Оглавление
Введение..........................................................4
Глава 1. О соответствии различных режимов движения механических систем и условиях их устойчивости ...................14
1. Постановка задачи .........................................14
2. Связь относительных равновесии и абсолютных и относительных стационарных движений и их устойчивость .18
3. Пример: гироскоп в кардановом подвесе .....................21
4. Сравнение степеней неустойчивости нетривиальных стационарных движений и относительных равновесий ............29
5. Пример: твердое тело с неподвижной точкой.................25
0. Системы с линейными интегралами ..........................28
7. Сравнение гироскопической стабилизации тривиальных
относительных равновесий и стационарных движений ..........31
Глава II. Бифуркация положений равновесия в окрестности вырожденной критической точки ....................................37
1. Постановка задачи.........................................37
2. Вырожденная бифуркация рождения ..........................39
3. Пример бифуркации рождения ...............................44
4. Построение укороченного потенциала для второго случая .. 47
5. Исследование случая (0)-(2) ..............................48
6. Пример: твердое тело на абсолютно гладкой плоскости 52
7. Исследование случая (1) -(1) .............................57
8. Ответвление поверхностей .................................62
9. Заключение .............................................66
Глава III. Разрушение вырожденных точек бифуркации ............70
1. Введение ...............................................70
2. Разрушение вырожденной бифуркации рождения ..........72
3. Разрушение бифуркации (0)—(2) ..........................73
Список литературы .............................................80
3
Введение
Проблемы отыскания всех установившихся движений (абсолютных и относительных равновесий или стационарных движении) и исследования их устойчивости и ветвлений играет важную роль при качественном анализе механических систем.
При исследовании установившихся движений механических систем с циклическими интегралами широко используются два подхода.
Первый подход был предложен Раусом в работах [ 1] [2]. Раус исследован стационарные движения, т. е. движения, доставляющие стационарное значение одному из интегралов системы при фиксированных значениях остальных. В частности, для систем с циклическими координатами стационарные движения в смысле Рауса совпадают со стационарными движениями в смысле Уиттеккера.
В 1886 году в работе [3] Пуанкаре предложил другой метод исследования установившихся движений. Он предложил рассматривать вместо исходной механической системы с циклическими интегралами другую систему с дополнительными силами, обеспечивающими постоянство циклических скоростей на всех движениях системы. Положения равновесия такой системы получили название относительных равновесий.
В этой же работе было доказано существование связи между стационарными движениями и относительными равновесиями, а именно: каждому стационарному движению отвечает относительное равновесие, и наоборот. Однако условия устойчивости этих движений могут различаться.
4
Сначала Пуанкаре [3]. а позднее В. В. Румянцевым [4] для систем частного вида было показано, что вековая устойчивость положения относительного равновесия влечет за собой вековую устойчивость соответствующего стационарного движения.
Для систем общего вида аналогичный результат был получен С. Я. Степановым [6] и М. Паскаль [5) (см. также работу П. Хагедорна [13]. в которой предложено называть системы с циклическими интегралами свободными, а системы с постоянными циклическими скоростями ограниченными). Ими была доказана следующая теорема
Теорема 1. Если в положении относительного равновесия измененная силовая функция ограниченной системы имеет максимум, то измененная силовая функция свободной системы также имеет максимум. Следовательно, максимум силовой функции ограниченной системы определяет достаточные условия устойчивости как положения относительного равновесия, так и соответствующего стационарного движения.
II. Хагедорп и В. Тешнер в работе; [7] получили результат, связывающий неустойчивость стационарных движений и относительных равновесий.
Теорема 2. Если не за висящая от импульсов часть Но функции Гамильтона отвечающей лагранжиану свободной системы, имеет максимум в стационарном движении, то не зависящая от импульсов часть функции Гамильтона, отвечающей лагранжиану ограниченной системы, также имеет максимум. Следовательно, максимум Но определяет достаточные условия неустойчивости как стационарного движения, так и соответствующего положения относительного равновесия.
Все результаты, указанные пыше, были получены для консервативных механических систем с циклическими координатами. Однако, как известно, такие системы представляют собой частный случай систем, допускающих, помимо интеграла энергии, линейные по скоростям интегралы. Обобщение классических результатов Пуанкаре, В. В. Румянцева. М. Паскаль и С. Я. Степанова на случай таких систем было дано в [8].
Исследование всего множества установившихся движений, а также характера их устойчивости, существенно упрощается при использовании теории бифуркаций, созданной Пуанкаре для исследования всего множества положений равновесия механических систем. Как известно, задача исследования стационарных движений (положений относительного равновесия) механических систем сводится к анализу измененного (приведенного или эффективного) потенциала. Поэтому результаты теории бифуркаций применимы и в этом случае.
Напомним основные результаты этой теории.
Предположим, что потенциальная энергия V некоторой механической системы зависит от координат х € К" на конфигурационном пространстве системы и от одного физического параметра а. Для фиксированного значения параметра с» положения равновесия определяются уравнениями
•г-»-
В пространстве (о, х) решения уравнения (1) задают некоторую кривую В. Заметим, что кривая В может, вообще говоря, состоять из
6
- Київ+380960830922