Содержание
Введение ......................................................................
Пгдва 1. Задачи о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости............
§1.1. Равновесие твердого тела на плоскости с анизотропным сухим трением . . .
1. Постановка задачи о равновесии, описание модели анизотропного трения и основные уравнения......................................................
2. Формулировка и обоснование результатов в случае п = 1..................
3. Формулировка и обоснование результатов для случая п = 2................
4. Формулировка и обоснование результатов для случая п = 3................
§ 1.2. О динамическом (обязательном) равновесии твердого тела, опирающегося
одной точкой на шероховатую плоскость....................................
1. Постановка задачи......................................................
2. Вывод основных уравнений начального движения...........................
3. Формулировка результата................................................
4. Обоснование результата.................................................
§ 1.3. Равновесие абсолютно твердого тела при опирании на две шероховатые
плоскости ...............................................................
1. Описание модели и постановка задачи ...................................
2. Уравнения равновесия и их преобразование...............................
3. Формулировка и обоснование результатов.................................
4. Обсуждение результатов.................................................
Гйава 2. Задачи о движении плоских тел по шероховатой плоскости................
§2.1. Движение тела, опирающегося двумя свободно укрепленными площадками
на шероховатую плоскость.................................................
§2.2. Движение тела, опирающегося двумя жестко укрепленными площадками
на шероховатую плоскость.................................................
§2.3. Движение тела, опирающегося произвольной площадкой на шероховатую
плоскость ...............................................................
§2.4. Движение тела, опирающегося круглой площадкой
на шероховатую плоскость.....................................................................................
4
Содержание
§2.5. Движение тела, опирающегося кольцевой площадкой
на шероховатую плоскость...................................................102
§2.6. Движение тела, опирающегося прямоугольной площадкой
на шероховатую плоскость...................................................111
§2.7. Интегрирование уравнений движения диска по шероховатой плоскости 120
Diaaa 3. Движение твердого тела по шероховатой плоскости.........................125
§3.1. О движении плоского твердого тела по шероховатой прямой....................125
1. Постановка задачи........................................................125
2. Уравнения движения.......................................................126
3. Формулировка результатов.................................................130
4. Некоторые частные случаи.................................................132
5. Обоснование результатов..................................................146
§3.2. К постановке задач в динамике несвободного движения твердого тела
и парадоксы Пэнлеве.........................................................151
1. Основные принципы........................................................152
2. Плоское твердое тело, контакгирующес с шероховатой плоскостью одной своей точкой..........................................................155
3. Задача Пэнлеве—Аппеля ...................................................158
4. Твердое тело, опирающееся о шероховатую плоскость двумя своими точками 161
5. Тело в поле силы тяжести с тянущей горизонтальной силой и опирающееся
на шероховатую плоскость двумя своими точками (двухсторонняя связь) ... 169
§ 3.3. Метод определения параметров безотрывного движения волчка на гладкой
плоскости..................................................................176
1. Постановка задачи и уравнения движения для гладкой плоскости.............176
2. Формулировка и обоснование результатов...................................178
§3.4. О безотрывных движениях волчка на гладкой плоскости (общий случай) .... 188
1. Уравнения движения и постановка задачи...................................188
2. Формулировка результата для сферического волчка...........................191
3. Обоснование результата...................................................193
§3.5. Движение волчка по абсолютно шероховатой плоскости ........................196
1. Постановка задачи........................................................197
2. Формулировка результатов.................................................198
Содержание
5
Глава 4. О движении некоторых колесных экипажей в условиях трении..................201
§4.1. К динамике неголономных движений колесной пары и плоской модели типа
скейтборда ..................................................................201
1. Колесная пара на наклонной плоскости. Уравнения движения, постановка задачи и формулировка результатов.............................................201
2. Динамика плоской колесной модели (скейтборд)...............................209
§4.2. О неустойчивости экипажа при его установившемся движении вдоль
вертикальной плоскости с учетом сил трения...................................214
1. Описание модели............................................................214
2. Постановка задачи..........................................................215
3. Уравнения движения и система линейного приближения.........................215
4. Формулировка и обоснование результатов.....................................217
5. Исследование устойчивости линейных уравнений движения экипажа в общей постановке....................................................................229
§4.3. О движении тела, опирающегося на шероховатую плоскость тремя точками . . 233
1. Описание модели, вывод уравнений движения и постановка задачи..............233
2. Вращательные движения тела вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс....................................................................235
3. Поступательные движения тела ..............................................237
4. Движения тела, близкие к поступательным ...................................238
5. Произвольные движения тела.................................................240
6. Обсуждение результатов.....................................................244
Литература.........................................................................246
Введение
Настоящая работа посвящена исследованиям автора в области решения некоторых задач статики и динамики твердого тела при наличии сил сухого трения и односторонних связей. История исследования таких задач насчитывает не одну сотню лет и восходит к работам Леонардо да Винчи (Средние века), Д. Морена, Л. Эйлера, Ш. Кулона, Дж. X. Джел-летта и т.д. В XIX-XX вв. к этим задачам обращались П. Пэнлеве, Ф. Клейн, Р. Мизес, Л. Прандтль, Л. Лекорню, Г1. Контснсу, H. Н. Шиллер, H. Е. Жуковский, Е. А. Болотов, Г. К. Пожарицкий и т.д.
В настоящее время такими задачами занимаются немало исследователей, как на Западе (А. Руина, Ф. Пфейфср, М. Шсгельский, Р. Лейн, С. Глоккср и т.д.), так и в России (В. А. Самсонов, А. В. Карапетян, Ф. Л. Черноусько, А. П. Иванов, В. Ф. Журавлев, В. В. Андронов, Н.А. Фуфаев, В. В. Козлов, В. М. Матросов, П. Е. Товстик, И. Н. Болотник и т.д.). Разумеется, этот список далеко не полон, и мы перечислили фамилии наиболее значительных (по нашему мнению) ученых, которые внесли (и вносят, в настоящее время) существенный вклад в развитие теорий сухого трения и односторонних связей для задач механики твердого тела.
