Устойчивость и стабилизация неголономных систем, уравнения движения которых представлены в квазикоординатах

Содержание
0.1. Введение.......................................... 4
1. Анализ устойчивости и стабилизации стационарных движений неголономных механических систем при использовании уравнений Эйлера-Лагранжа ....................13
1.1. Уравнения Эйлера-Лагранжа.........................13
1.2. Стационарные движения.............................33
1.3. Исследование устойчивости стационарных движений 36
1.4. Задача стабилизации...............................39
2. Уравнения движения одноколесного робота................44
2.1. Описание модели ..................................44
2.2. Уравнения движения................................45
3. Устойчивость стационарных движений одноколесного робота.................................................64
3.1. Стационарные движения.............................64
3.2. Устойчивость прямолинейного качения...............70
3.3. Устойчивость верчения.............................77
3.4. Устойчивость равновесия...........................82
3.5. Устойчивость движения, при котором центр диска
описывает окружность........................... . 84
4. Стабилизация стационарных движений одноколесного робота и моделирование решений уравнений движения 89
4.1. Управляемость системы в окрестности стационарных движений 89
4.1.а Управляемость системы в окрестности прямолинейного качения ............................91
2
4.1.Ь. Управляемость системы в окрестности ста-
ционарного движения верчение ............94
4.1.с. Управляемость системы в окрестности по-
ложения равновесия.......................95
4.1.<3. Управляемость системы в окрестности дви-
жения при котором центр диска описывает окружность............................96
4.2. Наблюдаемость системы в окрестности стационарных движений.............................................98
4.3. Алгоритмы стабилизации стационарных движений . 100
4.4. Математическое моделирование........................101
5. Заключение............................................109
Литература ..................................................110
3
0.1. Введение
Теория движения неголономных механических систем всегда интересовала ученых. Эти системы являются механическими моделями многих технических объектов, в частности, разнообразных колесных экипажей. Одними из наиболее интересных и бурно развивающихся в настоящее время мехатрон-ных систем являются мобильные колесные роботы, исследованию движения которых посвящена обширная литература (ее краткий обзор см. ниже).
Классическими задачами неголономной механики являются задачи о качении твердого тела или системы тел по твердой поверхности. Современное состояние этого вопроса изложено в работе А.П. Маркеева [45], в которой имеется подробная библиография по этой тематике. Динамике качения тел посвящена также монография [9].
При исследовании неголономных систем используются уравнения движения в различных формах. Если рассмотрение ведется в обобщенных координатах, то уравнения движения -это уравнения Чаплыгина и Воронца [13, 71]; если используются кинематические характеристики, отличные от обобщенных скоростей (квазискорости), то уравнения движения - это уравнения Больцмана-Гамеля, которые последним названы уравнениями Эйлера-Лагранжа [42], Маджи [18]; если уравнения записаны через энергию ускорений - это уравнения Аппеля |73]. Применяются также уравнения Лагранжа с неопределенными множителями [34]. Описание всех этих форм уравнений движения неголономных систем, а также их сопоставление содержатся в работе Я.В. Татаринова [70]. Там же предложена лаконичная новая форма уравнений движения. Матричные формы уравнений неголономной механики, удобные для применения пакетов символьных вычислений, приведены в работе Ю.Г. Мартыненко [50].
При исследовании стационарных движений неголономных систем, их
4
устойчивости и возможностей стабилизации используются, главным образом, уравнения в обобщенных координатах (уравнения Воронца и уравнения Чаплыгина) [19, 21, 22, 26-33]. При этом иод стационарным движением понимается такое движение, при котором позиционные координаты и скорости циклических координат сохраняют начальные значения, а сами циклические координаты меняются линейно со временем. Однако, если для голономных консервативных систем циклическими называются такие координаты, от которых не зависит функция Лагранжа системы, то для неголономных систем имеется несколько различных определений циклических координат (33]. Дело в том, что наличие циклических координат в голономной системе обеспечивает существование циклических интегралов и стационарных движений. В то время как при исследовании конкретных неголономных систем, как правило, оказывается, что уравнения движения не имеют циклических интегралов, по допускают стационарные решения. Поэтому для неголономных систем при отыскании стационарных движений предпочтительнее пользоваться определением [15, 16]: координата называется циклической, если в уравнения движения системы, составленные с учетом неголономных связей, она явно не входит, а входит только ее ускорение и, возможно, скорость. Однако, такое определение настолько широко, что размерность многообразия стационарных движений неголономных систем с циклическими в смысле этого определения координатами в общем случае равна единице и никак не связана (как это было для голономных систем) с числом циклических координат. На основе этого определения в [29, 33] было дано другое определение циклических координат неголономных систем, уравнения движения которых написаны в форме уравнений Воронца, которое обеспечивает существование многообразия стационарных движений, размерность которого не меньше суммы числа циклических координат и числа неголономных связей общего вида.
