Интегральные метрики и проекционные методы аппроксимации решений задач динамики

Введение
Известны различные методы приближенного построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Из пих можно выделить два класса: численные и аналитические. К первым относится методика представления функций “по точкам” — в виде дискретного набора значений решения и дискретного набора значений аргумента — “времени”. Эта методика аппроксимации получила значительное распространение на практике. В пастоящсс время имеются высокоэффективные численные методы построения решений дифференциальных уравпепий. Все опи восходят к так называемому методу ломаных Эйлера.
В численных методах имеется недостаток, создающий неудобства в задачах динамики — при изменении начальных условий траекторию следует строить заново. Таким образом, в решении, заданном таблично и построенном численно, отсутствует качественная информация о свойсгвах динамической системы. Кроме того, в этом случае всегда имеется неизбежное “расползание” от точки к точке строящегося решения от точного вследствие накопления ошибок.
В определенном смысле альтернативный подход доставляют аналитические методы получившие широкое распространение в динамике. Здесь точное решение аппроксимируется сразу на всем отрезке времени с использованием аналитических свойств того или иного класса функций. Эти функции обычно являются решениями задачи, близкой к исследуемой и наследуют определенную информацию о динамической системе “в целом”. Начальные условия при этом играют роль параметров в процедурах аналитического построения приближений.
В рамках декларированных свойств метод Галеркина следует отнести к классу аналитических методов. Здесь решение
1
аппроксимируется сразу на всем отрезке своего определения с использованием функций, составляющих базис в гильбертовом пространстве с подходящей метрикой. При этом можно использовать нелинейное интегральное уравнение вида
У(<) = /^(г,у(г))с/г (1)
<0
эквивалентное задаче Коши для дифференциального уране-ния
у = У(*,у), у(<о) = о
Метод Галеркина допускает простую численно-аналитическую реализацию. Соответствующие алгоритмы имеют достаточно гибкую структуру. Можно варьировать различные функциональные базисы, подбирать интегральные метрики, обеспечивающие наилучшее качество используемых итерационных процессов.
Вектор начальных условий х0 исходной задачи Коши
х = Х(*,х), х(<0)=х0 (2)
является параметром уравнения (1) (У(*,у) = Х(*,Хо + у)).
Для решепия уравнения (1) можно применить метод Пикара, являющийся в этом случае методом простой итерации. Тогда, однако, сходимость, обеспечиваемая сжимаемостью оператора правой части (1), гарантируется лишь локально, для достаточно малых отрезков времени. Для построения решения на всем отрезке [г0, <1] его определения требуется очевидным образом “склеивать” локальные аппроксимации. Тем самым задача аналитического построения решения сразу на всем отрезке [*о, Г|] не может быть достигнута.
Трудности могут быть преодолены, если мы рассмотрим решение в подходящей гильбертовой метрике для функций, определенных на отрезке [<о> <1)- В этом случае оператор правой части (1) определен в целой области соответствующего функционального пространства, содержащей точное искомое решение. Далее следует уравнение (1) представить в операторном виде
Р(у) = 0 (3)
2
где
Г(У) — У - Т( у), (Т(у))(і) = / У (г, у (т))<*т (4)
<о
и применить ДОЯ решения (3) метод Ньютона в упомяпутой функциональной метрике.
На самом деле, вместо решения (3) в бесконечномерном функциональном пространстве нужно в соответствии с методом Галсркина решать проекцию (3) на конечномерное пространство.
Начальное приближение для метода Ньютона обеспечивается в рамках теории возмущений при помощи разложения по базисным функциям решения невозмущенной задачи (предполагаемого известным).
В главе 1 рассматривае тся метрика пространства Соболева
и,а,([«о.«і),а*) = я,([*о.<і).ч").
где п — размерность вектора у(г).
Сходимость в такой метрике приводит к равномерной сходимости по фазовым переменным. При этом для производных получим среднеквадратичную сходимость.
Удобство предлагаемого подхода состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса Ньютона следует вычислять решение системы линейных уравнений, получаемой в виде конечномерной проекции системы ОДУ в вариациях. Алгоритм приобретает прозрачную форму, легко реализуемую в рамках систем компьютерной аналитики.