I. Задачи статики для твердого тела, опирающегося односторонним образом несколькими своими точками на шероховатые плоскости. Такие задачи рассмотрены в главе 1 настоящей работы. Оми восходят к Дж. X. Джсллеггу и были расс.мо!рсны в cio известном трактате [19]. Здесь были введены, пожалуй, впервые, понятия «возможного» и «обязательного» положений статического равновесия тела в условиях сухого трения. Под «возможным» равновесием подразумевается существование таких допустимых сил трения покоя в точках контакта тела с опорами, которые уравновешивают приложенную к телу систему активных сил, т. е. удовлетворяют шести уравнениям статики твердого тела. Под «обязательным» равновесием, помимо указанного условия, подразумевается еще и выполнение условий отсутствия каких-либо начальных движений тела (из рассматриваемого положения равновесия), связанных со скольжением и/или отрывом точек контакта. В [ 19] получение таких условий было продемонстрировано на нескольких простейших примерах.
Изотропная сила трения покоя, возникающая при статическом равновесии в точке контакта тела с плоскостью, ограничена по модулю величиной fN (/ — коэффициент трения, N > 0 — нормальная реакция), но направление ее в плоскости контакта, вообще говоря, неизвестно. Направления и модули этих сил являются такими, чтобы
Введение
7
удовлетворить условиям статического («возможного») равновесия тела. Всякий раз, когда уравнениям равновесия тела можно удовлетворить положительными нормальными реакциями и соответствующими силами трения покоя, именно это предположение принимается за действительное, даже если, может быть, не соблюдены условия «обязательного» равновесия. Однако, как отмечал Е. А. Болотов [8], это предположение не имеет достаточного обоснования. Это вполне понятно, так как рассматриваемая задача о равновесии является, вообще говоря, статически неопределимой. При этом надо иметь в виду, что при опоре тела на одну, две или три свои точки на одной и той же шероховатой плоскости задача статически определима для нормальных реакций (они зависят только от внешних активных сил). Касательные же реакции (силы зрения покоя) однозначно определяются только при опоре на одну точку. При опоре на две или три точки этих касательных реакций (в рамках рассматриваемой модели) будет уже целое множество, и для них задача является статически неопределимой. Целью исследования в этом случае (см. главу 1 настоящей работы) является получение условий, которым следует подчинить систему внешних активных сил и геометрические параметры расположения опор, чтобы это множество сил трения покоя было непусто. А чтобы определить однозначно эти силы трения покоя, необходимо уточнять и усложнять постановку исходной задачи, например, вводя упругость (податливость) опор, превращать точки контакта в небольшие площадки, решая соответствующие контактные задачи с трением (И. Г. Горячева [15], И. И.Аргатов [6]). Аналогичная ситуация возникает и в случае опирания тела на шероховатую плоскость четырьмя и более своими точками, когда статически неопределимыми становятся также и нормальные реакции опор. В этом случае задачу можно рассматривать как задачу о гарантированном равновесии, понятие которого было введено Ф. Л.Чсрно-усько в [107]. Если статическая неопределимость для нормальных реакций снята путем введения каких-либо дополнительных гипотез (например, пугем введения податливости в точках контакта), то нормальные реакции можно считать известными. Однако, как было отмечено в упомянутой работе [107], полученные величины нормальных реакций сильно зависят от жесткостей различных элементов тела и опоры, а также от геометрических нсидсальностей (погрешностей изготовления). В [107] было показано, что задача гарантированного равновесия (т. е. статического равновесия при любом допустимом распределении нормальных реакций) сводится к проверке условий статического равновесия при опоре на любые три точки из рассматриваемого множества точек опоры. Таким образом, задача о равновесии тела при опоре на три точки является здесь определяющей при исследовании условий гарантированного равновесия при опоре на произвольное количество точек на одной шероховатой плоскости. #£1.1 главы 1, в частности, сделана попытка аналитического решения такой задачи о статическом равновесии при опоре на одну, две или гри точки на одной шероховатой плоскости
8-
Введение
Если тело опирается двумя, тремя или более своими точками на разные шероховатые плоскости, то задача становится уже статически неопределимой по веем составляющим опорных реакций (как по нормальным, так и но касательным). Исследование статического равновесия здесь уже имеет спои особенности: возникают варианты «заклинивания» или «самоторможения». Кроме того, важными в этой задаче обстоятельствами являются:
I) величины начальных напряжений (нормальных реакций в точках контакта); 2) предыстория состояния и нагружения системы (см. предисловие Р. В. Гольдштейна к книге [20]). В общем виде для двух точек опоры эта задача исследуется в £1.3 главы 1, где приведен также конкретный пример использования полученных результатов. Отметим, что задача о статическом равновесии тяжелого абсолютно твердого тела в шероховатом вертикальном цилиндре рассматривалась в статье [7].
В §1,2 главы 1 исследуется задача о нахождении условий «обязательного» равновесия твердого тела, опирающегося одной своей точкой на шероховатую плоскость. Найдены все случаи, когда условия «обязательного» равновесия совпадают с условиями «возможного» (т. с. статического) равновесия. Однозначная разрешимость уравнений динамики для начального движения такого тела исследовалась в работе [44].
