Оглавление
Введение 5
Три изопериметрические задачи и восемь задач,
решения которых выражаются эллиптическими функциями................... 7
Равновесие нити в орбитальной системе координат............................ 8
Цель, задачи, структура и методы исследования.............................. 9
1 Плоские равновесия нити на круговой орбите 11
1.1 Две модели поля линейных параллельных сил............................. 11
1.2 Равновесие нити в линейном поле параллельных ейп...................... 11
1.2.1 Изопериметрическая постановка задачи.......................... 12
1.2.2 Дифференциальные уравнения экстремалей........................ 13
1.2.2.1 Случаи отталкивающих и притягивающих сил......... 14
1.2.3 Регулярные и особые решения........................ 14
1.2.3.1 Решения дифференциального уравнения Вейерштрасса.
соответствующие регулярным решениям.............. 15
1.2.3.2 Дробно-линейные преобразования, фиксирующие дифференциальное уравнение Вейерштрасса 15
1.2.3.3 Ключевые преобразования решений уравнений равновесия 16
1.2.3.4 Особые решения................................... 18
1.2.4 Пограничные решения .......................................... 19
1.2.5 Предельные решения.......................................... 20
1.2.6 Критические значения функций, определяющих регулярные решения 20
1.2.6.1 Прямоугольник и ромб периодов.................... 21
1.2.7 Регулярные решения при заданных граничных условиях............ 23
1.2.7.1 Случай а > § ......................................... 26
2
Оглавление 3
1.2.7.2 Случай -§ < о < §....................................... 29
1.2.7.3 Случай о. < — § ........................................ 30
1.2.8 Нерегулярные решения при заданных граничных условиях ... 30
1.2.8.1 Случай а < -§ .......................................... 30
1.2.8.2 Случай а =-§ .......................................... "31
1.2.8.3 Случай а = | ......................"7.................... 31
1.2.9 Четыре семейства решений...................................... -31
1.2.9.1 Семейство вертикальных и горизонтально-осевых решений ............................................................ 31
1.2.9.2 Семейство одинакового модуля горизонтальной составляющей силы натяжения........................................... 32
1.2.9.3 Семейство неограниченных решений, имеющих общими
две вертикальные асимптоты.......................*. . . " 32
1.2.9.4 Семейство чётных и нечётных неограниченных решений, проходящих через точку (—1.1) 36
1.2.10 Классификация равновесий в линейном параллельном поле сил 36
1.3 Равновесие нити в плоскости, перпендикулярной орбите................... 38
1.3.1 Изонериметрпческая постановка задачи . 7........................ 38
1.3.2 Дифференциальные уравнения экстремалей.......................... 39
1.3.3 Осевые решения..................................’................ 41
1.3.4 Предельные решения •. . 41
1.3.5 Два подкласса решений........................................... 41
1.3.5.1 Решения первого подкласса.......................... 42
1.3.5.2 Решения второго подкласса.......................... 42
1.3.6 Порождающие решения............................................. 42
1.3.7 Четыре семейства частных решений ............................... 43
1.4 Равновесие нити в линейном плоском поле сил............................ 43
2 Пространственные равновесия нити на круговой орбите 48
2.1 Из оперим етрическая постановка задачи . . . ......................... 48
2.2 Дифференциальные уравнения экстремалей..................................48
2.3 Классификация форм равновесия.......................................... 50
2.3.1 Одномерные конфигурации ........................................ 50
2.3.1.1 Осезые решения..................................... 50
2.3.1.2 Предельные решения................................. 50
4
Оглавление
2.3.2 Двумерные конфигурации...................................... 51
2.3.3 Трёхмерные конфигурации..................................... 51
2.3.3.1 Решения, пересекающие плоскость орбиты..........52
2.3.3.2 Решения, не пересекающие плоскость орбиты.......... 52
2.4 Шесть пространственных форм равновесия............................ 52
3 Исследование устойчивости равновесных форм 60
