ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..................................................3
§1. Вводный..............................................14
§2. Дифференциальные уравнения второго порядка как математические модели движения экипажа
железнодорожного транспорта...........................22
§3. Ограниченность решений обобщенной системы Льенара 25
§4. Устойчивость решений обобщенной системы Льенара 31
§5. Ограниченность решений нелинейных уравнений второго
порядка...............................................37
§6. Устойчивость решений нестационарных линейных
уравнений второго порядка.............................40
§7. Об асимптотических свойствах решений дифференциальных
уравнений второго порядка.............................45
§8. Качественное исследование интегральных многообразий
уравнения Дуффинга....................................50
§9. Об ограниченности решений систем дифференциальных
уравнений второго порядка.............................60
§10. О существовании и устойчивости предельного цикла
системы уравнений типа Пуанкаре.......................72
ЛИТЕРАТУРА...............................................78
2
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию ограниченности, устойчивости в смысле Ляпунова и других качественных свойств движений механических систем, моделируемых обыкновенными нестационарными дифференциальными уравнениями и системами второго порядка.
Актуальность темы. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы второго порядка используются в качестве математических моделей в разнообразных задачах механики, техники, теории автоматического регулирования и т.д. Этим объясняется постоянный интерес к изучению таких уравнений. По словам известного ученого Р. Веллмана, «с математической точки зрения дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой постоянный вызов искусству аналитика».
Актуальными проблемами при исследовании динамических и геометрических свойств дифференциальных уравнений и систем второго порядка являются проблемы устойчивости и ограниченности движений.
Вопросы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (как линейных, так и нелинейных) изучались, начиная с работ А. Пуанкаре,
A. М. Ляпунова, Н. Е. Жуковского и Дж. Биркгофа, в работах отечественных и зарубежных ученых: Е. А. Барбашина, Л. А. Гусарова, Г. Н. Дубошина, И. Г. Малкина, В. В. Румянцева,
B. М. Старжинского, Н. Г. Четаева, В. А. Якубовича, Т. А. Бартона, Р. Беллмана, Дж. Ф. Джианга, Т. Динга, К. Квана, Э. А. Коддингтона,
В. Коппела, Н. Левинсона, С. Лефшеца, Б. Манфреди, 3. Опяля, М. Урабе, Ф. Хартмана, Л. Чезари и других ученых.
з
Вопросы об ограниченности и асимптотическом поведении решений указанных уравнений рассматривались в работах М. М. Беловой, Л. А. Гусарова, В. В. Романкова, В. М. Старжинского, А. А. Шестакова, Е. В. Щенниковой, Р. Беллмана, Т. Иосидзавы, К. Квана, В. Коппела, Н. Левинсона, Р. Ортега и других ученых.
Одним из основных методов исследования свойств устойчивости и ограниченности решений является метод функций Ляпунова, созданный А. М. Ляпуновым и получивший к настоящему времени значительное развитие. Метод функций Ляпунова является эффективным методом при решении многих теоретических и прикладных задач устойчивости и ограниченности движений как линейных, так и нелинейных механических систем.
В настоящей диссертации уточнены и обобщены известные результаты об устойчивости и ограниченности решений дифференциальных уравнений второго порядка, в частности, уравнения Льенара и уравнения Дуффинга; получены новые достаточные признаки устойчивости и ограниченности движений; проведено качественное исследование и изучено асимптотическое поведение решений для ряда важных классов уравнений второго порядка.
Объект исследования. В работе рассмотрены следующие классы уравнений и систем: обобщенная система Льенара;
нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка общего вида; нелинейное дифференциальное уравнение специального вида; уравнение Дуффинга; система п дифференциальных уравнений второго порядка, разрешенные относительно второй производной (п > 2); система дифференциальных уравнений первого порядка типа Пуанкаре.
4
Цель работы состоит в исследовании свойств устойчивости и ограниченности решений, асимптотических свойств решений уравнений и систем второго порядка.
