Глобальная устойчивость нелинейных динамических систем с распределенными параметрами

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................5
ЧАСТЬ I
УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОСНОВНОЙ СЛУЧАЙ)
Глава 1. Глобальная асимптотика в случае стационарной нелинейности. Учет сухого трения в системах регулирования, содержащих трубопровод....................................12
1.1. Частотный критерий глобальной асимптотики в случае дифференцируемой нелинейности, удовлетворяющей условиям сектора .......................................................12
1.2. Учет условий на производную при исследовании глобальной асимптотики в случае кусочно-непрерывной нелинейности в бесконечном секторе.......................................19
1.3. Учет сухого трения при исследовании устойчивости регулирования турбины с напорным трубопроводом..................31
1.4. Влияние кулонова трения на устойчивость регулятора давления в длинном трубопроводе.............................51
Глава 2. Устойчивость “в большом*' для систем со стационарными нелинейностями. Оценки областей притяжения для механических систем ..................................56
2.1. Частотные условия }гстойчивости в случае кусочно-непрерывной нелинейности, удовлетворяющей условию сектора в окрестности нуля...............................................57
2.2. Определение области притяжения положения равновесия для системы, описывающей движение летательного аппарата в горизонтальной плоскости......................................65
2.3. Об областях притяжения устойчивых положений равновесия систем маятникового типа..................................70
2
ЧАСТЬ II
УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ОДНОГО НУЛЕВОГО КОРНЯ)
Глава 3. Дихотомия, устойчивость по Лагранжу, глобальная асимптотика уравнений с периодической нелинейной функцией. Устойчивость многомерных и бесконечномерных биомеханических, радиотехнических, электромеханических систем и систем связи ...................................84
3.1. Некоторые вспомогательные утверждения относительно решений фазовых уравнений. Частотный критерий дихотомии .. 84
3.2. Процедура Бакаева-Гужа. Частотный критерий глобальной асимптотики для интегро-дифференциальных фазовых уравнений с кусочно-непрерывно дифференцируемой нелинейной функцией ..................................................94
3.3. Метод нелокального сведения в применении к фазовым ин-тегро-дифференциальным уравнениям. Частотное условие устойчивости по Лагранжу....................................97
3.4. Метод нелокального сведения. Критерий глобальной асимптотики ..............................................105
3.5. Устойчивость интегро-дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными нелинейными функциями..............110
3.6. Оценка числа проскальзываний циклов для решений фазовых уравнений.............................................118
3.7. Исследование вращательных движений верхушек растущих органов растений......................................126
3.8. Оценка полос захвата систем фазовой автоподстройки частоты с запаздыванием в петле обратной связи.............135
3.9. Самосинхронизация двух неуравновешенных роторов, находящихся на абсолютно жесткой платформе с одной степенью свободы .................................................149
3.10. Система синхронизации шумоподобного сигнала в спутниковой системе связи...................................158
3
Глава IV. Устойчивость бесконечномерных систем с нелинейностью, удовлетворяющей условию сектора .............165
4.1. Круговой критерий абсолютной устойчивости для интегрального уравнения в критическом случае одного пулевого корня .....................................................165
4.2. Устойчивость распределенных систем непрямого регулирования по Лагранжу.......................................172
4.3. Усиление кругового критерия для распределенных систем непрямого регулирования.................................180
Глава V. Цепи Чуа ......................................192
5.1. Глобальная устойчивость канонических цепей Чуа 192
5.2. Локализация аттракторов в многомерных системах. Существование ограниченных положительно инвариантных множеств для систем Чуа..........................................207
Глава VI. Круговые решения и предельные циклы интегро-дифференциальных уравнений с периодическими нелинейными функциями .........................................216
6.1. Частотный критерий существования круговых решений для бесконечномерных фазовых систем.........................216
6.2. Оценки частоты периодических решений второго рода .. 228
6.3. Оценки частоты биений в системах ФАПЧ с запаздыванием....................................................237
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................244
А
ВВЕДЕНИЕ
В диссертации изучаются проблемы глобального поведения различных классов нелинейных систем, характерные для двух важных современных научных направлений: теории абсолютной устойчивости систем автоматического управления и теории синхронизации механических, электромеханических, биомеханических, радиотехнических систем. Рассматриваемые в диссертации вопросы включают в себя дихотомию, устойчивость по Лагранжу, глобальную асимптотическую устойчивость, существование периодических решений, существование круговых решений.
