Оглавление
1 Введение 3
2 Общие подходы к доказательству невырожденности лиувиллевых систем 22
2.1 Объект исследования............................................ 23
2.2 Бифуркационные диаграммы лиувиллевых систем................... 23
2.3 Относительные равновесия....................................... 26
2.-1 Бифуркационная картина трех интегралов......................... 29
2.5 Частотные отображения ......................................... 39
2.6 Система с тремя степенями свободы ............................. 32
2.7 Об асимптотике частот вблизи сепаратрисы....................... 33
2.8 Техника доказательства двухчастотпосги......................... 37
2.9 Овязг. с теоремой Рюсмаиа...................................... 11
3 Случай положительных и различных масс или масс разных знаков, когда сумма масс положительна 43
3.1 Постановка задачи.............................................. 44
3.2 Бифуркационные диаграммы приведенной системы................... 45
1
3.3 Бифуркационная диаграмма исходной системы........................ 46
3.4 Частот и частотные отображения................................... 47
3 5 Теорема об асимптотике действий.................................. об
3.6 Двухчастотиость приведенной змдчи................................ 60
3.7 Трсхчасгогтносп.................................................. 61
4 Случай действительных масс разных знаков, когда сумма масс отрицательна 66
4.1 Частоты и частотные отображения.................................. 67
4.2 Относительные равновесия......................................... 70
4.3 Двухчастотиость приведенной задачи............................... 71
5 Случай комплексных масс 73
5.1 Постановка задачи................................................ 74
5.2 Бифуркационные диаграммы......................................... 75
5.3 Частоты и частотные отображении.................................. 76
5.4 Двухчастогносгъ приведенной задачи............................... 80
5.5 Трех частотность................................................. 85
2
Глава 1 Введение
Данная работа посвящена исследованию частот уел овио-периодического движения гамильтоновых систем с двумя степенями свобода, дрлухжакицнх разделение переменных по Лиувиллю (а также систем с тремя степенями свободы, приводимых К iftKOMy вида после исключения циклической переменной).
Несмотря на то» что такие системы интегрируются в квадратурах (подробнее с этим вопросом можно ознакомиться в Арнольд (|1|), Татарииов (|28)), сложность получающихся выражений не позволяет или сильно затрудняет проведение получение непосредственных заключений о поведении решений системы. Поэтому па первых шагах используются методы качественного анализа таких систем, привлекается аппарат дифференциальной геометрии, теории гладких многообразий и гладких отображений и теории Морса. Видное место занимает здесь топологический анализ интегралов движения, который ставит свой целью описать совместные у| юшш первых интегралов (при этом проекция фиксированною совместною уровня интегралов на конфигурационное пространство определяет области гюзможногодвижения приданных значениях констант интегралов). Точки в пространстве констант первых интегралов, являющиеся образами точек, в которых шпегралм зависимы составляют и часто исчерпывают так называемое бифуркаци ormoe множество (в случае, когда итгегралов всего два оно состоит ад исаюысях кривых). Это множество разделяет пространство констант па конечное число областей, в которых сохраняется топологический тип совместных уровней и областей возможного движения. Нас будет интересовать случай, когда связные компоненты совместного уровня диффеоыорфны 71-мерным торам» где п - число степеней свободы. В окрестности каждою из таких торов можно ввести канонические перс-менные "действие-угол11^ Oi (mod 2я), так что движение фазовой точки но этому
4
тору будет усдовио-периодичоскиуі:
А = сопа1ч 04 = н(А’) 4-^| с частотами о* =*
Завислмость частот егг констант первых интегралов называется чдетоткыл« отображением. Поскольку все траектории, начинающиеся на торс» на нем и остаются (см. напр Арнольд (2))^ то гор является (и называется) инвариантным. Построение бифуркационной диаграммы (графического изображения бифуркационного множества) и определение обласги возможности движения являются важными шагами в исследовании каждой конкретной задачи. Попотпе бифуркационного множества было введено О. СмеЙлом (|25[), который считается основоположником инвариантной теории топологического анализа первых интегралов. Объектом его исследований были консервативные системы с симметрией. Дяя лиувиллевых систем методика построения бифуркационных диаграмм и классификация возможных типов движения была предложена ГС. М. Алексеевым (еще раньше, см.
1Ш-
Вторым важным этапом в качественном исследовании интегрируемой гамильтоновой системы является нахождение частот >гСлОо»ю-псриодическ<>гО движения И исследование их зависимости от констант первых интегралов. К сожалению, нахождение час-гот осложнено тем, чти часто они из себя представляют очень сложные функции от кон ста! гг первых интегралов.
Одним к:? наибатсс важных свойств гамильтоновой системы является невырожденность частотного отображения.
Пшилътоиова системы наливается частотно невырожденной, если якобиан частотного отображения не есть тождественный хрдъ
5
Невырожденность является отаравньїхі пунктом в теории возмущений гамильтоновых систем. А. Пуанкаре (23| даже? назвал основной задачей динамики задачу об исследовании поведения решении системы, :»даииоЙ гамильтонианом
Н = И0((>) +еНх(рг(т)л є С 1
в переменных действие-угол р. а. Здесь - іамильтониаи не возмущенной системы. а //] - возмущение, яадяющееся 2 .т-периодической функцией угловых переменных 64 (тоїі 2х). В пе.возмущенноЯ задаче [е = 0) углы о% на инвариантных торах меняются равномерно с постоянными чзогогамм
а все переменные ^ являются первыми икгеїралами системы. Требуется исследовать фазовые кривые уравнений Гамильтона
Поскольку в полдвляккдех! большинстве случаен вшмущеиная система, неин-гсгрирусма, го большинстпо выводов о характере .движения этой системы делаются на основании свойстп системы нспозиущемной. А. Пуанкаре принадлежат два крупных шага в этом направлении: это теорема о несуществовании допач-нитслыюго аналитического интеграла и теорема о существовании периодических решений. Первый из згих результатов, можно сказать, являйся негативных«, но фундаментальным! так как и хищно на его основании можно делать заключение о неинтегрируемости системы. Эти результаты взаммоевчзаиы. так хак на указан-
дн
ЭН
6
- Київ+380960830922