Планирование траекторий и управление динамикой

2
Оглавление
Стр
Введение 4
Глава I Составление уравнений программных связей 18
§1.1. Определение закона движения посредством сплай- 18
нов
1.1.1. Постановка задачи планирования траекторий 18
1.1.2. Описание закона движения кубическими сплайнами 19
1.1.3. Моделирование задач манипулятора 30
§1.2. Построение поля траекторий схвата манипулятора 32
§1.3. Обеспечение устойчивости численного решения 35
1.3.1. Устойчивость предельного цикла 35
1.3.2. Устойчивость интегральных прямых 39
§ 1.4. Определение положения многозвенного манипуля- 42
тора
§ 1.5. Неголономные программы 45
Глава II Уравнения динамики манипуляционных систем с 47
программными связями §2.1. Уравнения динамики манипуляционных систем в 47
обобщенных координатах
2.1.1. Уравнения Лагранжа 2-го рода 47
2.1.2. Сведение к уравнениям первого порядка 52
§ 2.2. Уравнение динамики манипуляционных систем в 54
канонических переменных
2.2.1. Вывод уравнении в форме Гамильтона 54
2.2.2. Сведение к уравнениям первою порядка 57
Глава III Устойчивость программного многообразия при 64
численном решении уравнений динамики манипуляционных роботов (МР)
§3.1. Условия асимптотической устойчивости 64
3.1.1. Определения 65
§3.2. Устойчивость дискретной модели 71
Глава IV
Заключение
Литература
Управление программным движением манипуляционных роботов § 4.1. Построения уравнений динамики манипуляционных роботов с программными связями в форме уравнений Лагранжа
§ 4.2. Построение уравнений для определения вектора к в форме уравнений Гамильтона
73
73
97
101
103
4
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время робототехника представляет собой обширную область науки Она включает вопросы кинематики, динамики, планирования стратегий, языков программирования, искусственного интеллекта и численного моделирования Традиционные вопросы механики роботов: кинематика и динамика многозвенных систем абсолютно твердых тел, были подробно изложены в ряде книг Уравнение динамики манипуляционных систем могут быть составлены в различных формах В [5, 55] было получено полное описание динамики движения манипулятора, применяя методы Лагранжа-Эйлера или Ныотона-Кеплера
В современном обществе внимание исследователей привлекают задачи динамики манипуляторных роботов. Это связано с внедрением роботов, различных манипуляторов, подъемно-транспортных механизмов в промышленности и технике
Как отмечено в [29], системы твердых тел (манипуляционных роботов) все больше приобретают прикладное значение, как модели управляемых роботов [28], космические объекты [13], различные многозвенные механизмы и тому подобное
Под системой манипуляционных роботов можно понимать, как систему твердых тел. обычно связанных между собой посредством соединений с идеальными голономными. стационарными, неголономными и нестационарными связями. Примерами таких систем являются различные механизмы в машинах и живые организмы, например, человеческое тело, при условии, что отдельные его части рассматриваются как твердые. Исследование динамики такой системы требует определения кинематических соотношений и динамических показателей, а также, построение уравнений движения. Обычно это делается для каждой системы и труд, необходимый для вывода, например, уравнений движения из уравнений Лагранжа, расемазривается как неизбежный [60]
5
Появившееся в последнее время широкое разнообразие схем конструкций механических систем разработки достаточно общего подхода к математическому моделированию, а также создания универсальных комплексов программ, которые могли бы быть применимы для исследования как существующих, так и проектируемых динамических систем. Такие комплексы программ должны позволять создавать математические модели систем, требуемые для различных задач проектирования, адекватно описывать движения узлов конструкций в широком диапазоне изменения конструктивных параметров [53].
В настоящее время наблюдается интенсивное развитие методов составления и решения уравнении движения систем связанных манипуляционных роботов Использование ЭВМ в решении данного вопроса сыграло важную роль и привело к появлению большого числа различных способов составления уравнений движения на основе векторных, матричных, тензорных методов записи, допускающих проведение аналитических выкладов на ЭВМ обеспечивающих процесс алгоритмизации составления их и исследования конкретных систем манипуляционных роботов как т вердых тел [19]
Имеется большое число публикаций обзорного характера, в которых рассматриваются различные подходы к построению дифференциальных уравнений движения, проводится анализ полученных различными способами уравнений [Ю, 30, 79|, даются сведения об алгоритмах и программах составления уравнений и моделирования динамики с помощью ЭВМ (19, 31. 67].
