Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации движений механических систем

Оглавление
0.1. Введение .............................................. 4
0.2. Список основных сокращений и обозначений.............. 15
1. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений
запаздывающего типа с конечным запаздыванием 16
1.1. Постановка задачи. Предельные уравнения............... 17
1.2. Знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова в задачах о полной устойчивости............................... 22
1.3. Устойчивость по части переменных ..................... 47
1.4. Случай автономного, периодического и почти периодического по времени уравнения......................... 63
2. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений
запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием 69
2.1. Фазовое пространство.................................. 70
2.2. Теоремы существования и единственности. Предельные уравнения .................................................. 72
2.3. Знакоопределенные функционалы Ляпунова................ 74
2.4. Знакопостоянные функционалы Ляпунова.................. 79
2.5. Исследование устойчивости по части переменных......... 86
2.6. Следствия для периодического уравнения ............... 89
3. Методы исследования задач о стабилизации движений управляемых механических систем 92
3.1. Стабилизация движений управляемых механических систем
с обратной связью с запаздыванием...................... 93
3.2. Оптимальная стабилизация движений.....................107
3.3. Стабилизация с гарантированной оценкой качества.......126
2
4. Некоторые задачи об устойчивости и стабилизации
движений механических систем 134
4.1. Исследование стабилизации положения равновесия
управляемых механических систем. Конечное запаздывание 135
4.2. Исследование стабилизации положения равновесия
управляемых механических систем. Бесконечное
запаздывание..............................................163
4.3. Устойчивость движений эредитарных механических систем . 172
4.4. О стабилизации положения относительного равновесия . . . 176
4.5. О стабилизации программного движения......................178
4.6. Задача о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении.....................................................181
4.7. Задачи о стабилизации твердого тела.......................186
4.8. Стабилизация по части переменных при допущении неограниченности неконтролируемых координат...................198
А. Исследование устойчивости функционально-
дифференциальных уравнений нейтрального типа с конечным запаздыванием 203
А.1. Основные определения......................................204
А.2. Принцип инвариантности для автономных уравнений .... 206
А.З. Построение предельных систем..............................208
А.4. Локализация положительного предельного множества 211
А.5. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости 213
А.6. Равномерная асимптотическая устойчивость..................217
А.7. Знакопостоянный по ядру функционал Ляпунова...............224
А.8. Исследование устойчивости НФДУ по части переменных . . 229
Литература 234
3
0.1. Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Простейшая гипотеза, принимаемая при математическом описании физических явлений предполагает, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т. е. будущее состояние не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Однако в многочисленных задачах механики, техники, теории автоматического регулирования, экономики, биологии, экологии и т. д., для адекватного описания реальных процессов необходим учет запаздывания, "предыстории" процесса. В этих случаях, в качестве математических моделей, используются функциональнодифференциальные уравнения. Согласно [114], функционально-дифференциальные уравнения — это уравнения относительно неизвестной функции x(t) и ее производных, вычисленных в различные моменты времени t.
Впервые в достаточно общей форме такие уравнения были представлены и исследованы в трудах В. Вольтерра [21].
Одним из важнейших разделов качественной теории функциональнодифференциальных уравнений является теория устойчивости. Метод функционалов Ляпунова, предложенный H.H. Красовским [58], является в настоящее время одним из основных в исследовании устойчивости систем с запаздыванием.
Многие ученые внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. H.H. Красовским [58] доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости для уравнения запаздывающего типа. Теорему о неустойчивости получил С.Н. Шиманов [121]. Устойчивость решений уравнения нейтрального типа исследовалась в работах |46, 47, 115, 146]. Частичная устойчивость функционально-дифференциального уравнения исследовалась в работах [24]—[26], [35, 143, 156]. Функционально-
дифференциальные уравнения Вольтерра, введенные в [21, 22],
исследовались далее в работах [107, 108, 110, 109]. Другие значительные результаты классического типа при исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений вторым методом Ляпунова были получены в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Дж. Хейла,
4
Л. Хатвани и других ученых [38]-|40], [44]—[50), [75, 114], [137]—[139], [144]—[147], [155]-[158], [164].
