Содержание
Введение ......................................................... 3
Глава 1. Устойчивость равновесия линейных неконсервативных систем................................................ 12
§1. Влияние малых сил трения на устойчивость равновесия и
эффект Циглера........................................... 12
§2. Стабилизация равновесия большими силами трения .... 26
§3. "Устойчивость равновесия линейных систем с гироскопическими силами................................................ 35
Глава 2. Предельные циклы в неконсервативных системах 40
§1. Существование и устойчивость предельного цикла при
резонансе 1:2............................................ 40 '
§2. Оценка области притяжения предельного цикла.............. 52
§3. Предельный цикл при резонансе 1:3 (существование и ус-
V/
тойчивость).............................................. 55
Глава 3. Устойчивость и колебания двухзвенной стержневой системы.................................................. 65
§1. Двухзвенная стержневая система: устойчивость равновесия 65
§2. Колебания двухзвенной стержневой системы................. 72
Заключение........................................................ 81
Литература....................................................... 82
2
Введение
Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости и колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы, находящихся иод действием как потенциальных, так и непотенциальных (неконсервативных) сил. Под неконсервативными силами мы подразумеваем диссипативные силы, а также позиционные силы, не допускающие потенциала. Последние силы часто называют циркуляционными [1, 2], следящими [3] или силами радиальной коррекции [4]. К неконсервативным силам относят также гироскопические силы. Совокупное влияние потенциальных, диссипативных, неконсервативных позиционных и гироскопических сил на поведение механической системы требует' отдельного изучения. В тексте диссертации мы только кратко касаемся некоторых аспектов этой задачи.
Интерес к неконсервативным задачам со следящими силами появился, как известно, после работ Эйлера, в которых он исследовал устойчивость форм равновесия упругой балки. Последующее изучение области применимости метода Эйлера в задачах устойчивости упругих систем показало, что если внешние силы неконсервативны, то метод Эйлера становится, вообще говоря, непригодным. Основным методом исследования неконсервативных задач теории упругости является метод, основанный на рассмотрении колебаний системы вблизи положения равновесия, что сближает его с общей теорией устойчивости и классической механикой.
Приближенное исследование поведения упругих систем на основе конечномерных моделей получило широкое распространение и выявило ряд удивительных свойств упругих систем: «негативизм», когда совмсст-
ное влияние следящей силы и внешнего момента ведет к эффекту «отрицательной» жесткости, эффект Циглера [5], когда сколь угодно малые по модулю силы вязкого трения дестабилизируют равновесие системы, устойчивое в отсутствие сил трения, и другие эффекты.
Проблемы устойчивости и колебаний неконсервативных систем возникают при проектировании конструкций в машиностроении, авиации, ракетной технике и т.д. Большое количество работ по устойчивости неконсервативных систем относится к аэроупругости [б, 7). Неконсервативные задачи возникают в теории двуногой ходьбы [8, 9]. Другим примером являются большие космические конструкции [10].
Моделирование динамики ракетоносителей (PH) напрямую связано с исследованием колебаний неконсервативных систем. К примеру, одной из важных и мало изученных задач в динамике PH является задача о влиянии диссипативных сил на устойчивость движения PH, когда система находится под воздействием неконсервативных позиционных сил [11]. Известно, что в некоторых случаях малые силы трения усиливают динамическую неустойчивость системы (из-за наличия дополнительных позиционных неконсервативных сил). Так, совокупное влияние сил аэродинамического сопротивления и реактивной силы тяги двигателя может привести к усилению поперечных колебаний PH; сила сопротивления и реактивная сила истечения жидкого топлива из конца заправочного шланга, соединяющего летательные аппараты во время дозаправки их в полете, может также привести к сильным поперечным колебаниям шланга.
Диссертация посвящена получению условий устойчивости движений механических систем с конечным числом степеней свободы при наличии позиционных неконсервативных сил и анализу колебаний в
зонах Циглера (зонах неустойчивости). Исследуются области устойчивости и неустойчивости равновесных конфигураций двухзвенного механизма, находящегося под действием сосредоточенной следящей силы, составляющей фиксированный угол с нормалью к торцевому сечению стержня. В простейшем случае эта модель описывает динамику заправочного шланга, находящегося под действием реактивной силы истечения жидкости. Исследуются его автоколебания в зонах Циглера.
Задачам устойчивости неконсервативных систем посвящено большое количество статей и монографий, среди которых отметим работы 13.В. Болотина [12], Я.Г. Пановко и И.И. Губановой [13], Дж. Херманна [14], Г. Циглера [15], Д.Р. Меркина |16|, С.Л. Агафонова [17], В.М. Лахаданова [18], A.B. Карапетяна [19], A.A. Зевина [20].
Наибольшую известность среди неконсервативных задач получил парадокс дестабилизации (или эффект Циглера в настоящей работе) [5]. Изучению этого явления посвящен целый ряд работ [15, 21]. В монографии [16] эффект Циглера рассматривается как частный случай проблемы устойчивости по первому приближению равновесия механической системы с конечным числом степеней свободы, находящейся под действием потенциальных, неконсервативных позиционных сил и линейных сил вязкого трения. Перечисленные выше работы содержат результаты, описывающие достаточные, либо необходимые условия такой устойчивости.
Отсутствие критерия устойчивости, и как следствие, критериев существования эффекта Циглера объясняется алгебраической сложностью задачи. Так как характеристический полином содержит все коэффициенты при степенях Л, то неравенства, отвечающие критерию Рауса-Гурвица, имеют весьма сложный вид. Их сложно исследовать на совместность, открытым остается вопрос о приведении неравенств к
простейшему виду, когда критерий устойчивости имеют наглядный вид.
К перечисленным выше задачам тесно примыкает обширная работа по устойчивости быстро вращающихся валов [13). Как известно, силы внутреннего трения в материале способствуют затуханию колебаний, когда вал вращается со скоростью, меньшей первой критической. При скоростях, превышающих критическую, силы внутреннего трения оказываются направленными не против вращательного движения, а по направлению движения, что может приводить к раскачке колебаний системы. В этих задачах именно вязкость материла вала приводит к появлению (но крайней мере в первом приближении) неконсервативных позиционных сил.
Диссертация состоит из трех глав: I. Устойчивость равновесия линейных неконсервативных систем. II. Предельные циклы в неконсервативных системах. III. Устойчивость и колебания двухзвенной стержневой системы.
Первая глава посвящена исследованию устойчивости равновесия механической системы с идеальными стационарными голономными связями, находящейся под действием потенциальных, неконсервативных позиционных сил и диссипативных сил вязкого трения. Движение системы описывается уравнениями Лагранжа 2-го рода. Предполагается наличие у системы изолированного равновесия д = д = 0.
Уравнения первого приближения приведены к нормальным координатам. Рассматривается задача устойчивости при малых силах трения (коэффициент трения £ много меньше единицы). Используя теорему о неявной функции, построены необходимые и достаточные условия асимитотической устойчивости по первому приближению в виде достаточно простых неравенств, накладываемых на параметры задачи. Из
- Київ+380960830922