В последнее время при изучении сложных систем управления возникла необходимость в учете распределенных звеньев, поскольку, чем точнее описание системы, тем более точными являются результаты ее качественного исследования, и в частности, тем более точным становится описание областей устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров системы. Для большого круга систем автоматического управления адекватпое математическое описание можно дать, лишь включив в математическую модель распределенные звенья.
Литература, связанная с изучением устойчивости систем с распределенными параметрами, характеризуется как разнообразием рассматриваемых задач, так и разнообразием объектов исследования. Последние отличаются друг от друга и математическим описанием линейной части и видом нелинейных функций. В диссертации объектом исследования являются нелинейные системы, математическое описание которых может быть представлено интегральными или интегро-дифференциальными уравнениями Вольтерра. Именно к таким уравнениям сводится, в частности, математическое описание систем различной природы, исследуемых с учетом запаздывания, активное изучение динамики которых началось с середины семидесятых годов. В диссертации рассматриваются системы как с периодическими по времени нелинейностями, характерными для задач теории синхронизации, так и с нелинейностями, удовлетворяющими условию сектора, присущими многим широко изучаемым системам автоматического управления, в частности, релейным системам и цепям Чуа.
В диссертации разработана и реализована общая методика исследования глобального поведения распределенных динамических систем, математическое описание которых может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерра
i
a(t) = <70(i) - I- т)£(т) dr (t > 0), (0.1)
о
где функция сто описывает собственные колебания линейной части системы, функция 7 является ее импульсной переходной функцией, а функция £ описывает ее нелинейную часть, именно,
£ = Ф (ta) (0.2)
Линейная часть системы может помимо уравнение (0.1) включать в себя также начальную или начально-краевую задачу относительно функции и Е R'" (компоненты которой могут зависеть не только от временной, но и от пространственной переменной).
В диссертации исследуется асимптотическое поведение функций О• и и приt —► -boo. Основное внимание уделено изучению систем с неединственным положением равновесия. Для таких систем получены достаточные условия дихотомии, устойчивости по Лагранжу, глобальной асимптотики (т.е. стремление любого решения к какому-либо положению равновесия). В случае периодической функции Ф = Ф(ст) установлены, кроме того, достаточные условия существования круговых решений, а также условия отсутствия предельных циклов второго рода, построены оценки числа проскальзываний циклов.
В диссертации широко используются второй метод Ляпунова метод априорных интегральных оценок Попова, качественная теория динамических систем,теорема Якубовича-Калмана о разрешимости специальных матричных неравенств, метод периодических функций Ляпунова, метод нелокального сведения, методы гармонического анализа, теория дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, теория интегральных уравнений с разрывным оператором.
Почти все результаты сформулированы в терминах передаточной функции линейной части системы, т.е. в виде частотных кри-
6
терпев. На основе метода априорных иптегральных оценок в диссертации разработан метод нелокального сведения в применении к распределенным системам. Метод нелокального сведения позволяет проводить эффективное построение функционалов Попова, в которые введена информация о траекториях уже исследованных двумерных систем (последние называются системами сведения). В результате на бесконечномерные системы удалось распространить ряд известных теорем о двумерных системах. Для систем с периодической нелинейностью реализована также процедура Бакаева-Гужа, состоящая в замене функции Ф(а) внутри функционала Попова на функцию с теми же качественными характеристиками, но с нулевым средним.
В диссертации выделены два класса интегральных уравнений: уравнение с “устойчивой" линейной частью и уравнение с "критической"' линейной частью в так называемом критическом случае одного нулевого корня.