II. Задачи динамики для плоских твердых тел, перемещающихся по шероховатой горизонтальной плоскости. Эти задачи рассмотрены в главе 2 настоящей работы. В §§2Л, 2.2 рассмат риваются задачи о движении стержня, опирающегося двумя малыми, свободно или жестко укрепленными на нем площадками, на шероховатую плоскость. Такого рода задачи ранее исследовались численно в работе |49). В настоящих параграфах сделана попытка аналитического решения таких задач. В симметричных случаях удается найти частные первые интегралы уравнений движения, на основании которых можно дать качественный анализ процесса движения тела по плоскости. В частности, получены следующие результаты: I) если опорные площадки укреплены на теле свободно (и тогда естественно используется классическая, «одномерная» модель Кулона для возникающих сил трения от опорной плоскости), то процесс движения почти всегда (за исключением описанных вырожденных ситуаций) заканчивается чистым вращением вокруг одной из опорных площадок; 2) если опорные площадки закреплены жестко на теле (и тогда естественно используется «двумерная» модель Контенсу—Журавлева [27] для возникающих сил трения от опорной плоскости), то процесс движения, напротив, никогда не заканчивается указанным вращением, однако угловая скорость и скорость центра масс тела обращаются в нуль одновременно, в момент его полной остановки. ^2.3-2.7 главы 2 посвящены исследованию движения плоского тела, опирающегося на шероховатую плоскость некоторой непрерывной областью с равномерно или осесимметрично распределенными нормальными давлениями. Такого рода задачи рассматривались ранее многими авторами (см., например, [5,22,27,49,50,56,61,63]). В указанных параграфах настоящей работы получены оценки (снизу и сверху) для времени движения тела до его полной остановки,
Вас/\сние
9
в зависимости от начальных условий задачи, решена задача об определении максимального (в определенном классе начальных условий) пути, проходимого телом вплоть до его полной остановки, рассмотрены вопросы о существовании чисто вращательных и чисто поступательных движений тела, показано, что при совпадении центра нормальных давлений и центра масс тела процесс движения заканчивается лишь при одновременном обращении в нуль угловой скорости тела и скорости его центра масс. Кроме того, для круглой и кольцевой областей контакта ($>2.4, 2.5) проведено качественное исследование движения тела в зависимости от значений его параметров (геометрических размеров и центрального радиуса инерции), получены неулучшаеммс (в определенном классе начальных условий) оценки сверху и снизу для времени движения тела до его полной остановки. В некоторых случаях (см. §2.7, посвященный движению тонкого диска с осесимметричным распределением нормальных давлений) удается точно проинтегрировать уравнения движения.
III. Задачи динамики для твердого тела, опирающегося односторонним образом одной, двумя или тремя своими точками на шероховагую плоскость. Здесь возникает необходимость решения следующих типов задач.
1. Определение области начальных условий, при которых возможно однозначное решение уравнений динамики твердого тела для безотрывного его движения (парадоксы Пэнлеве).
2. Определение области начальных условий и параметров тела, при которых происходит его безотрывное движение, т. с. исследование знака нормальной реакции в точках контакта тела с плоскостью.
3. Исследование отрыва тела от опоры (ослабление связи) в момент, когда нормальная реакция меняет свой знак.
Исследованию перечисленных задач посвящена глава 3 настоящей работы.
Задача I подробно рассматривается в §3.1 мавы 3 для плоского тела (пластинки), движущегося по шероховатой прямой (односторонняя связь). Ранее такая задача с геометрической точки зрения рассматривалась Е. А. Болотовым (см. оригинальную работу Е. А. Болотова [8], а также статью В. А. Самсонова (97], посвященную Е. А. Болотову). В указанном параграфе вводится понятие корректных начальных условий, которые реализуются в результате движения тела при напряженной связи. Если тело в рассматриваемый момент времени I = удовлетворяет уравнению односторонней связи как по координатам, так и по скоростям, то классический удар (по нормали к связи) здесь не реализуется, однако может происходить касательный «удар трением». Такая ситуация была подробно рассмотрена для стержня в работе [116], где для обоснования явления касательного удара использовались податливость опоры в точке контакта, а также другие предположения теории вязкоупругости. Эффект «удара трением» также исследовался дня задачи динамики тормозной колодки в работе В. А. Самсонова [96].
10
Введение
Если же связь при I ~ <0 — 0 была напряжена и движение тела реально происходило по этой связи (что означает также положительность соответствующей нормальной реакции в ближайшем прошлом), то, как показано в £3.1 главы 3, продолжение движения при I = £0 + 0 происходит однозначно и без каких-либо парадоксов. Можно выразиться так: если мы учитываем ближайшее прошлое при классическом (нормальном) заходе в данный момент £ = <о на одностороннюю связь (помимо других дополнительных предположений), то почему бы это ближайшее прошлое не учитывать и для безударного или безотрывного захода на связь. Изложенные принципы и обстоятелютва подробно обсуждаются и иллюстрируются на известных классических задачах в £3.2 главы 3.
Задача 2 рассмотрена в ££3.3-3.5 главы 3 для симметричного твердого тела (волчка), контактирующего одной своей точкой с абсолютно шероховатой плоскостью (нсголоном-ная связь) и с абсолютно гладкой плоскостью . Для случая абсолютно гладкой плоскости получены простые аналитические формулы для необходимых и достаточных условий, при которых происходит безотрывное движение волчка. Для абсолютно шероховатой плоскости такие условия удалось получить в некоторых частных случаях движения волчка.
Отметим, что исследование знака нормальной реакции при решении задач механики твердого тела с односторонними связями является необходимым (а может, даже и обязательным) дополнением при интегрировании соответствующих уравнений движения, которые были получены из общих теорем динамики путем исключения реакций связей. Игнорирование этого обстоятельства может приводить к курьезам, которые, к сожалению, нередко встречаются, как в учебной литературе по теоретической механике (см., например, [108], стр. 418, пример 42), так и в серьезных научных математических статьях механикоподобного содержания (см., например, [10]: стр. 236, п. 3.3; стр. 260, п. 9; стр. 267, п. 11). Кроме того, в ££3.3-3.5 главы 3 исследуется задача 3, т. е. движения тела, которые происходят после обнуления нормальной реакции (ослабление связи). Наиболее просто и однозначно этот вопрос решается для случая гладкой плоскости. В случае же абсолютно шероховатой плоскости (см. £3.5) возникают парадоксальные ситуации, разрешить которые, оставаясь в рамках модели абсолютно шероховатой плоскости, невозможно. Более подробно эти вопросы исследуются и обсуждаются в недавних (2008) статьях А. П. Иванова (45,46].