Методы исследования. В диссертации использованы: классический метод функций Ляпунова; метод обобщенных функций Ляпунова; метод интегральных многообразий; метод локализации предельных множеств.
Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые теоремы об устойчивости и ограниченности решений некоторых классов уравнений и систем второго порядка; получены оценки роста решений для линейного нестационарного уравнения с затуханием, обобщающие ранее полученные другими авторами результаты; проведено исследование интегральных многообразий уравнения Дуффинга; установлены новые теоремы о существовании и единственности предельного цикла для систем дифференциальных уравнений типа Пуанкаре.
Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании свойств ограниченности и устойчивости систем автоматического регулирования, некоторых электромеханических и радиотехнических систем, механических систем подвижного состава железнодорожного транспорта, гравитационных систем. Результаты работы могут быть использованы при чтении курсов аналитической динамики, теории устойчивости и качественной теории динамических систем.
Диссертация состоит из введения, десяти пара1рафов, списка литературы.
В §1, носящем вводный характер, приведены формулировки основных понятий, используемых в диссертации, а также представлен краткий обзор литературы по теме диссертации и дан
5
краткий сравнительный анализ результатов автора настоящей работы с результатами других авторов.
В §2 рассмотрено уравнение Льенара и его обобщения как математические модели механических систем железнодорожного транспорта.
В §3 изучен вопрос об ограниченности решений обобщенной системы Льенара вида
\x = p-'{x)[q{y)-r{x)l
(!)
где р(х) - положительная непрерывная на R = (- оо, + со), r(x), q(y), т(х) - непрерывные на R функции и e(t) - непрерывная на R+ = [0, + оо) функция. Частным случаем системы (1) при
X
р(х) = 1, г(х) = \f(t)dt, q(y) = у, e(t) - 0 является уравнение
о
Льенара
х + f(x)x + m(x) = 0. (2)
В этом параграфе получен достаточный признак ограниченности решений системы (1), обобщающий признак Т. Квана. Кроме того, для системы (1) установлен новый критерий ограниченности решений при ряде условий на входящие в систему функции.
Параграф 4 посвящен изучению устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка вида
а(/)х) + /(/, х, х)х + e(t)q(x) = 0, (3)
dt
где функции a(t) и e{t) положительны и непрерывно дифференцируемы на R\ функция / (/, х,у) неотрицательна и непрерывна на R+xR2, а функция q{x) непрерывна на R и
6
удовлетворяет условию xq(x) > 0 при х Ф 0. Уравнение (3) эквивалентно системе двух уравнений первого порядка
e(t) . . я(/) + /(/,*, у) ...
Х = У' у = —7Х^)- /А у> (4)
a(t) a(î)
которую назовем обобщенной системой Льсиара вида (4). В этом параграфе доказаны теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения обобщенной системы Льенара вида (4) при некоторых условиях, наложенных на входящие в систему функции. Полученные результаты являются продолжением исследований Л. Хатвани.
В §5 рассмотрены следующие уравнения:
x + a(t)x + b(t)x = f(t), (5)
х + a(t)x + b(l) х = /(/, A', i), (6)
где xeR; te R*; функции a(t), 6(0,/(О непрерывны по /;
функция / (/, х,х) непрерывна на R* х R2. Здесь получены
достаточные признаки ограниченности решений для уравнения (5)
тв ^
при некоторых условиях на функции a(t), 6(0 и при \f(t)dt<+cо,
о
а также для уравнения (6) при следующих условиях на правую часть: I/O, х, x)j < /(0, \f(t)dt < +оо.
О
Как известно, уравнение (5) является математической моделью линейного осциллятора, причем a(t) - коэффициент трения, 6(0 - коэффициент упругости, /(/) описывает внешнее воздействие.
В §6 исследуются свойства устойчивости и ограниченности решений дифференциальных уравнений вида
А+ 6(0* = о, (7)
7
- Київ+380960830922