Устойчивость линейной части уравнения (0.1) предполагает, что
£ 1ч[0,+оо)Г|£2[0,+оо) И а0(<) —► 0 при t —> +оо. В критическом случае одного нулевого корня внеинтегральный член и ядро уравнения (1) могут быть представлены формулами <7о(0 = /'о + <Н(0>7(0 = 7о + 7](*)> гДе 1'о и 7о - числа, а °г1(0»71(^) € £ч[0, +оо) П £2(0, +оо) В этом случае весьма часто интегральное уравнение (0.1) может быть преобразовано в интегро-дифференциальное уравнение вида
I
*(*) = а'о(0 + - К) - I д(1 - т)£(т) ^т, (/ > 0, к > 0). (0.3)
о
Каждый из приведенных здесь двух классов уравнений обладает определенной спецификой. Различаются они также и характером приложений.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1) Новый частотный критерий глобальной асимптотики для интегрального уравнения (0.1) с ограниченной дифференцируемой нелинейностью, удовлетворяющей условию сектора, и его модификация для случая нечетной нелинейной функции, имеющей при (у = 0 разрыв I рода, при условии бесконечного сектора. На осно-
7
ве этого критерия проведено исследование ус тойчивости системы регулирования гидравлической турбины с учетом трубопровода как распределенного звена, а также с учетом сухого трения в муфте регулятора. Указанная система обладает ” отрезком покоя” в функциональном фазовом пространстве. Установлены дополнительные условия на линейную часть системы, которые совместно с частотными условиями обеспечивает стремление любого решения системы к какой-нибудь точке ’’отрезка покоя”. Указанная задача без учета сухого трения изучалась в работе Ю.И.Неймарка. [Неймарк, 1950], где построены области устойчивости в пространстве параметров системы. В диссертации проведено сравнение областей устойчивости линейной и нелинейной задач. Показано, что в плоскости параметров регулятора граница области устойчивости нелинейной задачи может служить вертикальной асимптотой для границы области устойчивости линейной задачи.
2) Новая частотная теорема, предназначенная для определения областей притяжения в фазовом пространстве систем регулирования с нелинейностями, графики которых лежат в секторе не для всех значений аргумента, а лишь для значений из некоторого конечного интервала.
Этот критерий применяется к системе, описывающей при некоторых допущениях движение летательного аппарата с релейным управляющим воздействием в горизонтальной плоскости. Полученная область притяжения оказывается шире, чем область, найденная в монографии А.Н.Формальского [Формалъский, 1974]
3) Обобщение процедуры Бакаева-Гужа построения периодических функций Ляпунова. Данное обобщение позволило в некоторых случаях существенно улучшить оценку областей притяжения положений равновесия маятниковой системы второго порядка по сравнению с оценками, получаемыми с помощью традиционной функции Ляпунова вида ”квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности”.
4) Частотный критерий глобальной асимптотики распределенных фазовых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями (0.3), использующий различные модификации процедуры Бакаева-Гужа. Этот критерий позволил получить простые и эффективные условия устойчивости нулевого положения
равновесия для математической модели вращательных движений верхушек растущих растений, изложенной в [Somolinos, 1978]. С его помощью установлена более точная оценка полосы захвата для системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с интегрирующим фильтром, чем оценка, полученная с помощью второго метода Ляпунова [Фазовая синхронизация, 1975]. С помощью данного критерия получены также достаточные алгебраические условия самосинхронизации двух неуравновешенных роторов, находящихся на абсолютно жесткой платформе с одной степенью свободы, приводимых в движение от отдельных асинхронных дви-гателей.Установлено, что в случае равных парциальных частот синхронизация роторов обеспечена при любых значениях параметров.
5) Частотные критерии устойчивости по Лагранжу и глобальной асимптотики распределенных фазовых систем, сводящрге исследование исходной бесконечномерной системы к проверке некоторых частотных неравенств и проверке условий устойчивости двумерных фазовых систем.
Сформулированные критерии позволяют распространить на. бесконечномерные системы как аналитические оценки [ Tricomi, 1933; Amerio, 1949; Bohm, 1953; Haves, 1953; Seifert, 1952; Велюетина, 1955; Табуева, 1958 ] так и оценки областей устойчивости [Giger, 1956; Jelonek, Celinski, Syski, 1954; Richman, 1954a; Richnian, 1954b; Капранов. 1958; Велюетина и др., 1970 ], полученные с помощью численных и качественно численных методов.
С помощью этих критериев получены оценки границ полос захвата систем ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром и запаздыванием в петле обратной связи. Установлено, что эти оценки близки к значениям границ полос захвата, полученным качественно-численными методами [Велюетина, Киняпииа, 1991 ]. В то же время сравнение этих двух результатов с границей полосы захвата, полученной методом гармонического баланса [Biswas, Banerjee, Bhattacliarya, 1977 ], показывает, что последний непригоден для исследования систем ФАПЧ с запаздыванием.