В данной главе рассмотрены оценки скорости сходимости итерационного процесса Ньютона при построении семейств решений. зависящих от параметра (параметров) задачи. Установлены условия равномерности по параметру для сходимости конечномерных приближений к точному решению. Рассмотрен случай аналитичности оператора правой части в пространстве с интегральной метрикой.
В главе 2 рассмотрен аналогичный подход к уравнению, получаемому из (2) при помощи перехода в пространство производных и имеющему вид
у(0«Х(*,хо + /у(г)4г) (5)
<0
3
Отличие от методики главы 1 СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО при ЭТОМ используется метрика пространства і^2 ([<о> ^і], К-'*)- При последующем переходе к первообразным снова получаем равномерную сходимость. В отличие от (4) оператор левой части (3) имеет вид
В(у) = У - Г(у), (Пу))(<) = Х(*,х0 + / у(г)гіт) (6)
и>
Легко видеть, что подходы главы 1 и главы 2 различаются в представлении оператора Т(у). В первом случае сначала применяется нелинейный оператор правой части ОДУ, а затем — интегральный оператор. Во втором случае порядок действия этих операторов инвертирован. Использование такого подхода доставляет определенные удобства, состоящие в том, что в пространстве £2([/о>2і] Д") достаточно просто строить различные ортогональные функциональные базисы. Для таких пространств хорошо развита теория суммирования рядов Фурье, применяемая в итерационных алгоритмах вычисления решения уравнения (3).
В конце главы 2 рассмотрены вопросы применения интегральных метрик для приближенного вычисления движений механических систем в рамках лагранжевой и гамильтоновой динамики.
В главе 3 описанный формализм применяется к задаче приближенного построения решения двухточечной
краевой задачи в механике Лагранжа. Вначале применяется стапдартпос представление принципа Гамильтона. Затем условия экстремальности функционала действия па решении преобразуются к системе интегральных уравнений, сводящихся в итоге к нелинейному функциональному уравнению вида (3), где
(Р(у))(<) = (ВС1(у))(0,
(ВСх)(і) = 1х(гМт-^^/х(т)гіг,
(1(У))(<) = Ту(*,у(0,у(*))- °
- / {Ту (т, у(т), у (т)) + (т, у(т), у(т))) сІТ где Т(£,у,у) — кинетическая энергия, СД*,у,у) — вектор об-
4
общенных сил. В случае лагранжевой системы вектор неизвестной функции у(£) имеет размерность конфигурационного пространства задачи. Краевые условия редуцированы к виду
у(*о) =У(<і) = О
Метрика
1/2
ІІУІІ - / Ну(0112л
о
пространства решений Я1 ([/0^1] > П-п) задаст на нем гильбертову структуру. Сходимость в этой метрике достаточна для равномерной сходимости функций обощенных координат у(/) на отрезке [*о,<1]. При этом обобщенные скорости будут сходиться в среднем квадратическом.
Оказалось, что для сходимости конечномерных аппроксимаций Галсркипа к точпому решению краевой задачи достаточно выполнимости следующего условия невырожденности: уравнение Фредгольма второго рода
должно иметь в ^2 ([<о> *1]»К-”) только тривиальное решение г(<) = 0. Здесь а(/) является матрицей кинетической энергии, вычисленной на аппроксимируемом решении. Ясно, что в задачах теории возмущений условие (7) вполне поддастся проверке.
В главе 4 рассматриваются некоторые примеры приложений методов, развитых в первых трех главах. В качестве простейшего рассматривается пример уравнения Матье. Здесь применяется формализм аппроксимаций, описанный в главе 1. Проведена полная редукция задачи к конечномерной системе уравнений Галеркина. Характерной особенностью решений этой задачи является наложение колебанний с различными частотами: долгопериодической “зыби'’ и короткопериодической “ряби”. Описанное поведение обнаруживается на больших временах эволюции. Применение точных численных методов, основанных на локальном представлении решения,
у(<) - Іа(і) (а 1(т))'у(т)(1т = 0
(7)
5
здесь практически невозможно из-за требующихся значительных вычислительных ресурсов. Обычно в подобных ситуациях применяются комбинированные методики. Вначале исходная система “усредняется’' в определенной области фазового пространства. Это позволяет построить долгопериодическую компоненту точного решения. Высокочастотные колебания затем вновь требуют использования численных методов.