Глава 4 посвящена исследованию движения некоторых моделей колесных экипажей в условиях трения или неголономных связей.
£4.1 главы 4 посвящен исследованию неуправляемых движений колесных экипажей в неголономной постановке. Решение уравнений движения удастся свести к простым квадратурам. Кроме того, показано, что в неголономной постановке возможный отрыв колеса экипажа (при обнулении соответствующей нормальной реакции) имеет парадоксальный характер, что свидетельствует об ограниченной области применимости модели неголономной связи.
Введение
11
£4.2 главы 4 посвящен исследованию устойчивости и неустойчивости положения равновесия в вертикальной плоскости экипажа при его прямолинейном и равномерном движении и наличии трения (трения качения для колес). Предполагается известной зависимость коэффициентов трения качения колес от скорости движения. Найдены необходимые и достаточные условия для параметров системы, при которых такие равновесия являются устойчивыми. Полученные аналитические результаты представлены геометрически. Ранее такие модели при отсутствии трения рассматривались в работах [93,101,105).
В £4.3 главы 4 рассматривается задача о движении тяжелого твердого тела, опирающегося на шероховатую горизонтальную плоскость тремя своими точками (модель неуправляемого движения мотоцикла с коляской, или «тренога»). Контакты в точках опоры предполагаются односторонними, а касательные силы реакции в них подчиняются классическому («одномерному») закону сухого трении. Изучается динамика возможных движений такого тела. В случае плоского тела (или очень низкого расположения его центра тяжести) удастся получить частные интегралы уравнений движения и дать качественное описание движения тела. Подобного типа задача, пожалуй, впервые была рассмотрена в работе (109) от 1912 года. Часть приведенных в £4.3 результатов является уточнением и развитием результатов, полученных в недавней (2009) работе Л. П. Иванова [47).
Задачи о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости
В данной главе рассматриваются задачи о статическом равновесии твердого тела, контактирующего с шероховатой плоскостью.
§ 1.1. Равновесие твердого тела на плоскости с анизотропным сухим трением
Рассматривается задача об условиях статического равновесия тела, опирающегося на шероховатую плоскость одной, двумя или тремя точками. Предполагается, что к телу приложена произвольная система активных сил, а трение на шероховатой опорной плоскости является анизотропным. Эта модель обобщает известную изотропную модель сухою ку-лоновско!о трения. Получены явные аналитические формулы, выражающие необходимые и достаточные условия статического равновесия. Методика исследования использует понятие анизотропной силы трения покоя, что позволяет существенно облегчить получение аналитических результатов для условий равновесия. Результаты настоящего прарграфа опубликованы в работе автора (89].
1. Постановка задачи о равновесии, описание модели анизотропного трения и основные уравнения
Пусть Охух — неподвижная система координат. Рассмотрим твердое тело, опирающееся на плоскость Оху своими точками: А\,..., Ап. Обозначим радиус-вектор точки Ал через гц — {%к, Ук, 0)т. Здесь и всюду далее, если не оговорено иное, к = 1,2,..., 7г. На рис. 1.15 изображена опорная плоскость Оху (вид сверху с положительною направления оси Ог), на которой представлена одна точка опоры Ал- Реакция плоскости в точке Ал состоит из нормальной составляющей 1^л, направленной по оси Ог, и касательной-составляющей Р* (силы трения), лежащей в плоскости Оху. Пусть к телу приложена произвольная система активных сил, имеющая главный вектор Г = (Рх, Р2)т и главный момент относительно точки О Мо = (Мг, Му, Мг)т. Требуется определить условия на величины
§1.1. Равновесие гвердого тема на плоскости с сухим трением
13
К, М0, координаты точек А* и характеристики трения и точках Л* (А = 1,л), при которых существуют такие реакции 14* = (0,0,ІУ*)г, Р* = (Р*х, Рку, 0)т (А = 17«), что удовлетворяются условия статического равновесия тела:
н + Х^(^ + к‘) = °-
к
м0 + Х>*х(^ + к*)] = о.
(и)
(1.2)
Кроме того, должны выполняться условии ^0 (к = 1, п) и соогветствующие неравенства для сил трения покоя Р* при анизотропном сухом трении. Опишем, следуя [5], модель анизотропного сухого трения, которая обобщает обычный закон Кулона (изотропное сухое трение).
Пусть точка контакта Л* приобрела скорость \к в плоскости Оху, направленную под углом 0 к положительной оси Ох (см. рис. 1.1).
Тогда анизотропная сила зрения скольжения определяется формулой
Кг, = -Л^Фот^т, 1**1
(1.3)
где ./V* ^ 0 — нормальная реакция опорной плоскости, Фо — матрица тензора трения: Ф0 = НЛ;11?л=1' Матрица Фо предполагается положительно определенной, поскольку мощность силы РГг при любой скорости V должна быть отрицательна, т. с. (утФоу) > 0. Следовательно, необходимо выполнены следующие условия: >0, /22 > 0,
А = /11/22 ~ /12/21 > 0.
Отметим, что необходимыми и достаточными условиями положительной определенности матрицы Ф() являются неравенства /,, > 0, /22 > 0, /п/22 - 0, 25(/,2 + /2!)2 > 0, которые совпадают с приведенными лишь при /|2 = /21.
При классическом законе изотропного сухого трения (закон Кулона) имеем Ф(} = /Е, где Е — единичная матрица, / — коэффициент трения. Проецируя векторное равенство
Рис. 1.1
14
Глава 1. Задачи о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости
(1.3) на оси х, у, получаем:
Fux = -JVfc(/u cos0 -Ь /12 sin 0),
(1.4)
FUy = -Nkifii cos 0 + /22 sin 0).