6) Частотные оценки числа проскальзываний циклов для распределенных фазовых систем.
7) Частотный критерий абсолютной устойчивости распреде-
9
ленных систем, усиливающий широко известный круговой критерий.
8) Частотный критерий существования в фазовом пространстве системы непрямого управления положительно инвариантного множества. Этот критерий позволил установить существование ограниченного положительно инвариантного множества для систем Чуа, обладающих тремя неустойчивыми положениями равновесия.
9) Частотный критерий существования у распределенных фазовых систем, круговых решений.
10) Частотный критерий отсутствия у распределенных фазовых систем, периодических решений второго рода определенной частоты. Этот критерий применяется для оценки частоты биений в системах ФАПЧ. Сравнение точных оценок, полученных на основе этого критерия, с приближенными оценками, полученными методом гармонического баланса, позволяют установить ограниченность возможности применения метода гармонического баланса.
Основные результаты диссертации опубликованы в монографиях [112, 114] и статьях [70-75, 137-138], [45-60], [97, 111, 113, 115-117, 119]. В монографии [114] автором диссертации написаны главы 1, 2, 8, 9, Г.А.Леоновым - главы 3, 5, б, 7 и Введение, Ф.Райтманом
- главы 4, 10. В монографии [112] автором написаны главы 1, 2, 4, 6, Г.А.Леоновым - главы 3, о, 7 и Введение, Д.В.Пономаренко
- глава 8. В монографическом обзоре [115] автору принадлежит параграф 7, Г.А.Леонову - параграфы 1-6. В статье [111] автору принадлежит параграф 7, соавторами написаны Введение и параграфы 1-6. В работах [45 - 59, 97, 113-116. 117, 119] автором для распределенных систем и систем Чуа разработаны методы исследования устойчивости, предложенные Г.А.Леоновым для сосредоточенных систем, и рассчитаны области устойчивости конкретных систем. При этом в [55] О.Б.Киселевой выполнена проверка реализуемости частотных условий, в [113] Ф.Райтману принадлежит параграф 3, в работе [119] Л. Шперлингу принадлежит постановка задачи, в работе [60] Г.Содербакой проведены расчеты траекторий, в [97] Л.О.Чуа принадлежит постановка задачи, Д.В.Пономаренко - проверка частотных условий на компьютере.
10
ЧАСТЬ I
УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ (ОСНОВНОЙ СЛУЧАЙ)
Глава 1. Глобальная асимптотика в случае стационарной нелинейности. Учет сухого трения в системах регулирования, содержащих трубопровод
Проведенное в этой главе исследование основано на доказанном в ней для уравнения (0.1) частотном критерии, позволяющем изучать глобальную асимптотику нелинейных распределенных систем со стационарной нелинсйпостью, учитывая ограничения на ее производную. Вообще говоря, полученный в данной главе критерий может служить основой для исследования устойчивости различных по своей природе систем управления. Здесь с его помощью исследована задача о влиянии кулонова трения в регуляторе на устойчивость систем регулирования, содержащих трубопровод.
Задача о влиянии сухого трения на устойчивость процесса регулирования впервые была поставлена в работе [А.И. Лурье,1946]. В применении к системе, регулирующей расход жидкости в трубопроводе, она рассматривалась в работе [К).В.Воробьев, А.М.Кац, Н.А.Фатеева,1950]. Критерий, полученный в этой главе, применяется в указанной системе для определения областей устойчивости в пространстве ее параметров. Он применяется также к определению областей устойчивости системы регулирования гидравлической турбины с напорным трубопроводом. Последняя задача в линейной постановке была рассмотрена в статьях [Аронович, 1948; Ю.И.Неймарк,1950].
1.1. Частотный критерий глобальной асимптотики в случае дифференцируемой нелинейности, удовлетворяющей условиям сектора
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра
і
<т(і) = <70(0 - [- '0$И'г)) Лт {г > о), (1-1.1)
о
где <т. <7о, 7 : К-+ —» Я, а Ф : Я —» К.