С другой стороны, алгоритмы, основанные на применении интегральных метрик позволяют пне зависимости от области фазового пространства и точности выполнения резонансных соотношений при определенном порядке аппроксимации получить приближенное решение. Вначале такой алгоритм “учтет” низкочастотные колебания, а затем, с ростом размерности аппроксимации будет все более точно приближать гармоники высших порядков.
Во втором параграфе рассмотрен пример плоской задачи Кеплера. Здесь главной целью было продолжение решений но параметру эксцентриситета при помощи подходящего варьирования начальных данных. Оказалось, что применение метода Ньютона для такого продолжения в пространствах с интегральными метриками нечувствительно к прохождению через предел Лапласа. Скорость сходимости итерационного процесса и точность приближения решения при этом не ухудшаются. Дело в том, что указанная методика не опирается на свойства аналитичности решений по параметру эксцентриситета. Дтя нормальной работы алгоритмов вполне достаточно непрерывности производной Фрсше. Более того, применение метрик с весовыми функциями позволяет сохранить сходимость итерационного процесса и для случая сильно эллиптических орбит, вплоть до продельного случая, соответствующего траектории столкновения с гравитирующим центром.
В §3 главы 4 предложена методика вычисления периодических решений динамических систем с использованием результатов главы 2. Эту методику удобно применять совместно с методом Ныотопа для построения семейств периодических решений, зависящих от параметра. Использование интегральной метрики позволяет автоматически получать условия пе-
рнодичности в результате итерационного процесса. В §4 рассмотрена аналогичная задача для случая лагранжевой механической системы. При этом используются результаты главы 3. Условия периодичности б конфигурационном пространстве обеспечиваются совмещением начальной и конечной точек траектории. В пространстве скоростекй эти условия вычисляются из разложений Фурье с использованием интервальных метрик и соответствуют исчезновению коэффициентов с нулевыми номерами гармоник в упомянутых разложениях.
Глава 5 целиком посвящена решению одной задачи: поиску интегральной метрики, обеспечивающей непрерывное продол* жение колебателных (и вращательных) движений спутника, центр масс которого движется по эллиптической орбите, ПО параметру эксцентриситета этой орбиты. По сути дела задача свелась к проверке условий теоремы о неявной функции в специально подобранном нормированном пространстве при нулевом значении параметра £, связанном с эксцентриситетом по формуле с = 1 - е2. В результате упомянутого подбора метрики удалось обеспечить регулярность итерационного процесса Ньютона при вычислении решений вплоть до предельного значения е = 1. В предельном случае обеспечиваемая алгоритмом СХОДИМОСТЬ будет автоматически равномерной на любом отрезке, не содержащем точки сингулярности.
В главе б рассмотрена более трудная, чем в предыдущей главе задача. Предполагается, что на спутник кроме гравитационного момента действует момент от сил давления параллельного светового потока. При этом мы имеем неаналитические правые части системы ОДУ, и известные методы анализа предельпых случаев, опирающиеся на аналитические свойства правых частей здесь не работают. В данной главе проведена регуляризация предельной задачи, соответствующей параболической орбите центра масс. Подобраны интегральные метрики, обеспечивающие непрерывность при продолжении решений по параметру эксцентриситета орбиты е при е —♦ 1. Известные семейства симметричных периодических решений продолжены до предельного случая. Найдены соответствующие предельные двоякоаснмптотические решения.
7
Подходы к приближенному построению движений при помощи конечномерных галеркннских приближений в различных задачах механики рассматривались в работах (32, 33, 34, 38]. Интегральные метрики, использованные в данной работе, для аппроксимации движений в задачах классической динамики ранее не применялись. Впервые дано строгое обоснование корректности соответсвующих методов построения решений. В связи с применением интегральных метрик появилась возможность систематического использования для построения движений метода Ньютона. Такая техника позволяет строить разнообразные семейства решений в неаналитических задачах, задачах с разрывными правыми частями, сингулярно возмущенных задачах, задачах, сводящихся к интегро-дифференциальным уравнениям.
