Обратимые задачи в динамике твердого тела

Оглавление
Введение 4
1 Устойчивость перманентных вращений тяжелого одно- 13
родного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости
1.1 Уравнения движения тяжелого твердого тела на абсо- 13
лютно шероховатой горизонтальной плоскости
1.2 Перманентные вращения. Уравнения возмущенного 16
движения. Обезразмеренная форма уравнений.
1.3 Нормальная форма 21
1.4 Устойчивость положения равновесия обратимой систе- 25
мы
1.5 Результаты численных исследований. Выводы об ус- 30
тойчивости
2 Качение тяжелого полого эллипсоида на абсолютно шеро- 34
ховатой горизонтальной плоскости вдоль прямой
2.1 Уравнения движения 34
2.2 Качение тела вдоль прямой 38
2.3 Уравнения возмущенного движения 44
2.4 Обезразмеренная система уравнений в вариациях 46
2.5 Параметрический резонанс в обратимой системе 50
третьего порядка
2.6 Качение эллипсоида, близкого к эллипсоиду вращения 60
2.7 Результаты и выводы об устойчивости 66
3 Колебания и вращения спутника в гравитационном поле 79
Земли с учетом влияния атмосферы
3.1 Уравнения движения 79
3.2 Колебания и вращение спутника на слабоэллиптиче- 84
ской орбите
3.3 Периодические вращательные движения спутника на 93
произвольной эллиптической орбите
3.4 Быстрые вращения спутника в плоскости элл и птиче- 105
ской орбиты
Дополнение А Метод нахождения 2тгк - периодических 114
решений обратимой системы второго порядка
Дополнение Б Метод нахождения характеристических 116
показателей обратимой системы с периодическими коэффициентами Приложение Зависимость плотности атмосферы от 120
высоты
Заключение 127
Литература 129
Введение.
В данной работе исследуются обратимые задачи в динамике твердого тела. Для тяжелого эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и спутника на эллиптической орбите проанализированы перманентные вращения, колебания и вращательные движения, решается вопрос об устойчивости указанных движений. Такой выбор темы исследования обусловлен, с одной стороны, тем, что основные модели, используемые в классической и небесной механике, описываются обратимыми системами дифференциальных уравнений [45, 46, 61]. С другой стороны, выбор темы определен интенсивной разработкой в последние два десятилетия теории устойчивости и теории колебаний обратимых механических систем [9, 16, 17, 23, 45 - 67, 77]. Следует также отметить, что в 80 - е годы разработана обратимая KAM - теория [77, 88 - 90], которая по полноте сравнима с KAM теорией гамильтоновых систем [2, 22, 84], и также нашла применение для исследования механических задач [55].
До работы В.II. Тхая [45] свойству обратимости не уделялось какое - либо заметное внимание в классической механике. В то же время, как указывается в [61], свойство симметрии (в данном случае имеется в виду обратимость) в небесной механике учитывается, начиная еще с Л. Эйлера [69]. Симметричными являются построенные Л. Эйлером [69] локальные периодические орбиты в окрестности одной из коллинеарных точек либрации, периодические орбиты в задаче Хилла [79], являющейся основной в теории Хилла - Брауна движения Луны, периодические орбиты Пуанкаре всех трех родов [39, 71, 74, 91]. Все построенные периодические орбиты в задаче Хилла [44] являются симметричными. Известен критерий Уиттекера [68] для симметричных периодических орбит. Отметим также работу A.F. Schanzlc ■ 87], посвященную подковообразным орбитам в задаче трех тел. В этой работе фактически предлагается подход к построению всех симметричных периодических движений в консервативной обратимой системе с двумя степенями свободы. В относительно недавних основополагающих работах [41, 43] по исследованию задачи В.В. Белецкого [3] также существенным образом используется свойство обратимости.
В работе В.Н. Тхая [45] показано, что голономная механическая сис-
4
тема, стесненная стационарными геометрическими связями и подвер-женнная воздействию только позиционных сил, описывается обратимой системой дифференциальных уравнений. Далее, с использованием свойства обратимости решена задача об устойчивости в случае резонанса третьего и четвертого порядков. Эта работа нашла продолжение [46] только в 1991 г., когда был проанализирован ряд основных моделей классической и небесной механики и показано, что эти модели образуют частный класс обратимых систем
й = и(и. у), V = У(и.у); и € К/, V Е КЛ I > п .