Постановка новых задач об устойчивости и стабилизации движений различных систем и процессов (в том числе механических), отсутствие универсального способа построения функционалов Ляпунова, удовлетворяющих условиям тех или иных общих теорем об устойчивости, приводит к необходимости модификации и обобщения известных ранее таких теорем, в частности в направлении модификации и обобщения теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости путем ослабления знакоопределенности функционала Ляпунова и его производной. В работах [29, 43, 44, 52] было предложено использовать для исследования устойчивости уравнения запаздывающего тина знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова. Для автономных функционально-дифференциальных уравнений теорему Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости [19] с использованием функционала Ляпунова со знакопостоянной производной обобщил Дж. Хейл [146]. Исследование устойчивости неавтономных уравнений представляет собой большую трудность. Один из методов исследования опирается на идею построения предельной системы для заданного уравнения с последующим использованием качественных свойств решений предельной системы. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений эта задача решалась в работах [3]-[б], [130]—[134, 166], то для функционально-дифференциальных
уравнений она исследовалась в [12]—[15, 69), [80]-[86, 117, 118, 119]. В работах [106, 143, 144, 145. 148. 156, 157, 161] с помощью метода предельных уравнений исследовались уравнения запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием, для чего вводилось особое фазовое пространство начальных функций. В работах A.C. Андреева и Д.Х. Хуеанова [14, 15] для функционально-дифференциальных
уравнений запаздывающего типа были получены методы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости, предельного поведения решений неавтономной системы, основанные на использовании предельных уравнений и зиакоонределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости из [14] есть обобщение теоремы Барбашина -Красовского для неавтономного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа.
5
К исследованию устойчивости ФДУ сводятся задачи об устойчивости эредитарпых механических систем, о стабилизации регулируемых систем, о стабилизации движений механических систем с учетом запаздывания в структуре обратной связи. Изучением этих задач, в том числе с использованием функционалов Ляпунова, занимались H.H. Красовский, Ю.С. Осипов, С.М. Белоцерковский, В.Б. Колмановский, И.М. Ананьевский, Дж. Хейл, B.C. Сергеев, A.A. Ким и другие ученые.
Теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы ФДУ с конечным запаздыванием, при условии существования знакоонределенного функционала со знакопостоянной производной, позволили решить ряд интересных задач об устойчивости и стабилизации движения механической системы с запаздыванием |7]. Эти результаты определили, по существу, новое направление в теории устойчивости ФДУ. Однако многие проблемы этого направления до настоящего времени оставались малоисследованными или неисследованными.
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию новых методов исследования устойчивости и стабилизации механических систем.
Целью диссертации является:
1) разработка новых методов исследования устойчивости, притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всем и части переменных для неавтономного функционально-дифференциального уравнения на основе знакопостоянных, немонотонных и знакоопредсленных функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными;
2) применение получаемых методов к решению ряда конкретных и прикладных задач, к решению задач о стабилизации движений управляемых механических систем при помощи управлений с обратной запаздывающей связью.
Научная новизна.
Получены новые методы исследования устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздыванием на основе функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными. Разработаны новые методы решения общих и конкретных задач об устойчивости эредитарпых механических систем, о стабилизации движений механических систем с запаздывающей обратной связью.
6
Теоретическая и практическая ценность.
Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в изучении устойчивости ФДУ, для исследования устойчивости движений эредитарных механических систем, для построения структуры управления в задачах о стабилизации движений управляемых механических систем.
Первый круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, связан с разработкой новых методов исследования устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости решений функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием по всем и части переменным. Эти методы основаны на применении знакопостоянных, знакоопределенных и немонотонных функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными и используют метод предельных уравнений. Эти вопросы рассматриваются в первой главе диссертации.
Первая глава
В первом разделе первой главы приводятся основные определения, теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных. Излагаются предположения относительно правой части уравнения, позволяющие провести построение предельных систем.
Во втором разделе первой главы рассматривается задача
об устойчивости при условии существования знакопостоянного
и немонотонного функционала Ляпунова. Получены теоремы
об устойчивости, асимптотической устойчивости, в том числе эквиасимптотической и равномерно асимптотической. Новизна теорем заключается в том, что были получены условия устойчивости и асимптотической устойчивости при существовании знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной. Результаты второго раздела развивают и обобщают результаты работ |14, 15, 18, 19, 29, 43, 44, 52, 66, 67, 114, 116, 121, 146] и представлены в работах [13, 80, 84, 88, 89, 96].
В третьем разделе излагаются результаты об исследовании частичного притяжения решений, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа посредством предельных уравнений и функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную.