8
Глава 1
Теорема об аппроксимации. Модель 1.
Предлагается проекционный метод построения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве на конечном отрезке. Гильбертово пространство решений задается с помощью метрики Соболева, что автоматически обеспечивает равномерную аппроксимацию. Описанный метод удобен в задачах теории возмущений на больших интервалах времени.
§1 Предварительные замечания.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения
х = Х(*,х) (х € д С 11",* Є [0,іг],тг Є ІМ) (1.1)
где для определенности предполагается, что С} — ограниченная область в Яп, п — натуральное, функция правой части X определена при почти всех і € [0, тг] и для этих * достаточно гладка по переменной х є д. Рассматривается отрезок времени * Є [0, тг]. Переход к переменной * от общего случая т € [т0, Гі] тривиален. Он обеспечивается заменой независимой переменной но формуле
, т - г0
і = тг---
Ті -Т0
Введем обозначение для равномерной нормы в пространстве С'(д). Пусть / € С\()), тогда положим
И/Н<? = вир (Н/(х)|| , ||/х(х)||) .
9
Из [28] следует, что для выполнения условий теоремы существования и единственности решения задачи Коши
х(<о) = Х0
для уравнения (1.1) достаточно предположить, что
хєі.ао^і.с'ш
ИЛИ, что
ЦХ|і! = /!|Х(л-)ІІІ^<+оо
(1.2)
о
Считается, что х0 € Я, и € [0, я].
Предположим далее, что решение задачи Коши определено при всех т е (0, я] и х(<) е ф. Тогда вместо (1.1) рассмотрим эквивалентное уравнение
<0
зависящее от начальных условий, как от параметров. Вмесго уравнения (1.3) в дальнейшем будем рассматривать уравнение
относительно НОВОЙ неизвестной функции у(0 = х(<) - Хо, причем новая функция правой части имеет вид У(£,у) = Х(<,хо + у), а переменная у принадлежит новой области определения И = (^ — Хо. Равномерную норму от функции У будем рассматривать в области О. Очевидно, условие вида (1.2) дня вектор-функции У в области £> будет выполняться.
Подберем для уравнения (1.4) подходящую функциональную модель. Запишем его в виде
где нелинейный оператор Т определен по формуле правой части уравнения (1.4).
(13)
(1-4)
У = Т( у)
(1.5)
10
§2 Функциональная модель.
Рассмотрим пространство Соболева Я1 ([0,тг],Яп) (далее просто Я1). Пространство Я1 — гильбертово со скалярным произведением
(УьУг)1 = /(У1(0»У«(0)Л + /(У1(0»У2(0)Л (16)
о о
где (•,•) является скалярным произведением в К”. Я1 можно определить как пополнение множества непрерывно дифференцируемых на [0, х] вектор-функций по норме
/ т X \ */2
Цу|Г = (/ 11у(*)||2<Й + / ||у(<)1|а<й)
Обозначим символом С А ([0, тг], И") (далее просто С А) пространство функций, абсолютно непрерывных на отрезке [0, тг]. В С А можно по формуле
НуНл = Ну (*о)|| + ^аг ([0, тг], у)
ввести норму, которая определяет в С А банахову структуру.
Лемма 1.1 Пространство С А является банаховым.
Доказательство. В самом деле, пусть — фунда-
ментальная последовательность в С А. Поэтому
||х; (*0) - х*(<0)||—>0 {к^—>оо)
откуда из полноты К” следует, что существует х € К" такое, что х*(£о) —* Хо при к —♦ оо .
Далее, т. к. Уаг([0,5г],Х; — х*) —♦ 0 при к,] —» оо, то ||х; — Х(ь||] —♦ 0, где ||>||, — норма в Ь\ ((0, тг), Я"). Так как Ь\ является банаховым пространством, то существует интегрируемая функция у(0 такая, что
II*; “УН!—»0 при; ♦ оо.
