Многопараметрические задачи теории устойчивости

Оглавление
Введение 6
Обзор литературы........................................................... 12
I
Бифуркации кратных собственных знамений............................... 12 ;
Методы теории нереальных деформаций.................................. 16
Границы областей устойчивости и их особенности....................... 17
Теория параметрического резонанса..................................... 22
Управляемость многопараметрических колебательных систем...............27
Цель, структура, публикации, апробация, основные результаты и практи-
ческая значимості» диссертации . . . . • 28
Бифуркации собственных значений 36
1.1 Возмущение простого собственного значения . . . . ‘ 36
1.2 Бифуркация кратного собственног'о значения с одной цепочкой Жордана 40
1.3 Сильное взаимодействие собственных значений 48
1.3.1 Ben^ественное собственное значение Ло 49
1.3.2 Комплексное собственное значение Л0 50
1.4 Бифуркация полупроотого собственного значения 56
1.5 Слабое взаимодействие собственных значений 59
1.5.1 Вещественное собственное значение А0 60
1.5.2 Комплексное собственное значение А0 66
1.6 Факторизация семейства характеристических полиномов 70
1.7 Метод теории версальных деформаций 73
1.8 Вычисление кратных собственных значений и цепочек Жордана .... 79
1.8.1 .Линеаризация функций всрсалыюй деформации 82
1.8.2 Метод Ныогоиа 86
2
Оглавление 3
1.8.3 Примеры......................................................... 89
1.8.4 Снизь с производными собственных значений....................... 92
2 Особенности границ областей устойчивости автономных систем 94
2.1 Линейные системы общего вида, зависящие от параметров .................95
2.2 Регулярная часть границы области устойчивости......................... 97
2.3 Особенности коразмерности 2........................................... 99
2.4 Особенности коразмерности 3...........................................102
2.5 Особенность “тупик па ребре” в парадоксе Циглера......................108
2.6 Особенности высокой коразмерности.....................................112
3 Границы областей устойчивости консервативных систем 118
3.1 Колебательные механические системы с потенциальными силами . . . 119
3.1.1 Чувствительность простых и кратных частот колебаний.............120
3.1.2 Область устойчивости и ее граница...............................122
3.1.3 Особенности границы области устойчивости........................126
3.2 Особенность бимодальной критической силы потери устойчивости . . . 130
3.3 Бимодальные бифуркации положений равновесия в потенциальных си-
схемах ...............................................................133
3.3.1 Системы с двумя симметриями.....................................136
3.3.2 Перестройки бимодальных бифуркаций .............................139
3.3.3 Бимодальная бифуркация составного упругого стержня..............142
3.4 Линейные гамильтоновы системы.........................................145
3.4.1 Бифуркации собственных значений гамильтоновой матрицы . . 148
3.4.2 Версальные деформации гамильтоновых матриц......................154
3.4.3 Область устойчивости и ее граница...............................158
3.4.4 Особенности границы области устойчивости........................160
3.4.5 Анализ особых точек на границе области устойчивости: углы и
конусы.........................................................164
3.4.6 Анализ особых точек на границе области устойчивости: точки
возврата и трехгранные шпили .................................1(18
3.5 Механические примеры..................................................175
3.5.1 Упругая шарнирно опертая труба, проводящая жидкость .... 175
Оглавление
4
3.5.2 Гироскопическая стабилизация статически неустойчивой вращающейся системы....................................................178
4 Многопараметрическая теория параметрического резонанса 186
4.1 Бифуркации мультипликаторов.............................................187
4.1.1 Анализ чувствительности простых мультипликаторов............189
4.1.2 Двукратный мультипликатор с одним собственным вектором . . 190
4.1.3 Трехкратный мультипликатор с одним собственным вектором . 191
4.1.4 Полупроетой двукратный мультипликатор.......................193
4.2 Граница области устойчивости периодической системы......................193
4.2.1 Особенности границы области устойчивости....................196
4.2.2 Количественный анализ особенностей..........................201
4.3 Устойчивость составной трубы, проводящей пульсирующую жидкость . 209
4.4 Параметрический резонанс в колебательных системах с демпфированием214
4.4.1 Поведение простых мультипликаторов..........................217
4.4.2 Локальная аппроксимация области устойчивости................219
4.4.3 Параметрическое возбуждение с: симметрической матрицей . . . 222
4.4.4 Матрица параметрического возбуждения вида В(Ш) = <р(Ш)Во 225
4.4.5 Влияние диссипации на области резонанса.....................226
4.5 Неконсерватпвные системы при малом параметрическом возбуждении . 230
4.5.1 Аппроксимация области устойчивости в регулярном случае . . . 233
4.5.2 Анализ области устойчивости в резонансном случае............236
5 Параметрический резонанс в механических системах 245
5.1 Балка под действием периодических моментов (задача В.Б. Болотина) 245
5.2 Стержень переменного сечения, нагруженный периодической продольной силой................................................................248
5.3 Оптимизация стержня по критерию параметрического резонанса .... 250
5.3.1 Задача оптимизации..........................................253
5.3.2 Метод оптимизации...........................................254
5.3.3 Оптимальные формы стержня...................................258
5.4 Эксперименты............................................................263
5.5 Устойчивость трубы, проводящей пульсирующую жидкость....................267
5.5.1 Метод Галеркика ..................................................268
Оглавление
5
5.5.2 Поток с постоянной скоростью.....................................269
5.5.3 Граница области устойчивости в регулярном случае.............270
5.5.4 Резонансный режим пульсаций.............................................................................271
5.5.5 Диаграммы устойчивости на плоскости амплитуда - частота . . 273
V
Введение
Теория устойчивости является одной из наиболее интересных и важных областей прикладной математики, имеющей многочисленные приложении в естественных науках, в аэрокосмической и электронной промышленности, машиностроении, приборостроении и гражданском строительстве. Теория устойчивости всегда была актуальной для астрономии и небесной механики, а в течение последних десятилетий успешно применяется для исследования процессов в химических, биологических, экономических и социальных системах.