и(»,-.) = -и(^),У(»,-,) = У(м), (Л)
который в более поздней работе [61] назван обратимой механической системой.
В отличие от общего случая, система (А) инвариантна при обращении времени I (изменении / на —I) относительно линейного преобразования (и, у) на (и,—у), т.е. представляет собой линейно обратимую систему с неподвижным множеством {и,ь : у = 0}. Другим ограничением является условие I > п на размерности векторов и и у. Это условие в механических системах всегда выполняется. Например, в механической системе под действием позиционных сил и = я — вектор обобщенных координат, а V = я — вектор обобщенных скоростей, I = п.
Работа В.Н. Тхая [46] получила свое развитие в следующих направлениях. Во - первых, изучалась устойчивость обратимых систем в резонансных случаях [23, 24, 30, 29, 45, 46, 47, 48]. Затем, после разработки достаточно полной теории устойчивости резонансных систем, были инициированы работы [31, 32, 33] об устойчивости обратимой системы в общем эллиптическом случае, включая случай наличия первых интегралов [81]. Кроме того, был разработан [8, 17, 62] конструктивный метод вычисления характеристических показателей линейной периодической обратимой системы и предложен способ исследования устойчивости по Ляпунову для численно построенного решения в периодической обратимой системе второго порядка [8, 14, 15] и консервативной обратимой системы с двумя степенями свободы [16]. Проведенное параллельное исследование конкретных механических задач [8, 9, И, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 50, 52, 53, 55, 56, 62, 65, 66] позволяет утверждать о создании теории устойчивости обратимых систем с приложениями в механике.
5
Другое направление связано с исследованием периодических движений (колебаний и вращений) в обратимых механических системах. Хотя с теоретической точки зрения здесь очень важна работа [77], отправной точкой для создания теории колебаний обратимых механических систем послужила работа [78], посвященная периодическим движениям одной системы с симметрией. В результате проведенных исследований в настоящее время имеется достаточно полная теория, включающая необходимые и достаточные условия сзгществования периодических движений, метод построения и исследования всех таких движений, теорию продолжения по параметру, теорию локальных ляпуновских семейств периодических движений, теорию для систем специального вида (стандартного вида, система, близкая к консервативной системе с одной степенью свободы и т.д.), теорию для систем, близких к обратимым системам, приложения [9, 12, 13, 14, 15, 16, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 67, 63, 64].
На обратимость задач динамики твердого тела впервые обращено внимание в [46]. С использованием этого свойства проанализированы перманентные вращения вокруг вертикали для тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и близкие к ним движения [49, 50].
Тем самым, в частности, был сделан следующий шаг в иследовании поставленной А.П. Маркеевым [26] проблеме об устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой плоскости. А.П. Маркеев [26] выводит уравнения движения в этой задаче, которые принадлежат классу обратимых уравнений [61], как уравнения Аппеля неголономной системы. Далее, им устанавливается существование вращения вокруг одной из осей эллипсоида, совпадающей с вертикалью, и выводятся уравнения в вариациях. Вычисление корней характеристического уравнения позволяет вывести неустойчивость вращения вокруг средней оси. Вращения вокруг наименьшей оси всегда устойчиво в линейном приближении, а вращение вокруг наибольшей оси — при достаточно большой угловой скорости. Однако вопрос об устойчивости но Ляпунову перманентных вращений остался открытым. Этот вопрос не удалось решить и в более поздних работах [55, 38]. Прогресс в решении проблемы наметился с отнесением ее к задаче об устойчивости для обратимой системы [46]. Решение
6
ее стало реальным после доказательства теоремы об устойчивости обратимой системы в общем эллиптическом случае [81, 31]; результаты об устойчивости при резонансе 4 - ого порядка известны с 1980 г. [45]. Полное решение проблемы на уровне имеющихся на сегодня теоретических результатов изложено в данной диссертации и опубликовано в [10,11].
Отметим, что изложение результатов по исследованию перманентного вращения произвольного тяжелого твердого тела на плоскости (не эллипсоида) можно найти в [21, 28].
Тяжелое твердое тело, ограниченное гладкой поверхностью, может катиться но плоскости таким образом, что одна из главных плоскостей все время совпадает с неподвижной вертикальной плоскостью. Если уравнение поверхности Р(х,у,г) = 0 (х,у,г — координаты точки контакта тела и плоскости в связанных осях), то в случае нечетной функции Р'у(х, уу г) качение представляет собой симметричное периодическое движение обратимой системы [56]. Такой случай имеет место для эллипсоида, у которого центр масс совпадает с геометрическим центром, а главные центральные оси инерции направлены но осям эллипсоида.
