областях пространства состояний.
Изучение устойчивости и качественного поведения механических систем с конечным числом степеней свободы на основе анализа поля скоростей механической системы представляет большой теоретический интерес. Результаты исследований в этой области могут быть эффективно использованы для решения разнообразных задач, возникающих при исследовании механических, физических и технических систем, в частности, систем динамики железнодорожного транспорта.
В связи с проектированием и внедрением скоростного рельсового подвижного состава и необходимостью увеличения критических скоростей движения актуальной задачей является изучение качественного поведения и устойчивости теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта.
В настоящей диссертации получены новые результаты, а также развиты, дополнены и уточнены известные результаты А. Пуанкаре [43], A.A. Андронова [1], H.H. Красовского [26], А.Н. Степанова [50 - 51], Ч. Олеха [87], A.A. Шестакова и А.Н. Степанова [52], X. Браухли [68], Ф. Хартмана [77], Ф. Хартмана и
Ч. Олеха [78], Ж. Фронтеа [75], Ли Ли [84] об устойчивости и неустойчивости ' ■'■состояний равновесия и предельного цикла механических систем на основе анализа свойств индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей механической системы с конечным числом степеней свободы x = g(x), где х - п -мерный вектор состояния механической системы. Фазовый портрет (фазовая диаграмма) есть совокупность всех фазовых траекторий в фазовом пространстве состояний. Трудами А.А. Андронова и его последователей [1,2] фазовый порт-
б
рст механической системы стал рабочим аппаратом анализа и синтеза различных теоретико-механических моделей.
Перейдем к обзору некоторых результатов, относящихся к теме диссертации. Важную роль в нелинейных задачах качественного исследования состояний равновесия и периодических движений механических систем с конечным числом степеней свободы играют целочисленные характеристики поля скоростей: вращение векторного поля на замкнутых кривых и индекс состояний равновесия. Методы исследования вращения и индекса восходят к О. Коши. Дальнейшее их развитие связано с именами Л. Кронекера и А. Пуанкаре и изложено в [1-3], [24-25].
Пусть Ь - замкнутая гладкая ориентированная линия на Я2, не проходящая через состояния равновесия системы
= ^- = £20|>*2)- (О
Вращением поля (я,,^2) скоростей системы (1) вдоль линии Ь называется деленное на 2я приращение угла, составляемого вектором поля в точке А е В, с некоторой фиксированной осыо /, когда точка А проходит линию Л в положительном направлении. Индексом 1п<1 [а] изолированного состояния равновесия х = а системы (1) называется вращение поля вдоль замкнутой линии £,
не содержащей других состояний равновесия, кроме х-а.
Пусть задана система
^- = g{x), х = (2)
ш
и пусть 5 - замкнутая гладкая (л-1)-мерная поверхность и в окрестности 5
п
задано непрерывно дифференцируемое векторное поле g(x) = , где е,
»
- единичный вектор по оси х,. Вращением поля g(x) на поверхности 5 называется интеграл
7
7+1 (^Х>
Л
где й)пА - (п -1) -мерный объем единичной (/7-1)-мерной сферы, п - орт внешней нормали к 5. Индексом 1пс1 [а] изолированного состояния равновесия х = а системы (2) называется вращение поля (£р.••,£„) на замкнутой поверхности окружающей состояние равновесия х~а и не содержащей других состояний равновесия, кроме х-а.
В [24] показано, что 1)если индекс состояния равновесия х-а системы *1 = £1(*ь*2)> *2 = 82(х\>х2) с одной степенью свободы отличен от единицы, то состояние равновесия х = а не обладает свойством устойчивости по Ляпунову; 2) индекс изолированного состояния равновесия системы хх=х2, х2 - х2)
равен 1, -1 или 0. Исследование индекса устойчивого по Ляпунову состояния равновесия х=а системы х, = ёХхх,х1У...,хп)у /= 1,2,...,/7, с конечным числом степеней свободы проведено в работах [62] и [68], в которых показано, что индекс 1пс1(а) асимптотически устойчивого состояния равновесия х = а равен +1, если п - число четное и равен -1, если п - число нечетное. Для устойчивого состояния равновесия х-а системы с конечным числом степеней свободы индекс 1пс1(д) может быть любым целым числом.
Дивергенция поля скоростей была использована А. Пуанкаре [43] для изучения орбитальной устойчивости предельного цикла для системы с одной степенью свободы. Рассмотрим векторное поле g(x) = (gl(x),g2(x),.,.tgn(x)) системы (2). Дивергенцией <Ну g поля называется скалярная величина
Имеют место следующие соотношения, эквивалентные между собой:
сН
(3)
8
I
Д = ехр |<Цу ё(х)ск,
(4)
о
(5)
л °(х)
где Д и V соответственно равны . Д =----------, V
Щс)
= Формулы (3)-(5)
называются формулами Лиувилля [13, 751. Особо важную роль играет третья формула Лиувилля (5). Поясним смысл формул. Пусть й с Яп - есть некоторая область пространства Яп, а 0(1) - образ области О в момент времени г, т.е. 0(!) = <р(0^) есть область, занимаемая в момент времени / точками, которые при г = 0 занимают область 0\ здесь <р(с^) - решение системы (2) при начальном условии ^?(с,0) = с.
Непосредственным следствием формулы Лиувилля (5) является следующий факт [13, 75]: если дивергенция сНу# системы (2) тождественно равна нулю, то фазовый поток системы сохраняет объем у(/) области О.
А. Пуанкаре показал, что если временное среднее от дивергенции вдоль замкнутой траектории отрицательно (положительно), то предельный цикл асимптотически орбитально устойчив (орбитально неустойчив). Этот дивергентный признак был усилен в работе С. Заремба [97]. И. Бендиксон [65] установил дивергентный признак отсутствия в односвязной области замкнутых кривых, составленных из траекторий системы с одной степенью свободы: если дивергенция знакопостоянна в области фазового пространства, то в этой области не содержится замкнутых кривых, составленных из траекторий системы. Аналогичный признак установил и Г.Дюлак [18]. И. Бендиксон получил индексный признак для различения характера состояния равновесия системы вида
где [х|,х2]2 - аналитические функции, разложения которых не содержат линейных членов. Если индекс состояния равновесия системы равен +1, -1, 0, то со-
ш Ж
9