Всякая физическая система содержит параметры, и основной цслыо настоящей диссертации является исследование того, как устойчивое положение равновесия или стационарное движение становится неустойчивым, или наоборот, при изменении многих параметров. В формулировках классических теорем теории устойчивости параметры явным образом не содержатся. Так. например, теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению или теорема Томсона-Тета-Чстаева сформулированы в терминах систем с фиксированными параметрами. В многопарамстричсских задачах устойчивости пространство параметров разбивается на области устойчивости и неустойчивости для конкретного положения равновесия или стационарного режима. Таким образом, объектом исследования является построение и анализ границы между этими областями - границы области устойчивости. В большом числе случаев граница области устойчивости определяется системой дифференциальных уравнений, линеаризованных в окрестности рассматриваемого стационарного режима.
Как известно, граница области устойчивости состоит из гладких поверхностей, но может иметь разного рода особенности. К одним из первых общих результатов многопараметрической теории устойчивости можно отнести результаты В.И.Арнольда |б, 10] по классификации типичных особенностей границы области устойчивости для
0
Введение.
7
Рис. 1: Взаимодействие собственных значений в задаче о трубе, проводящей жидкость.
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из главных стимулов настоящей диссертации явилась необходимость перенести качественные {хгзультаты теории особенности и катастроф в пространство параметров задачи, тем самым сделав эту теорию также количественной, то есть конструктивной и практичной. Здесь показано, как граница области устойчивости и се особенности могут быть описаны с использованием информации о системе.
Поведение собственных значений вблизи границы устойчивости при изменении параметров определяет’ устойчивость или неустойчивость системы. Рис. 1, заимствованный из книги Дж.М.Т.Томисона [114], показывает взаимодействие собственных значений в конкретной механической системе - трубе, проводящей жидкость, зависящей от одного параметра - скорости жидкости р. Как видно из рисунка, собственные значения сближаются, сталкиваются и расходятся, описывая петли и совершая пируэты, что делает систему то устойчивой, то неустойчивой. Глядя на этот и подобные рисунки, возникает ряд вопросов.
Каковы законы движения собственных значений па комплексной плоскости в зависимости от изменения параметров задачи? Какие столкновения возможны и какие из них типичны? Каковы особенности поведения механических систем со свойствами симметрии, таких как гироскопические и консервативные системы? Каковы соотношения между собственными значениями и свойствами границы области устойчивости
Введение.
8
в пространстве параметров?
В заключительных замечаниях к своей книге В.В.Болотин [15] указал, что неконсервативные задачи устойчивости тесно связаны со свойствами линейных нссамосо пряженных операторов, и призвал развивать методы исследования зависимости собственных значений операторов от одного и более параметров. Он также отметил, что общие свойства линейных систем с неконсервативными позиционными (циркуляционными) силами недостаточно изучены, и напомнил, что в классических результатах Томсона и Тега (254] об устойчивости механических систем циркуляционные силы не нашли отражения. В.В.Болотин также предложил обратить внимание на неожиданный эффект дестабилизации циркуляционной системы малыми диссипативными силами. Этот эффект интересен как в первоначальной линейной постановке [265. 162], так и при анализе нелинейного поведения [1], и при наличии периодического возбуждения |2|.
Примечательно, что Р.С.Маккей [190], который вывел формулу для изменения простого собственного значения гамильтоновой матрицы при негамнльтиповом возмущении, предложил обобщить этот результат на случаи кратных собственных значений и движения мультипликаторов Флоке по комплексной плоскости, а затем применить эти результаты к нетривиальным физическим задачам.
Настоящая диссертация посвящена развитию многопараметрических методов теории устойчивости с приложениями к задачам механики. Здесь предлагаются аналитические и численные методы, позволяющие проводить конструктивный многопараметрический анализ устойчивости. Описываются свойства и структура областей устойчивости и ее границ для систем различного вида: консервативных и неконсервативных, автономных и периодических. Решается ряд конкретных задач устойчивости и параметрического резонанса механических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Дается новое объяснение ряду механических эффектов и парадоксов в терминах теории особенностей и катастроф. Наконец, приводятся результаты экспериментов по параметрическому резонансу, подтверждающие эффективность предлагаемых методов.
Методологической основой диссертации является новая многопараметрическая теория бифуркаций собственных значений, содержащая ответы на приведенные выше вопросы и предложения. Выделены два важных случая сильного и слабого взаимодействий (столкновений) собственных значений и дана их геометрическая интер-
Впадение.
9
иретация. Наличие нескольких параметров и отсутствие дифференцируемости кратных собственных значений составляют основные математические трудности анализа. Эти трудности преодолеваются путем исследования бифуркаций собственных значений вдоль гладких кривых в пространстве параметров, выпущенных из особых точек, и анализом полученных соотношений. Для анализа этих бифуркаций очень полезной оказалась теория возмущений собственных значений, развитая М.И. Вишиком и Л.А. Люстерником [22].
В качестве альтернативного подхода к анализу кратных собственных значений развиваются количественные методы теории версальных деформаций. Понятие нереальных деформаций было введено В.И.Арнольдом [5] в 1971 году с целью многопараметрического анализа кратных собственных значений. С тех нор данная теория получила широкое развитие для многопараметрического анализа динамических систем, но оставалась лишь инструментом качественного анализа и классификации различного рода особенностей. В настоящей диссертации развиты количественные методы теории версальных деформаций, позволяющие решить изначально поставленную задачу: разработать конструктивный численный метод для анализа возмущений и вычисления кратных собственных значений » многопараметрических семействах матриц.
Многопараметрическая теория бифуркаций собственных значений играет ключевую роль в исследовании устойчивости и неустойчивости. С применением этой теории проводится общетеоретический анализ границ областей устойчивости для консервативных и некоисервативных систем. Исследуется структура границы области устойчивости, проводится классификация ее характерных особенностей. Далее выводятся аппроксимации, позволяющие определять область устойчивости локально в окрестности регулярной или особой точки ее границы по информации о системе в данной точке.
В диссертации показано, что особенности оказывают существенное влияние на колебания и устойчивость механических систем. Показано, что к основе парадокса дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадокса Циглера [265|) лежит особенность границы области устойчивости типа “тупик на ребре”. Эта особенность связана с двукратным чисто мнимым собственным значением, возникающем при критической силе потери устойчивости системы без демпфирования. В работе Н.Ольхофа и С.X.Расмуссена [212| 1977 года был численно
Введение.