Основными рабочими режимами движения технических объектов, они-
сываемых неголономными системами, служат те или иные установившиеся движения ( стационарные, периодические и т.д.) Поэтому определение таких движений, а также исследование их устойчивости и стабилизации представляет важную и актуальную задачу. Подробный обзор современных исследований стационарных движений неголономных систем приведен в обзорах A.B. Карапетяна и В.В. Румянцева [33, 68], а также в статьях [31, 32].
Как известно [42], использование квазикоординат позволяет значительно упростить выражение для кинетической энергии системы по сравнению с ее выражением через обобщенные скорости. Поэтому и уравнения движения неголономной системы в форме Эйлера-Лагранжа оказываются болсс простыми . чем уравнения Воронца или Чаплыгина, записанные в обобщенных координатах.
В связи с этим представляет интерес ввести определение циклических координат и стационарных движений негслоиомной системы, когда уравнения движения представлены в форме Эйлера-Лагранжа. Это и делается в этой работе.
В первой главе диссертации рассматривается задаче о стационарных движениях неголономной механической системы, уравнения движения которой представлены в форме уравнений Эйлера-Лагранжа.
Вводится определение циклических координат, соответствующее определению, данному A.B. Карапетяном [27, 30, 33] для уравнений движения, записанных в обобщенных координатах. При этом оказался очень существенным выбор матрицы перехода от обобщенных скоростей к квазискоростям. На примере рассмотрения уравнений движения диска, катящегося но горизонтальной плоскости без проскальзывания, показано, что тот или иной выбор указанной матрицы перехода приводит к различному числу циклических координат в системе, несмотря на то, что обобщенные координаты в обоих случаях одни и те же. Сформулированы рекомендации но выбору матрицы
перехода от обобщенных скоростей к квазискоростям, который по крайней мере, не уменьшает число существующих в системе циклических координат.
После принятия определения циклических координат для уравнений него-лопомпых систем в форме уравнений Эйлера-Лагранжа были выписаны уравнения стационарных движений, в число которых входят кроме собственно уравнений Эйлера-Лагранжа еще и соотношения связывающие обобщенные скорости с квазискоростями. Приведены различные условия на уравнения стационарных движений, при выполнении которых показано существование векторного интеграла размерности равной числу циклических координат. Аналогичные условия, определяющие класс систем, для уравнений движения нсго-лономных систем в форме уравнений Воронца в обобщенных координатах содержатся в [21, 26].
Для исследования устойчивости решения в окрестности какой-либо точки многообразия стационарных движений система уравнений записывается в линейном приближении. Однако, использование квазикоординат вносит свои особенности, а именно, при выписывании линеаризованной системы в виде уравнений второго порядка следует учитывать связь позиционных квазискоростей с позиционными обобщенными скоростями. Показано, что при выполнении определенных условий существует многообразие стационарных движений, размерности, равной числу циклических координат, при этом в линеаризованной системе будет такое же количество нулевых корней и линейных интегралов. Это соответствует особенному критическому случаю нескольких нулевых корней и для которого справедлива теорема Ляпунова-Малкина [43, 44]. Для этого случая доказана теорема об устойчивости, которая аналогична теореме доказанной ранее [21, 30] для неголономных систем, уравнения движения которых представлены в форме уравнений Чаплыгина.
Для стабилизации стационарных движений неголономной механической системы ставится задача стабилизации, основанная на линейной теории
управления, которая включает в себя:
1. выяснение принципиальных возможностей стабилизации, которое сводится к исследованию управляемости системы;
2. определение рационального состава измерительной информации о состоянии системы, необходимой для построения стабилизирующего управления, которое сводится к анализу наблюдаемости;
3. построение самого алгоритма стабилизации, например, в виде линейной обратной связи по состоянию.