12
Известен ряд частотных критериев, гарантирующих глобальную асимптотику уравнения (1.1.1) при различных предположениях на. функции <7о, 7 и Ф [Corduneaku,1963; Халанай,1964; Szego,1965; Desoer,1965; Гелиг,1966; Anderson,1966; Якубович,1967]. Докажем здесь еще один критерий, позволяющий получать более широкую область устойчивости в пространстве параметров уравнения
(1.1.1) за счет использования свойств производной функции Ф.
Пусть х(р) = /0°° 7(t)e~pldt (р Є С) — передаточная функция
линейной части уравнения (1.1.1).
В этом разделе и на протяжении всей работы будет использовано обозначение
+оо
ты - / me~iul dt (і2 = —і).
-ОС
Теорема 1.1.1 Предположим, что функции (Jq, 7 и Ф удовлетворяют следующим условиям:
1) ад(0 непрерывно дифференцируема на [0, +оо), и (To(t), до(t) Є Li[0,+oo);
2) 7(t) абсолютно непрерывна на [0, 4-оо), и 7(t), 7(t) Є Li[(), 4-oc) П L2[0,+oo);
3) Ф(<т) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет неравенствам:
|ФИ| < т (т > 0),
0<5^<А-<+оо (а ф 0), (1.1.2)
С/Ф
—оо < fii < — < < -boo, (1.1.3)
(1(7
где /l] < 0, //2 > к;
4) можно указать такие неотрицательные числа д и к, что для всех jER справедливо неравенство
i + Äe{(l+iwj5)x(*w) + Ka;'‘!(/u1x(iw) + l)*(/t2x(*w) + l)} >0 (1.1.4)
(если к = 4-ос, то полагаем к~1 = 0).
Тогда a(t) —> 0 при t —> 4-оо.
13
Доказательство. Доказательство этой частотной теоремы, как и всех прочих частотных теорем в данной работе, проводится методом априорных интегральных оценок, введенным в работе [В.М.Попов,1961]. Пусть o{t) — какое-либо решение уравнения
(1.1.1). (Заметим, что условия 1)-3) теоремы 1.1.1 обеспечивают существование у уравнения (1.1.1), продолжимого на [0.+оо) решения [Leonov G.A., Ponomarenko D.V., Smirnova V.В.,1996]).
Положим ((£) := Ф((т(/)). Рассмотрим произвольное Т > 0 и введем функцию
{() при t < 0,
f(t) при t € [0,Г],
£(Т)ес(т~^ при t > Г,
где С > 0, а
!() при t < 0, t при t € [0,1],
1 при t > 1.
Заметим, что £т кусочно-непрерывно дифференцируема и £т(0) =
0. Очевидно, что
^ +°°) О Ь‘2.[0, +оо).
Введем в рассмотрение функции
С(0 := v(tm,
1
C(t) := ~ f Г)С(т)ЙГ,
о
t
Ст(*) := - J - т)£г(т)</т. о
В силу условия 2) функция Сг абсолютно непрерывна и для каждого Т > 0
Сг? Ст ^ "Ьэ°) О [0, +оо). (1.1.5)
14
Докажем соотношение (1.1.5). Пусть Т > 1. Тогда
00 Т / t \ 2 оо / т
1 ((T(t))2dt = J f J j(t - т)С(т)<1т I dt + j iJ'r(t-T)C(r)dT+ о о \о / т \о
t \2T/t \ 2
+ У*т(^ - г)^(Г)ес(:г“г)(/т I dt < J 7(t-r)C(r)dr\ dt+
0 \o
оо /Г \ 2 ос / *
+2 ^ - т)^v(т)dтJ сЙ + 2 У 7(* - т)£(Т)ес(т г)^г^| г//..