7
Так как построение предельного уравнения проводится в компактнооткрытой топологии, то в исследовании существенна ограниченность решений по неконтролируемым координатам. Доказаны теоремы, относящиеся к исследованиям асимптотической устойчивости по части переменных, посредством предельных систем. Получены теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную, в предположении ограниченности решений по остальным переменным. На основе результатов из раздела 2 выведены критерии устойчивости по части переменных в предположении существования знакопостоянного функционала Ляпунова и ограниченности решений по неконтролируемым координатам. Также в третьем раздаче получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости в предположении неограниченности решений по неконтролируемым координатам. Результаты третьего раздела развивают и обобщают результаты работ [24, 25, 26, 35, 78, 79, 105] и представлены в работах [10, 86, 89. 96].
В четвертом разделе формулируются следствия результатов второго и третьего разделов для случая автономного, периодического и почти периодического уравнений, которые представлены в работах [89, 96].
Второй круг вопросов связан с разработкой новых методов исследования устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с бесконечным и запаздыванием но всем и части переменным. Эти вопросы рассматриваются во второй главе диссертации.
Вторая глава
Во второй главе исследуется устойчивость функционально-дифференциального уравнения с бесконечным запаздыванием на основе метода предельных уравнений с использованием знакоопределенных и знакопостоянных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Для уравнений с неограниченным запаздыванием значительную роль в построении теории играет выбор подходящего фазового пространства. Фазовое пространство такого уравнения определяется в первом разделе на основе аксиоматического подхода, разработанного в [148]. Такой подход позволяет определить условия, при которых возможно построение предельных уравнений со свойствами,
8
аналогичными полученным для обыкновенных [166] и функционально-дифференциальных уравнений, приведенных в первом разделе первой главы.
В разделе 2.2 приводятся теоремы существования, единственности и проводится построение предельных систем.
В третьем разделе на основе знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости.
В разделе 2.4 исследование устойчивости проводится на основе знакопостоянных функционалов Ляпунова.
В пятом разделе проводится исследование по части переменных.
В тестом разделе формулируются следствия результатов разделов 2.3—
2.5 для случая периодического уравнения.
Результаты второй главы развивают и обобщают’ результаты работ [12]-[15, 106, 143, 144, 145, 148, 156, 157, 161] и представлены в работах [89, 94, 95, 98].
Третий круг вопросов, исследованных в диссертации, связан с получением условий стабилизации, в том числе оптимальной и с гарантированной оценкой качества управления, систем с обратной запаздывающей связью. Эти вопросы рассматриваются в третьей главе диссертации.
Третья глава
В первом разделе третьей главы рассматривается задача о стабилизации систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями. Здесь получены теоремы о стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Предложено решение задачи стабилизации для систем, описываемых уравнениями запаздывающего типа с конечным и бесконечным запаздыванием. Здесь также рассматривается стабилизация систем, моделируемых функционально-дифференциальным уравнением второго порядка. Управление строится только на. основе информации, полученной в предыдущие моменты времени и зависит от координаты и скорости, измеренных в предыдущие моменты. Получены результаты для автономного случая, а также для случая переменного запаздывания и случая зависимости от времени коэффициентов в управлении. Результаты этого раздела представлены в работах [90, 88].
9
Во втором разделе третьей главы рассматривается задача об оптимальной стабилизации. Здесь получены теоремы об оптимальной стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Предложено решение задачи об оптимальной стабилизации систем со стационарными связями. Здесь следует отметить, что структура функционала качества и выбор его коэффициентов не являются фиксированными и могут, вообще говоря, выбираться с определенным произволом, так как основная задача состоит не в минимизации конкретного функционала, а в построении стабилизирующего управления.
В третьем разделе третьей главы получены теоремы о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. В теоремах об оптимальной стабилизации, доказанных во втором разделе этой главы диссертации, требуется, чтобы функционал £?[£, У0, х*,!*] принимал минимальное значение на управляющем воздействии ^°(£, Же). С практической точки зрения указанное условие является довольно ограничительным. В ряде случаев, удобным и эффективным представляется постановка задачи о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления [8]. В указанной задаче ослаблено требование к функционалу качества /, а именно: не требуется его минимизация, необходимо лишь, чтобы он не превосходил некоторой оценки.
Результаты главы 3 развивают некоторые результаты работ (40, 63, 77] и представлены в работах [85, 87, 88, 89, 91, 92, 93].
Четвертая глава
В четвертой главе рассматриваются примеры о стабилизации управляемых механических систем.
