Мероморфная неинтегрируемость плоской задачи трех тел

Содержание
Введение
1 Постановка задачи
1.1 Рать задачи трех тел в небесной механике • • • 15
1.2 История проблемы.
1.2.1 Математическое описание. Работы до А. Пуанкаре - 17
1.2.2 Исследования А. Пуанкаре • * • 22
1.3 Редукция уравнений движения плоской задачи грех тел • • • 28
1.4 Неинтегрируемость проблемы трех тел.
Известные результаты • • • 31
1.5 Решения Лагранжа • • • 36
1.6 Определение мероморфной интегрируемости по Лиувиллю приведенной плоской задачи трех тел • • • 38
2 Приведенные уравнения в вариациях вблизи параболического решения Лагранжа
2.1 Вычисление приведенных уравнений в вариациях • • • 38
2.2 Приведенные уравнения в вариациях в форме Фукса. Механический смысл особых точек <1, $2> ’ • * 41
3 Группа монодромии приведенных уравнений в вариациях
3.1 Исторические замечания • • • 43
3.2 Группа монодромии уравнений (2.9) • • • 49
3.3 Вычисление генераторов Ть Т2, Т
3.3.1 Случай особой точки *0 • • ■ 50
3.3.2 Особые точки Логарифмическое ветвление • • • 51
3.3.3 Бесконечно удаленная точка £ = о© • • • 52
4 Мероморфная неинтегрируемость по Лиувиллю плоской задачи трех тел
4.1 Теорема С.Л. Зиглина об отсутствии мероморфньпх интегралов гамильтоновой системы • - • 53
4.2 Теорема о мероморфной неинтегрируемости плоской задачи трех тел в окрестности параболического решения Лагранжа • • • 57
4.3 Доказательство отсутствия двух независимых рациональных инвариантов группы монодромии
4.3.1 Операторы Д, $ • • • 58
1
4.3.2 Случай ^ = ./,(г2; х.{),г = 1,2 • • • 60
4.3.3 Случай когда по крайней мере одна из функций «7Ь 72 зависит от Х\, х3 • • • 62
Список литературы • • • 67
2
Введение
Данная диссертационная работа посвящена вопросу интегрируемости плоской задачи трех тел.
Возникающая при этом гамильтонова система
с1хг дНх (1уг дн,
1Г=д^' Ж = 1.2, •.,6),
имеет б степеней свободы и была впервые предложена к изучению в своей изначальной форме Исааком Ньютоном в 1686 году.
С использованием известных первых интегралов, число степеней свободы этой задачи может быть понижено до трех, что было проделано в различное время в классических работах Якоби, Лагранжа и Пуанкаре. Получаемые при этом уравнения называются в дальнейшем приведенными уравнениями плоской задачи трех тел.
Зундман [21] предложил в 1913 г. сходящиеся ряды, представляющие решение проблемы трех тел, не имеющие однако практической ценности в виду их медленной сходимости. В 1922 г. Шази [3] привел первую классификацию финальных типов движений в этой задаче.
А. Пуанкаре, в своей работе [18] рассматривает функцию Гамильтона Н(г,р) которая наряду с переменными 21,... ,2П, = (:г*,!/5) зависит
также аналитически от малого параметра ц > 0. Согласно его теореме, при некоторых ограничениях на Я(г, 0) и дН/др д=0, которые выполнены в большинстве случаев, гамильтонова система, соответствующая Н(г,р), не имеет других однозначных первых интегралов как функций от 2п -г 1 переменных г1?... , 2П и д за исключением являющихся рядами по Я и р.
Основываясь на этом результате он доказал в 1889 г. неинтегрируе-мость ограниченной задачи трех тел [18]. Тем не менее эта теорема ничего не говорит о невозможности интегрируемости при фиксированных значениях параметра р.
Как показал Брунс [2] в 1882 г., классические интегралы проблемы трех тел являются единственными интегралами этой задачи которые представляются алгебраическими функциями положений и скоростей.