Учитывая условие 2), проведем оценку каждого из слагаемых правой части последнего неравенства в отдельности
г / t
2 т1 / / ч 2
а) f {J — т)^(т)^т J dt < J m2 ( ^ |7(/ — г)|с?т j < m2TCi;
о \о / о \о
оо / Т \ 2 оо Г
б) J I J y(t — t)£v(t) dr j (// < m2T J dt j 72(t - r)dr =
т \o / г о
T оо T 00
= m2T У c/r J 72(/ - r) dt = ra2T J dr j y2(\)d\ < C2m2T2;
ОТ 0 Г-r
oo t ^ 00 t
в) /(/7(* — т)£(Т)е^т dt<rn2 j dt ^ J 7(t — т)ес^т T^dr^< т т г т
оо t i 00 i
<m'2 j (/7 2(t - r)dr^ e2C^T~T\ir^dt<1-^— J dt J 7 2(* —r)dr=
rj£l rji 'p
00 00 00 00
= ^IdTJ'y2{t-T)dt-^JdTIJ2{x)dx-!lß1T-
TT TO
1 Через С и с с индексами здесь и далее обозначены постоянные, конкретные величины которых неважны. Каждому параграфу присуща собственная нумерация индексов.
15
Из выкладок а)-в) очевидно, что С,т € Ьч[0, -Ьоо). Точно также устанавливается суммируемость (т. Справедливость (1.1.5) для (т доказывается аналогичным образом.
Далее воспользуемся представлением
*(*) = *! ю+счо» (1-1-в)
где
<7і(*) := <70(0 - Jт(< - г)[1 - Кт)] £(т)(іт. о
Очевидно, что
Сг(*)=с*(<) при* Є [О, Г]. (1.1.7)
Построим семейство функционалов
оо
Ат := У {Сг^т + ^Ст + кІ№іСт ~~ £т)(£т ~~ МгСт) ~ ^ (£т)2} ^-} о
Через /*[/] обозначено преобразование Фурье от функции /(*). Справедливы соотношения
/*Кт](г'а?) = іиТ[Іт){іи)>
ЛСтІМ =
^[СгІМ =
Тогда, используя равенство Парсеваля [Винер, 1963], получим
+ОС
Лг=-^- У (1 + Ие [(1 + №ш)х(ги) + + *ШУ'
-ОС
•(г'ш + р2*и*(*а>))] | р[£г](*о>)|2^-
В силу (1.1.4) делаем заключение, что
Ат< 0. (1.1.8)
Воспользуемся (1.1.7) и представим Ау в виде
оо
Ат = Д0 4- Аі - У(Ст)2^> (1.1.9)
т
16
где
Ас\ :
т
-л
СС - \ (О2 + же + - еж - Ж)
(П.
оо
-/
Сг£г _ £ (?г)2 + *Кт£г + КЬ1'1 — /М)Ст€т ~ (^/’)2
(Н.
Далее, используя (1.1.6), получим
До — Л‘2 +- Аз + Вт + В\,
(1.1.10)
где
М := I { - смС - + «(-^ци2(Т? + 2^1^2(71(7+
+М1<71С + /*2<71С}<Й>
^3
I
:= I {а(ь - 1){ - к~Ж ~ V? + Ме ~ О + *[(ё)2 ~ ?] +
+к(ц2 - /^)(£ - С)<т} <Й,
Т 1
Вт := J (<т£ - /г-1?2) (Ы + х) I {<т£}
г//.
в!г:=к1 {^~Т) ОН-"*)*2*-
О
Условия 1)-3) теоремы, а также вид функции £т позволяют установить, что каждый из функционалов А; (г = 1,2,3) ограничен по модулю постоянной, не зависящей от Т. Обратимся к функционалам Вт и Ву. Из (1.1.3) следует, что при любом Т > 0
Вут > 0.
(1.1.11)
17
С другой стороны,
Т Т сг (Г) <г(0)
J<j£dt = J Ф(сг (t))à(t)dt = j Ф (a)d(T>— j Ф (a)dcr.
О 0 ,7(0) о
Из этого последнего неравенства совместно с соотношениями (1.1.8)
(1.1.11) следует, что для любого Т > О
т
<т(<)Ф(«7(0) - 1*2И0)) dt < С4, (1.1.12)
где С* не зависит от Т. Заметим, что условия 1) и 2) совместно с ограниченностью Ф(сг) гарантируют равномерную непрерывность a(t) на [0,+оо).
Введем теперь в рассмотрение функцию
G(cr) :=аЩа) - 1ф2(<т).
К
Согласно неравенству (1.1.2) она положительна при о ^ 0, из
(1.1.12) вытекает, что G(a(t)) G Li[0,+oo). Отсюда следует, что к ней применима лемма Барбалата [В.М.Попов,1973]. Эта лемма позволяет утверждать, что
a{t) —► 0 при t —> + оо.