В первом разделе исследуется стабилизация положения равновесия управляемых механических систем со стационарными, голономными идеальными связями. Управление строится на основе информации о предыдущих значениях фазовых координат. Движения рассматриваемой системы определяются уравнениями Лагранжа
(I дт дт .
где (2(£, ~ матрица-столбец размерности п х 1 обобщенных сил,
действующих на систему.
Предложены различные типы регуляторов. Показывается, что можно
10
стабилизировать систему до равномерной асимптотической устойчивости на основе управлений, которые зависят только от координат системы:
о
<?>/(*. ф) = -£(%(*) + J <0я(£ +
-А
ф) = -Ро(*МЬ) + Со(<М* - к).
Рассматриваются также следующие управления:
<?!,(£, ф.ф) = -С(*М* -к)- Р(()9(<),
а
<Эу(*,Ф>9) = +
-к
О
<2Д, ф, <?) = -1 С(*Ж* + в)(1$,
-А
<ЗД, Ф> ф) = -С?(г - к) - £с/(4 - /I).
Показаны условия, при которых указанные управления стабилизируют систему до равномерной асимптотической устойчивости. Полученные в разделе 3.2 результаты представлены в работе [95].
Во втором разделе рассматриваются регуляторы с неограниченным запаздыванием. Результаты раздела 3 представлены в работах [89, 98].
В третьем разделе исследуется устойчивость эредитарных механических систем. Результаты этого раздела, представлены в работе [99].
В четвертом разделе решается задача о стабилизации неустойчивого положения относительного равновесия механической системы с голономными нестационарными связями. Решение задачи предлагается на основе регулятора, зависящего только от координат системы.
В пятом разделе предложено решение задачи о стабилизации программного движения голономной механической системы. Исходная система заменой сводится к новой таким образом, что изучение поведения решений исходной системы в окрестности заданного программного движения сводится к изучению поведения нулевого решения получен ной системы в отклонениях.
В шестом разделе решается задача о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении равновесия. Результаты этого раздела представлены в работах [13, 89, 96].
11
В седьмом разделе рассматриваются задачи о стабилизации движений твердого тела: о стабилизации вращательного движения твердого тела, о стабилизации одноосной ориентации твердого тела, о стабилизации трехосной ориентации твердого тела в инерциальной системе координат. Результаты этого раздела представлены в работах [10, 13, 89, 96].
В восьмом разделе решается задача о стабилизации голономной системы но части переменных при неограниченности неконтролируемых координат. Результаты этого раздела представлены в работе [97, 89].
Решение всех представленных задач достигается на основе знакопостоянных и зиакоопределенных функционалов Ляпунова, со знакопостоянной производной.
Результаты четвертой главы развивают и обобщают результаты работ [63, 77, 111].
Приложение
В приложении проводится развитие методов, полученных в первой главе, в задаче исследования устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа (НФДУ).
В первом разделе приложения приводятся теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных, несколько отличных от теорем, изложенных в [114]. Эти теоремы используются в последующих разделах главы и были доказаны в [83, 89].
Во втором разделе приводятся результаты исследования задачи о локализации положительного предельного множества автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную.
В третьем разделе- проводится построение предельных систем и доказывается теорема о квазиинвариантности предельного множества.
В разделе 4 получена теорема о локализации положительного предельного множества.
В пятом разделе получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе функционала Ляпунова со знакопостоянной производной.
В разделе б исследуется равномерная асимптотическая устойчивость неавтономного уравнения нейтрального типа в предположении свойства равностепенной непрерывности положительного предельного множества.
В разделе 7 исследуется задача об устойчивости и асимптотической устойчивости НФДУ на основе знакопостоянного по ядру функционала
12
Ляпунова со знакопостоянной производной.
В разделе 8 исследуется задача об устойчивости НФДУ по части переменных.
В разделах 3—8 приложения проводится развитие метода предельных уравнений и предельных функционалов Ляпунова [3, 4, о, б, 14, 15, 69, 117, 119]. Результаты этих разделов развивают и обобщают результаты работ [46, 47, 115, 146] но исследованию устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа. Основные результаты главы представлены в работах [12, 82, 89].