Это утверждение было усилено в работе Пенлевс [17], где доказано отсутствие новых интегралов, алгебраических по скоростям, в то время как зависимость от положений предполагалась произвольной.
Как было отмечено в книге [7], все эти изящные результаты не имеют большого значения для динамики, лак как не учитывают особенностей поведения фазовых траекторий. Действительно, локально, в окрестности неособой точки, всегда существует полный набор первых интегралов: их
3
алгебраическая или трансцендентная природа зависит от выбранной системы независимых переменных. Следовательно, проблема существования первых интегралов имеет смысл только во всем фазовом пространстве или в окрестности некоторого инвариантного множества.
Приведем некоторые основные результаты, касаемые интегрируемости гамильтоновых систем.
Прежде всего дадим ряд определений. Рассмотрим гамильтоново векторное поле Хц на симплектяческом многообразии М размерности 2п. Согласно теореме Дарбу, в малой окрестности любой точки на М существуют такие локальные координаты (хь... ,:гп,?д,...,уп)=, что сим-плектическая структура записывается в виде
Для двух произвольных функций /,£ определим скобку Пуассона согласно правилу
Согласно определению, гамильтонова система Xц называется вполне интегрируемой или интегрируемой по Лиувиллю , если существуют п функций /i = Я. /2,. Для которых выполнены следующие требования:
(A) /ь ...,/„ являются функционально независимыми т.е. 1-формы с//,, i — 1,2.... ,п линейно независимы на некотором всюхту плотном открытом подмножестве U G М.
(B) образуют инволютивный набор, т.е = 0, i.j =
Согласно условию (В) функции /1,..., /п являются первыми интегралами гамильтоновой системы Хн.
В качестве интегрируемой по Лиувиллю системы примера рассмотрим систему с функцией Гамильтона
Здесь Hi = Н(хх, У;) является функцией двух переменных ?д. Легко видеть, что функции Я1}....ЯП независимы и выполнено условие
п
Н = Н{[х[,у[) + •• • + Нп(хПіуп).
(0.1)
4
{Н{,Н^} = О, = 1 согласно которому они образуют полный
инволютивный набор интегралов системы (0.1).
Рассмотрим произвольную вполне интегрируемую гамильтонову систему Хи- Пусть /п— соответствующий набор первых интегралов в инволюции и Ма = {г Е М : {{(£) = а,{Л — 1, а =
(а1,...,ап) € №1- невырожденная поверхность уровня /ь ...,/п (другими словами г<тк(с1/\,.... й/п) = гг на Мл).
Справедлива следующая теорема Лщвгхлля-Арнольда
(a) Ма является инвариантным многообразием относительно потока гамильтоновой системы Хи- Если Ма компактно и связно, тогда это многообразие диффеоморфно п-мерному тору Тп = Еп /2П.
(b) В окрестности тора V1 существует каноническая система координат (/, ф) = (/ь ..., 1п> ..., фп). 0г(шос1 2тг), называемых переменными действие-угол, в которых уравнения Гамильтона для Хп принимают зид
/. = 0, ф{=и^1), 2 = 1,2,...,77.
Вопрос о том, является данная гамильтонова система интегрируемой или нет, оказывается в большинстве случаев довольно сложным. Попытаемся дать краткий обзор препятствий различной природы к интегрируемости гамильтоновых систем. Основным источником для нас будет являться книга В.В. Козлова [7].
Препятствия топологического характера.
Как ни странно, подавляющее число результатов в этой области было получено сравнительно недавно. Причина возможно кроется в том. что для математиков ХУНТ-XIX столетий интегрируемость системы дифференциальных уравнений заключалась в существовании общего решения этой системы, выраженного при помощи квадратур. Глобальное поведение фазовых траекторий при этом не рассматривалось: преобладающую роль играл локальный подход.
Рассмотрим обратимую систему с двумя степенями свободы
дН . дн Р=-Щ’ (0'2)
конфигурационным пространством которой является двумерная компактная ориентируемая поверхность М. Справедлива следующая
о