Теорема 1.1.1 доказана.
Замечание 1.1.1. В случае, когда функция Ф(<т) не является дифференцируемой, теорема 1.1.1 остается справедливой, если в (1.1.4) положить к = 0.
Замечание 1.1.2. Теорема 1.1.1 остается справедливой и в том случае, когда вместо (1.1.3) выполнено одно из неравенств ^ > цх > -ОС' (//, < 0) или ^ < /i2 < -ос (/i2 > к). В каждом из этих случаев следует вместо (1.1.4) использовать неравенство
l + Re {(l+»wtf)x(*w)-K0(iwx(*w) + A*r1*w)*' (1.1.14)
+ ftï'iu;)} > О,
где d > 0, /со > 0. (Неравенство (1.1.14) следует из (1.1.4) при /с0 = — /c/i,/42). В первом случае следует положить /i21 — 9, а во втором — II = 0.
18
1.2. Учет условий на производную при исследовании глобальной асимптотики в случае кусочно-непрерывной нелинейности в бесконечном секторе
Будем по-прежнему рассматривать уравнение (1.1.1). Предположим в этом параграфе, что функция Ф(<т) имеет при <7 = 0 разрыв 1 рода, причем Ф(—0) < Ф(0) < Ф(+0). Потребуем при этом, чтобы Ф(<т) оставалась ограниченной по модулю некоторым числом т. а также была непрерывно дифференцируема при а ф 0. Пусть, кроме того, Ф(а) является нечетной функцией, удовлетворяющей требованиям
Ф(а)а > 0 при а ф 0, (1.2.1)
с1ф
— > Д| при а ф 0 (/il < 0), (1.2.2)
асг
причем
(1Ф (1Ф
либо lim — > /ii, либо — = /Л{ при a £ [0,6] (а > 0). (1.2.3) <т—+о der da
Существует несколько различных определений для решения интегрального уравнения с разрывным оператором. Наиболее распространенными для уравнений типа Вольтерра является понятие ГК-решения [Азбелев, Рагимханов, Фадеева, 1968]. Согласно указанной работе ГК-решением уравнения (1.1.1) на промежутке [0.Т) называется непрерывная функция <т(/), удовлетворяющая на этом промежутке равенству
t
a(t) = a0(t) - J y(t - r)r(r) dr, (1-2.4)
0
где функция r(t) суммируема и при почти всех f £ [0, Т) удовлетворяет неравенству
lim vraimin Ф(сг+) < r(t) < lim vraimax Ф(<т+). (1.2.5)
|<Г+-а(<)|<<$ \(Т+-<r(t)\<6
19
Однако при воспроизведении схемы исследования 1.1 удобнее использовать для понятия решения идею, развитую в работе [Тон-ков, Тонкова, 1973]. Следуя этой идее, рассмотрим наряду с исходной функцией Ф(сг) последовательность ее непрерывных усреднений и определим решение уравнения (1.1.1) как предел решений таких уравнений, где функция Ф(а) заменена своими усреднениями.
Выберем в качестве усреднения непрерывно-дифференцируемую функцию
<т+Л
Ф= ^ / Ф(АК(<Т-Л)сгл,
<7—Л
где
{| г 4-2 при — к < г < —
1 при -§<?•<§,
-\г + 2 при | < г < к.
Отметим несколько свойств функций Ф/,.
1) Функция Ф/, непрерывно дифференцируема, и ее производная может быть вычислена по формуле
<г-| <г+Л
ф'‘(сг) = " ./ Ф{АИЛ + ./ (1-2-8> <г-Л <т+|
(1.2.6)
(1.2.7)
2) Ф„(0) = 0„ (1.2.10) что следует из нечетности функции Ф.
3) |ф/,(сг)| < т. (1.2.11)
4) Ф/1((Т)ст > 0 при (7 ф 0. (1.2.12)
Для \сг\ > к утверждение очевидно. Рассмотрим а € [§,/i) и
*20
воспользуемся представлением
<т-Л
3/1
У
ф А
-.(а) = I Ф(А)
<т-Л
— — (сг — Л) 4 2 л (/Л 4 [ Ф(Л) -|(ст-А) + 2 ! 1
о 0
</А4
+
<г+£ (Т+/1
I Ф(А) А + I Ф(А)
-(<Т - А) 4 2
(IX.