10
обнаружен эффект бимодальносги в решении задачи оптимизации формы стержня по критерию устойчивости. Этот эффект заключается в возникновении кратной критической силы или частоты колебаний в процессе оптимизации, приводящей к недифференцируемости минимизируемого функционала. Позднее феномен возникновения бимодальносги (и мультимодальности) был обнаружен во многих задачах оптимизации упругих системы по критериям колебаний и устойчивости, что привлекло большой интерес со стороны инженерного сообщества. В настоящей диссертации показано, как особенности на границе области устойчивости естественным образом приводят к бимодальным оптимальным решениям. Другой областью механики, где особенности играют существенную роль, является гироскопическая стабилизация. В диссертации на примере вращающейся системы тел показано, как особенность 'типа “трехгранный шпиль” влияет на процесс гироскопической стабилизации. Эта особенность типично возникает на границе области устойчивости гироскопических систем, зависящих от трех параметров, и связана с четырехкратной частотой колебаний системы. В ранних работах автора |70, 71, 72] исследовалась задача об аэроупругой устойчивости крыла с подкосами (задача М.В.Келдыша), где особенности границы области устойчивости приводят к разрыву критической скорости флаттера при изменении параметров задачи.
Большая часть диссертации посвящена сложным задачам устойчивости периодических систем, зависящих от нескольких постоянных параметров. Эта тема была источником вдохновения для многих знаменитых ученых, таких как Матье [205], Флоке [148], Хилл [163], Релей [223], Ляпунов [61], Пуанкаре [221]. С самого начала эти задачи были многопараметрическими. Так, известная задача устойчивости для уравнения Матье-Хилла содержит два параметра. В диссертации с применением теории бифуркаций мультипликаторов дается геометрическое описание границ областей устойчивости и их особенностей для периодических систем общего вида. Затем формулируются и решаются задачи параметрического резонанса для систем со многими степенями свободы в трехмерном пространстве параметров - частоты возбуждения П. амплитуды 6 и коэффициента вязкого трения 7 в предположении, что последние два параметра малы. Предполагается, что невозмущенная система консервативна. Оказывается, что для типичных в механике видов параметрического возбуждения области параметрического (простого и комбинационного) резонанса имеют форму полуконусов в пространстве параметров (0,6,7), Рис* 2. При этом об-
Иведаше.
11
У
а
Рис. 2: Область параметрического резонанса в пространс тве трех параметров: частоты П и амплитуды <5 параметрического возбуждения и параметра демпфирования 7-
ласти резонанса определяются в явном виде с использованием собственных частот п форм колебаний соответствующей консервативной системы. Далее изучаются границы областей устойчивости неконсервативных систем при малом периодическом возбуждении. Описываются особенности« возникающие па границе области параметрического резонанса в окрестности резонансных значений частоты параметрического возбуждения.
Разработанная многопараметрическая теория параметрического резонанса позволяет решать сложные задачи параметрического резонанса для конкретных механических систем с конечным и бесконечным числом свободы. В диссертации определяются зоны комбинационного резонанса для изгибно-крутильных колебаний балки, нагруженной периодическими моментами (задача В.В.Болотина). Выводится явное аналитическое выражение для зон параметрического резонанса балок переменного сечения под действием периодических осевых нагрузок. Затем исследуется устойчивость упругой консольной трубы, проводящей пульсирующую жидкость.
Развитая методика позволяет эффективно решать задачи оптимизации механических систем по критериям параметрического резонанса. Так в диссертации решается задача оптимизации формы балки, при которой максимизируется критическая амплитуда периодического воздействия и минимизируется ширина интервала резонансных частот.
Отметим отдельно экспериментальные исследования но параметрическому резо-
Впадение.
12
нансу. Здесь экспериментально определялись зоны параметрического резонанса на плоскости частоты и амплитуды периодической осевой силы для однородной и оптимальной балок. Сравнение полученных теоретических результатов с экспериментом подтвердило эффективность развитых методов.
Обзор литературы
Со времени выхода классической работы А.М.Ляпунова |01| проведено огромное количество исследований по теории устойчивости и ее приложениям. Теория устойчивости имеет многочисленные приложения во всех областях инженерной науки, играет ключевую роль в механике, астрономии, теоретической физике, биологии, экономике, социологии. Трудно найти область современной науки, где бы не возникал вопрос об устойчивости.
Из многообразия литератур]»] но устойчивости отметим книги отечественных и зарубежных ученых В.В.Болотина [14, 15], Б.В.Вулгакова [19], В.Г.Веретенникова [21],
А.Х.Гелиг и др. [26], В.Ф.Журавлева и Д.М.Климова [34], В.И.Зубова [36], А.Ю.Иш-лииского н др. [39], А.В.Карапетяна [42], Н.В.Карлова и Н.А.Кириченко [44|, А.И.Ко-уиадиса и В.В.Кратцига |180], Н.Н.Красовского |49|, Х.Лейпхольца [188], Г.А.Леонова |59], И.Г.Малкина [811, Д-Р.Меркина [86], Я.Г.Пановко и И.И.Губановой [87], В.В.Румянцева п А.С.Озирапера [90], Дж.М.Т.Томпсона [114], Й.И.Томсена [252], Х.Трогера и А.Штайндла |256|, К.Хусейна [165, 166], Г.Циглера |119], Ф.Л.Черноусько и др. [120], Н.Г.Четасва (121], В.А.Якубовича и В.М. Старжинского [123, 124]. В диссертацию вошли результаты, опубликованные в монографии автора и А.П.Сопраияна [238].
Ниже приводится обзор отдельных направлений теории устойчивости, а также теории особенностей и бифуркаций, непосредственно связанных с данной диссертацией. В конце каждого из обзоров отражаются результаты автора, вошедшие в диссертацию.
Бифуркации кратных собственных значений
Устойчивость и неустойчивость малых колебаний динамических систем определяется из анализа спектра линеаризованной системы уравнений (в особом случае Ляпунова спектральный критерий дает лишь необходимое условие устойчивости). Существу-
Введение.
13
ют также и другие методы определения устойчивости, например, такие как метод Рауса-Гурвица и метод 1)-разбиений [89]. Однако область применения этих методов ограничивается системами, характеристические уравнения которых имеют явный и относительно простой вид.
При наличии многих параметров изменение спектра, т.е. изменение собственных значений, определяет процесс стабилизации или, наоборот, потери устойчивости. При этом собственные значения при некоторых значениях параметров могут совпадать. Так возникают кратные собственные значения. Распад (бифуркация) кратных собственных значений при возмущении парамет^юв во многом определяет поведение многопараметрической динамической системы.