Тогда функция
*
х(0 = Х0 + /у(т)<*г
1о
принадлежит С А и является пределом последовательности {хт}т=1 п0 норме || ||л. Лемма 1.1 доказана.
Лемма 1.2 (о вложении) Пространство II\ вложено в С А.
Доказательство. Этот факт хорошо известен (27]. Проследуя, главным образом, методическую цель, изложим здесь доказательство.
Пусть у(t) — непрерывно дифференциемая на (0, т] функция. Тогда по теореме о среднем существует такая точка <1 G [0,7г], что выполнено равенство
l|y(*i)II* = ~J 11у(*)Н2<й
О
Поэтому для произвольного t 6 [0, тг] получим
Цу(0Нг = ИуО,)И2+({ ^l|y(r)||2dT =
= ^l|y(<)H,dt + b(y(r),y(r))dr<
<^’l|y(i)ll’^ + 2/||ÿ(0lllly(0llrf«<
< è (lly|l2)2 + 2 ||ylia llÿlla = llylla IMI2 + 2 ||y||2) < 2 (||y||‘)2
где обозначено
l|y||2= f/l|y(‘)ll2dt
т. e. |(-||2 является нормой 1/2 = L-2 ([0, л-], Rn).
Если теперь символом ||«И0 обозначить норму в пространстве С = С ([0, я], Rn), то для непрерывно дифференцируемой функции у(/) мы доказали неравенство
™Р ||у(0И = Цу|1° < V2||y|r (1.7)
<€[<М
Пусть {Ут}^_1 — фундаментальная последовательность, представляющая элемент у G Я1, причем ym G С1, где С1 = С!([0, Tr],Rn). Вследствие оценки
НУ; “ У* 11° < л/2 ||Уу - yfcH1 —> 0 0’, к —» оо)
последовательность {уп,}^, равномерно сходится к непрерывной функции у' G С. Вложение г : Я1 —+ С А определим с
12
помощью соответствия у *-* у'. Далее необходимо установить, что у1 абсолютно непрерывна, и что отображение инт>сктивно.
Поэтому существуют такие вектор-функции (распределения) у Е L<i, z Е L-2, что уj —► у и уj —» z по норме у Е L2. Отсюда видно, что y(f) почти всюду должна совпадать с у'(0-Докажем, что z(t) является обобщенной производной от у(<).
В самом деле, для произвольной финитной функции <p{t) с компактным носителем в [0,х] (v? Е С^°(0, тг)) справедливы оценки
< / llz (0 - у; (Oil v> (О * + / Ну (0 - у; (ОН Ф (0 а <
- с* Ц„ llz (*) - WII / „ Ну (О - Уі (Oil л) <
^ Ц „ II2 w - Уі WIIЛ +„/р „ ІІУ (0 - У> (011 <«) < < (II* - уА + Ну - уііі)
где принято, что 1^(01, 1^(01 ^ О» =
Каждое слагаемое в последней сумме стремится к нулю при j —♦ оо. Но т. к. оцениваемая сумма от j не зависит, то она равна нулю т. е.
Поэтому в смысле распределений: у(<) = у'(*) = г(<).
Теперь можно доказать, что у' Е С А. Для этого нужно убедиться, что она почти всюду дифференцируема и имеет ограниченную вариацию, т. е. является первообразной Лебега от некоторой суммируемой функции. Этой функцией является г(*). В самом деле Цг^ < >/^||2||2- Введем функцию
Так как ||у,- - yfc|| —> 0, то
ІІУі “ У*ІІ2 —* °» ІІУ> - У*Н2 —^ о
/2 («)*>(0 А = - /у (l)^(t) A (у> Є Cq°) о о
t
У° (0 = / z(r)dr
13
Она абсолютно непрерывна. Докажем, что y'(f) отличается от у0 (£) на постоянную величину. В самом деле, пусть € Сд°, тогда
/ (У (0 “ У° (0) Ф (0 А = |у' (0 ф (t) dt - J у0 (<) ф (t) dt =
= -U(t)<p(t)dt + ]y°(t)tp(t)dt = G
Итак, пусть при любых <р € Cq° для некоторой скалярной (координатной) функции u(t) выполнено условие
/u(t)v(t) dt = 0 о
Если эта функция отлична от копстанты, то существует две внутренние точки *ьг2 € [0,х] такие, что m(<i) ф u(t2). Пусть для определенности u(t\) < w(f2). Введем обозначения
_ u(<i)+ ц((2) , _ u(t2) - u(ti)
с - , а - ^
Поэтому w(<i) - с < 0, u(f2) - с > 0.