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела"(Донецк. 1996 г., 2005 г.); Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Киев, 1994 г., 1996 г.); 11-й Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Ульяновск, 1996 г.); Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики"(г. Ульяновск, 1996 г.); семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под рук. акад. РАН В.В. Румянцева, ироф. A.B. Карапетяна и член-корр. РАН В.В. Белецкого (март 1997 г.); Пятой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов"(Ульяновск, 2003 г.); International Conference "Dynamical System Modeling and Stability Invcstigat"(KHeB, 2003 г., 2007 г.); Шестой и Седьмой Крымской Международной Математической Школы "Метод функций Ляпунова и его приложений11 (Крым, Алушта, 2002 г., 2004 г.); IX международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "(Москва, 2006 г.); IX Всероссийском съезде но теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.); Всероссийском семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под рук. акад. РАИ В.В. Румянцева, члеи-корр. РАН В.В. Белецкого и ироф. A.B. Карапетяна (14 марта 2007 г.); Всероссийском семинаре по нелинейной динамики в ВЦ РАН (15 марта 2007 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 26 работах, в том числе 1 монографии. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4
13
глав, приложения, заключения и списка литературы. Главы разбиты на разделы. Общий объем работы составляет 248 страниц, библиография содержит ]Г>8 источника.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты N 96-01-01067, 02-01-06162 , 02-01-00877, 05-01-00765) и НШ-6667.2006.1.
14
0.2. Список основных сокращений и обозначений
ЗФДУ — функционально-дифференциальное уравнение запаздывающего типа.
НФДУ — функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа.
R = ]—оо, + оо[ есть действительная ось,
R+ = [0, +оо[,
Rn есть действительное линейное пространство n-векторов х с нормой 1*1,
h > 0 - некоторое действительное число,
С[а„з] - банахово прост ранство непрерывных функций р : 'а, ß\ —> Rn с нормой ||</?|| = sup (|<p(s)|,а < s < ß),
C„={veC[-hM:M\<H},
= Си : |MI < l < II},
В - допустимое пространство.
Для непрерывной функции х : ]—оо,+оо[ —> Rn и каждого t £ Я функция xt 6 С[-л,о) определяется равенством Xt (s) = x(t 4- s) для —h < s < 0,
x(t) — правосторонняя производная.
/ : x C# —► RP есть некоторая функция.
Если tn —> +оо, Ti. —> оо и fn(t, р) = f(tn + t7 p) сходится к функции /*, то функция /* называется предельной.
V : х Сн —* R+ - непрерывный функционал Ляпунова,
V(a,<p) = lim supi(V(« + h,x0+h(a,<p)) - V{a,ip))
h-*0+ fl
есть верхняя правосторонняя производная функционала V в точке {са^р).
15
Глава 1.
Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием
В этой главе исследуются свойства устойчивости неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа (ЗФДУ) с конечным запаздыванием на основе метода предельных уравнений и использовании функционалов Ляпунова. Обычно, при исследовании асимптотической устойчивости и неустойчивости этим методом основным условием является знакоопределенность функционала Ляпунова, имеющего знакоопределенную производную [58, 114]. Однако существуют задачи, в которых построение таких функционалов оказывается крайне затруднительным. В [10, 13, 84. 85, 86, 88, 96, 100] предложен метод исследования устойчивости ЗФДУ па основе предельных уравнений с помощью знакопостоянного функционала со знакопостоянной производной, который и рассматривается в данной главе.
В разделе 1.1 приводятся основные определения, теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных. Излагаются предположения относительно правой части уравнения, позволяющие провести построение предельных систем.
В разделе 1.2 рассматривается задача об устойчивости при условии существования знакопостоянного и немонотонного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной. Получены теоремы об устойчивости (простой и равномерной), асимптотической устойчивости, в том числе
16
эквиасимптотической и равномерно асимптотической. Результаты второго раздела развивают и обобщают результаты работ (3, 5, 14, 15, 18, 19, 29, 43, 44, 52, 66, 67, 114, 116, 121, 146] и представлены в работах [13, 80, 84, 88, 89, 96, 100].
В разделе 1.3 излагаются результаты об исследовании частичного притяжения решений, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости пулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа посредством предельных уравнений и функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную. Так как построение предельного уравнения проводится в компактнооткрытой топологии, то в исследовании существенна ограниченность решений по неконтролируемым координатам. Доказаны теоремы, относящиеся к исследованиям асимптотической устойчивости по части переменных посредством предельных систем. Получены теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения но части переменных на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную, в предположении ограниченности решений но остальным переменным. На основе результатов из раздела 1.2 выведены критерии устойчивости но части переменных в предположении существования знакопостоянного функционала Ляпунова и ограниченности решений по неконтролируемым координатам. Также в третьем разделе получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости в предположении неограниченности решений по неконтролируемым координатам.