3.1 Вторая вариация................................................... 60
3.2 Условия устойчивости равновесных форм............................. 64
3.2.1 Условия устойчивости в линейном параллельном поле сил .... 64
3.2.1.1 Обозначения к предварительные вычисления........... 65
3.2.1.2 Случай Пожарицкого................................. 70
3.2.1.3 Однопараметрическое семейство поверхностей......... 73
3.2.1.4 Функция сопряжённости.............................. 79
3.2.2 Условия устойчивости на круговой орбите.................... 82
Заключение \ 85
Приложения 87
А Взаимосвязь эллиптических функций Якоби и Вейерштрасса 87
В Вычисление кривизны и кручения пространственной кривой 89
Список литературы
90
Введение
После издания в 1990 году книги Белецкого и Левина “Динамика космических тросовых систем” [16] умножился поток научных работ, посвященных различным аспектам исследования космических тросовых систем (КТС). В англоязычной литературе за,данной тематикой установилось сокращение TSS, которое расшифровывается как “Tethered Satellite Systems” Интерес к разработке теории и её приложений к исследованию КТС не ослабевает и в паши дни. Некоторые неудовлетворительные результаты приложения различных математических моделей к конкретным КТС усилили интерес к этой тематике. Однако, по сей день, исследования динамики троса на орбите проводились без тщательного исследования его равновесия, а основополагающие исследования равновесных форм троса на круговой орбите остаются малочисленными. В диссертации исследована задача о равновесии троса в поле линейных параллельных сил. исчезающих па фиксированной плоскости, и дана исчерпывающая классификация форм равновесия как в поле сил, притягивающих х плоскости, так и з поле сил, отталкивающих от неё. Формы равновесия общего положения в случае притяжения задаются эллиптическими, то есть дзояко-лериодическими функциями, соответствующими двум типам решёток с разделяющими их периодическими неограниченными функциями. Эти результаты изложены в глазе 1. Исследуя равновесие троса в плоскости круговой орбиты, авторы книги [16] указали “волновые!”,конфигурации.[15], полагая, что такие конфигурации ими описаны “впервые”. Однако подобные конфигурации были найдены раньше. Аппелем [8] в задачещ равновесии нити, закреплённой в двух точках оси, на каждый элемент которой действует сила отталкивания от оси, пропорциональная расстоянию до неё, было найдено счётное множество подобных друг другу положений равновесия, которые можно пронумеровать по числу полуволн- 1. 2, ... [51]. Меркин [29], рассматривая “относительное равновесие вращающейся нити”, приводит решение Аппеля, указывая на доказательство Пожарицкого [32] того, что форма равновесия с одной полуволной является единственной устойчивой формой среди бесконечного числа подобных форм равновесия, и отмечает (см. также [42]), что решение Аппеля “значительно упрощается для достаточно пологих нитей”. Суть этого упрощения заключается з том, что форма равновесия пологой нити стремится к графику тригонометрической функции. В главе 1, проведя полную классификацию форм равновесия в линейном параллельном поле сил, выявлено место тригонометрических функций среди эллиптических и показано, что стремлению пологих форм равновесия (в случае отталкивания от оси) к графику тригонометрической функции строго соответствует стремление непологих форм равновесия (в случае притяжения к оси) к графику неограниченной тригонометрической функции. Указано незырож-денное семейство дробно-линейных преобразований, сочетающих инверсию с умножением на положительную константу, переводящих семейство пологих форм (в случае
6
Введение
отталкивания от оси) к непологам формам (в случае притяжения к оси), и обратно. Пределом пологих форм, проходящих через две фиксированные точки, является соединяющий их отрезок, а пределом соответствующих им форм равновесия, уходящим в бесконечность не. концах, соответствующих концам указанного отрезка, оказывается неограниченная тригонометрическая функция. В главе 1 исследованы также формы равновесия в плоскости, ортогональной направлению движения спутника на круговой орбите, и получена их исчерпывающая классификация.