Методы теории бифуркаций кратных собственных значений восходят к работе Исаака Ньютона [211], где рассматривались кратные корни полиномов. Согласно методу, основанному на так называемых диаграммах Ныотона, корни полинома описываются рядами по дробным степеням параметра возмущения. Такие ряды называются рядами Ныотона-Пюизо. Данный метод получил существенное развитие в приложении к алгебраическим и дифференциальным уравнениям [18].
В случае матриц, как и в общем случае линейных операторов, кратные собственные значения обладают более тонкой - жордаповой структурой. В работе М.И.Вишика п Л.А.Люстерника [22) была доказана теорема о разложимости возмущенных собственных значений и собственных векторов несимметрических матриц (и нееамо-сонряженньтх операторов) в ряды по дробным степеням параметра возмущения и предложена рекуррентная процедура для определения коэффициентов в этих рядах. При этом жорданова структура собственного значения является определяющим фактором при выборе степеней разложения. В.Б.Лидским [60] был разработан простой метод определения главных членов вариаций собственных значений при возмущении матрицы. Обобщенная задача на собственные значения вида Л(А) -1- В(А,е) = 0, где Л и В - матрицы, зависящие от собственного значении А и параметра возмущения г, рассматривалась в работах Х.Лангера и Б.Наймана [183, 208|; здесь были найдены главные члены вариаций собственных значений.
Многие работы по теории возмущений собственных значений посвящены матрицам специального типа. Так, возмущения собственных значений в случае матриц моподромии линейных канонических систем с периодическими коэффициентами исследовались И.М.Гельфандом и В.Б.Лидским [27], а также М.Г.Крсйиом и Г.Я.Лю-
Введение.
14
барским [51|. Случай гамильтоновых матриц был изучен в работе Дж.Х.Маддокса и М.Л.Овертона (191|.
Случай нескольких параметров в задачах о возмущении собственных значений матриц исследовался в работах А.П.Сейрацяна [97, 230), где использовался метод возмущений по направлению «5 пространстве параметров, и затем применялся подход М.И. Вишика и Л.А. Люстеркика [22]. В «тих работах было введено понятие сильного и слабого взаимодействий собственных значений, отличающихся жордановой структурой кратного собственного значения. В работе [99| были выписаны соотношения, описывающие возмущения собственных значений в случае колебательной системы Му + Ву 4- Су = 0, зависящей от нескольких параметров.
В перечисленных выше работах возмущения собственных значений исследовались при условии невырожденности. Э го условие было названо условием ‘Т” в [22|. В вырожденном случае разложения собственных значений в ряд по дробным степеням параметра возмущения могут иметь иной, не стандартный для возмущаемой матрицы вид. Следует отмстить, что уже при наличии двух параметров некоторые направления в пространстве параметров являются вырожденными. Оказывается, что именно такие “вырожденные” направления представляют особый интерес при исследовании особенностей границ областей устойчивости. Задачи о возмущении собственных значений в случае невыполнения условий невырожденности рассматривались в работах X.Лан 1-ера и Б.Неймана [184], Дж. Моро и др. [206|, где изучались некоторые специфические случаи; вырожденный случай возмущения двукратного собственного значения с жордановой клеткой рассматривался А.П. Сейран я ном [96). Однако конструктивных методов исследования данной задачи в общем случае не было предложено.
Особый интерес представляет исследование бифуркаций кратных собственных значений симметрических и эрмитовых матриц. В этом случае собственные значения всегда полупростые, т.е. жордановых клеток не возникает. Исследование поведения собственных значений при изменении параметров вблизи точек кратности было инициировано в работах Дж. фон Неймана и Е.Г1.Вигнера [259| и Е.Теллера [251), где изучалось пересечение энергетических уровней в квантовой механике. В работе [259] была получена коразмерность множества матриц с собственным значением фиксированной кратности, а в |251 ] двукратное собственное значение было впервые ассоциировано с конусом в трехмерном пространстве, образованном собственным
Введение.
15
значением и двумя параметрами. В физических задачах представляют интерес бифуркации кратных собственных значений симметрических матриц при несимметрических возмущениях, отвечающих наличию диссипации [132. 160, 173). Качественное исследование кратных собственных значений в семействах симметрических матриц проводилось также В.И.Арнольдом [7].
Методы количественного миогопарамстрического анализа кратных собственных значений симметрических матриц развивались в работах А.П.Сейраняна, Э Лунда и Н.Ольхофа [103, 235| с приложением к задачам оптимизации (например, задаче максимизации минимальной собственной частоты колебаний).
Рсзультаты автора. В [77, 77, 200| были подробно изучены бифуркации двукратного п трехкратной) собственных значений при возмущении нескольких параметров. Здесь был использован подход, основанный на анализе возмущений вдоль лучей в пространстве параметров, предложенный А.П. Сейраняном и обобщенный автором на случай гладких кривых. В явном виде получены выражения для нескольких первых членов асимптотического разложения собственных значений по дробным степеням параметра возмущения. При этом рассмотрены как невырожденные, так и вырожденные направления возмущений в пространстве параметров. В [80, 237| было описано поведение двух собственных значений вблизи точки кратности с образованием жордановой клетки (сильное взаимодействие) и без образования жордаловой клетки (слабое взаимодействие). Эти случаи отвечают существенно различному качественному характеру изменения собственных значений при изменении параметров. Отметим, что поведение собственных значений вблизи точки кратности описывается как существенно многопараметрический феномен, так как его коразмерность больше единицы в случае общего положения.
В [75, 76, 107, 236] изучались многопараметрические бифуркации кратных собственных значений для гамильтоновых и симметрических матриц. В (238) в случае симметрических матриц дано конструктивное описание конической особенности в пространстве частоты и двух параметров по информации о системе в точке кратности. В случае гамильтоновых матриц выведены явные формулы, количественно описывающие бифуркации двукратных собственных значений в зависимости от многих параметров.
Дальнейшие исследования в данном направлении (не вошедшие в диссертацию) проведены в работах [46, 175, 233], где изучены бифуркации двукратных собственных
Введение.
16
значений в случае комплексных матриц и матриц, близких к симметрическим или эрмитовым, с приложениями в оптике кристаллов.
