Содержание
Список обозначений .........................................4
ВВЕДЕНИЕ ...................................................6
Глава 1. Стабилизация систем при определенном классе постоянно действующих
возмущений (П.Д.В.) .......................................15
§ 1.1. Постановка задачи оптимальной стабилизации программного движения. Необходимые сведения из теории
устойчивости ............................................16
§ 1.2. Влияние на систему П.Д.В. Задача стабилизации
крена морского корабля ................................ 24
§ 1.3. Об оптимальной стабилизации линейной неоднородной
системы................................................ 29
§ 1.4. Стабилизирующее управление для некоторого класса
возмущений ..............................................34
§ 1.5. Оптимальная стабилизация сложной системы
при П.Д.В................................................37
Глава 2. Область непрерывности и условия существования кусочно-постоянного управления ..............45
§ 2.1. Область непрерывности для функции
Ляпунова ................................................45
§ 2.2. Решение задачи стабилизации при ограничениях на
управляющие воздействия .............................55
§ 2.3. Инвариантность относительно Г1.Д.В............62
Глава 3. Решение задачи оптимальной стабилизации при неисчезающих П.Д.В....................67
§ 3.1. Способ решения задачи оптимальной стабилизации при
неисчезающих П.Д.В...................................67
§ 3.2. Стабилизация крена морского корабля ..........77
Библиографический список ..............................89
ПРИЛОЖЕНИЕ ............................................103
Список обозначений
- квантор всеобщности;
- квантор принадлежности;
- тождественное равенство;
- модуль;
- евклидова норма;
- равно по определению;
- производная функции х(1) цо переменной
- вторая производная функции х(1) по переменной
Ц
- символ частной производной по переменной х ;
- декартово произведение множеств V и II;
- вещественное евклидово 7?--мерное пространство, п > 1;
- область в пространстве Б/1;
- граница области 0\
- шар радиуса г евклидова пространства Л* с центром в начале координат - 8Г = {г £ : ||ж|| < г};
[Т, +0О)
С<*-')( V, и)
С«(У,и)
С(У,и)
/ : V і-»- и
Г1
ж(з) = х(з:і,
5
- полуинтервал вещественных чисел, Т - вещественная постоянная;
- класс функций, непрерывно дифференцируемых к раз по первой и I раз по второй переменным на множестве V, принимающих значение во множестве и*,
- класс функций, непрерывно дифференцируемых к раз по независимой переменной на множестве V, принимающих значение во множестве и;
- класс функций, непрерывных на множестве V, принимающих значение во множестве II;
- отображение множества V во множество и;
- обратное отображение;
) - решение системы дифференциальных уравнений, проходящее в момент времени 5 = < через точку
у = *(<);
- постоянные матрицы соответствующих размерностей.
6
ВВЕДЕНИЕ
Проблема создания автоматических систем управления в той или иной степени возникла еще в начале прошлого столетия. В самом начале развития автоматики создавались различные регуляторы, основанные на чисто инженерной интуиции изобретателей. Позже стала развиватся теория, изучающая проблему реализации установившихся состояний системы.
Развитие идеи вариационного исчисления увенчалось появлением методов принципа максимума Л. С. Понтрягина и динамического программирования Р. Веллмана. Благодаря вышеупомянутым методам, стало возможным решение неклассических, сложных практических задач [1, 2, 8, 14, 42, 66, ТО, 72, 83, 84, 92, 111, 113, 118, 119], теории управления и теории стабилизации движения [3, 18, 28, 29, 46, 51, 52, 58, 69, 74, 87, 93, 94, 104, 115]. Появление этих методов дало толчок широкому развитию различных других методов решения важных и нужных задач об устойчивости решений дифференциальных уравнений [4, 9, 11-13, 16, 19, 33, 34, 43, 54, 61, 67, 68, 85, 86, 98, 108, 116, 117 ] и задач оптимального управления [6, 7, 22-25, 30, 45, 47, 59, 74, 89, 90, 96, 97, 102, 109, 110] .
Впервые задача об устойчивости в строгом математическом изложении была сформулирована А. М. Ляпу новым в его знаменитой диссертационной работе ’’Общая задача об устойчивости движения” [63]. Там же он указал два метода решения этой задачи, в
последствии названными: первым и вторым методом А.М.Ляпунова. Эти методы получили дальнейшее развитие в работах [ 5,10,20,37— 39,49,50,95,107].
А.М.Ляпунов поставил следующую задачу [62]. Пусть имеется система дифференциальных уравнений вида
хв = Хв(хи...,Хп,г) (з - 1 ,...,п), (0.0.1)
определенных в некоторой области 5 значений переменных
|#,| < Я (з = 1,...,п), I > (0.0.2)
где <0» Я - некоторые постоянные, причем Я > 0.