Опираясь на законы кинематики и динамики манипулятора можно так управлять силовыми приводами сочленений, чтобы манипулятор двигался вдоль некоторой заданной траектории, обеспечивающей выполнение поставленной задачи. Перед началом движения манипулятора важно знать, во-первых, существуют ли на его пути какие-либо ограничения на характер его траектории. Задачу управления манипулятором удобно разбить на две последовательные подзадачи: задачу выбора (планирования) траектории и задачу управления движением вдоль выбранной траектории [66].
6
Пространственную кривую, вдоль которой двигается схват манипулятора из начального положения в конечное, обычно называют траекторией схвага. Планирование траектории состоит в интерполяции и/или аппроксимации выбранной траектории полиномами некоторого класса и построение последовательности опорных точек для управления манипулятором при его движении из начального положения в конечное. В задачу регулирования движения манипулятора вдоль выбранной траектории входят построение динамической модели манипулятора и выбор на основании этой модели законов управления, обеспечивающих заданное поведение системы Обычно движение манипулятора осуществляется в два лапа, отличающихся с точки зрения реализуемого управления. Первый этап - этап грубого управления -обеспечивает перемещение манипулятора из начальной точки вдоль заданной траектории в окрестность точки, соответствующей конечным заданным положением и ориентации схвата В течение второго этапа - этапа точного управления - осуществляется динамическое взаимодействие рабочего узла манипулятора с объектом манипулирования, обеспечивающее выполнение поставленной задачи. На втором этапе используется информация, поступающая отдатчиков обратной связи.
При синтезе систем управления современных промышленных роботов принято рассматривать приводы сочленений манипулятора как простые сервомеханизмы Такой подход неадекватно отражает переменные динамические характеристики манипулятора, поскольку не учитывает движения и конфигурации манипулятора в целом В ряде случаев нестабильность параметров управляемой системы делает традиционные методы управления с обратной связью практически неэффективными При этом возрастает инерционность и колебательность процессов отработки заданных команд, что приводит к снижению точности и скорости движения рабочего органа и ограничивает область применения манипулятора работами, не требующими высокой точности. Движение манипуляторов, управляемых указанным образом, характеризуется низкой скоростью и вредными вибрациями. Сколько-нибудь
7
значительное улучшение качества функционирования манипулятора может быть достигнуто лишь на основе использования более точных динамических моделей, синтеза достаточно сложных законов управления и применения специализированных компьютеров и параллельной обработкой данных.
Наиболее интересные результаты, а также общие сведения с точки зрения возможности применения тех или иных принципов механики при создании методов автоматизированного моделирования содержатся в работах А.В. Лурье [31], Н.Н. Поляхова, С А Зегжды, М П Юшкова [56], Е.П. Попова. А.Ф. Верещагина [57], Э.Дж. Раусса [58], Г.К Суслова [63].
В настоящее время для получения удобных для автоматизации форм записи уравнений движения используется весь спектр методов и принципов теоретической механики. В работах ]17, 26, 28] рассматриваются алгоритмы формирования математических моделей систем твердых тел в форме уравнений Лагранжа второго рода. Методы составления точных уравнений движения с помощью общих уравнений динамики изложены в работах[7, 38, 79].
Близкие методы, основанные на принципе Даламбера в форме уравнений Ньютона-Эйлера и кинетостатичсского метода, рассмотрены в работах [10. 77, 81. 86] Наиболее общие подходы к формированию вычислительных уравнений механических систем с помощью общих теорем динамики с использованием геометрических, проективных методов в касательном локальном базисе конфигурационного многообразия систем рассмотрены в работах (54, 561. Эффективные вычислительные алгоритмы моделирования динамики систем связанных твердых тел созданы на основе уравнений в форме Эйлера-Лагранжа (85, 87], Аппеля [10, 54] с использованием принципа наименьшего принуждения Гаусса [57]. канонической формы записи уравнений движения [55], принципа Суслова-Журдена и уравнений Нильсена [54, 86].