Методы теории нереальных деформаций
Анализ спектра конечномерной системы предполагает нахождение жордановой формы матричного оператора системы. Как известно, приведение к форме Жордана -численно неустойчивая операция, так как кратные собственные значения пропадают при сколь угодно малом возмущении матрицы. Численные методы приведения матрицы к иетривиапьной форме Жордана разрабатывались в работах |52, 144, 154, 170, 171]. Анализ численной неустойчивости кратных собственных значений привел к введению понятия псевдоспектра, отражающего область возможною расположения спектра при неточном задании матрицы или линейною оператора, см. книгу С.К.Годунова [28]. Задача определения кратных собственных значений существенно осложняется, если вместо отдельной матрицы рассматривается многопараметриче-ское семейство .матриц.
С целью регуляризации процедуры приведения матрицы к жордановой форме В.И. Арнольдом [5] было введено понятие версальной деформации матрицы. Вср-сальная деформация отвечает наиболее общему и одновременно простому виду семейства матриц, которое локально индуцирует любое другое семейство матриц (с такой же матрицей в начальной точке) при замене параметров и замене базиса, гладко зависящего от параметров. Основной областью приложения нереальных деформаций в работах В.И.Арнольда [б] явилась классификация типичных особенностей бифуркационных и декремент-диаграмм, а также особенностей границ областей устойчивости линейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Версальные деформации были найдены для различных типов матриц: вещественных [23], гамильтоновых [24], обратимых [92], а также пучков матриц [147] (см. также [30, 93|). До последнего времени область приложения теории верс&льных деформаций ограничивалась качественным анализом и классификацией особенностей в многопараметрических семействах матриц. Попытки конструктивно решить проблему приведения к версальной деформации (т.е. локальной нормальной форме) предпринимались в работах Д. Шмидта [226, 227] для семейств малой размерности или семейств, имеющих специфическую жорданову структуру. Дж.В.Буркс и М.Л. Оверто-
Введение.
17
ном [138) частично были найдены первые производные функций замены параметров, приводящей семейство действительных матриц к версальной деформации.
Результаты автора. В [63, 192, 193] были разработаны общие конструктивные методы приведения семейств матриц в версальным деформациям. Эти методы позволяют находить преобразование параметров и замену базиса в виде рядов Тейлора, где коэффициенты рядов определяются из явной рекуррентной процедуры. Аналогичные результаты для пучков матриц, описывающих системы управления, были получены в работе [151] (в диссертацию не вошли). Заметим, что теория версальиых деформаций является аналогом подготовительной теоремы Вейерштраеса в приложении к полиномам [260]. Согласно этой теореме полипом с коэффициентами, аналитически зависящими от параметров, может быть локально факторизован в соогвет-ствио с кратностями его корней в начальной точке пространства параметров. Конструктивная процедура, позволяющая находить такую факторизацию в явном виде, предложена в [32]. В этой работе С.С. Григоряном было выдвинуто предложение о переносе [гсэультата со случая полиномов на случай голоморфных функций.
Разработанные методы приведения к версальным деформациям позволили решить численную проблему определения кратных собственных значений для матриц, зависящих от параметров [67, 196]. Тем самым найдено решение проблемы численной неустойчивости в приведении матрицы к форме Жордана, которая мотивировала возникновении теории нереальных деформаций. Численная процедура определения кратных собственных значений с цепочкой Жордана была реализована на ЭВМ в пакете MATLAB. Предложенная численная процедура является первым конструктивным методом, позволяющим численно решить проблему Дж.Х.Вилкинсона [261, 262) о нахождении ближайшей матрицы с кратным собственным значением.
Основным приложением разработанных методов приведения к версальным деформациям является количестве1ШЫЙ анализ бифуркационных диаграмм и особенностей на границах областей устойчивости.
Границы областей устойчивости и их особенности
Целыо анализа устойчивости многопараметрической системы является определение области устойчивости некоторого стационарного (или нестационарного) режима в пространстве параметров. Э та задача решается путем построения границы области устойчивости. Из простейших примеров видно, что граница области устойчивости
Введение.
18
может иметь особенности. Например, область асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения х + ах + Ьх = 0 в пространстве параметров (а, Ь) имеет вид а > О, Ь > 0 с угловой особенностью в начале координат. Ответ на вопрос, какие особенности могут возникать на границе области устойчивости, был дан В .И. Арнольдом |6, 1()|. Им были выделены характерные особенности в случае линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, зависящих от двух или трех параметров. С этой целью использовались понятие случая общего положения и теория нереальных деформаций матриц |5]. Результаты В.И.Арнольда развивались в работах Л.В.Левамтовского [56, 57, 58]. В [58] был рассмотрен случай четырех параметров, т.е. описаны перестройки трехмерных диаграмм устойчивости. В работах [50, 57] исследовались особенности границ областей устойчивости в пространстве элементов действительных матриц и коэффициентов характеристических полиномов. С точностью до диффеоморфизма описаны касательные конусы (линейные приближения) к области устойчивости для всех типов особенностей в случае полиномов. В случае матриц касательные конусы описаны для особенностей, характеризуемых собственными значениями с одной жордановой клеткой.
Перечисленные выше результаты В.И.Арнольда и Л.В.Левантовского носят качественный характер. Они дают представление о том, какие особенности могут возникать на границах областей устойчивости, но не указывают, как определить геометрию особенностей в пространстве параметров при исследовании конкретных систем.
Особенности границ областей устойчивости в случае циркуляционных систем (систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида х = Ах), зависящих от двух параметров, изучались А.П.Сейраняном [101]. Им был предложен метод определения геометрии особенностей типа “излом границы” и “точка возврата”. Для этого использовалась информация о собственных и присоединенных векторах матрицы А, а также ее первых производных по параметрам в точке особенности. Случай циркуляционных систем, зависящих от трех или более параметров, исследовался в работе [232].
С задачей исследования особенностей границ областей устойчивости тесно связана задача об определении стабилизирующих возмущений матрицы. Эт ому вопросу посвящена работа Дж.В.Бурке и М.Л.Овертона [138], где для возмущений вида А(е) = А0 + еВ (е > 0 - параметр возмущения) получены необходимые условия, которым удовлетворяет матрица В стабилизирующего возмущения.
Введение.
19
Вопросы об особенностях границ областей устойчивости применительно к механическим (физическим) системам можно разделить на две части. К первой части относится анализ особенностей, отличных от особенностей общего положения для динамических систем общего вида и возникающих в результате специфики данных систем. Например, такое исследование актуально в случае консервативных (гамильтоновых) и обратимых систем, в том числе гироскопических систем и систем с потенциальными силами. Во вторую часть можно включить механическую интерпретацию особенностей. Ясно, что особые точки на границе области устойчивости, являясь типичным явлением, не могут нс отражаться на свойствах описываемых систем. Здесь наиболее интересно выявить физические эффекты, связанные непосредственно с возникновением особенностей.