Формула (1.3) для анизотропной силы трения при движении (при начальном движении) подразумевает наличие соответствующей анизотропной силы трения покоя F*, которая определяется при помощи следующего принципа.
Сила трения покоя F*, направленная под углом а к положительной оси Ох, по модулю не превосходит модуля той возможной силы трения движения, которая также направлена под углом а коси Ох. Ясно, что соответствующее возможное начальное скольжение точки Ак происходит в этом случае под таким углом 0 к оси Ох, который определяется при помощи формул (1.4) и равенств
“-fc-fe «•’>
Тогда получаем:
,g^/„tea- Л,
/22 ~ /12 tg a
Подставляя (1.6) в (1.4), имеем:
Ffrz 4 Ffty — Д Nk a2 _j_ 52 *
где а- /22- /12 18«. Ь= /п 1&а - /2].
Тогда для составляющих сил фения покоя К*, с учетом последнего равенства, сформулированного выше принципа и соотношений (1.5), мы получим следующие неравенства:
(/|2^*у - /22-Ра:г)2 + {/гЛх ~ /\\Fky)2 ^ ^ ^
к = ТГп,
где Д = /п/22 — /12/21 >0» — нормальная реакция в точке Ак.
Совершенно аналогично определяются условия для сил трения покоя и при других законах анизотропного трения скольжения, которые были указаны в [12].
Если трение ортотропно, т. е. оси Ох и Оу являются главными направлениями тензора Фо, то /12 = /21 = 0 и ограничение (1.7) принимает вид
П: + К
(fuNky UnNkY "
т.е. эго эллипс фении. Если трсиис изотропно (закон Кулона),-то /м — /22 -/ и мы-получим:
fL + Fly ST (/JV*)2,
§ 1.1. Равновесие твердого тела на плоскости с сухим трением
15
т. с. это круг трения.
Таким образом, поставленная задача формулируется следующим образом. Определить условия на величины Рх, .Р., Мх, Му, М., (хк, ук) (к - Т“п) и коэффициенты трения /«; (*» 7 = ТТ2), при которых существуют такие реакции IV* = (О, О, ^)т, К* = (***, 2^, 0)г (Л = 1,71), что удовлетворяются уравнения равновесия (1.1), (1.2) и выполнены неравенства (1.7) и ЛГ* ^ 0 (к = ТТгГ), т.е. силы реакции плоскости являются допустимыми.
В данной работе рассматриваются случаи п — 1. п — 2, п = 3, т. е. число точек опоры не превосходит трех. Эти случаи являются статически определимыми для нормальных реакций и мщуг быть рассмотрены в рамках модели абсолютно твердого тела. Случаи п > 3 рассматривались в работах [23, 107[, где, в частности, были исследованы условия гарантированного равновесия. Ф. Л. Черноусько в [ 107] было показано, что условия гарантированного равновесия (при п > 3) сводятся к исследованию задачи о равновесии при опоре на какие-либо три из заданных п точек опоры. Таким образом, случай п — 3 является определяющим при исследовании задач о гарантированном равновесии тела с произвольным числом точек опоры в рамках модели абсолютно твердого тела.
Отметим, что поставленная в данной работе задача касается только поиска условий, при которых может быть реализовано равновесие. Вопросы устойчивости этих равновесий здесь не рассматриваются. Такие задачи требуют привлечения динамических уравнений движения твердого тела по шероховатой плоскости и в некоторых случаях были исследованы Л. II. Ивановым [43].
2. Формулировка и обоснование результатов в случае п = 1
Пусть А\ — единственная точка опоры. Без офаничения общности будем считать ес совпадающей с началом координат О, т.е. х\ = у\ — 0. Уравнения равновесия (1.1) и (1.2) тогда сводятся к следующим:
Из (1.8) и (1.9) мы сразу получаем следующий результат.
Утверждение 1. Для статического равновесия тела, опирающегося одной точкой Л | на плоскость с анизотропным сухим трением, характеризуемым тензором Ф0 = \\fijWjja\t необ-
^ + Р\х = 0. Ру + = 0, =0,
Мх = Му = М: = 0.
(1.8)
Неравенство (1.7) для допустимых сил реакции при к= 1 имеет вид
(/|2-^1у - /цРіх)7 + {/г\Р\х - /\\F\y)2 ^
ЛГ, = -рх > о.
(1.9)
16
Глава 1. Задачи о равновесии твердого тела но шероховатой плоскости
ходимо и достаточно соблюдение условий
Мл, =0, Р, < 0,
UnFy - hiFzf + (hi К - f„F,Y < Д2Fl
<1Л0)
где Мл, — главный момент активных сил относительно точки А\, F = (F3, Fv, Fz)r — главный вектор активных сил.
Доказательство получается непосредственной подстановкой (1.8) в (1.9). □
Следствие. В случае изотропного сухого трения /12 = /21=0, /и = = /22 = / и условия (1.10) имеют вид
Мл, =0, F, < 0, Fl + F* < pF} = f2N\
т. е. получаем обычный кулоновский конус трения.
м Пример. Тяжелая точка массы т на шероховатой анизотропной наклонной плоскости. Пусть tpo — угол наклона плоскости к горизонту, а система координат Oxyz, в которой задан тензор трения Фо, такова, что ось Oz нормальна к плоскости, а ось Ох образует угол 1ро с прямой наибольшего ската. Тогда
Fx = mg sin <ро cos ip0, Fy - mg sin <pQ sin ipo, Fz = -mg cos ^0,
а условие равновесия имеет вид------------------------------------------------------------
tgpo ^
>/<& + &' где
а = /,2 sin 1р0 - /22 cos 1р0, Ъ = f2\ cos гр0 - f и sin ip0,
A = /11/22 - /12/21*
В частности, для изотропного сухого трения это условие приобретает хорошо известный вид: tg <ро ^ /, где / — коэффициент трения. ►
Замечание. В работе [22| был исследован частный случай рассматриваемой задачи: о начале движения материальной точки по плоскости с ортотропным трением (/t2 = /2j = 0). Начало движения — это первый момент выхода точки из состояния статического равновесия. Нарушение последнего неравенства в (1.10) и означает возможность начала движения материальной точки под действием активной силы F, так как первые два условия выполнены заведомо (при
Ft < 0).