Результаты раздела 1.3 развивают и обобщают результаты работ [4, 6, 24, 25, 26, 35, 78, 79, 105] и представлены в работах [10, 86, 89, 97].
В раздело 1.4 формулируются следствия результатов второго и третьего разделов для случая автономного, периодического и почти периодического уравнений и представлены в работах [89, 96].
1.1. Постановка задачи. Предельные уравнения
Пусть Я = ]—оо, -гоо[ есть действительная ось, Я* = [0, -Ьоо[,
Яп есть действительное линейное пространство п-векторов х с нормой И, /г > 0 - некоторое действительное число, С[ад - банахово
пространство непрерывных функций р : [а, /3] —► Я71 с нормой
1М1 = вир(|у?(5)|<$</?), Си = {р 6 Ср^о] : М1 < Н}, для
17
непрерывной функции х : ]-оо,-Ьоо[ —> Rn и каждого t € R функция xt € C’j-ft.o] определяется равенством xt (s) = x(t + s) для — h < s < 0, под x(t) будем понимать правостороннюю производную.
Определение 1.1.1 [114]. Пусть Л С R х С открыто и пусть / : Л —* Rn, есть некоторое непрерывное отображение. Соотношение
x(t)=f(t,X t) (1-1-1)
называется функционально-дифференциальным уравнением
запаздывающего типа.
Определение 1.1.2 [114]. Непрерывная функция х : [а — /г.,/?[—> Ru называется решением уравнения (1.1.1), если (£, я*) С А и x(t) удовлетворяет уравнению (1.1.1) для каждого t Е [a,ß[.
Для заданных а Е Я+, р Е С, (а,р) С А назовем x(t,a,ip) решением
(1.1.1), начинающееся в точке (а,у>), если существует ß > а, такое, что x(t. сх, р) есть решение уравнения (1.1.1) на [сх — h,ß[ и функция xt(cx, р) при t = а равна (р, т. е. ха(а,р) = (р.
Качественные свойства уравнения (1.1.1) определяются следующими теоремами.
Теорема 1.1.1. (о существовании решения) [114]. Пусть правая часть
(1.1.1) / = f(t,p) непрерывна на открытом множестве Л С R х С. Тогда для каждой начальной точки (а, р) Е А существует решение (1.1.1) x(t.a,p), определенное на некотором интервале \а — h,ß[ {ß > а).
Пусть F\ - множество всех ограниченных непрерывных функций / : Л —► Rn, Л - открытое множество из R х С. Если ввести норму: ||/||Л = sup(t>v?)6A \f{t,p)\> то пространство Fa будет банаховым.
Теорема 1.1.2. (о непрерывной зависимости) [114]. Пусть Л С R х С - некоторое открытое множество, (ао,</?о) € Л, /о Е Fa, а
X = .То(£) есть некоторое решение уравнения x(l) = f[)(t,Xt)y начинающееся в точке (с*о,</?о), определенное и единственное на [ао - h,ß}(ß > а’о). Пусть последовательность {скап^ьЛ} такова, что Oik -> сх{),рк -» PiuWfk - /о|| -> о при к * оо, xk(t) = Xk{t,ock,<Pk) есть решения соответственно уравнений x(t) = fk(t, xt). Тогда существует такое ко, что для к > ко каждое решение xk(t,ak,pk) существует на [ак — h,ß] и последовательность xk(t) —> хо(£) (сходится равномерно) на каждом отрезке [ао — Л 4- e,ß\ для всякого малого £ > 0.
Функция / : Л —* Rn удовлетворяет условию Липшица но р на каждом компактном множестве К с А, если существует I = 1{К), такое, что для
18
любых ^1,^2 € К выполняется неравенство:
\/{*,<Рг) -/(i.^i)l < i||y>2 -Vill- (1-1-2)
Теорема 1.1.3. (о единственности решения) [114]. Пусть Л С R х С - открытое множество, функция / : Л —> Rn непрерывна и удовлетворяет условию (1.1.2). Тогда для каждой начальной точки (а-,^) £ А решение x(t, а, ip) уравнения (1.1.1) единственно.
Пусть Л, на котором определено уравнение (1.1.1), есть R+ х Сц. При исследовании устойчивости посредством предельных уравнений проводятся следующие построения [15].
Допустим, что функция / = удовлетворяет следующему
предположению.