Для динамически симметричного тела, у которого в рассматриваемом движении ось симметрии горизонтальна, условия устойчивости получены И.М. Миндлиным и Г.К. Пожарицким [37]. Для эллипсоида, ограниченного поверхностью вращения, задача исследовалась в [56].
Несколько в иной постановке рассматривается данная проблема в диссертации: эллипсоид предполагается полым и сравниваются результаты для полого и однородного эллипсоидов.
Исследуется устойчивость качения эллипсоида вдоль прямой в одном направлении. Для тела, близкого к эллипсоиду вращения, здесь возможен параметрический резонанс.Отметим, что задача об устойчивости обратимой системы при параметрическом резонансе достаточно подробно исследована [51]. Одночастотный резонанс = р € 1М, как правило, приводит к неустойчивости, и этот вывод следует из неравенства нулю резонансного коэффициента в нормальной форме. Метод нормальных форм достаточно хорошо отработан [6]. Однако получение нормальной формы в конкретной задаче связано с известными вычислительными трудностями, особенно при рассмотрении периодической системы. Поэтому при параметрическом резонансе интерес представ-
7
ляют конечные формулы для вычисления резонансных коэффициентов. Данная задача решена в диссертации для квазиавтономной линейной обратимой системы третьего порядка.
Вращательные движения спутника на эллиптической орбите под действием гравитационного и аэродинамических моментов описываются обратимой системой шестого порядка [42]. Эта система обладает интегральным многообразием, отвечающим движениям спутника в плоскости орбиты. Имеем обратимое периодическое уравнение второго порядка. Для такого уравнения особенно эффективен метод [54, 60], позволяющий принципиально построить все нечетные колебания и вращения и исследовать их устойчивость. Именно свойство симметрии использовалось и используется [7, 42] при исследовании задачи В.В. Белецкого (аэродинамический момент равен нулю), именно так исследовалась задача при наличии гравитационных сил и светового давления 14, 15].
Плоские колебания спутника на эллиптической орбите исследованы
II.В. Мельник [34, 35]. Методом фазовой плоскости проведен полный анализ движения спутника на круговой орбите, затем численно определены колебательные движения спутника на эллиптической орбите. Отметим, что на круговой орбите колебания окружают соответствующие положения относительного равновесия. Такие равновесия могут быть тривиальными, когда одна из осей инерции спутника совпадает с радиусом - вектором, и косыми, когда эта ось инерции образует с радиусом вектором ненулевой угол. На каждом из семейств период колебаний Т зависит от амплитуды (энергии Ь) и (1Т(К) ф 0 почти всюду. Колебания, окрзгжающие тривиальные равновесия, симметричны относительно {гЛ : 2 = 0 (тосЬг)}. Поэтому для продолжения таких колебаний применима теорема из [58, 60].
Таким образом, из характера поведения функции Т(Н) следует, что почти все 27гк — периодические колебания спутника на круговой орбите продолжаются на слабоэллиптическую орбиту. Такой качественный вывод отсутствовал в работах Н.В. Мельник [34, 35].
Тем не менее, основной задачей являлось численное исследование вращательных движений спутника. Эти исследования проведены с помощью метода построения всех периодических движений обратимой системы и исследования их устойчивости [54, 60]. Кроме того, исследованы быстрые вращения спутника в задаче В.В. Белецкого и устой-
8
чивость плоских вращений в пространственной задаче.
Таково место проведенных в диссертации исследований среди других работ по динамике твердого тела на плоскости и динамике относительного движения тела.
Дадим краткое содержание работы по главам.
В первой главе исследуется устойчивость перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.
В §1.1 приведены уравнения движения тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости в форме, полученной в [21]. Эти уравнения принадлежат к классу обратимых уравнений. Указано, что система уравнений движения имеет частное решение, в котором тело совершает перманентные вращения вокруг вертикали [28].
В §1.2 составлены уравнения возмущенного движения в окрестности исследуемого частного решения для тела, ограниченного поверхностью эллипсоида. Проведено обезразмеривание системы.
В §1.3 приведен алгоритм получения нормальной формы для обратимой системы. В частном случае обратимой системы четвертого порядка явно выписано линейное нормализующее преобразование.