Предположим, что функция Хл обладает свойством
ХДО,..мО,0 = 0 (* = 1,...,п) (0.0.3)
и является голоморфной в некоторой октестности начала координат
х\ = 0,...,< = 0. (0.0.4)
В силу допущения (0.0.3) равенства (0.0.4) определяют оче-
видное решение уравнений (0.0Л), которое Ляпунов назвал невозмущенным движением.
Решение (0.0.4) отвечает начальным значениям переменных #10 = ... = хпо = 0 и предполагается единственным. Всякое другое решение уравнений (0.0.1), отличное от очевидного и отвечающее каким-либо другим начальным значениям хю хпо переменное, среди которых, по крайней мере, одно отлично от нуля, Ляпунов назвал возмущенным движением, а сами значения #10 ,..., хпо - возмущенными.
8
Желая выяснить известные топологические свойства окрестности (0.0.2) невозмущенного движения (0.0.4), Ляпунов поставил нижеприведенную задачу, дав при этом следующее определение.
Если при всяком, произвольно задаваемом числе А, как бы мало оно ни было, может быть выбрано число Л так, что при всяких возмущениях ж10 ,..., хпо , удовлетворяющих условию
то невозмущенное движение устойчиво; в противном случае оно неустойчиво.
Пользуясь этим определением, Ляпунов поставил задачу об устойчивости невозмущенного движения (0.0.4), т.е. задачу об отыскании тех условий, выполнение которых гарантирует устойчивость невозмущенного движения (0.0.4) в указанном выше смысле.
Эта задача имеет всеобщее научное значение и находит применение всюду, где явления описываются дифференциальными уравнениями вида (0.0.1); в теории автоматического управления задача об устойчивости является первой основной задачей. Здесь интересуются совокупностью всех значений параметров управления, при которых оно поддерживает процесс управления, описываемый решением (0.0.4).
В пространстве параметров управления эта совокупность об-
9
и при ВСЯКОМ I > выполнялось неравенство
разует некоторую область которую называют областью устойчивости.
Решение задачи об устойчивости преследует в конечном счете цель изучить динамику работы управляемых систем, получить аффективные средства влияния на нее с целью добится улучшения режимов работы и течения регулируемых процессов. Кроме того, решение проблемы устойчивости лежит в основе решения двух других важнейших проблем теории автоматического управления - проблемы качества и проблемы синтеза управления. Этим объясняется тот огромный интерес, который проявляется к задаче об устойчивости в науке вообще и в теории управления в частности.
Задаче об устойчивости посвящены четыре известные оригинальные монографии [36, 49, 64, 106].
Ляпунову принадлежат основные теоремы, разрешающие задачу об устойчивости в тех или иных случаях. Так, им доказана одна группа теорем, составляющих содержание того, что теперь принято называть прямым методом Ляпунова. Наряду с этим, он доказал другую группу теорем, составивших содержание первого метода Ляпунова. Оба метода имеют для теории автоматического управления фундаментальное значение.
Несомненный интерес вызывают также существенно важные для различных приложений вопросы устойчивости по первому приближению и сохранения свойства устойчивости при разного рода П.Д.В.
Ответы на некоторые из этих вопросов и составляют основную часть данной диссертационной работы. Необходимые допол-
10
нительные сведения были использовалны при этом из работ [ 15,17, 21,26,27,31,32,35,40,41,48,53,55,56,60,65,71,73,75,88,91,99- 101, 103,105,112,114].
Перейдём к непосредственному изложению содержания диссертационной работы.
В первой главе рассматриваются вопросы, посвященные разработке способов решения сформулированной ниже ( в § 1.2 ) задачи и вопросы отыскания этих решений.
Так, в § 1.1 дается постановка задачи об оптимальной стабилизации и некоторые особенности ее решения с различными условиями, наложенными на управляющий функции. Приводятся некоторые результаты различных авторов, которые были использованы в дальнейшем при написании настоящей работы.
В § 1.2 раскрыто понятие ”постоянно действующие возмущения” , даны их виды и способы задания. Поставлена задача стабилизации крена морского корабля.
В § 1.3 изложен способ решения задачи Румянцева В.В. для линейной неоднородной системы. Приведен пример.
§ 1.4. данной главы полностью посвящен решению вопроса построения наилучшего стабилизируещего управления, для случая, когда возмущения р(£) действуют только в некотором т-мерном подпространстве Ет п-мерного евклидова пространства Еп, и управление действует в том же подпространстве.
В § 1.5 построено стабилизирующее управление для сложных систем, где оптимизация проводится на двух уровнях: локальным
- Київ+380960830922