Предположение 1.1.1. Для каждого числа г, 0 < г < Я, существует монотонно неубывающая функция дг(0) = 0, такая, что для любой непрерывной функции и : [а,Ь] —> Сг, Сг = {<р € С : ||<^|| < г} при любых ti,l2 £ [а, 6] выполняется неравенство:
h
I J f{j,u(r))dr\< ^r{\t2-ti\). (1.1.3)
ti
Это условие, в частности, выполняется, если функция /(£, кр) ограничена в области R+ х Ст при каждом г < Я, т. е. для каждого г, 0 < г < Я, существует число rn = га(г), такое, что \f(t,<p)\ < тп для всех (tpp) £ х Cr.
Лемма 1.1.1 [15]. Пусть выполняется предположение 1.1.1, и х = x(t,a,p) есть решение (1.1.1), определенное для любого t > а — h и такое, что |х(£,а-, р)\ < г < Н при всех t > а — h. Тогда семейство функций {.т*(а, р) : t > а} предкомпактно в Ст.
Допустим, что предположение 1.1.1 выполнено и {гп} есть последовательность чисел, такая, что т\ < т2 < • • • < тп < ..., гп —► Я при п —> оо. Для каждого г,- определим множество К{ С С всех функций tp £ С, таких, что для s, si, s2 £ [—/г. 0]
И«)! < П. Изг) - ¥>(si)| < Mls2 - si|).
OO
Множество Ki является компактным. Положим Г = [J Яг-.
i— 1
Тогда имеют место следующие утверждения.
Лемма 1.1.2 [15]. Если x(t, о:, ф) есть решение (1.1.1), определенное на интервале [а — h, оо[, такое, что: \x(t,a, ip)\ < г < Я, то х*(а, v?) £ Г
19
для всех £ € [а + К} ос[. В частности, если у? 6 Г, то я* (с*, у?) € Г для всех £ € [а, оо[.
Пусть Я есть множество всех непрерывных функций /, определенных на Я+ х Г, со значениями в Я”. Обозначим через /г сдвиг функции /, определяемый равенством /г(£, у?) = /(т + £, у?).
Определим сходимость в Я как равномерную на каждом компакте К' С В7 х Г (т. е. как сходимость в компактно открытой топологии), а именно, последовательность {/„ е Я} сходится к / € Я, если для всякого К' С Я'}' х Г и любого е > 0 имеем: |/п(£.у?) - /(£, у?)| < £, если п>ЛГ = .Л/-(е)и(£,у?)€ /Г'.
В силу определения области Г эта сходимость метризуема следующим образом. При каждом п определим для двух функций /1, /2 € Я полунорму ||/||7( и соответствующую псевдометрику рп следующим образом:
||/||п = 8ир{|/(*,у?)| : (£,у>) € Кп},
(Г м_ 11/2 - Мп
М/ь/2) 1 + ||/2_/1||п-
где К'и = [0, п] х Кп> п = 1,2,... определено выше).
Расстояние между Д и /2 6 Я определим как
I
оо
р(/ь/2) = ^2-"р„(/ь/2).
П=1
При этом пространство Г по отношению к введенной метрике будет полным.
Допустим, что правая часть (1.1.1) удовлетворяет также следующему предположению.
Предположение 1.1.2. Для каждого компактного множества К С Сн функция / = /(£, у?) ограничена и равномерно непрерывна по (£, у?) € Я+ х /С, т. е. для любого Л' С Сц имеется т = т(К) и для произвольного малого е > 0 найдется $ = <5(е, К) > 0, такое, что для любых (£,у>) е Я+ х К, (£ьуд), (£2,^2) £ Я* х К : |£2 — £1! < 5, уд, у?2 € : ||у?2 - уд|| < б выполняются неравенства:
|/(4,^)|<т, |/(*2, ¥»г) — /(*1.У»1)| <£ (1.1.4)
Лемма 1.1.3 (15]. При предположении 1.1.2 семейство сдвигов {/г : т € Яь} иредкомпактно в Р.
20
Определение 1.1.3. Функция /* : Я4* х Г —> Яп называется предельной к /, если существует последовательность Ьп —> +оо, такая, что {/^(£, (р) = /(£» + £, ¥>)} сходится к Р(Ь,ц>) в I7. Замыкание семейства {/г :г^Р}в^ называется оболочкой 5+(/). Уравнение
*(<) = /*(е, ат*) (1.1.5)
называется предельным к (1.1.1).
Областью определения (1.1.5) по построению можно принять область Я х Г.
Лемма 1.1.4 [15]. Каждая предельная функция /*(£,<^) удовлетворяет условию Липшица (1.1.2) относительно компакта К С Г.