Таким образом, для ортотропного трения нарушение равновесия точки, т. е. се начальное движение, происходит при
/22^1 + /пFy > fii&Fl
§1.1. Равновесие твердого тела на плоскости с сухим трением
17
Нели Р2 зафиксировано, то минимальная сила, действующая и плоскости Оху под углом 6 к оси х и нарушающая равноиесис точки, дается формулой
Этот же результат в [22] был получен методом предельною равновесия, который восходит к Кулону, Желле, Жуковскому и другим классикам теоретической механики. Этот метод основан на предположении, что возникает начало движения точки из состояния покоя (равновесия). В результате такого предположения становятся известными модуль и направление силы трения, в соответствии с формулами (1.3), (1.4). Затем выводятся условия, которым должна удовлетворять сила Р, чтобы это движение могло быть реализовано для какого-либо угла 0, образуемого вектором скорости возможного скольжения с положительной осыо х. Невыполнение этих условий для всех углов в приводит условиям равновесия. Отметим, что строгое применение этого метода для рассматриваемой задачи достаточно громоздко и здесь не приводится.
3. Формулировка и обоснование результатов для случая п = 2
Пусть А\% Аг — две точки опоры тела на плоскости, причем А\ совпадает с началом координат, а точка А2 имеет координаты
Fmil
fuhl\Pz\
nun —
x2—a cos a, y2 = asma,
0 2
F
где a — длина отрезка Л|Д2,
длина отрезка А\А2, а — угол, образуемый
отрезком Л,Л2 (о направлении от к Л2) с положительной осью Ох (рис. 1.2). Па рис. 1.2 также изображен вектор К1у, являющийся проекцией главного вектора К на плоскость Оху, хро — угол, образуемый вектором отрезком А\А2- Все углы отсчитываются против часовой стрелки.
Рис. 1.2
X
В данном случае уравнения равновесия (1.1) и (1.2) имеют вид
F\z + F2x + Pz = 0, F\у + P2у + Fy = 0, N\ +N2 = —Fz,
ил)
Mx + N2a sin a = 0, Mv - N2a cos a = 0,
Mz + F2ya cos a - F2xa sin a — 0.
Первые два уравнения системы ( i. 12) налагают связь на Мх и Му:
<1.12)
Mz cos a 4- Mv sin a = 0,
(1.13)
18
Глава 1. Задачи о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости
которая означает отсутствие условий для вращения тела вокруг оси А1А2. Следовательно, из (1.11) и (1.12) получим выражения для нормальных реакций jV| и N2:
N\ = ~Fz —— > 0, = J^->0. (1.14)
a cos а а cos а
Таким образом, здесь в состоянии статического равновесия нормальные реакции
зависят только от заданных активных сил, их моментов и геометрических параметров.
Поэтому в дальнейшем будем считать N\ и Лг2 заданными положительными величинами,
которые определяются формулами (1.14), причем N2 > N\, что не нарушает общности.
Для решения задачи об условиях равновесия необходимо, используя уравнения равновесия
(1.11), (1.12), удовлетворить неравенствам (1.7) при Л? = 1,2 для сил трения покоя.
Вводим обозначения:
у(<р) = /22 cos <р - /12 sin ipt h((p) = /j 1 sin <p - /21 cos (p,
°2{Ч>) = 92(.<Р) + Ь2(р). 7 = a + ^o. A = /п/22 - /12/21,
Т) + Л(а)Л(7), F02 = FZ2 + Fy2, m = ~-> (1.15)
F01 = F0 sin '0o > F02 = Fo~, F^) = Fqi + Fo2,
A* = Nk<r(a), k =1,2.
Справедливы следующие утверждения.
Утверждение 2. Для статического равновесия твердого тела, опирающегося двумя точками на шероховатую поверхность с анизотропным сухим трением с тензором Фо, необходимо и достаточно соблюдение условия (1.13), неравенств (1.14), а также неравенств
|m|=SAj, |m-FolKAi. + О-16)
где А|, А2» га, Foi, F02 определяются из (1.15).
Утверждение 3.
1) Если FqQ > (Л; -г Л2)2, то неравенства (1.16) решений не имеют и статическое равновесие не является возможным.
2) Если Fqq ^ (А| +Л2)2, то статическое равновесие возможно только при га € [raj, га2], где тп\ и га2 вычисляются по следующим правилам (напомним, что А2 ^ А|, так как по предположению JV2 > N\).
Пусть Foi > 0 (т.е. sin 0о > 0). Тогда:
2.1) если Fq0 > \] - Aj + 2A|Foi, то
т,л = щfa'"± - "О■ (и7)
i/ = F(J) — А2 4- А2;
§ 1.1. Равновесие твердого тела на плоскости с сухим трением
19
2.2) если А2 - X2 2A2F01 ^ F& < А2 **" Aj -f- 2Л|Foi» то ~
= Foi - Ai, а тп2 дается формулами (1.17), где берется знак плюс;
2.3) если 0 ^ F&j < X] - Х\ + 2A2F0i, то T7ii = Foi - Ai,
m2 =
A2 при Foi > A2 — A),
Foi + A| при 0 < Foi < A2 — Aj.