Исследование, проводимое в диссертации, опиралось на “классический” аппарат эллиптических функций Вейерштрасса и Якоби, каковых следует считать и основоположниками вариационного исчисления в том виде, в котором оно применялось для решения задачи о пространственных формах равновесия нити в окрестности спутника на круговой орбите. Исследование устойчивости равновесных форм опиралось на исследование второй вариации, которое подробно и аккуратно излагалось в книге [55]. Эта книга особенно ценна на фоне многих ставших “стандартными” изложений вариационного исчисления вроде [20, 26, 39], в которых кочуют неверные обобщения результатов, верных для скалярных функций, на функции векторные. Так, например, на стр. 118 книги [20] трижды сообщается о лёгкости проверки результатов, аналогично изложенных в [26, 39], и проводится “интегрирование по частям”, в результате которого авторы некорректно вычисляют вторую вариацию векторно-значной функции. Полученная ими и, увы, часто встречающаяся формула пригодна лишь в случае, когда все указанные ими линейные операторы оказываются симметричными. В частности, полученная ими формула действительно имеет место для скалярных функций, но неприменима к векторно-значной функции в общем случае (на что авторы претендовали). На стр. 117 книги [26] авторы без труда обобщили критерий Сильвестра на неотрицательно-определённые операторы, заявив, что оператор неотрицательно определён, если все его угловые миноры неотрицательны. Легко привести контрпримеры, опровергающие корректность формулы второй.вариации, полученной в [20, 39], и опровергающие корректность автоматического обобщения критерия Сильвестра на неотрицательно-определённые операторы в [26]. Так, например, вторая вариация функционала
[ \fzdx,
Jo
зависящего от двух функций у и г, не приводится к виду, указанному формулой (4) §25 в [20], а оператор, матрица которого в некотором базисе
О 0 \
0 -\) ■
является отрицательно определённым, несмотря на то, что он удовлетворяет условиям, указанным в [26] для неотрицательных операторов. Нетрудно убедиться в том, что линейность функционала в первом контрпримере не является существенным возражением, так как его можно заменить и на квадратичный функционал. Корректное обобщение критерия Сильвестра к неотрицательно-определённым операторам приводится в [19].
Насколько диссертанту известно, трёхмерные конфигурации троса в окрестности спутника, с учётом кривизны и кручения, ранее не рассматривались. В главе 2 приведена исчерпывающая классификация форм равновесия абсолютно гибкого нерастяжимого
7
троса в окрестности спутника на круговой орбите, включая классификацию трёхмерных конфигураций. В работе дано описание шести файлов, изображающих, шесть представителей трёхмерных конфигураций. В главе 3 исследуются и формулируются условия устойчивости найденных равновесных форм.
Три изопериметрические задачи и восемь задач, решения которых выражаются эллиптическими функциями
Исторически первой задачей вариационного исчисления считается [40] задача Дидоны - задача о форме кривой; максимизирующей площадь, ограниченную кривой данной длины и заданной прямой. Легенда гласит что решение этой задачи связано с основанием города Карфагена. Дидона — сестра царя финикийского города Тира — переселилась на южное побережье Средиземного моря, где попросила у местного племени участок земли, который можно охватить шкурой быка. Местные жители предоставили шкуру, которую Дидона разрезала на узкие ремни и связала. Получившимся канатом она охватила территорию в виде полукруга у части прямого берега побережья. Второй “классической” задачей является задача о форме равновесия однородной массивной цепочки, в постоянном поле силы тяжести, которую Галилей считал параболой. Ошибку Галилея исправил Гюйгенс, показаз, что формой равновесия оказывается гиперболический косинус. На этих двух задачах перечень классических изопериметрических задач исчерпывается по сей день. В диссертации рассмотрена ныне актуальная изопе-риметрическая задача о формах равновесия однородной массивной цепочки в некотором неоднородном поле сил. Далее мы уточним, о каком именно поле сил идёт речь, и отметим, что фигуры равновесия, в общем случае, не являются плоскими. Но даже в простейшем обобщении задачи о форме равновесия однородной массивной цепочки к полю линейных параллельных сил, формы равновесия уже не могут быть описаны одной кривой с точностью до преобразования подобия, как в случае решения Гюйгенса, и возникает естественный вопрос о классификации полученных решений. Предложенная задача является подлинно изометрической в том смысле, что длина нити влияет на тип кривой, описывающей равновесие. Это не так в случае первых двух классических задач, общее решение которых исчерпывается полуокружностью для задачи Дидоны и гиперболическим косинусом для задачи о ценной линии. Решение задачи о форме равновесия однородной массивной цепочки в иоле линейных параллельных сил выражается в эллиптических функциях и дополняет другой небольшой список задач, ставших “классическими” примерами задач, решения которых выражаются через эллиптические функции [66]: 1. Отображение верхней полуплоскости в прямоугольник
2. Вычисление длины лемнискаты Бернулли 3. Вычисление длины эллипса 4.;Коле-бания плоского маятника 5. Вычисление ёмкости эллипсоида С Вычисление вероятности возврата при двумерном и трёхмерном случайном блуждании. К этому списку уместно добавить классическую задачу о вращении твердого тела в случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской [22, 24]. Две работы диссертанта [46, 47], непосредственно касающиеся задачи, обратной первой задаче этого списка, были порождены его работой над диссертацией. Отметим работу [69], со ссылкой на работу Аппеля [50], в
- Київ+380960830922