Вследствие непрерывности функции и(<) возьмем такое число 6 > 0, что в окресностн Lr$(<i) функция п(/) — с < 0, а в Usih) эта функция больше нуля. С другой стороны
/ и (<) ф (t) dt = J(ti (t) - с) ф (t) dt = 0 (J<p(t) dt = 0^
Ф
им им
X 7
ф(0 = const < 0
Рис. 1.1: Возможный вид функции у>.
В качестве пробной возьмем гладкую функцию график которой изображен на Рис. 1.1. Тогда получим, что <£(*) < 0 на
И
U((t\) и <p(t) > 0 на l/$(<2), <p(t) = 0 вне Us(ti) и Us{h)- Поэтому D противоречие с предыдущим получим
*
J (u(t) - c)<p(t)dt > О
о
Итак, у'(/) = у0 + const, а это означает, что у'(f) абсолютно непрерывна.
Докажем непрерывность вложения i : Н1 —* С А. В самом деле ||y|L = ||у(*о)|| + Var ((0, т] ,у) < ||у||° + Цу^ < (у/2 + v^) ||уII •
Докажем инъективность вложения. Пусть У1 ф У2 и УьУ2 € Я1. Кроме того, пусть эти элементы соответствуют одному элементу у £ С А. Пусть элементам уь Уг соответствуют фундаментальные последовательности {у1тп}те-1» {У2|п }ni=! • Заметим, что эти последовательности сходятся равномерно. Поэтому )|уlrn — У’2тН2 * 0 (т --* °°)- Если же считать, что
У1 Ф У-2, ТО с необходимостью должно быть ||yim - У2т||2 > const > 0. Так как последовательности фундаментальные, то в метрике пространства L2 сходятся производные: yim —»
Zlm, У2т + Z2m. Из УПОМЯНУТОЙ ВЫШв ОЦСНКИ СЛСДуеТ, ЧТО
||z}m - z2tm||2 > 0. Поэтому функции Zi(f), z2(f) отличаются на множестве положительной меры. С другой стороны, ранее было установлено, что почти всюду выполнено: y(f) = Zi(<) = что противоречит предположению о неинъективности. Лемма 1.2 доказана.
Чтобы окончательно определить функциональную модель для уравнения (1.5), сузим пространство Я1 до подпространства
К = {у 6 я1 : y(t0) = 0} .
Из уравнения (1.4) видно, что левая часть всегда принадлежит
, если наложить некоторые требования на функцию Y(/, у). Зададим область определения fi нелинейного оператора Т с помощью формулы
n = {yeH'-.y(t)eD Vf 6 (0, x]}
Лемма 1.3 Мпшсество П £ Яр яв.гяется открытым в Яр.
15
Доказательство. Пусть у € Г2. Так как кривая, задаваемая уравнением у = у(<) непрерывна (вследствие вложения г: Я1 -» С Л), а отрезок [0, тг] компактен, то точки этой кривой располагаются на конечном расстоянии от границы О. Причем так как множество точек кривой — компакт, существует е > 0 такое, что се ^-окрестность целиком лежит в V. Пусть теперь у' — другая точка пространства Я0*. Тогда справедлива оценка (1.7):
|у’ (<) - У (0| 5 ||у - у|° < ^2 ||у - уЦ1 Поэтому, если выбрать элемент у" в 6-окрестности элемента у, где 6 = £/у/2, то он будет также лежать в Г2 (т. к. кривая у = у'(<) целиком будет лежать в е-окрестности кривой у = у(<)). Лемма 1.3 доказана.