Отметим, что вопрос о классификации и количественном анализе особенностей границ областей устойчивости для механических систем не был существенно затронут в литературе. Так в работах И.М.Гельфанда, В.Б.Лидского |27| и М.Г.Крейна |50] исследовались вопросы структурной устойчивости гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. В работе П.Ф.Папковича |88| была доказана выпуклость области устойчивости системы с потенциальными силами, линейно зависящими от параметров. Результаты теории бифуркаций в отдельных случаях позволяют описать структуру области устойчивости в окрестности простейших особенностей ее границы, см., например, [141, 157].
Результаты автора. В [73, 74, 200] был нре^ідожсп метод количественного анализа особенностей на границе области устойчивости для систем общего вида в случае двух и трех параметров. Были получены явные соотношения, описывающие форму облает устойчивости в пространстве параметров задачи в окрестности рассматриваемой (регулярной или особой) точки границы. Для этого требуется лишь информации о системе в данной точке: собственные и присоединенные векторы матрицы системы, а также ее первые производные по параметрам. Предложенная методика делает анализ особенностей конструктивным и полезным в прикладных задачах. Анализ устойчивости проводился с использованием теории бифуркаций собственных значений.
В |62, 63, 65, 192] были получены аппроксимации области устойчивости в окрестности точек ее границы в случае произвольного числа параметров. Здесь использовались количественные методы теории версальных деформаций и подготовительная теорема Войорштрасса. В [62, 63, 192] анализ устойчивости проводился в терминах
Введение.
20
матричного оператора линейной системы, а в [65| были получены аналогичные соотношения в терминах коэффициентов характеристических полиномов.
В работах (75, 70, 107,110, 201, 236] рассматривались автономные консервативные системы. Были рассмотрены механические системы под действием только потенциальных сил, а также линейные гамильтоновы системы. Для этих систем проведена классификация особенностей границ областей устойчивости. Найдены формулы первого приближения для описания области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек границы. Оказалось, что потенциальные системы характеризуется очень малым числом особенностей. Например, граница области устойчивости двухпараметрической системы не имеет особенностей в случае общего положения. Напротив, гамильтоновы системы обладают очень большим числом различных видов особенностей в случае общего положения. Исследовано закритическое поведение нелинейных консервативных систем в окрестности особых точек границы области устойчивости.
Полученные результаты являются составляющей частью многопараметрической теории устойчивости. В них реализуется программа по описанию границ областей устойчивости систем различного вида, описанию типичных особенностей границы и развитию конструктивных методов анализа области устойчивости в окрестности регулярных и (х.'обых точек границы.
Большое практическое значение имеет' задача устойчивости в случае, когда параметры системы заданы с некоторыми погрешностями. В случае характеристических полиномов, коэффициенты которых могут принимать любые значения в заданных интервалах, данная задача была решена В.Л.Харитоновым |117|. Такая постановка, однако, не содержит явно параметры задачи. Более того, погрешности при задании параметров обычно определяют лишь элемент поверхности невысокой размерности в пространстве коэффициентов характеристического полинома. Влияние погрешностей задания параметров на структуру границы области устойчивости в задаче о флаттере крыла с подкосами (задаче М.В.Келдыша) исследовалось с помощью анализа чувствительности простых собственных значений в работе [711 (эти результаты в диссертацию не вошли).
С особенностями на границах областей устойчивости связан ряд интересных механических эффектов и парадоксов. В [73| было показано, что известный эффект дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (пара-
Введение.
21
доке Циглера) имеет объяснение и терминах особенности “тупик на ребре”, возникающей на границе области устойчивости при критическом значении нагрузки в системе без демпфирования. Заметим, что правильный выбор существенных параметров в данной задаче обеспечивает типичность парадокса Циглера с точки зрения теории особенностей. Таковыми параметрами являются параметр нагрузки и два независимых параметра диссипации. Действительно, рассматривая области устойчивости в пространстве других параметров, можно прийти к обратному выводу о “нетипично-сти” парадокса дестабилизации [225, 257].
Решение задачи об устойчивости упругой трубы, проводящей жидкость, и статически неустойчивой системы вращающихся тел |7б, 238] ясно показали, что особенности оказывают существенное влияние на возможность гироскопической стабилизации и ее чувствительность к возмущениям параметров.
Другим интересным эффектом является возникновение бимодальных решений в задачах оптимизации упругих конструкций по критериям устойчивости. Известно, что для некоторых граничных условий форма стержня, обеспечивающая максимальную критическую силу потери устойчивости при фиксированной массе стержня, характеризуется одновременно двумя линейно независящими формами потери устойчивости при критическом значении сжимающей продольной силы [212, 94], см. также обзор А.П.Сейраняна |105|. В [236] было показано, что эффект бимодальностн определяется конической особенностью на границе области устойчивости системы. Именно коническая форма границы области устойчивости предопределяет типичность явления бимодальностн в задачах оптимизации. В работах [110, 201] показано, что в бимодальных точках симметричная упругая конструкция может терять устойчивость но асимметричной форме.
Следует ожидать, что число физических эффектов, связанных с бифуркациями собственных значений и особенностями на границах областей устойчивости будет расти. Недавно были обнаружены новые приложения теории бифуркаций собственных значений к исследованию особенностей в кван товой физике, оптике кристаллов и вычислению фазы Берри [233, 175, 197[; а в работах [198, 199, 204] анализ кратных собственных значений применялся для исследования структуры нелинейных волн в окрестности точек резонанса (совпадения характеристических скоростей) и вблизи границы гиперболической области для систем уравнений сохранения с приложением к исследованию многофазных потоков в пористых средах. В работе И.Добсона
Введение.
22
и лр. [146] была выдвинута гипотеза, что катастрофы в крупных электрических сетях (и масштабе крупных городов и областей) могут быть объяснены появлением двукратных собственных значений вблизи мнимой оси, а значит - возникновением особенностей на границе области устойчивости при близких значениях параметров (вспомним о недавних энергетических катастрофах в Пыо-Йорке и Москве).
