Применение метода декомпозиции для построения управления в динамических системах

Содержание
Введение 3
Глава 1. Синтез управления в нелинейной Лагранжевой системе на основе декомпозиции. 15
1.1 Постановка задачи. 16
1.2 Декомпозиция системы. 18
1.3 Управление линейной подсистемой. 19
1.4 Нахождение допустимых параметров управления Х{. 22
1.5 Случай нулевых начальных скоростей. 24
1.6 Приложения к задачам управления манипуляционными роботами, приводы которых имеют большие коэффициенты передачи. 28
1.7 Численное моделирование движений трехзвешюго робота-манипулятора. 41 33
Глава 2. Синтез управления двузвенным манипулятором
с безредукторпыми приводами. 60
2.1 Описание системы. Постановка задачи. 61
2.2 Упрощающие предположения и декомпозиция системы. 63
2.3 Нахождение параметров управления Х\ иХ2. 63
2.4 Численное моделирование. 67
Глава 3. Задача динамического управления манипуляционными роботами с упругими элементами. 71
3.1 Уравнения движения с учетом упругости шарниров. 71
3.2 Постановка задачи и упрощающие предположения. 75
3.3 Асимптотической подход и декомпозиция движений. 76
3.4 Численное моделирование движений двузвенного робота-манипулятора. 79
Заключение 90
Литература 92
2
Введение
Диссертация посвящена исследованию возможностей применения метода декомпозиции в задачах управления динамическими системами. Цель проведенных исследований заключается в приложении полученных результатов к решению задач управления манипуляционными роботами.
В диссертации рассматриваются системы, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями, имеющими лагранжеву форму [11]
ЙЭГЭТ г = 1,... ,п, (0.0.1)
сИ асц д(ц
где [/{ — управляющие обобщенные силы (управления), — все прочие обобщенные СИЛЫ, включая неконтролируемые возмущения, Т((1,С[) — кинетическая энергия системы, заданная в виде положительно определенной квадратичной формы но обобщенным скоростям ф с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат су:
А<М) = 5 £ (0.0.2)
»Д=1
Основные проблемы, возникающие при решении задач управления рассматриваемой системой, связаны с тем, что она представляет собой существенно нелинейную динамическую систему высокого порядка. Для нее характерно наличие динамического взаимодействия между различными степенями свободы, которое характеризуется элементами Aij(q) матрицы кинетической энергии А (су). Другим осложняющим фактором является дефицит управлений в системе (их число равно п в системе порядка 2п).
Примером механических систем, описываемых уравнениями (0.0.1), могут служить манипуляционные роботы [35], которые являются важ-
3
иейшей составной частью автоматизированных производственных систем. Манипуляционные роботы обладают гибкостью перестройки на выполнение самых разнообразных технологических операций, а также широкими функциональными возможностями. В отличие от автоматов они способны воспроизводить или имитировать движения человека. Манипуляционный робот - это управляемая механическая система, которая содержит один или несколько манипуляторов (исполнительных органов), систему управления, приводы, захватные устройства. (рабочие органы). Манипулятор - механическая система с программным управлением, доставляющая объекты в заданную область пространства внутри рабочей зоны. В конструкции манипуляционного робота используются различные виды приводов — электромеханические, пневматические, электрогидравлические. Наибольшее распространение получили электромеханические приводы [22, 36], состоящие обычно из электродвигателя и редуктора. Приводные двигатели могут быть расположены шарнирах, соединяющих звенья манипулятора, или в соседних звеньях с шарнирами.
Для манипуляционных роботов в качестве обобщенных координат сц обычно выбираются относительные углы или смещения между звеньями. Интенсивность взаимовлияния между различными звеньями задается элементами матрицы А(<у). Если учитывается динамика приводов, то функции Ац включают массо-инерционные параметры электродвигателей и редукторов. Уравнения движения манипуляционного робота (в форме Лагранжа) содержат составляющие обобщенных сил обусловленные силами веса, сопротивления, которые бывают известны лишь в общих чертах и могут существенно изменяться в процессе эксплуатации манипулятора. Компоненты /7, имеют физический смысл сил или моментов сил, развиваемых исполнительными устройствами.
Часто возникает задача о переводе системы (0.0.1) из некоторого начального состояния в заданное терминальное состояние. При этом
4
предполагается, что обобщенные координаты </,•(£) и скорости сц(1) доступны измерению, а управления £/* подвержены некоторым ограничениям.