_ н
<Г-7
<т+£
(1.2.13)
Заметим, что второе, третье и четвертое слагаемые в правой части этого равенства положительны. Кроме того,
и
/
а—Л
Ф(А)
А)+ 2
Л-<7
с/Л
-—(сг + р) + 2
с/д.
Пусть гг > |/г. Тогда /?. — <т < <т — и
Л — <7
- I Ф(А)
——(ег 4- Л) 4 2
_ Г|
с/Л > - / Ф(Л) о
«7 *
-/
- А) Н- 2
с/Л.
Пусть сг < 4/г. Тогда Н - а > а - Следовательно,
<г+| Л-ст
I Ф(А)</А = У Ф(А)<*А + I Ф(А)г7А.
<г-| <г-£ А-<т
С другой стороны, поскольку для <7 6 [§,/*]> А 6 [0,/?. — а] верно
неравенство — |(<т 4 Л) 4 2 < 1, то
к—а
О
к—сг
' 2 2 2,
——(а 4 А) 4 2 »в* 1 II ——(<7 4 А) 4 2 п.
с1\—
(Г— г-
-/
_ л 7
Ф(А)
— — (а 4 А) 4 2
(IX >
- / Ф(А)
— (<7 4- А) 4 2
г/А-
к—с
J Ф(А)ЛА.
.-I
Ясно, что в этом случае сумма всех четырех интегралов, стоящих в правой части (1.2.13) положительна. Таким образом, при а £ [§,/*)> а, следовательно, и при \а\ £ [|,к] неравенство (1.2.12) выполнено. Если же \а\ < |, то (1.2.12) следует из (1.2.10) и (1.2.8), откуда вытекает, что
^'к(а) > О ПРИ И <
5) Для достаточно малых значений к выполнено
ЙФл
(1.2.14)
с/сг
> /1\ при а £ Я.
(1.2.15)
Чтобы доказать это свойство, представим Ф/,(<т) в виде
к
Ф/.И = ^ - А)с^Л(Л) г!А.
-к
Пусть \о\ < //. Тогда
к
С^к
(1а
= к! Ф'(<7 " ЛЬ(А)ЙА > ^ I си11(\)<1\ = щ. (1.2.16)
-Л
-л
Из формулы (1.2.14) и неположительности ц\ автоматически сле-Д3гет, что (1.2.15) справедлива и при |<т| < |. Пусть теперь \а\ £
22
[§,А]. Ограничимся случаем а > 0 (случай а < 0 рассматривается аналогично). Снова воспользуемся формулой (1.2.8). записав ее в виде
О п~\ «Г+Л
О ,7“|
/ |ф(А)|ал— I |Ф(А)|ал+ у Ф(А)с/л|
сг—/г о
(1.2.17)
или
к—а
ад = з|т
<т+Л
Ф(А) е/А + У Ф(А)с*А
<Г+£
(1.2.18)
В каждом из интегралов формулы (1.2.18) воспользуемся формулой Лагранжа. Тогда
к—сг <г+к
4
Фл(<Т- 3/г2
У (Ф(+0) + Ф'(А)А) (1\ + У (Ф(+0) + Ф'(А)А) а\
<х+|
где А 6 (а - А — сг), А 6 (а 4 сг 4 А), или
ф'*(<т) = Ш {2ф(+°)(* - *) + ^ф' (*) (£ “ Л<т) +
1 _ Л ЗА2 (А) ( Асг 4 —
>
(1.2.19)
г ® {Ф'(5) (х - + Ф'<5) + 4
Пусть ^ = //1 при (7 £ [0, а] (сг > 0). Тогда если 2А < а, получим из (1.2.19)
Ф'лИ > /*1-
Пусть теперь сзгществует такое а > 0, что ^ > /Л] при а £ [0,5]. Выберем столь малое е, чтобы
Ф'(+0) - у > 1Ц.
Теперь потребуем, чтобы А было столь малым, что при о £ [0,2А] выполнено неравенств о
Ф'(40) - 6 < Ф'(а) < Ф;(40) 4 е.
23