В §1.4 даны необходимые для дальнейшего исследования известные результаты [45, 30, 31, 81] по устойчивости по Ляпунову обратимой системы в общем эллиптическом случае.
В §1.5 в пространстве параметров задачи выделены области, где перманентные вращения устойчивы по Ляпунову и области, где вывод об устойчивости не следует из имеющихся на сегодня теоретических результатов. Проведен анализ резонансных кривых, который показал, что резонанс 1:3 приводит к неустойчивости.
Во второй главе исследуется качение тяжелого полого эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости вдоль прямой.
В §2.1 выписаны уравнения движения для тела, ограниченного поверхностью эллипсоида. Проведена замена переменных, учитывающая геометрический интеграл.
В §2.2 показано, что в случае тела, ограниченного поверхностью эллипсоида, система уравнений движения обладает интегральным многообразием, на котором одна из главных плоскостей постоянно совпадает с неподвижной вертикальной плоскостью, а точка контакта тела и
9
плоскости описывает на последней прямую линию [56]. Рассматриваются движения, на которых эллипсоид совершает качение в одну сторону. Для исследования этих движений и близких к ним движений выполнен переход к новой независимой переменной — углу поворота эллипсоида. С помощью интеграла энергии проведено понижение порядка системы.
В §2.3 получена система уравнений в вариациях в окрестности исследуемого качения. Эта система является обратимой системой дифференциальных уравнений третьего порядка с периодическими коэффициентами.
В §2.4 проведено обезразмеривание системы уравнений в вариациях.
В §2.5 исследовалась квазиавтономная линейная обратимая система третьего порядка с периодическими коэффициентами, зависящими от малого параметра. Для этой системы вычислен коэффициент в нормальной форме, отвечающий за неустойчивость в случае параметрического резонанса.
В §2.6 исследовано качение эллипсоида, близкого к эллипсоиду вращения. Показано, что качение в случае параметрического резонанса неустойчиво. В частности, отсюда следует, что для эллипсоида, близкого к шару, качение вокруг средней оси неустойчиво [28].
В §2.7 исследовалась устойчивость качения в первом приближении. Для нахождения характеристических показателей системы уравнений в вариациях использовалось свойство обратимости, что позволило найти характеристические показатели системы построением всего одного решения задачи Коши. Для произвольного эллипсоида в пространстве параметров задачи выделены области, где выполняется необходимое условие устойчивости.
В третьей главе исследовались колебания и вращения спутника на эллиптической орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов.
В §3.1 приведены уравнения движения спутника на эллиптической орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов [42]. Система уравнений обладает интегральным многообразием, которое отвечает движениям в плоскости эллиптической орбиты [42].
В §3.2 доказано, что 2пк — периодические колебания спутника на круговой орбите около тривиальных положений равновесия продолжаются на случай слабоэллиптической орбиты для произвольного значе-
10
ния аэродинамического параметра.
В §3.3 исследовались 2тгк — периодические вращения спутника, на которых за один оборот центра масс спутника по орбите спутник один раз поворачивается на угол 2тгк вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости орбиты. Используя метод нахождения всех 2пк — периодических решений обратимой системы второго порядка, для таких движений были найдены значения начальных скоростей. Исследована устойчивость по Ляпунову этих движений. В пространстве параметров задачи выделены области, где найденные 2пк — периодические вращения устойчивы по Ляпунову.
В §3.4 исследовались быстрые вращения спутника в задаче Белецкого, т.е. движения, на которых за один оборот центра масс спутника по орбите спутник га (га >10) раз поворачивается вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости орбиты.
В Дополнении Л описан метод нахождения всех 2пк — периодических решений обратимой системы второго порядка.
В Дополнении Б описан метод нахождения характеристических показателей обратимой системы.
В Приложении приведена зависимость плотности атмосферы от высоты.
На защиту выносятся следующие основные результаты и выводы.
1* Результаты по исследованию устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Степень разрешенности данной задачи соответствует современному уровню теоретических разработок но устойчивости движения.
2. Результаты по исследованию устойчивости качений тяжелого полого эллипсоида вдоль прямой на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости: вывод о неустойчивости, вызванной параметрическим резонансом и необходимые условия устойчивости, полученные численно.
3. Явное выражение для резонансного коэффициента в случае параметрического резонанса для обратимой системы третьего порядка.
4. Вывод о продолжении на случай слабоэллиптической орбиты 2-7Гк — периодических колебаний спутника на круговой орбите под действием гравитационных и аэродинамических моментов.
11