Устойчивость стационарных движений диссипативных механических систем

Оглавление
Введение 3
1. О влиянии диссипативных и постоянных сил на вид и устойчивость стационарных движений механических систем с циклическими координатами 11
1.1. Две классические задачи.......................... 11
1.2. Постановка задачи ............................... 14
1.3. Устойчивость механических систем в сопротивляющейся среде (случай В = 0)............................ 17
1.1. Устойчивость механических систем в сопротивляющейся среде (случай В ф 0)............................ 20
1.5. Пример........................................... 27
1.0. Выводы по главе 1................................ 34
2. Устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа с учетом диссипативных и постоянных моментов 36
2.1. Введение ........................................ 36
2.2. Волчок Лагранжа в углах Крылова.................. 37
2.3. Перманентные вращения волчка -Лагранжа в переменных Эйлера-Пуассона................................ 43
2.4. Регулярные прецессии волчка Лагранжа............. 49
2.5. Стационарные движения волчка Лагранжа в случае, когда диссипативный момент пропорционален кинетическому ............................................ 55
2.0. Выводы по главе 2................................ 57
1
3. Об устойчивости равномерных вращений симметричного твердого тела, подвешенного на струне, с учетом диссипативного и постоянного моментов 58
3.1. Введение ....................................... 58
3.2. Устойчивость вертикальных вращений тела на струне под действием постоянного и диссипативного моментов........................................ 60
3.3. Устойчивость вертикальных вращений тела на стержне при наличии крутильного и диссипативного моментов........................................ 71
3.4. Сравнение условий устойчивости, полученных в параграфах 2 и 3 этой главы с условиями устойчивости тела на струне без воздействия дополнительных моментов............................................. 77
Заключение 79
Список литературы
81
Введение
Данная диссертация посвящена, исследованию влияния диссипативных и постоянных сил на вид и устойчивость установившихся движений механических систем с циклическими координатами.
В своей работе автор опирается на результаты классических исследований Ж.-Л. Лагранжа, А. Пуанкаре, Э.Дж. Рауса. А.М. Ляпунова, Н.Г. Четаева. которые' нашли свое развитие и работах А.К). Пшлині кого. Е.А. Барбашнна. H.H. К расові кого. Г.К. Пожарнцкого. Л. Сальвадора В.В. Румянцева, В.А. Сары-чева. A.B. Карапетяна. B.IVI. Морозова, С.А. Мирера, И. Тереки
II др.
В общем случае рассмотрена стационарная консерватпв ная механическая система с п степенями свободы, на которую наложены только голономные связи. Такая система описывается п обобщенными координатами. Предполагается, что среди них есть такие п) < п координат, от которых не зависят ни кинетическая. ни потенциальная энергии системы. Такие координаты называются циклическими. Обозначим их через вектор-столбец
s = (в\....•■>,„)1 (верхний индекс Т означает транспонирование).
Остальные к = и ~ т координат обозначим через вектор-столбец г = (гі /д.)1. Эти координаты, как известно, называются позиционными. Обобщенные скорости, т.е. производные по времени от обобщенных координат, обозначим соответственно через векторы-столбцы S и і*.
Для систем с циклическими координатами широко рас-
3
пространены две классические постановки задачи об установившихся режимах движения.
Первая постановка: предполагается, что на рассматриваемую систему действуют только потенциальные силы, которые определяют ее потенциальную энергию Г(г). Эта постановка задачи восходит к Раусу. Уравнения Лагранжа второго рода для этой постановки задачи допускают т циклических интегралов дТ/ds — с. где Т - кинетическая энергия системы, а с произвольные постоянные. При этом рассматриваемая механическая система может совершать стационарные движения, при которых позиционные координаты и циклические скорости являются постоянными. Согласно теореме Рауса это стационарное движение будет устойчивым (по отношению к г, г и s), если приведенный потенциал Vc = V'(r) + l/2(C_1(r)c.c) принимает в точке rj строго минимальное значение. Здесь Г(г) потенциальная энергия системы. а С (г) матрица, обратная матрице коэффициентов при квадратах циклических скоростей в выражении для кинетической энергии. Кроме Рауса исследованиями устойчивости таких стационарных движений подробно занимались также A.М. Ляпунов, Г.К. Пожаргшкип. Л. Сальвадор!!. В.В. Румянцев и др. [2. 3. 11-13. 19. 21. 26. 27, 36, 52, 36-58].
Во втором случае предполагается, что на рассматриваемую систему действуют дополнительные управляющие силы, которые обеспечивают постоянство обобщенных циклических скоростей на всех движениях, то есть всегда выполняется ус ловие s = w. При этом система допускает относительные равновесия, для которых при фиксированных циклических скоростях позици-
4
онные координаты сохраняют пос тоянные значения. Эта постановка задачи восходит к Пуанкаре. Согласно теореме Лагранжа относительное равновесие будет устойчивым (по отношению К 1' и г), если измененный потенциал = V(r) - l/2(C(r)u>,u>) принимает в точке г°, строго минимальное значение (нижним индекс и» означает, что все вычисления происходят при фиксированном s = и;). Исследования устойчивости таких равновесий можно также найти в работах У. Томсона. П. Тэйта, Н.Г. Нетаева и
В.В. Румянцева и др. [11. 20. 28. 40. 41. 47. 50, 51. 54, 55. 59].
Отметим, что при определенном соотношении произвольных постоянных с и w. существует полное соответствие описанных выше стационарных движений и относительных равновесий, а также некоторое соответствие условий их устойчивости. Этот вопрос подробно исследуется в работах А. Пуанкаре. В.В. Румянцева. A.B. Карапетяна. С.Я. Степанова, М. Паскаль [20. 40, 47, 51, 54, 55].
Вопросы существования стационарных движении механических систем н условия их устойчивости в общем виде рассматриваются в 1 главе диссертации. В ней предполагается, что кроме потенциальных сил, как это было в классической задаче, на систему действуют некоторые постоянные и диссипативные силы с полной диссипацией, которые являются производными от функции Рслея. Основоположником такой постановки задачи является Г.К. Пожарицкий [35]. В его работах предполагалось, что постоянные силы действуют по всем координатам, а диссипативная функция Релея является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Рассматрива-
5