Пусть Foi < 0 (т. o. sin Tpo < 0). Тогда:
2.4) если F(J, ^ \\ - Aj - 2A|F0|, то m\ и m2 даются формулами (1.17);
2.5) если X] - X\ - 2A2F0i ^ Fqq < A| — A} — 2AiF0|, то m2 = = Foi + Ai, a toi дается формулами (1.17), где берется знак минус;
2.6) если 0 ^ F,Jj < А? - А2 - 2A2Foj , то m2 = F0, + А|,
то, =
-А2 при F0| < А| - А2,
Fyi — Ai при Aj — А2 < Foi < 0.
Доказательство утверждения 2. Без ограничения общности будем полагать cos а > 0. Обозначим х = F2i. Тогда из (1.11), (1.12) получим:
Fix — -х- F0 cos 7,
^ . m m
F\u = —x tg a — F0 sin 7 H--------------, F2v = ®tga-r .
* cos a cos a
Подставляя найденные выражения в неравенства (1.7) (Л = 1,2) и используя обозначения из формул (1.15), получаем следующие квадратичные по х неравенства:
Qi(x) = x2er2(a) + 2xm[f[2g(a) - fnh(a)] +
+ ш2(/|22 + /j2|) — £2 cos2 a ^ 0, (1.18}
Qi(x) = Q\(x) + 2zFoXcosa + (do +£2 - £?) cos2 a ^ 0, (*-19)
где обозначено
,2г 2/ ч . ,.2/.м . 2mFo[/i20(7)-/iiM7»
4 = F0V( 7) + Л%)] + ’ О-20)
сх
а остальные параметры определены в (1.15).
Для возможности равновесия необходимо и достаточно, чтобы неравенства (1.17) и (1.19) имели хотя бы одно общее действительное решение х. Так как коэффициент при X2 В и ф2 положителен, то для этого нужно: во-первых, чтобы <2\(х) и ф2(ж) имели только вещественные корни Х2 < х\ — для ($\{х), х4 < хз — для С}г(х), а во-вторых, чтобы отрезки [х2,х\] и [х4,Хз\ имели непустое пересечение, т.е. должны одновременно выполниться два неравенства:
Х4 < Х\, Х2 < Хз. (1-21)
20
Глава 1. Задачи о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости
Несложные алгебраические вычисления, которые мы здесь опускаем, дают согласно (1.17)—(1.20) следующие выражения для корней ж* (& = 174):
-Mf 129(a) - /цЛ(а)) ± v/£7
*1.2 =---------------77~\-------------*
<т(а)
(I 22)
-m(fu9(a) - /цЛ(аг)) - Fqx cos а ± %/S7
Ху 4 —------------------------\-------------------»
сг2(а)
где Д| и Д2 даются формулами
- d^2(<*) cos2 Q ~ тп7А2 cos2 а, (2 = ,
Д2 = (2<72(а) cos2 а - (m - F0 sin ^»о)2Д2 cos2 а, = Д2ЛГ,2.
Используя формулы (1.22), нетрудно установить, что неравенства (1.21) и условия вещественности корней функций Q\(x) и Qi(x) эквивалентны неравенствам
ДI > 0, Дг > 0, \Fqx cos а| < \/д7 + \Z&2,
которые после простых преобразований и использования обозначений из (1.15) приводят к соотношениям (1.16). Утверждение 2 доказано. □
Доказательство утверждения 3. Рассмотрим функцию тр(тп):
1р(тп) = /а2 - in2 + уЛ? -(m-F0,)2.
Несложное исследование этой функции показывает, что < 0, т. е. график ее является
выпуклым кверху, она имеет точку максимума
^01^2 т* " А,+А2'
если только |F0i| < А| + А2. Но это неравенство обязательно должно выполняться, гак как только тогда существуют решения первых двух неравенств из (1.16). Действительно, из (1.16) мы имеем:
—А2 <£ тп <С А2, — А| 4~ jPoi <С f7i <С А| -1- Foj.
Чтобы эти интервалы имели непустое пересечение, необходимо и достаточно выполнение условий
—А2 < А| + JFoj» —Aj -f- Fq\ < Аг => |^oi! < А| + Аг.
Таким образом, точка m = тп, принадлежит области определения функции гр(тп), причем max^(m) = ^(m*) = у/(А| -h А2)2 - F02,.
Далее мы исследуем корни уравнения ifi(m) = F02. Ясно, что при Fo2 > тр(тп,) = у (Aj + А2)2 - F02, уравнение не имеет корней, т. е. при F022 -Ь F02, > (А, + А2)2 решений неравенств (1.16) нет и равновесие невозможно. Остальные пункты устанавливаются непосредственной проверкой (легче всего это сделать графически). Утверждение 3 доказано. □
§ 1.1. Равновесие твердого тела на плоскости с сухим трением
21
Замечание. Для изотропного трения Фо = /Е, неравенства (1.16) из утверждения 2 имеют вид
|т|</ЛГ2, |т - F0 sin ф^\ < /TV,.
i^olcosV'ol < yjpNl - m2 + yjpN} - (m - F0 sin фо)2, а утверждение 3 дает результат, который был получен в [76] методом предельного равновесия.
М Пример. Применим результаты утверждения 3 дли случая =
= N2 = Nq. Тогда At = А2 = Ао = Nocr(a) (см. обозначении из (1.15)). Будем полагать Foi > 0, т. е. sin ^0 > 0- Обозначая в дальнейшем
М 1
*1 = — => к? + sin -фо = —о-2(а)ог2(7),
будем иметь:
F0, = F0 sin фо, Fo2 = F0K|,
Согласно угперждению 3, при равновесии реализуются лишь пункты 2.1 и 2.3. ►
Обозначим =
Тогда получаем следующий результат.
1) При Fy > Fit равновесие невозможно.