Для линеаризованной системы, содержащей управления и измерения, и выписанной в виде матричных уравнений второго порядка, сформулированы критерии управляемости и наблюдаемости. Эти критерии основаны на критериях управляемости и наблюдаемости для систем второго порядка сформулированных в [8G], а впоследствии модифицированных для более широкого класса систем в [26].
Рассмотрен частный случай, при котором управляющие силы действуют только по циклическим координатам. Для этого случая доказан более простой критерий управляемости, который позволяет исследовать управляемость редуцированной системы, уравнения которой содержат только возмущения позиционных координат.
Как уже отмечалось, одними из наиболее распространенных объектов, механическими моделями которых служат неголономные системы, являются разнообразные колесные экипажи. Работ, посвященных этим объектам очень много. Отметим только некоторые из этих работ, близких по подходам и методам к задачам, рассматриваемым в диссертации. Это работы Е.А. Девянииа В.М. Буданова [10], A.B. Карапетяна, В.И. Каленовой, В.М. Морозова, В.М. Буданова и М.А. Салминой [11, 19, 32], Д.Е. Охоцимского, Ю.Г.Мартыненко,
A.M. Формальского, В.E.Павловского [47. 49, 52, G3-G5], Л.Г. Лобаса [41].
Особое место среди колесных экипажей занимают одноколесные экипажи (моноцикл, юницикл). Интерес к одноколесным экипажам существует давно. Еще у Леонардо да Винчи встречается эскиз моноцикла. На рубеже девятнадцатого и двадцатого веков появилось несколько проектов одноколесных экипажей, некоторые из этих моделей пытались реализовать в металле. В последнее время возрос интерес к одиоколесникам, как в России, так и в других странах мира. Это можно объяснить преимуществами моноциклов перед другими моделями колесных экипажей: повышенная проходимость, отсутствие боковой и продольной качки.
Моноцикл представляет собой интересный как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, объект исследования.
Исследования по созданию одноколесного робота проводятся в России, США, Китае, Японии [52, 75, 81-83, 91-94, 97-99].
В статье [81] содержится обзор публикаций, посвященных моноциклам. Далее проведем обзор публикаций в иностранной литературе, посвященной одноколесным экипажам. В публикации [83] рассматривается модель, состоящая из колеса и тела, которая может двигаться горизонтально в вертикальной плоскости. В этой работе исследуется вопросы стабилизации прямолинейного качения с помощью создаваемого в оси колеса момента по наблюдению, которое снимается видеокамерой, закрепленной на теле. Описаны результаты эксперимента, в ходе которого показана эффективность управления, основанного па теории //оо .
В [75, 95] рассматривается модель одноколесного робота Gyrover, для которой исследуется задача построения управления и гироскопической стабилизации. Предложено три закона управления, целью которых является стабилизация равновесия, передвижения из одной точки до другой и прямолинейного качения.
9
В публикации [97-99] рассматривается модель состоящая из диска, маятника, который может вращаться относительно твердого тела, сохраняющего постоянное положение относительно линии наибольшего ската диска, и ротора, который вращается относительно твердого тела. В этой работе проводится моделирование динамики и изучаются вопросы управления в виде линейной обратной связи.
В Институте механики МГУ сконструирован робот с гироскопической системой стабилизации "Гироколесо-[46-49, 51, 52, 87, 88]. Этот робот состоит из колеса, платформы, вращающейся относительно колеса и ротора, вращающегося относительно кожуха, который в свою очередь может поворачиваться относительно платформы. Для этой модели робота проведено исследование управляемости и наблюдаемости в окрестности стационарных движений.
Цикл работ по исследованию различных моделей одноколесных экипажей проведен в Институте механики МГУ под руководством В.М. Морозова [4-7, 21. 25, 55*60]. В [21, 25] была рассмотрена модель одноколесного велосипеда: диск, который катится но горизонтальной плоскости без проскальзывания, твердое тело, которое может вращаться относительно оси диска, и ротора, вращающегося относительно твердого тела. В этих работах указаны стационарные движения данной механической системы, получены необходимые условия устойчивости стационарных движений и исследованы возможности их стабилизации при помощи тех или иных управляющих сил.
В работах [57, 58, 60] исследованы более сложные модели одноколесных экипажей.
Вторая - четвертая главы диссертации посвящены исследованию еще одной, более сложной модели моноцикла. Это исследование проведено в духе указанных выше работ.
В данной работе рассматривается модель одноколесного робота, состоящая из четырех твердых тел: диска, который катится по горизонтальной плос-
10