Наиболее интересной с точки зрения применения методов аналитической механики, теории матриц, тензорного исчисления к решению практических инженерных задач является монография А.И. Лурье [31] В ней рассмотрены способы введения обобщенных координат, методы вычисления
кинетической энергии, энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы Рассмотрены методы составления уравнений движения го-лономных и неголономных механических систем в явной форме на основе обших уравнений динамики, уравнений Лагранжа, Эйлера-Лагранжа, Аппеля, канонических уравнений. Подробно излагается методика построения точных уравнений движения систем связанных твердых и упругих тел типа "носитель - носимое тело" на основе общих уравнений динамики.
Наличие в данном подходе у каждого из абсолютно твердых тел системы шести степеней свободы ограничивает возможность применения их для систем, имеющих шарнирное соединение.
В работе |49| уравнения голономнмх и неголономных связей и дифференциальные уравнения записаны в максимальной системе декартовых обобщенных координат (три поступательные и три вращательные для каждого тела), причем вращательными координатами служат параметры Эйлера. Производится выделение независимых координат и скоростей
Заслуживают внимания работы, РЛ. Хьюстона [81], в которых предложен метод получения уравнений движения голономных систем связанных твердых тел со структурой дерева на основе прямого применения принципа Даламбера в форме Лагранжа. Данный метод позволяет строить уравнения движения как в квазикоординатах (декартовых абсолютных координатах), так и в обобщенных координатах - относительных угловых и линейных координатах тел системы. Векторно-матричный аппарат облегчает процесс вывода уравнений. В работах [81, 82] вводятся определенный порядок нумерации тел системы и специальная матрица структуры, определяющая отображение номера каждого тела на 0 или натуральное число, равное номеру тела, соединенного с данным при помощи связей и меньше данного номера. Это отображение применяется для записи известных геометрических и кинематических соотношений, описывающих относительное положение и движение тел в векторно-матричном виде, и для выработки алгоритмов автоматического вывода и численною решения уравнений движения.
9
Необходимо заметить, что существуют различные общие подходы к моделированию на ЭВМ цепей и систем со структурой графа. Которые при соответствующей доработке могут быть приспособлены к решению задач механики [5J.
В работах Л.Ф. Верещагина, Е.П. Попова [57], М.К Вукобратовнча
[10] предложены алгоритмы формирования уравнений движения сложных разомкнутых кинематических цепей и манипуляторов, основанные на принципе наименьшего принуждения Гаусса и уравнениях Аппеля. Первый метод состоит в получении уравнений движения механической системы путем прямой минимизации функционала в принципе наименьшего принуждения Гаусса на каждом шаге вычислительного процесса. Для простых типов шарниров выписаны рекуррентные формулы определения энергии ускорения системы в ускорениях обобщенных координат системы. Для систем со сложными типами соединений предлагается рассматривать уравнения связей в ускорениях, как линейную систему ограничений на ускорения и учитывать их при миннмалнзаиии функционала в принципе Гаусса с помощью методов штрафных функций Другой подход состоит в построении уравнений Аппеля с помощью применения рекуррентных кинематических соотношений Отмечается, что хотя уравнения Аппеля записываются проще, чем уравнения Лагранжа второго рода, но их ан&титический вывод для систем связанных твердых тел столь же сложен. Алгоритмы доведены до уровня программ на ЭВМ.
Другое направление в автоматизации процесса моделирования с помощью уравнений Лагранжа второго рода связано с использованием систем аналитических вычислений (САВ) [19, 64].
Большая работа по решению задач математического моделирования механических систем, а также их приложениям проделана в Пермском государственном университете под руководством В В. Маланина. На основе САВ REDUCE создан комплекс программ для вывода дифференциальных уравнений движения систем твердых и деформируемых тел, соединенных упруго-демпфируюшими связями 119].