Для решения этой задачи могут быть использованы методы оптимального управления [23]. Они учитывают накладываемые ограничения на управление и позволяют привести систему в терминальное состояние за минимальное время. Тем не менее, нахождение оптимального закона управления для нелинейной системы — задача достаточно трудная. Точное решение задач оптимального управления возможно крайне редко и только для специального типа динамических систем.
Для решения задач управления в нелинейной постановке были предложены различные подходы в работах Дж. Лейтманна, М. Кор-лесса, А. Исидори, X. Нимейера, А. ван дер Схафта, С. В. Емельянова, В. И. Уткина, Е. С. Пятницкого, Ф. Л. Черноусько и др. Можно выделить адаптивные подходы, основанные на методе функции Ляпунова [48, 40, 41], методы систем с переменной структурой [16, 55], методы, использующие идеи декомпозиции [24, 25, 20, 32, 33, 34, 38], и другие методы [46, 51].
Необходимость рассмотрения задач управления системой (0.0.1) именно в нелинейной постановке без перехода к упрощенному линеаризованному описанию связана с несколькими причинами. Классические методы автоматического управления, применяемые к линейным системам, представляют управление в виде линейного оператора текущего состояния системы. Таким образом, в окрестности терминального состояния управление оказывается малым. Следовательно, используются не все возможности управления, и время процесса управления бесконечно. Вдали от терминального состояния управление становится достаточно большим и может нарушить ограничения, которые обычно па него накладываются. Кроме того, область допустимых возмущений для систем управления, построенных на основе линейных моделей, ча-
сто не охватывает возмущений, которые встречаются в реальных эксплуатационных режимах. При изменении цели управления в системах, построенных на основе линейных моделей, изменяются как структура, так и параметры алгоритмов управления. Указанные причины затрудняют синтез универсальных систем управления.
В работах Ф. Л. Черноусько [32, 33, 34, 38] предложены методы, которые при определенных допущениях позволяют построить управление но обратной связи для системы (0.0.1). Эти методы явно учитывают наложенные геометрические ограничения на управление
\Ui\<Uf, г = 1,п (0.0.3)
и обеспечивают приведение системы (0.0.1) в заданное состояние q] с нулевыми скоростями за конечное время. Данные методы используют декомпозицию исходной нелинейной системы со многими степенями свободы на простые подсистемы с одной степенью свободы каждая, т. е. основаны на сведении исходной задачи управления нелинейной системой порядка 2п к задаче управления системой п простых независимых линейных уравнений второго порядка. Далее, для каждой подсистемы применяется подход теории оптимального управления и дифференциальных игр. В результате получено в явном виде управление по обратной связи для исходной нелинейной системы. Это управление близко к оптимальному (субоптимально), если величины возмущений и нелинейностей в системе оказываются малыми.
Наряду с задачами управления механическими системами вида (0.0.1), которые подвержены возмущениям, в диссертации исследуется задача динамического управления в лагранжевой системе, моделирующей динамику манипуляционных роботов с упругими шарнирами. Одной из важных технических характеристик манипуляторов является точность позиционирования схвата. Для того, чтобы добиться ее повышения, приходится производить анализ динамики механической
б
модели манипулятора с учетом его упругой податливости. Экспериментальные исследования [5, 12] показывают, что основной вклад в упругую податливость роботов, снабженных электромеханическими приводами с многоступенчатыми редукторами, вносит упругость шарниров. Упругость же звеньев во многих случаях может не учитываться ввиду их относительно небольшой длины и большой жесткости. Анализ упругих колебаний, возникающих в таких системах, может проводится с использованием асимптотического метода разделения движений на ”быстрые” и ’’медленные’' составляющие. Такой подход был впервые применен к системам с упругими элементами большой жесткости в работах [30, 31]. Члены, описывающие влияние упругой податливости, находятся в аналитическом виде, а полученные уравнения для медленных движений не содержат высокочастотных осциллирующих слагаемых и могут быть проинтегрированы численно с большим шагом. Таким образом, полуаналитический метод исследования позволяет уменьшить вычислительные затраты.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе диссертации рассматривается нелинейная управляемая динамическая система со многими степенями свободы, описываемая уравнениями Лагранжа второго рода. Предполагается, что в уравнениях движения матрица кинетической энергии близка к некоторой постоянной диагональной матрице. Найдены достаточные условия, при которых возможна декомпозиция исходной нелинейной системы на независимые линейные подсистемы второго порядка (при этом нелинейности рассматриваются как ограниченные возмущения). Указан способ расчета субоптимального управления, переводящего систему за конечное время из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние с нулевыми скоростями. Построенное управление ограничено, имеет простую структуру, а также позволяет учесть огра-