Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................3
ГЛАВА 1. УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПРОГРАММНЫМИ СВЯЗЯМИ.................14
§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ..........................14
§2. УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 20
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ.............................38
§1. МЕТОД ЭЙЛЕРА..............................38
§2. УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД ЛОМАНЫХ.........43
§3. МЕТОД ЭЙЛЕРА-КОШИ.........................46
§4. ВИДОИЗМЕНЕННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА...............49
§5. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.............51
ГЛАВА 3. УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОМ АДАПТИВНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.............................53
§1. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА........................54
§2. УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ...........................57
§3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ АДАПТИВНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ................61
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................66
ЛИТЕРАТУРА.....................................67
1
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время внимание исследователей все больше привлекают задачи управления движением твердых тел и их систем. Это связано с внедрением робототехники в различные отрасли науки и производства, с развитием космических технологий и их применением в быту (спутниковое телевидение, мобильная связь и т.д.). Системы твердых тел все больше приобретают прикладное значение как модели управляемых механических систем (МС). Примерами таких моделей могут быть роботы-манипуляторы [47], адаптивные оптические системы (АОС) 11], космические объекты [16] и т. п.
Под системой твердых тел понимается совокупность конечного числа твердых тел, обычно связанных между собой посредством соединений, определяемых идеальными связями - голономными, неголономными, стационарными или нестационарными связями [76]. Задачей управления является обеспечение движения МС согласно некоторым требованиям, которые составляют ее программу. Программное движение системы может быть осуществлено приложением к системе управляющих сил, изменением параметров системы в процессе движения, построением специальных управляющих устройств (регуляторов) или сочетанием этих возможностей. Исходными задачами теории управления являются обратные задачи классической динамики. Обзор этих задач с указанием методов их решения подробно излагается в монографиях Д.С. Галиуллина [14, 15, 16].
Вопросам управления механической системой посвящены работы
В.И. Зубова, Г.В. Коренева, Ю.К. Ландо, Л.К. Лилова, Ь.Н. Петрова, Н.Н. Красовского, II.Д. Крутько, Е.П. Попова, В.В. Румянцева, В.Ю. Тертычно-го и др. [3, 4, 9 ,28, 30, 35, 39 - 41, 44,46, 52, 72, 73, 77, 84, 92 - 95]. В частности, проблемы построения уравнений программного движения и стабилизации связей излагаются в [28, 92 - 95]. В работе [35] излагаются общие
приемы построения математических моделей систем управления движением тел. Общая теория механико-математического моделирования систем, содержащих конечное число твердых и упругих тел, связанных между собой произвольными связями излагаегся в [46]. В работе [84] с единых методологических позиций исследуется ряд задач механики управляемого движения: разнообразные адаптивные, стохастические и другие варианты задач стабилизации МС решаются в рамках общей концепции обеспечения экспоненциальной сходимости к профаммным траекториям. Рассматриваются аналитические методы исследования управляемых механических устройств на стадии построения модели системы управления, приводящей к стабилизации движения. В работе [44] рассматриваются элементы математической теории управления движением: критерии управляемости, способы построения управлений. Проблема управляемости рассмафивастся с точки зрения нормальной разрешимости краевых задач. Общая теория управляемою движения излагается в работах [30, 38, 39]. В работе [77] исследуются уравнения движения управляемых систем с голономными и не-голономными связями, формулируются основные принципы динамики управляемых систем. Работы [72, 73] посвящены построению алгоритмов управления движением МС. Вопросы синтеза систем управления объектами, подверженными внешним возмущениям, решаются с точки зрения численного анализа в работе [52]. Математическое моделирование движения сложных механических систем методом упраштяющих реакций связей рассматривается в [9]. В работе [39] изучаются две проблемы, возникающие в теории оптимальных процессов: задача управления динамической системой при условии минимума выбранной оценки интенсивности направляющих усилий и задача о наблюдаемости.
Задача определения управляющего вектора, обеспечивающего программное движение системы, обычно решается с учетом требования устойчивости движения. В связи с этим развитие теории управления снособ-
I
I
ствовало дальнейшему развитию теории устойчивости [2, 8, 29, 31, 34, 36, 37, 38, 45, 50, 53, 55, 69, 78, 80, 88, 89, 91]. А именно, численное исследование устойчивости движения излагается в [8]. Методам решения проблемы устойчивости управляемого движения посвящены работы В.И. Зубова 129, 31 ]. Эти методы основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем и применяются для решения проблемы устойчивости многообразий и проблемы управления вращательным движением. Систематическое изложение методов исследования устойчивости движения дается в [50, 53, 91]. Теория устойчивости неголономных систем рассматривается в работе Ю.И. Неймарка и
Н.А. Фуфаева [69]. Вопросам устойчивости регулируемых систем посвящены работы [2, 45]. В частности, в [2] рассматривается решение задачи об абсолютной устойчивости прямым методом Ляпунова и Попова, а в [45] дается геометрическая интерпретация прямого метода Ляпунова и его приложение к задаче автоматического регулирования. В работах [80, 89] рассматриваются задачи устойчивости, стабилизации и синтеза управлений. В [78] определены условия существования важных для практики видов движения систем связанных тел и условия их устойчивости. В [36] рассматривается применение второго метода Ляпунова к исследованию устойчивости по первому приближению. Устойчивость адаптивных систем рассматривается в работе [88].
Использование второго метода Ляпунова для исследования устойчивости позволило сформулировать достаточные условия устойчивости про-фаммных многообразий, условия равномерной устойчивости, условия устойчивости на конечном интервале времени, абсолютной устойчивости, условия устойчивости по части переменных для механических систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка. Результаты исследований по этим вопросам изложены в работах [ 14, 18 - 20, 24, 54, 56, 59 - 63, 68, 85 - 87].
5
В частности, в монографии [14] рассматриваются возможные постановки задач по исследованию устойчивости движения МС и по построению устойчивых систем, излагаются основы метода характеристичных чисел и метода функций Ляпунова в исследовании устойчивости, приемы аналитического построения устойчивых систем. Рассматривается программное движение механических систем, движение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом случае задача аналитического построения систем программного движения сводится к соответствующим обратным задачам динамики, поставленным с дополнительным требованием устойчивости программы движения в смысле Ляпунова (при наличии лишь начальных возмущений). Такая трактовка позволяет свести решение этой задачи к построению соответствующих уравнений движения системы по заданным интегралам уравнений движения, причем т ак, чтобы эти интегралы, отражающие заданные свойства движений рассматриваемой системы были устойчивыми.
Задача о построении уравнений программного движения механизмов в обобщенных координатах при наличии нсголономных связей ставится и решается в работе [17]. Полученные при этом управляющие силы достраиваются с учетом требования устойчивости программы. В работах [26, 69, 70] рассматривается динамика и теория устойчивости управляемых него-лономных систем. Дается постановка новых задач аналитического конструирования управляемых нсголономных связей, обеспечивающих требуемые оптимальные режимы движения системы. Динамика систем твердых тел, связанных идеальными связями, рассматривается в работах [11, 27, 76, 97 - 101]. В [33] сравниваются два подхода к исследованию равновесия не-голономных систем. В первом из них используются уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, а во втором - уравнения Чаплыгина или Воронца.