Отмстим, что похожая программа исследований активно ведется в области теории хаоса саратовской группой ученых под руководством Д.П.Кузнецова и С.П.Кузнецова [53. 541. Здесь выделяются особенности на границе хаоса, отвечающие особой локальной микроструктуре динамического поведения как в фазовом пространстве, так и в пространстве параметров. Техника исследования этих особенностей основана на теории универсальности Фейгенбаума и группе рспормализацин. Заметим, что, несмотря на успех теории универсальности Фейгенбаума, в теории хаоса пока нет общих методов, позволяющих провести классификацию особых точек на границе хаоса.
Теория параметрического резонанса
Системы с периодически изменяющимися параметрами широко распространены в науке и технике. Они включают в себя задачи механики, волновой динамики, электротехники, физики плазмы и т.д. В практических инженерных задачах часто встречаются системы с периодически меняющимися нагрузками, жесткостями, массами или геометрическими параметрами (системы с параметрическим возбуждением). Такие системы описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Анализ устойчивости решений периодических дифференциальных уравнений имеет более чем столетнюю историю. Из ранних исследований отметим работы Матьс [205], Флокс [148], Хилла |163], Релея [223], Ляпунова [611 и Пуанкаре [221]. Современное состояние вопроса излагается в книгах В.А.Якубовича и
В.М.Старжинского [123, 124], Г.Шмидта [122], А.Х.Найфс и Д.Т.Мука [210], А.Х.Наи-фе и Б.Балачандрана [209), В.В.Болотина [16], А.П.Марксева [82].
Методы анализа устойчивости периодических систем можно условно разделить натри группы: классический метод Флокс [148,139], метод бесконечных детерминантов [14] и методы возмущений [164, 210|. Основной практической трудностью является применение этих методов для систем с большим числом свободы. Этому вопросу посвящены, например, работы [189. 149, 159, 263, 258]. В целом можно сделать вывод,
Введение.
23
что метод Флоке, связанный с вычислением фундаментальной матрицы системы и ее собственных значений (мультипликаторов), является наиболее общим и конструктивным методом анализа устойчивости систем большой размерности. Однако, даже при постоянно растущих возможностях современной вычислительной техники данный метод накладывает ограничении из-за большого объема требуемых расчетов. Исследования с целью рационализации этих расчетов проводились в |244]. Применение метода бесконечных детерминантов, связанного с представлением решения в виде усеченного ряда Фурье, ограничено быстрым ростом размерности матрицы при учете гармоник высокого порядка. Тем не менее этот метод успешно применяется в современной физике (использование специальных методов вычислений собственных значений позволяет работать с матрицами размерности 10000 х 10000 и выше 1143]). Данный метод может быть использован и в случае квазипериодических систем. Ограничение методов возмущений связано, очевидно, с малостью периодического воздействии. Эти методы являются аналитическими, что позволяет установить общие свойства устойчивости и колебаний систем с малым параметрическим возбуждением.
Другой существенной трудностью, связанной с анализом устойчивости периодических систем, является наличие многих параметров. Следует отметить, что наличие нескольких параметров изначально входило в постановку вопроса об устойчивости периодических систем. Например, классическое уравнение Матье-Хилла содержит два параметра: частоту и амплитуду возбуждения. По-видимому, А.М.Ляпунов был первым, кто в своей знаменитой диссертации [01] ввел вектор параметров при анализе устойчивости системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами общего вида. Общие методы анализа чувствительности к изменению параметров в задаче устойчивости и колебаний таких систем были развиты сравнительно недавно в работах А.П.СсЙраияна и др. [241, 242). В случае гамильтоновых систем анализ чувствительности (производные матрицы монодромии) были получены И.М.Гельфандом и В.Б.Лндским [27|. Формула для производной матрицы монодро-мни произвольного порядка в случае линейной периодической системы общего вида получена автором и А. П. Сейран я иом [77|. Отмстим здесь также работу М.Г.Крейна [50], где матрица монодромии представляется в виде сходящегося ряда, построенного явно с использованием оператора динамической системы. Аналогичное разложение для матрицы монодромии в случае линейных эрмитовых операторов (гамильтони-
Введение.
24
анов) называется рядом Дайсона (см., например, [169]); оно широко применяется в квантовой физике. Новые результаты качественной теории устойчивости линейных канонических периодических систем приводятся в работе А.Л.Зевина [35].
Большое практическое применение имеют задачи устойчивости в случае, когда периодические члены в системе малы (случай малого параметрического возбуждения). Возможность введения малого параметра существенно расширяет возможности аналитического исследования. К такому типу систем относятся классические уравнения Матьс и Хилла. Расположение областей неустойчивости (резонанса) на плоскости параметров для уравнения Матьс носит название диаграммы Айнса-Стретта. Асимптотические выражения для нескольких первых зон приводятся в справочниках, см., например, [16]. Практическое приложение диаграммы устойчивости уравнения Ма-тье трудно переоценить - это простое уравнение приближенно описывает процессы во многих областях естественных наук. Так. варьируя параметры в пределах нулевой зоны устойчивости, можно находить и строить электромагнитные ловушки для заряженных частиц [219] (Нобелевская премия 1989 года по физике).
В случае систем уравнений типа Матьс особенности зон резонанса были исследованы В.И.Арнольдом [9]. Результаты этой работы позволяют определить ширину зоны резонанса в зависимости от амплитуды возбуждения, когда параметрическое возбуждение определяется произвольным тригонометрическим полиномом. Задача определения зон резонанса усложняется при добавлении неконсерватнвных сил, например, демпфирования. Условия резонанса при произвольном одпоиараметри-ческом возмущении консервативной системы, приведенной к диагональной форме, были найдены в работе Ч.С.Ксу [164]. Заметим, что важным отличием эффекта параметрического резонанса в системах с большим числом степеней свободы является наличие комбинационных резонансов, возникающих при взаимодействии двух различных мод собственных колебаний системы.
Анализ устойчивости методом возмущений в системах с позиционными неконсервативными силами, периодически зависящими от времени, проводился в [127, 149, 150, 263].
В случае систем с демпфированием параметр демпфирования физически целесообразно рассматривать как независимый. Общая формула для зон параметрического резонанса для уравнения Хилла с демпфированием в невырожденном случае была получена А.П.Сейраняном 1104]. Показано, что зоны резонанса представляют собой
Введение.
25
полуконусы в пространстве трех параметров: двух параметров уравнения Хилла (собственная частота системы и амплитуда возбуждения) и параметра демпфирования.