Наложим на функцию правых частей У новое условие
1/2
< +оо (1.8)
ітіг=|/(цу(<(.)ііу5л
достаточное для выполнения (1.2) т. к. ||У||2 < У^ЦУЦр
Вследствие условия (1.8) можем утверждать, что оператор Т определен в области XI и имеет значения в пространстве Яд, т. е. Т : О. —* Яр1. Эго следует из следующей серии неравенств
«т (у)!!1 = (/ [{ у (т. у М) л + 7 ||У (і, у (<))||2 л)' <
< [и [I||У (луМ)||2*-) л + (||У||2)а]1п <
< и(1|У||2)2 + (||У||2)2]''2 < (1 + *’)1/2||У||2 < +00
Заметим также, что если задача Коши для уравнения (1.1) имеет единственное решение на всем отрезке * € [0, я-], то существует единственное решение уравнения (1.5), лежащее в области Г2.
§3 Построение функционального базиса.
В пространстве Яд определим исчерпывающую его систему подпространств Ет С Яд (га = 1,2,...). Для этого сначала построим базис пространства Я1.
16
Пусть {х*}*=о является ортонормированным базисом пространства //'([0, я], И.) (далее просто Я11). Тогда, как легко проворить, система вектор-функций
{<да} 0 = 1,2,...,п; к = 0,1,...)
является ортонормированным базисом в Я1. Здесь —
ортонормированный базис в Я".
Задача построения базиса в Я1 сводится к построению базиса из скалярных функций в Я11. Если функция и € Яп, то автоматически и,й е Ь2[0, тг]. Известно, что в пространстве Ь2[0, я] в качестве ортонормированных базисов можно взять, например, системы функций: ДЛЯ разложения скалярных функций и дня разложения производных. Причем
Поэтому фк{£) = кфк(Ъ) > 0), фоЦ) = 0.
В метрике пространства Я11 функции образуют ор-
тогональную систему. Чтобы получить из нее ортонормиро-ванную, нужно использовать условия нормировки для функций Хк = Ск<Рк-
в Я11 ортонормирована. Остается открытым вопрос о полноте.
(1.9)
Как известно, при А: > 0 справедливо соотношение
(соя kt) = -к sin А:*
c&Jpldt = с§ = 1 С1 /Ч>\ (*)dt + c\)фі (t)dt = с\ (l + к7) = 1 (к > 0)
Отсюда получаем величины постоянных
Итак, система функций где
(1.10)
17
Лемма 1.4 Ортонормирооапная система функций (1.10) образует базис в пространстве Я11.
Доказательство. Если и € Я11, то, как уже было замечено, в Ь2[0,7г] справедливы разложения
а = Ё Щ<Рк, « = Ё щфк,
1=0 1=1
Докажем, что Vk = кщ при к > 0. Введем обозначение
SN (<) = / й(т)с1т - I (Д укфк (т)] (ІТ /о *о V*-* /
Тогда можно сделать оценку:
\Sn (01 = |/ (т) ” Д (т)) л| ^
г
</
о
U (0 - Д (о| Л < >/я 1« - Д Vkij>k
Поэтому на отрезке [0, х] имеет место равномерная сходимость
5д'(0 —» 0 при Лт —» оо.
С другой стороны
БК (») = «(г) - «(«о) - Д ^ (V»» («) - ((о)) =
= 8 «т (() - £ пт ((») - Д («) + Д ^ («о)
1=0 1=0 1=1 л 1=1 л
причем, ряд для функции и(<) сходится равномерно (27), т. к. она имеет ограниченную вариацию и непрерывна. Кроме того, 9?о(0 = ^о(*о) = у/*- В итоге можем записать
SN (t) = (ut - (<Pk (0 - <рк (<о)) + 2 «і {<рк (0 - <рк (<о))
г=Л +1
+
Вторая сумма вследствие равномерной сходимости ряда Фурье функции и(<) сходится равномерно к нулю при N —♦
оо. Значит, также имеет место равномерная сходимость к нулю для первой суммы. Поэтому интегралы по конечной мере
18