Из леммы следует, что решение уравнения (1.1.5) для начального условия (£, <р) 6 Я+ х Г является единственным.
Взаимосвязь решений уравнений (1.1.1) и (1.1.5) определяется следующей теоремой.
Теорема 1.1.4 [15]. Пусть функция /* : Я+ х Г -+ Я" есть предельная к / в Р относительно последовательности Ьп —► +оо, а последовательности {ап е Я^} и {рп € Г} таковы, что ат1 —> а' 6 Д+, ^ 6 Г при п —► оо.
Тогда, если а; = ж(£, 1п+ап, <рп) есть решения уравнения (1.1.1), а #*(£. а, р>) есть решение уравнения ж(£) = /*(£,£*), определенное для t Е [а — Я./?[, то последовательность функций х(Ьп +1, £„ + а7П (рп) сходится к х*(£, а, р) равномерно по £ € [а — Л, 7] для каждого 7 < р.
Определение 1.1.4 [114]. Пусть х = х(Ь: а, р) есть решение уравнения
(1.1.1), определенное для всех I > о: — Я, ж^(а, у?) = ®(£„ -г 5, а, (-Я < 6- < 0). Положительное предельное множество П+(я*(а,у>)) в пространстве Сц есть множество Г2+ = {р* е Сн • 3 Ьп —> +оо, п —> сю, х|п^(а,<^) —> V?* при п —* оо}.
Теорема 1.1.5 [15]. Пусть решение уравнения (1.1.1) х = х(£, определенное для всех Ь > а — Я, такое, что |.т(£, а, <£>)| < т < Н для всех £ > ос — Я.
Тогда положительное предельное множество этого решения квазиинвариантно к семейству предельных уравнений (1.1.5), а именно, для каждого элемента р* € П+(х(£, от, р)) существует предельное
уравнение х(£) = /*(£,#*), такое, что для решения этого уравнения х(Ь,0.ря) выполняется соотношение {жг(0, р*) : I 6 Я4 } С П+(ж«(а, ¥>))•
21
1.2. Знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова в задачах о полной устойчивости
В этом разделе исследуется задача об устойчивости решений уравнения
(1.1.1) с помощью знакопостоянных и немонотонных функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными, используя предельные уравнения и предельные функционалы.
Допустим, что /(£,0) = 0 и, следовательно, (1.1.1) имеет нулевое решение х = 0.
Определение 1.2.1. Решение х = 0 уравнения (1.1.1) называется устойчивым, если для произвольного а € > 0 имеется
6 = 6(е, а) > 0, такое, что из неравенства \\у>\\ < 6 следует, что ||^:4(о:, <^)|| < е для всех t > а. Если число <5 не зависит от а, то решение х = 0 равномерно устойчиво.
Определение 1.2.2. Точка х = 0 является точкой притяжения решений уравнения (1.1.1), если для произвольного а £ Я+ найдется 7/ = г}(а) > 0, такое, что из неравенства ||</>|| < 7) следует, что х(£, а, р) —► 0 при £ —► +оо.
Определение 1.2.3. Решение уравнения (1.1.1) х = 0 асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и является точкой притяжения.
Определение 1.2.4. Решение ж = 0 уравнения (1.1.1) асимптотически устойчиво равномерно по у?, если оно устойчиво, а также для произвольного а 6 Я+ и для каждого е > 0 найдется \х = /х(а) > 0 и Т = Т(е, о:) > 0, такие, что при всех ||у?|| < /г и £ > а + Т будет выполняться неравенство ||ж*(а, <р)|| < е.
Определение 1.2.5. Решение х = 0 уравнения (1.1.1) равномерно асимптотически устойчиво, если оно равномерно устойчиво, а также при некотором 77 > 0 для каждого е > 0 найдется Т = Т(е) > 0, такое, что при всех ||у?|| <г)иЬ>а + Т будет выполняться неравенство ||аДа, <у?)|| < е.
Определение 1.2.6. Решение х = 0 называется точкой
равномерного притяжения решений всего семейства предельных уравнений {£(£) = /-(£, £*)} относительно множества А С С#, если существует Л, для любого е > 0 существует Т = Т(е) > 0, такое, что для любого решения ж*(£, 0,99), (р € Лр){||</?|| < Л} любого уравнения ±(£) = /*(£,£*) для всех £ > Т выполняется неравенство: ||а£(0,^)|| < е.
Определение 1.2.7. Решение х = 0 уравнения (1.1.1) называется устойчивым относительно множества Л С С и, если для любого е > 0
22