Устойчивость гамильтоновой системы с периодическими по времени коэффициентами при малых значениях параметра периодического возбуждения, а также системы, близкой к канонической, подробно исследована в книге В.А. Якубовича и В.М. Старжинского [124]. Обобщение на случай распределенных систем и систем с ква-зипериодичсским возбуждением дано в книге Н.В. Фомина [116]. Случай кратного параметрического резонанса в гамильтоновых системах с двумя степенями свободы рассмотрен А.П.Маркеевым [83. 84].
Отметим, что наряду с общетеоретическими работами имеются исследования параметрического резонанса в конкретных механических системах. Ввиду очень большого числа таких работ, отметим непосредственно относящиеся к диссертации исследования параметрического резонанса упругих однородных балок при различных видах параметрического возбуждения 1110, 124, 167, 168, 172] и параметрического резонанса в упругих трубах, проводящих пульсирующую жидкость [124, 213, 216]. В [242] численно решалась задача о максимизации критической амплитуды параметрического резонанса для упругой шарнирно опертой балки переменного сечения.
Из экспериментальных исследований отметим работы П.Л.Капицы [40, 41| о стабилизации верхнего вертикального положения маятника высокочастотным возбуждением точки подвеса и эксперименты по стабилизации маятника относительно наклонной оси при колеблющейся точке подвеса [113, 264]. Зоны параметрического резонанса упругих балок под действием гармонической осевой силы определялись экспериментально в [14, 167]. Экспериментальные зоны резонанса для упругих труб, проводящих пульсирующую жидкость были получены в |216|.
Результаты автора. В [77, 78] были описаны общие свойства границ областей устойчивости для многопараметрических систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Были выведены аппроксимации для области устойчивости в окрестности регулярных и особых точек ее границы. Эти аппроксимации требуют лишь знания информации о системе в данной точке, что включает в себя вычисление фундаментальной матрицы и производных оператора системы но параметрам (заметим, что фундаментальная матрица обычно уже имеется в наличии - она вычисляется при анализе устойчивости методом Флоке в рассматриваемой точке пространства параметров). Проведена классификация особенностей границ об-
Введение.
26
ластей устойчивости до коразмерности 3 включительно, т.е. особенностей типичных для двух и трех-параметрических периодических систем.
В [79, 108] исследованы области параметрического резонанса в системах с большим числом степеней свободы в случае малого периодического возбуждения произвольной формы и при наличии малого демпфирования. Использована предложенная А.П. Сейраняном идея рассмотрения параметра демпфирования как независимо-ю. Таким образом, области резонанса определяются в пространстве трех независимых параметров: амплитуды и частоты параметрического возбуждения и параметра демпфирования. Получены асимптотические общие формулы, описывающие произвольную область резонанса (простого или комбинационного) по формам и частотам свободных колебаний невозмущенной консервативной системы. Показано, что для распространенных в приложениях видов параметрического возбуждения невырожденные области резонанса описываются полуконусамн в пространстве трех параметров. В качестве приложения предлагаемой методики решена задача В.В.Болотина о комбинационном резонансе плоской формы тонкой упругой балки иод действием периодических моментов. Далее в первом приближении найдены все области простого и комбинационного резонансов для упругой балки переменного сечения под действием периодической осевой силы с учетом внешнего демпфирования.
В [202] формулы для резонансных зон были использованы в задаче об оптимизации формы балки по критериям параметрического резонанса при условии фиксированного объема. Было показано, что оптимальная форма балки отвечает одновременно минимальной ширине зоны (минимальному интервалу резонансных частот) и максимальной критической амплитуде резонанса. Оптимальные решения обладают многими свойствами универсальности, например, они не зависят от коэффициента демпфирования, номера резонанса и т.д. Был проведен анализ зависимости оптимальной формы банки от граничных условий (шарнир, упругая заделка и жесткое защемление). Для случая шарнирно опертой оптимальной балки и балки постоянного сечения были проведены эксперименты, показывающие очень хорошее соответствие экспериментальных и теоретических резонансных зон. Отметим, что в литературе практически отсутствуют экспериментальные работы по колебаниям и устойчивости оптимальных балок (автору известен лишь эксперимент М.А.Лантьема (185] но устойчивости оптимальной упругой трубы переменного сечения, проводящей жидкость).
Введение.
27
В [194| было изучено влияние малого параметрического возбуждения на границу области устойчивости пеконсерв&тивпой системы общего вида. Показано, что в резонансном случае, отвечающем определенному соотношению между частотой флаттера невозмущенной системы и частотой возбуждении, граница области устойчивости имеет особенность. Проведена классификация всех видов таких особенностей. Получены асимптотические формулы, описывающие локально область устойчивости в регулярном п резонансном случае. В качестве приложения проведен анализ влияния малого трения и пульсаций протекающей жидкости на устойчивость упругой трубы.
"Управляемость многопараметрических колебательных систем
Вопрос управляемости, т.с. возможности перевести динамическую систему из заданного начального в заданное конечное состояние за конечное время при надлежащем выборе управляющего воздействия, является основополагающим в теории управления. В частности, в управляемая система может быть приведена в положение равновесия за конечное время. При малых перемещениях или при малой нелинейности управляемость системы определяется из линеаризованной задачи. Имеется ряд классических критериев управляемости линейных систем, например, условие максимального ранга матрицы управляемости. Эти условия описаны во многих монографиях и справочниках [3,112, 115, 120, 245]. В случае нелинейных систем вопрос управляемости существенно усложняется и не имеет единого метода решения. Данной томе посвящено много исследований, многие из которых освещены в монографиях [125, 245|.
В случае линейной системы управления вопрос о динамике системы иод действием управляющего воздействия хорошо изучен. Известно, что фазовое пространство неуправляемой системы можно разделить на управляемую и полностью неуправляемую части (декомпозиция управляемой системы). Если в качестве соотношения эквивалентности линейных управляемых систем к замене базиса в фазовом пространстве и пространстве переменных управления добавить линейную обратную связь, то система может быть приведена к простой нормальной форме (форме Бруновского [152|). В этой форме управляемая часть описывается независимыми подсистемами элементарного вида, а неуправляемая часть представлена матрицей Жордана.
При изменении параметров линейной системы управления структура системы (вид нормальной формы) может изменится. В частности, управляемая система может стать неуправляемой. Общие свойства и особенности мпогопарамотричеекнх си-