2) При F06[F,2,F,i] равновесие возможно только при т<Е \тп\,т«2), где
га,.2 = \ (Fo sin tfo ± Х\ \JFu - Fo) •
3) При 0^ F< F|2 равновесие возможно только при m € [га,, т2|, где Ш| = F0 sin фо~Ло> гаг = Ао-
Из приведенных выражений мы видим, что граница области равновесия в плоскости параметров {Fo, га} при фиксированных ф0 и a состоит из прямых и эллипсов, и ее легко изобразить на чертеже. Начертим такую границу для главного моменга тс относительно центра отрезка Л,Лг. Ясно, что
тс = т - -Fo sin ф0.
Тогда получаем:
если Fo 6 (0, F12), то 5F0 sin фо - А0 < тпс < - 5F0 sin ф0 + А0;
если Fo € (F,2, F,,), то — ^yjF,2, — F02 < mc < ^ \f~F{\ “ F02.
На рис. 1.3 представлена полученная симметричная область равновесия в плоскости параметров (F0, гас}- Отметим, что на рис. 1.3 представлена область равновесия при фиксированных параметрах фо и а. При изменении этих параметров область равновесия также
22
Глава 1. Задачи о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости
изменяется. Рассмотрим два простейших случая: V'o = 0 и tfio — іг/2. Будем предполагать, ЧТО трение ОрТОТроПНО, Т. С. /)2 = /21 = 0.
I) 1р0 — 0. Тогда Fj2 = 0, т.е. границы областей равновесия при a € (0, тг/2) состоят только из эллипсов (см. рис. 1.4) с полуосями
= 2f11 fa**0' тпс, = N,0/0, /о = у//22cos2 a + /,2, sin2 о.
Таким образом, мы видим, что обе полуоси эллипсов существенно зависят от угла a — наклона отрезка A\Ai к оси причем одна из полуосей монотонно возрастает, а другая убывает с изменением угла а. Схематично эти области представлены на рис. 1.4.
(4 5) — прямая. Рис. 1.3. Область равновесия при фиксированных tfj^ и а
Рис. 1.4. Области равновесия при = 0 и изменении a
Рис. 1.5. Области равновесия при = т/2 и изменении a
§ 1.1. Равновесие твердого тела на плоскости с сухим трением
23
2) 1р0 = тг/2. Тогда
Здесь области равновесия при различных а состоят из отрезков прямых и гладко сопряженных с ними эллипсов (см. рис. 1.5), причем так как и Ао являются одновременно монотонно убывающими или возрастающими функциями угла а, то эти области вложены друг в друга. Схематично это представлено на рис. 1.5.
Отмстим, что области равновесия, представленные на рис. 1.4, 1.5, существенным образом отличаются от аналогичных областей равновесия, приведенных на стр. 227 кни-
В этой книге аналогичная задача о равновесии ортотропного трения (/12 = /21 = 0) решалась методом предельного равновесия, строгое применение которою для получения аналитических результатов является несколько громоздким и здесь не приводится.
4. Формулировка и обоснование результатов для случая п = 3
Пусть Ау(ху,у^ 0' = ТГЗ) — точка опоры (см. рис. 1.6). Начало координат О совпадает сточкой А]. В опорной шероховатой плоскости в осях Оху анизотропное трение задается положительно определенным тензором ф(, = ||/у|||^*|.
Предполагаем, что в опорных точках Азаданы неотрицательные нормальные реакции Щ ( ] = ТГЗ), которые определяются из уравнений равновесия (1.1), (1.2) и зависят лишь от внешних заданных сил, их моментов и геометрических параметров тела. Пусть — силы трения покоя в точках Л; (] — ТГЗ). Тогда уравнения равновесия имеют вид
ги [5].
Ф\т — ~{Ргх + І^Зг + Рх), Ъу = + Ру)\
м2 = Р1гу2 - Р2ух2 + І^ЗхУЗ “ РзуХу,
(1.23)
КУ
® -г
® М.
А
О
Г
►
х
х
Рис. 1.6
24
Глава 1. Задачи о равновесии твердого тела на шероховатой плоскости
при ограничениях (1.7) для сил трения покоя.
Введем матрицу Ф| и переменные {«,, д;} (,;' *= ТГЗ), {Р\,Р2} по формулам:
Используя введенные обозначения и (1.23), для главного момента М2 мы получим следующее выражение:
Поставим задачу' определения экстремумов функции Ф из (1.24) при ограничениях
Решив эту задачу, мы получим условие возможности статического равновесия в терминах параметров {М2, Р|, Р2, &2> <*з, Ьз}, которые нетрудно сформулировать
и для исходных параметров (Рх, х2, уг, у3).
Пусть (2\>(22,Яз — множества (выпуклые) в 4-мерном пространстве (ц2>®2. “з>*>з}> определяемые, соответственно, неравенствами (1.25)—(1.27).
Тогда в силу линейности функций Ф ее максимум и минимум достигаются лишь на границе пересечения множеств (}\,(}2,С}2- Поэтому поиск экстремума заключается в переборе всех вариантов границ пересечения указанных множеств. Рассмотрим эти возможные случаи.
1-й случай. Пусть множество И\ = С}\ Пф2Пфз непусто. Исследуем значения функции Ф на его границе.
Здесь справедливо следующее утверждение.
Утверждение 4. 1) Множество Г] точек границы множества И\, в которых неравенства
(1.25)-(1.27) обращаются в равенства, непусто тогда и только тогда, когда
Ф = МгА = и2а2 + ь2Ьг 4- д3а3 + т>3&з,
где обозначено:
(1.24)
“ /21^-, Щ = —/,220' + 3 = 2> ^
А = /11/22-/12/21 >0.
Ограничения (1.7) примут вид
(и2 + п3 + Р\)2 + («2 + из + Рг)2 ^
«2 4- и2 ^ £г»
Из + *>з ^ £з-
(1.25)
(1.26) (1.27)
(1.25)—(1.27).
(1.28)
- Київ+380960830922